歸納推理和類比推理課件

歸納推理歸納推理1哥德巴赫猜想世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個不小于6的偶數(shù)都是兩個素?cái)?shù)（只能被1和它本身整除的數(shù)）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。猜想(a)任何一個≥6之偶數(shù)，都可以表示成兩個奇質(zhì)數(shù)之和。

(b)任何一個≥9之奇數(shù)，都可以表示成三個奇質(zhì)數(shù)之和。有人對33×108以內(nèi)且大過6之偶數(shù)一一進(jìn)行驗(yàn)算，哥德巴赫猜想(a)都成立。哥德巴赫猜想世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一172目前最佳的結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于1966年證明的，稱為陳氏定理(Chen‘sTheorem).“任何充份大的偶數(shù)都是一個質(zhì)數(shù)與一個自然數(shù)之和，而后者僅僅是兩個質(zhì)數(shù)的乘積”,通常都簡稱這個結(jié)果為大偶數(shù)可表示為“1+2”的形式。1920年，挪威的布朗證明了“9+9”。

1924年，德國的拉特馬赫證明了“7+7”。

1932年，英國的埃斯特曼證明了“6+6”?！?00年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀(jì)20年代，才有人開始向它靠近。目前最佳的結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于1966年證31637年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：“將一個立方數(shù)分為兩個立方數(shù)的和，一個四次冪分為兩個四次冪的和，或者一般地將一個高于二次的冪分為兩個同次的冪的和，這是不可能的.”費(fèi)馬猜想數(shù)論中最著名的世界難題之一

300多年來，這個問題吸引了很多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，法國科學(xué)院曾于1816年和1850年兩次懸賞征解，德國也于1908年懸賞十萬馬克征解。經(jīng)過三百多年來歷代數(shù)學(xué)家的不斷努力，劍橋大學(xué)懷爾斯終于1995年正式徹底解決這一大難題.1637年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：“將一個立方數(shù)41852年，弗南西斯·格思里搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色?！笔澜缃髷?shù)學(xué)難題之一四色猜想1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。1852年，弗南西斯·格思里搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)5這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.歸納推理部分整體個別一般不完全歸納推理得到的結(jié)論是否正確還有待嚴(yán)格的證明,但它可以為我們的研究提供一種方向.歸納法又分為不完全歸納法和完全歸納法.這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事6例1.已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1=1，且（n=1,2,…),試歸納出這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.分別把n=1,2,3,4代入得:歸納:可用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想是正確的.取倒數(shù)得：解法2、構(gòu)造法例1.已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1=1，且分別把n=1,7例2.如圖,在圓內(nèi)畫一條線段,將圓分成兩部分;畫兩條線段,彼此最多分割成4條線段,同時將圓分割成4部分;畫三條線段,彼此最多分割成9條線段,同時將圓分割成7部分.那么(1)在圓內(nèi)畫四條線段,彼此最多分割成

條線段?同時將圓分割成

部分?例2.如圖,在圓內(nèi)畫一條線段,將圓分成兩部分;畫兩條線段,彼8(2)猜想:圓內(nèi)兩兩相交的n(n≥2)條線段,彼此最多分割成

條線段?同時將圓分割成

部分?………累加得:(2)猜想:圓內(nèi)兩兩相交的n(n≥2)條線段,彼此最多分割成9例3.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動一個金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測:把n個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?例3.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬10n=1時,n=1時,11n=2時,n=1時,n=2時,n=1時,12n=3時,n=2時,n=1時,n=3時,n=2時,n=1時,13n=2時,n=1時,n=3時,n=2時,n=1時,n=3時,14n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,15n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,歸納:n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,歸納:16例、數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1

，求通項(xiàng)公式an.an+1+1=2（an+1）數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列構(gòu)造法例、數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，17(2004春季上海)根據(jù)圖中5個圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個數(shù)的變化規(guī)律,試猜測第n個圖形中有

個點(diǎn).(1)(2)(3)(4)(5)練習(xí)(2004春季上海)根據(jù)圖中5個圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個數(shù)的變化規(guī)律18(2005年廣東)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個數(shù),則f(4)=

