期末-數(shù)學(xué)第2章

1第二章條件概率與事件的獨(dú)立性2.1條件概率2.2全概率公式和Bayes公式2.3事件的獨(dú)立性2.4伯努利試驗(yàn)概型和二項(xiàng)概率2§2.1.條件概率

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω,A,B是事件,要考慮在A已經(jīng)發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,這就是條件概率問(wèn)題.例1.將一枚硬幣擲兩次,觀察其出現(xiàn)正反面的情況.設(shè)A—“至少有一次正面H”,B—“兩次擲出同一面”考慮：在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.3說(shuō)明條件概率定義公式不僅適用于古典概型.P(B|A)=P(AB|A)1.定義:設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且P(A)>0,稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.42.性質(zhì):條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件,即此外,條件概率具有無(wú)條件概率類似性質(zhì).例如：（2）規(guī)范性對(duì)必然事件Ω，有P(Ω|A)=1（1）對(duì)于每一個(gè)事件B，都有0≤

P(B|A)

≤15注當(dāng)A＝Ω時(shí),P(B｜Ω)=P(B),條件概率化為無(wú)條件概率,因此無(wú)條件概率可看成條件概率.計(jì)算條件概率有兩種方法:

1.公式法：6例:從0,1,…,9十張卡片中有放回的抽兩次,1)求第一次抽到偶數(shù)的概率;2)已知兩次取到的數(shù)之和為6,求第一次取到偶數(shù)的概率.解:有放回抽取，所以樣本空間總數(shù)為：1021)設(shè)A：{第一次抽到偶數(shù)}，則A中所包含的樣本點(diǎn)數(shù)為：5*10，所以P(A)=1/22)設(shè)B：{兩次取到的數(shù)之和為6},則P(B)=7/100P(AB)=4/100P(A|B)=4/772.縮減樣本空間法：

在A發(fā)生的前提下,確定B的縮減樣本空間,并在其中計(jì)算出B發(fā)生的概率,從而得到P(B|A).例2.在1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中,每次取一個(gè)數(shù),取后不放回,連取兩次,求在第1次取到偶數(shù)的條件下,第2次取到奇數(shù)的概率.例3.

3只一等品2只二等品任取一只,不放回再任取一只A—第一次取到的是一等品B—第二次取到的是一等品,求P(B|A).3/41/28(二)乘法定理:三個(gè)事件：

若P(AB)>0,則有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).

n個(gè)事件,(n≥2),P(A1A2...An-1)>0,則有乘法公式:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2)P(An|A1A2…An-1).推廣由條件概率定義可知，若P(A)>0,則有9例:據(jù)以往資料表明某三口之家患某種傳染病的概率有以下規(guī)律:P{孩子生病}=0.6,P{母親生病/孩子生病}=0.5,P{父親生病/母親及孩子生病}=0.4,求母親及孩子生病但父親未生病的概率.10練習(xí).一輛自行車,第一次被撞壞的概率是1/2;若第一次未撞壞,則第二次被撞壞的概率是7/10;若前兩次均未撞壞,則第三次被撞壞的概率是9/10.求被撞三次還未壞的概率.解：設(shè)A，B，C分別表示自行車“第一次被撞壞”，“第二次被撞壞”，“第三次被撞壞”，則P(A)=1/211§2.2全概率公式和貝葉斯公式1.樣本空間的劃分ΩB1B2B3...Bn(ii)B1∪

B2∪

…∪

Bn=Ω則稱

B1,

B2,

…,

Bn

為樣本空間Ω的一個(gè)劃分。(i)Bi

Bj

=Φ,i≠

j,i,j=1,2,…，n12注(1)若B1,B2,…,Bn是樣本空間Ω的一個(gè)劃分,則每次試驗(yàn)中,事件B1,B2,…,Bn中必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生.13例:某通信系統(tǒng)的發(fā)端以0.6和0.4的概率發(fā)出0和1,由于信道干擾,當(dāng)發(fā)出信號(hào)0時(shí),接收端以概率0.8和0.2收到信號(hào)0和1;而當(dāng)發(fā)出信號(hào)1時(shí),接收端以概率0.9和0.1收到信號(hào)1和0,求(1)收到信號(hào)1的概率;(2)當(dāng)收到信號(hào)1時(shí),發(fā)端確是發(fā)出1的概率.142.全概率公式:稱為全概率公式.證明

設(shè)

B1,

B2,

…,

Bn

為Ω的一個(gè)劃分，P(Bi)>0,(i=1,2,…，n),A為隨機(jī)試驗(yàn)E的事件，則153.貝葉斯公式:

設(shè)

B1,

B2,

…,

Bn

為Ω的一個(gè)劃分，且P(Bi)>0,(i=1,2,…，n),A為一個(gè)隨機(jī)事件且P(A)>0

，則16利用全概率公式和貝葉斯公式計(jì)算概率的關(guān)鍵是找出樣本空間的一個(gè)劃分,即完備事件組B1,…,Bn.說(shuō)明其要點(diǎn)為：(1)如果事件A伴隨著n個(gè)互不相容的事件B1,B2,...,Bn之一發(fā)生,求A的概率就可用全概率公式計(jì)算.(2)如果我們已知事件A發(fā)生了,求事件Bi(i=1,2,…,n)的概率,則用貝葉斯公式.即用貝葉斯公式所計(jì)算的是條件概率P(Bi|A),i=1,2,…,n.17例:某通信系統(tǒng)的發(fā)端以0.6和0.4的概率發(fā)出0和1,由于信道干擾,當(dāng)發(fā)出信號(hào)0時(shí),接收端以概率0.8和0.2收到信號(hào)0和1;而當(dāng)發(fā)出信號(hào)1時(shí),接收端以概率0.9和0.1收到信號(hào)1和0,求(1)收到信號(hào)1的概率;(2)當(dāng)收到信號(hào)1時(shí),發(fā)端確是發(fā)出1的概率.解

