七年級(jí)數(shù)學(xué)講義概率及軸對(duì)稱圖形

七年級(jí)數(shù)學(xué)講義（6.10）生活中的軸對(duì)稱與概率初步復(fù)習(xí)生活中的軸對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)回顧：一、軸對(duì)稱圖形1、如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。2、理解軸對(duì)稱圖形要抓住以下幾點(diǎn)：（1）指一個(gè)圖形；（2）存在一條直線（對(duì)稱軸）；（3）圖形被直線分成的兩部分互相重合；（4）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸有的只有一條，有的則存在多條；（5）線段、角、長方形、正方形、菱形、等腰三角形、圓都是軸對(duì)稱圖形；二、軸對(duì)稱1、對(duì)于兩個(gè)圖形，如果沿一條直線對(duì)折后，它們能互相重合，那么稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線就是對(duì)稱軸。可以說成：這兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱。2、理解軸對(duì)稱應(yīng)注意：（1）有兩個(gè)圖形；（2）沿某一條直線對(duì)折后能夠完全重合；（3）軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定是全等形，但兩個(gè)全等的圖形不一定是軸對(duì)稱圖形；（4）對(duì)稱軸是直線而不是線段；軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱區(qū)別是一個(gè)圖形自身的對(duì)稱特性是兩個(gè)圖形之間的對(duì)稱關(guān)系對(duì)稱軸可能不止一條對(duì)稱軸只有一條共同點(diǎn)沿某條直線對(duì)折后都能夠互相重合如果軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；如果把軸對(duì)稱圖形分成兩部分（兩個(gè)圖形），那么這兩部分關(guān)于這條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱。三、角平分線的性質(zhì)1、角平分線所在的直線是該角的對(duì)稱軸。2、性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。四、線段的垂直平分線1、垂直于一條線段并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，又叫線段的中垂線。2、性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等。五、等腰三角形1、有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；2、相等的兩條邊叫做腰；另一邊叫做底邊；3、兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角；4、三條邊都相等的三角形也是等腰三角形。5、等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸（等邊三角形除外），其底邊上的高或頂角的平分線，或底邊上的中線所在的直線都是它的對(duì)稱軸。6、等腰三角形的三條重要線段不是它的對(duì)稱軸，它們所在的直線才是等腰三角形的對(duì)稱軸。7、等腰三角形底邊上的高，底邊上的中線，頂角的平分線互相重合，簡稱為“三線合一”。8、“三線合一”是等腰三角形所特有的性質(zhì)，一般三角形不具備這一重要性質(zhì)。9、“三線合一”是等腰三角形特有的性質(zhì)，是指其頂角平分線，底邊上的高和中線，這三線，并非其他。10、等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡寫成“等邊對(duì)等角”。11、判定一個(gè)三角形是等腰三角形常用的兩種方法：（1）兩條邊相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊也相等相等，簡寫為“等角對(duì)等邊”。六、等邊三角形1、等邊三角形是指三邊都相等的三角形，又稱正三角形，是最特殊的三角形。2、等邊三角形是底與腰相等的等腰三角形，所以等邊三角形具備等腰三角形的所有性質(zhì)。3、等邊三角形有三條對(duì)稱軸，三角形的高、角平分線和中線所在的直線都是它的對(duì)稱軸。4、等邊三角形的三邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都是600。圖形定義性質(zhì)等腰三角形有兩邊相等的三角形1、兩腰相等，兩底角相等。2、頂角=1800-2×底角。底角=（1800-頂角）/2。3、頂角的平分線、底邊上的中線和高“三線合一”。4、軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸。等邊三角形（又叫正三角形）三邊都相等的三角形1、三邊都相等，三內(nèi)角相等，且每個(gè)內(nèi)角都等于600。2、具有等腰三角形的所有性質(zhì)。3、軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸。七、軸對(duì)稱的性質(zhì)1、兩個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折后，能夠重合的點(diǎn)稱為對(duì)應(yīng)點(diǎn)（對(duì)稱點(diǎn)），能夠重合的線段稱為對(duì)應(yīng)線段，能夠重合的角稱為對(duì)應(yīng)角。2、關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。3、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分。4、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角都相等。5、類似地，軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)有：（1）軸對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分。（2）軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等。（3）根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可求作軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段或?qū)?yīng)角，并由此能補(bǔ)全軸對(duì)稱圖形。八、圖案設(shè)計(jì)1、作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對(duì)稱后的圖形，實(shí)際上是軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)的靈活運(yùn)用。2、作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對(duì)稱后的圖形的步驟:（1）首先要確定一個(gè)簡單平面圖形上的幾個(gè)特殊點(diǎn)；（2）然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，作出其相應(yīng)的對(duì)稱點(diǎn)（對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分）。（3）分別連接其對(duì)稱點(diǎn)，則可得其對(duì)稱圖形。3、表達(dá)方式（以點(diǎn)M為例）：（1）過點(diǎn)M作對(duì)稱軸的垂線，垂足為A；（2）延長MA到M’到，使M’A=MA，則點(diǎn)M’就是點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)。（3）在復(fù)雜的作圖中，也可以敘述為：作出點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M’.4、在運(yùn)用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案時(shí)，就注意以下幾點(diǎn)：（1）要有明確的設(shè)計(jì)意圖；（2）創(chuàng)意要新穎獨(dú)特；（3）設(shè)計(jì)出的圖案要符合要求；（4）能清楚地表達(dá)自己的設(shè)計(jì)意圖和制作過程。5、圖案的設(shè)計(jì)除采用對(duì)稱的手段外，通常還綜合采用旋轉(zhuǎn)、倒置、重復(fù)等手段和形式。6、設(shè)計(jì)的圖案要美觀、大方，積極向上，反映時(shí)代特色。九、鏡面對(duì)稱1、鏡面對(duì)稱的有關(guān)性質(zhì)：（1）任何一個(gè)平面圖形（物體）在鏡子中的像與它是可以重合的。因此，一個(gè)軸對(duì)稱圖形在鏡子中的像仍是軸對(duì)稱圖形。（2）若一個(gè)平面圖形正對(duì)鏡面，則其左（右）側(cè)在鏡中的像是其右（左）側(cè)；（3）若一個(gè)平面圖形（物體）垂直于鏡面擺放，則靠近鏡面的部分，其像也靠近鏡面；2、關(guān)于數(shù)字0、1、3、8在鏡面中像的兩個(gè)結(jié)論：（1）如果寫數(shù)字的紙條垂直于鏡面擺放，則紙條上寫的0、1、3、8所成的像與原來的數(shù)字完全一樣。（2）如果紙條正對(duì)鏡面擺放，則紙條上寫的0、1、8這三個(gè)數(shù)字在鏡中的像和原來的數(shù)字完全一樣。3、像與物體到鏡面的距離相等。4、像與物體的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被鏡面垂直平分。5、由鏡中的時(shí)間來判斷真實(shí)時(shí)間是近幾年來中考的一個(gè)熱點(diǎn)。