,當(dāng)n>4時,f(n)=

.(用n表示)累加得:(2005年廣東)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有19(2001年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個更一般的命題,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個特例,推廣的命題為：設(shè)圓的方程為①(x-a)2+(y-b)2=r2與②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或b≠d),則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.(2001年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y20小結(jié)2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題(猜想).1.什么是歸納推理（簡稱歸納）?部分整體個別一般小結(jié)2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相21練習(xí)1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,且計(jì)算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表達(dá)式.猜想:計(jì)算得:練習(xí)1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,22復(fù)習(xí)2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題(猜想).1.什么是歸納推理?部分整體特殊一般復(fù)習(xí)2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相231.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發(fā)明了鋸2.仿照魚類的外型和它們在水中沉浮的原理,發(fā)明了潛水艇.3.科學(xué)家對火星進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征:1)火星也繞太陽運(yùn)行、饒軸自轉(zhuǎn)的行星;2)有大氣層,在一年中也有季節(jié)變更;3)火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存,等等.科學(xué)家猜想;火星上也可能有生命存在.4.利用平面向量的基本定理類比得到空間向量的基本定理.1.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發(fā)明了鋸2.仿照魚類24由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理.(簡稱:類比)類比推理的幾個特點(diǎn)1.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測正在研究的事物的屬性,是以舊有的認(rèn)識為基礎(chǔ),類比出新的結(jié)果.2.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性.3.類比的結(jié)果是猜測性的不一定可靠,但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能.類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出25圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長以點(diǎn)(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與不過球心的截面(圓面)的圓心的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大以點(diǎn)(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圓的性質(zhì)類比得出球的性質(zhì)球的體積球的表面積圓的周長圓的面積圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距26平面向量空間向量①②③④⑤⑥若，則

①②③④⑤⑥若，則

⑦⑦利用平面向量的性質(zhì)類比得空間向量的性質(zhì)平面向量空間向量①②③④⑤⑥若，27等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和利用等差數(shù)列性質(zhì)類比等比數(shù)列性質(zhì)等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和利用等差數(shù)列性質(zhì)類比等比28等差數(shù)列等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)n+m=p+q時,am+an=ap+aqn+m=p+q時,aman=apaq任意實(shí)數(shù)a、b都有等差中項(xiàng)，為當(dāng)且僅當(dāng)a、b同號時才有等比中項(xiàng)，為成等差數(shù)列成等比數(shù)列下標(biāo)等差,項(xiàng)等差下標(biāo)等差,項(xiàng)等比等差數(shù)列等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)n+m=p+q時,n+m=p+q時,29例1.(2003年新課程)在平面幾何里,有勾股定理:“設(shè)△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2.”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是“設(shè)三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則

.DABC例1.(2003年新課程)在平面幾何里,有勾股定理:DABC30（2004廣東，15）由圖(1)有面積關(guān)系:則由圖(2)有體積關(guān)系:圖(1)圖(2)（2004廣東，15）圖(1)圖(2)31平面與空間中的余弦定理平面：三角形ABC中，空間：四面體A-BCD中，設(shè)二面角B-AC-D，C-AD-B，D-AB-C的大小依次為平面與空間中的余弦定理平面：三角形ABC中，空間：四面體A-32例2：(2005年全國)計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)位制是逢16進(jìn)1的計(jì)算制，采用數(shù)字0-9和字母A-F共16個計(jì)數(shù)符號，這些符號與十進(jìn)制的數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表；十六進(jìn)位０１２３４５６７十進(jìn)位０１２３４５６７例如用16進(jìn)位制表示Ｅ+Ｄ＝1Ｂ，則Ａ×Ｂ＝（）十六進(jìn)位８9ＡＢＣＤＥＦ十進(jìn)位８9101112131415ＡＡ．６EＢ．７２Ｃ．５ＦＤ．０Ｂ例2：(2005年全國)計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)位制是逢16進(jìn)133歸納推理和類比推理的共同點(diǎn)

歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.從具體問題出發(fā)觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類比提出猜想合情推理歸納推理和類比推理的共同點(diǎn)歸納推理和類比推理都是根據(jù)34作業(yè)P93-94A組5.B組１．作業(yè)35歸納推理歸納推理36哥德巴赫猜想世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個不小于6的偶數(shù)都是兩個素?cái)?shù)（只能被1和它本身整除的數(shù)）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。猜想(a)任何一個≥6之偶數(shù)，都可以表示成兩個奇質(zhì)數(shù)之和。

(b)任何一個≥9之奇數(shù)，都可以表示成三個奇質(zhì)數(shù)之和。有人對33×108以內(nèi)且大過6之偶數(shù)一一進(jìn)行驗(yàn)算，哥德巴赫猜想(a)都成立。哥德巴赫猜想世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一1737目前最佳的結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于1966年證明的，稱為陳氏定理(Chen‘sTheorem).“任何充份大的偶數(shù)都是一個質(zhì)數(shù)與一個自然數(shù)之和，而后者僅僅是兩個質(zhì)數(shù)的乘積”,通常都簡稱這個結(jié)果為大偶數(shù)可表示為“1+2”的形式。1920年，挪威的布朗證明了“9+9”。

1924年，德國的拉特馬赫證明了“7+7”。

1932年，英國的埃斯特曼證明了“6+6”。………………200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀(jì)20年代，才有人開始向它靠近。目前最佳的結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于1966年證381637年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：“將一個立方數(shù)分為兩個立方數(shù)的和，一個四次冪分為兩個四次冪的和，或者一般地將一個高于二次的冪分為兩個同次的冪的和，這是不可能的.”費(fèi)馬猜想數(shù)論中最著名的世界難題之一