時(shí)間的表示有用一般數(shù)字表示的，也有直接用鐘表來表示的。在判斷時(shí)，大家要注意靈活利用鏡面對(duì)稱的知識(shí)來加以解決。（二）習(xí)題精練：一、選擇題1．下列說法中，不正確的是()A．等腰三角形底邊上的中線就是它的頂角平分線B．等腰三角形底邊上的高就是底邊的垂直平分線的一部分C．一條線段可看作以它的垂直平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形D．兩個(gè)三角形能夠重合，它們一定是軸對(duì)稱的2．下列推理中，錯(cuò)誤的是()A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形3．在等邊三角形ABC中，CD是∠ACB的平分線，過D作DE∥BC交AC于E，若△ABC的邊長為a，則△ADE的周長為()A．2a B．C．1．5a D．a(chǎn)4．等腰三角形兩邊的長分別為2cm和5cm，則這個(gè)三角形的周長是()A．9cmB．12cmC．9cm和12cmD．在9cm與12cm之間5．觀察圖7—108中的汽車商標(biāo)，其中是軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)為()A.2B.3C.4D.56．對(duì)于下列命題：(1)關(guān)于某一直線成軸對(duì)稱的兩個(gè)三角形全等；(2)等腰三角形的對(duì)稱軸是頂角的平分線；(3)一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一定是關(guān)于經(jīng)過該線段中點(diǎn)的直線的對(duì)稱點(diǎn)；(4)如果兩個(gè)三角形全等，那么它們關(guān)于某直線成軸對(duì)稱．其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．37．△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D與頂點(diǎn)A在直線BC同側(cè)，且BD＝AD．則BD與CD的大小關(guān)系為()A．BD＞CDB．BD＝CDC．BD＜CD D．BD與CD大小關(guān)系無法確定8．下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是()A．互相垂直的兩條直線構(gòu)成的圖形B．一條直線和直線外一點(diǎn)構(gòu)成的圖形C．有一個(gè)內(nèi)角為30°，另一個(gè)內(nèi)角為120°的三角形D．有一個(gè)內(nèi)角為60°的三角形9．在等腰△ABC中，AB＝AC，O為不同于A的一點(diǎn)，且OB＝OC，則直線AO與底邊BC的關(guān)系為()A．平行B．垂直且平分C．斜交 D．垂直不平分10．三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的外角平分線所在的直線兩兩相交，所圍成的三角形一定是()A．銳角三角形B．鈍角三角形C等腰三角形 D．直角三角形二、填空題1．正五角星形共有_______條對(duì)稱軸．2．黑板上寫著在正對(duì)著黑板的鏡子里的像是__________.3．已知等腰三角形的腰長是底邊長的，一邊長為11cm，則它的周長為________.4．(1)等腰三角形(2)正方形(3)正七邊形(4)平行四邊形(5)梯形(6)菱形中，一定是軸對(duì)稱圖形的是_________.5如果一個(gè)圖形沿某一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠_____，則這個(gè)圖形叫軸對(duì)稱圖形，這條直線叫__.6．如圖7—109，在△ACD中，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°，則∠ADB＝________.7．已知：如圖7—110，△ABC中，AB＝AC，BE∥AC，∠BDE＝100°，∠BAD＝70°，則∠E＝_____________.8如圖111，在Rt△ABC中，B為直角，DE是AC的垂直平分線，E在BC上，∠BAE：∠BAC＝1：5，則∠C＝___.9．如圖7—112，∠BAC＝30°，AM是∠BAC的平分線，過M作ME∥BA交AC于E，作MD⊥BA，垂足為D，ME＝10cm，則MD＝_________.10．如圖7—113，OE是∠AOB的平分線，BD⊥OA于D，AC⊥BO于C，則關(guān)于直線OE對(duì)稱的三角形有________對(duì)．三、解答題1．如圖7—114，∠XOY內(nèi)有一點(diǎn)P，在射線OX上找出一點(diǎn)M，在射線OY上找出一點(diǎn)N，使PM＋MN＋NP最短．2．如圖7—115，圖中的圖形是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)作出它們的對(duì)稱軸．3．已知∠AOB＝30°，點(diǎn)P在OA上，且OP＝2，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)是Q，求PQ之長．4．如圖7—116，在△ABC中，C為直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，求AB之長．5．如圖7—117，在△ABC中，C為直角，AB上的高CD及中線CE恰好把∠ACB三等分，若AB＝20，求△ABC的兩銳角及AD、DE、EB各為多少?6．如圖7—118，AD、BE分別是等邊△ABC中BC、AC上的高．M、N分別在AD、BE的延長線上，∠CBM＝∠ACN．求證：AM＝BN．7．如圖7—119，點(diǎn)G在CA的延長線上，AF＝AG，∠ADC＝∠GEC．求證：AD平分∠BAC．8．已知：如圖7—120，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，D為BC中點(diǎn)，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且滿足EA＝CF．求證：DE＝DF．概率初步知識(shí)點(diǎn)回顧：一、事件1、事件分為必然事件，不可能事件，不確定事件.2、必然事件：事先就能肯定一定會(huì)發(fā)生的事件。也就是指該事件每次一定發(fā)生，不可能不發(fā)生，即發(fā)生的可能是100%（或1）。3、不可能事件：事先就能肯定一定不會(huì)發(fā)生的事件。也就是指該事件每次都完全沒有機(jī)會(huì)發(fā)生，即發(fā)生的可能性為零。4、不確定事件：事先無法肯定會(huì)不會(huì)發(fā)生的事件，也就是說該事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，即發(fā)生的可能性在0和1之間。5、三種事件都是相對(duì)于事件發(fā)生的可能性來說的，若事件發(fā)生的可能性為100%，則為必然事件；若事件發(fā)生的可能性為0，則為不可能事件；若事件不一定發(fā)生，即發(fā)生的可能性在0∽1之間，則為不確定事件。6、簡單地說，必然事件是一定會(huì)發(fā)生的事件；不可能事件是絕對(duì)不可能發(fā)生的事件；不確定事件是指有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的事件。7、表示事件發(fā)生的可能性的方法通常有三種：（1）用語言敘述可能性的大小。（2）用圖例表示。（3）用概率表示。二、等可能性1、等可能性：是指幾種事件發(fā)生的可能性相等。2、游戲規(guī)則的公平性：就是看游戲雙方的結(jié)果是否具有等可能性。（1）首先要看游戲所出現(xiàn)的結(jié)果的兩種情況中有沒有必然事件或不可能事件，若有一個(gè)必然事件或不可能事件，則游戲是不公平的；（2）其次如果兩個(gè)事件都為不確定事件，則要看這兩個(gè)事件發(fā)生的可能性是否相同；即看雙方獲勝的可能性是否相同，只有雙方獲勝的可能性相同，游戲才是公平的。（3）游戲是否公平，并不一定是游戲結(jié)果的兩種情況發(fā)生的可能性都是二分之一，只要對(duì)游戲雙方獲勝的事件發(fā)生的可能性一樣即可。三、概率1、概率：是反映事件發(fā)生的可能性的大小的量，它是一個(gè)比例數(shù)，一般用P來表示，P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)/所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。2、必然事件發(fā)生的概率為1，記作P（必然事件）=1；3、不可能事件發(fā)生的概率為0，記作P（不可能事件）=0；4、不確定事件發(fā)生的概率在0∽1之間，記作0<P（不確定事件）<1。5、概率是對(duì)“可能性”的定量描述，給人以更直接的感覺。6、概率并不提供確定無誤的結(jié)論，這是由不確定現(xiàn)象造成的。7、概率的計(jì)算：（1）直接數(shù)數(shù)法：即直接數(shù)出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總數(shù)n，再數(shù)出事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)m，利用概率公式直接得出事件A的概率。（2）對(duì)于較復(fù)雜的題目，我們可采用“列表法”或畫“樹狀圖法”。四、幾何概率1、事件A發(fā)生的概率等于此事件A發(fā)生的可能結(jié)果所組成的面積（用SA表示）除以所有可能結(jié)果組成圖形的面積（用S全表示），所以幾何概率公式可表示為P（A）=SA/S全，這是因?yàn)槭录l(fā)生在每個(gè)單位面積上的概率是相同的。2、求幾何概率：（1）首先分析事件所占的面積與總面積的關(guān)系；（2）然后計(jì)算出各部分的面積；（3）最后代入公式求出幾何概率。五、設(shè)計(jì)概率模型（游戲或事件）1、設(shè)計(jì)符合要求的簡單概率模型（游戲或事件）是對(duì)概率計(jì)算的逆向運(yùn)用。2、設(shè)計(jì)通常分四步：（1）首先分析設(shè)計(jì)應(yīng)符合什么條件；（2）其次確定選用什么圖形表示更合理；（3）然后再按一定要求和操作經(jīng)驗(yàn)來設(shè)計(jì)模型；（4）最后再通過計(jì)算或其他方法來驗(yàn)證設(shè)計(jì)的模型是否符合條件。