300多年來，這個問題吸引了很多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，法國科學(xué)院曾于1816年和1850年兩次懸賞征解，德國也于1908年懸賞十萬馬克征解。經(jīng)過三百多年來歷代數(shù)學(xué)家的不斷努力，劍橋大學(xué)懷爾斯終于1995年正式徹底解決這一大難題.1637年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：“將一個立方數(shù)391852年，弗南西斯·格思里搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色?！笔澜缃髷?shù)學(xué)難題之一四色猜想1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。1852年，弗南西斯·格思里搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)40這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.歸納推理部分整體個別一般不完全歸納推理得到的結(jié)論是否正確還有待嚴(yán)格的證明,但它可以為我們的研究提供一種方向.歸納法又分為不完全歸納法和完全歸納法.這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事41例1.已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1=1，且（n=1,2,…),試歸納出這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.分別把n=1,2,3,4代入得:歸納:可用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想是正確的.取倒數(shù)得：解法2、構(gòu)造法例1.已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1=1，且分別把n=1,42例2.如圖,在圓內(nèi)畫一條線段,將圓分成兩部分;畫兩條線段,彼此最多分割成4條線段,同時將圓分割成4部分;畫三條線段,彼此最多分割成9條線段,同時將圓分割成7部分.那么(1)在圓內(nèi)畫四條線段,彼此最多分割成

條線段?同時將圓分割成

部分?例2.如圖,在圓內(nèi)畫一條線段,將圓分成兩部分;畫兩條線段,彼43(2)猜想:圓內(nèi)兩兩相交的n(n≥2)條線段,彼此最多分割成

條線段?同時將圓分割成

部分?………累加得:(2)猜想:圓內(nèi)兩兩相交的n(n≥2)條線段,彼此最多分割成44例3.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動一個金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測:把n個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?例3.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬45n=1時,n=1時,46n=2時,n=1時,n=2時,n=1時,47n=3時,n=2時,n=1時,n=3時,n=2時,n=1時,48n=2時,n=1時,n=3時,n=2時,n=1時,n=3時,49n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,50n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,歸納:n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,歸納:51例、數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1

，求通項(xiàng)公式an.an+1+1=2（an+1）數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列構(gòu)造法例、數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，52(2004春季上海)根據(jù)圖中5個圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個數(shù)的變化規(guī)律,試猜測第n個圖形中有

個點(diǎn).(1)(2)(3)(4)(5)練習(xí)(2004春季上海)根據(jù)圖中5個圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個數(shù)的變化規(guī)律53(2005年廣東)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個數(shù),則f(4)=

,當(dāng)n>4時,f(n)=

.(用n表示)累加得:(2005年廣東)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有54(2001年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個更一般的命題,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個特例,推廣的命題為：設(shè)圓的方程為①(x-a)2+(y-b)2=r2與②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或b≠d),則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.(2001年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y55小結(jié)2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題(猜想).1.什么是歸納推理（簡稱歸納）?部分整體個別一般小結(jié)2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相56練習(xí)1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,且計(jì)算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表達(dá)式.猜想:計(jì)算得:練習(xí)1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,57復(fù)習(xí)2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題(猜想).1.什么是歸納推理?部分整體特殊一般復(fù)習(xí)2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相581.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發(fā)明了鋸2.仿照魚類的外型和它們在水中沉浮的原理,發(fā)明了潛水艇.3.科學(xué)家對火星進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征:1)火星也繞太陽運(yùn)行、饒軸自轉(zhuǎn)的行星;2)有大氣層,在一年中也有季節(jié)變更;3)火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存,等等.科學(xué)家猜想;火星上也可能有生命存在.4.利用平面向量的基本定理類比得到空間向量的基本定理.1.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發(fā)明了鋸2.仿照魚類59由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理.(簡稱:類比)類比推理的幾個特點(diǎn)1.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測正在研究的事物的屬性,是以舊有的認(rèn)識為基礎(chǔ),類比出新的結(jié)果.2.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性.3.類比的結(jié)果是猜測性的不一定可靠,但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能.類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出60圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長以點(diǎn)(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與不過球心的截面(圓面)的圓心的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大以點(diǎn)(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圓的性質(zhì)類比得出球的性質(zhì)球的體積球的表面積圓的周長圓的面積圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距61平面向量空間向量①②③④⑤⑥若，則

①②③④⑤⑥若，則

⑦⑦利用平面向量的性質(zhì)類比得空間向量的性質(zhì)平面向量空間向量①②③④⑤⑥若，62等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和利用等差數(shù)列性