（二）習(xí)題精練一、填空必然事件發(fā)生的概率是____________。即P(必然事件)=____________，不可能事件發(fā)生的概率是____________，即P（不可能事件）=____________，若A是不確定事件，則___________<P(A)<___________.從0至9這十個(gè)自然數(shù)中，任取一個(gè)，這個(gè)數(shù)小于5的概率是____________。在數(shù)學(xué)興趣小組中某一組有女生4名，男生2名，隨機(jī)指定一人為組長恰好是女生的概率是____________。盒子中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，除顏色外，其他相同，任意摸出一球是紅球的概率是____________。任意擲一枚均勻的骰子（六個(gè)面分別標(biāo)有1到6個(gè)點(diǎn)）朝上的面積的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率是____________。從一幅去掉“大、小王”的撲克牌中任意抽到一張，抽出黑桃的概率是________，出黑桃8的概率是___________。如圖9-1是可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，停止后，指針指向3的概率是____________。圖10-18、10-1所示，是個(gè)正方形飛標(biāo)游戲板，投擲一枚飛標(biāo)，P（擊中白色區(qū)域）=________，P（擊中黑色區(qū)域）=_______9任意擲一枚均勻的硬幣兩次，則兩次都是同面的概率是____________。10、從一個(gè)不透明的口袋中任意摸出一球是白球的概率為，已知袋中白球有3個(gè)，則袋中球的總數(shù)是__________。11、學(xué)站成一排，其中小明站在中間的概率是_____，站在兩端的概率是_____.12、男醫(yī)生和7名女醫(yī)生中選一人作為醫(yī)療小組的組長，是男醫(yī)生的概率是_____，是女醫(yī)生的概率是_____.13.某科學(xué)考察隊(duì)有3名老隊(duì)員，3名新隊(duì)員，考察某溶洞時(shí)，任選其中一人下去考察，是老隊(duì)員的概率是_____.14、小明和小亮各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人拿一張賀卡，則他們各自拿到對(duì)方送出的賀卡的概率是_____.15、將下列事件發(fā)生的概率標(biāo)在圖中：圖4－21（1）從高處拋出的物體必落到地面；（2）從裝有5個(gè)紅球的袋子中任取一個(gè)，取出的球是白球；（3）月亮繞著地球轉(zhuǎn)；（4）從裝有5個(gè)紅球、2個(gè)白球的口袋中任取一個(gè)球，恰好是紅球（這些球除顏色外完全相同）；（5）三名選手抽簽決定比賽順序（有三個(gè)簽，分別寫有1，2，3），抽到寫有1的簽.16、游戲的公平性是指雙方獲勝的概率。17、有一組卡片，制作的顏色，大小相同，分別標(biāo)有0—10這11個(gè)數(shù)字，現(xiàn)在將它們背面向上任意顛倒次序，然后放好后任取一組，則：（1）P（抽到兩位數(shù)）=；（2）P（抽到一位數(shù)）=；（3）P（抽到的數(shù)是2的倍數(shù)）=；（4）P（抽到的數(shù)大于10）=；二、選擇1、下列事件是不可能事件是（）A、明天會(huì)下雨B、小明數(shù)學(xué)成績是99分C、一個(gè)數(shù)與它的相反數(shù)的和是0D、明年一年共有367天2、一個(gè)事件的概率不可能是（）A、0B、C、1D、3、從1至9這些數(shù)字中任意取一個(gè)，取出的數(shù)字是偶數(shù)的概率是（）A、0B、1C、D、4、小剛擲一枚硬幣，一連9次都擲出正面朝上，當(dāng)他第十次擲硬幣時(shí)，出現(xiàn)正面朝上的概率是（）A、0B、1C、D、5、黑暗中小明從他的一大串鑰匙中，隨便選擇一把，用它開門，下列敘述正確的是()A.能開門的可能性大于不能開門的可能性B.不能開門的可能性大于能開門的可能性C.能開門的可能性與不能開門的可能性相等D.無法確定6、100個(gè)相同大小的球，用1至100個(gè)數(shù)編號(hào)，則摸出一個(gè)是5的倍數(shù)號(hào)的球的概率是（）A、B、C、D、以上都不對(duì)7、某商店舉辦有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)，辦法如下：凡購物滿100元者得獎(jiǎng)券一張，多購多得，每10000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)立特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)50個(gè)，二等獎(jiǎng)100個(gè)，那么買100元商品的中獎(jiǎng)概率是（