設(shè)事件分別表示發(fā)端發(fā)出的信號(hào)為0和1,事件A表示接端收到信號(hào)1,則為樣本空間的劃分18(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得01010.80.20.90.119例1:

在一盒中裝有12個(gè)球,其中有9個(gè)新球,第一次比賽從中任取3個(gè)使用,賽后仍放回盒中,第二次比賽時(shí),再?gòu)暮兄腥稳?個(gè)球,求(1)第二次取出的球都是新球的概率;(2)已知第二次取出的球都是新球,第一次僅取出2個(gè)新球的概率.解以Ai(i=0,1,2,3)表示事件“第一次比賽從盒中任取的3個(gè)球中有i個(gè)新球”,可知A0,

A1,A2,A3是樣本空間S的一個(gè)劃分,以B表示事件“第二次取出的球都是新球”.則2021(2)由貝葉斯公式得(1)由全概率公式得22第五次課復(fù)習(xí)條件概率及其乘法公式全概率公式Bayes公式23又因?yàn)楣仕蟮母艦?解:設(shè)A=“兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品”B=“兩件產(chǎn)品都不合格品”=“兩件產(chǎn)品都合格”練習(xí)

設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品,從中任取兩件產(chǎn)品,已知所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品,則另一件也是不合格品的概率為多少?24練習(xí):男性中有5%是弱視,女性中有0.25%是弱視.今從男女相等的人群中隨機(jī)的挑選一人,問(wèn)此人是弱視的概率.反問(wèn):已知此人是弱視,問(wèn)此人是男性的概率.25§2.3事件的獨(dú)立性設(shè)A,B是試驗(yàn)E的兩事件,當(dāng)P(A)>0,可以定義P(B|A).

一般地,P(B|A)≠P(B),但當(dāng)A的發(fā)生對(duì)B的發(fā)生的概率沒(méi)有影響時(shí),有P(B|A)=P(B),由乘法公式有

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).例:拋甲乙兩枚硬幣,觀察正反面的情況.A={甲出現(xiàn)正面};B={乙出現(xiàn)正面}.求:P(B|A);P(B).26定義2.3:設(shè)A,B是兩事件,如果滿足等式

P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B是相互獨(dú)立的事件.

由定義可知:1)不可能事件與任何事件都是相互獨(dú)立的.2)由對(duì)稱性,A,B相互獨(dú)立,必有B,A相互獨(dú)立.3）若P(A)>0,P(B)>0，則A,B相互獨(dú)立與A,B互不相容不能同時(shí)成立。27定義設(shè)A1,A2,…,An是任意的1≤i<j≤n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),則稱這n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立.定義2.5

如果對(duì)于任意的s(s≤n),任意的1≤k1<k2<…<ks≤n都有:

P(Ak1Ak2…Aks)=P(Ak1)P(Ak2)…P(Aks),則稱這n個(gè)事件相互獨(dú)立.28定理2.3:設(shè)A,B是兩事件,且P(A)>0,則A,B相互獨(dú)立的充要條件是:P(B|A)=P(B).說(shuō)明在實(shí)際問(wèn)題中,我們往往根據(jù)實(shí)際意義而非定義來(lái)判斷獨(dú)立性..

29例2.6.設(shè)有四張卡片，其中三張分別涂上紅色、白色和黃色，而余下的一張同時(shí)涂有紅、白、黃三色，今從中隨機(jī)抽取一張，記事件A={抽出的卡片有紅色}，B={抽出的卡片有白色}，C={抽出的卡片有黃色}，考察A，B，C的獨(dú)立性。例2.7.某廠有三臺(tái)機(jī)器，在一天內(nèi)機(jī)器不需維護(hù)的概率分別是：第1臺(tái)為0.9，第2臺(tái)為0.8，第3臺(tái)為0.85。求在一天內(nèi)三臺(tái)機(jī)器至少有一臺(tái)不需維護(hù)的概率。30例2.8.一個(gè)系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性，設(shè)系統(tǒng)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4。按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式連接，設(shè)第i個(gè)元件的可靠性為pi（i=1,2,3,4），試求此系統(tǒng)的可靠性。補(bǔ)充：設(shè)甲乙兩射手同時(shí)向一目標(biāo)射擊，兩人擊中目標(biāo)的概率分別為0.9和0.8，求在一次射擊中目標(biāo)被擊中的概率.31§2.4伯努利試驗(yàn)概型和二項(xiàng)概率定義:設(shè)實(shí)驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果A和,則稱E為伯努利實(shí)驗(yàn).將實(shí)驗(yàn)E獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次,這樣的實(shí)驗(yàn)稱為n重伯努利實(shí)驗(yàn).它具有如下三個(gè)特征(1)在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn);(2)每次試驗(yàn)結(jié)果有且僅有兩種情況：(3)每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的;

32定理2.5

設(shè)在一次伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則在n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率為因?yàn)锳發(fā)生k次的概率正好是二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，因此又稱為二項(xiàng)概率。33練習(xí)若有N件產(chǎn)品,其中有D件次品,現(xiàn)在從中任取n件,求其中恰有k(k≤D)件次品的概率.34第二章習(xí)題課一、主要內(nèi)容:條件概率全概率公式Bayes公式事件的獨(dú)立性

伯努利試驗(yàn)二項(xiàng)概率351.填空題：(2)設(shè)兩個(gè)事件A,B相互獨(dú)立,A,B都不發(fā)生的概率為1/9,A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的概率與B發(fā)生而A不發(fā)生的概率相等,則P(A)=______.2.計(jì)算題：

36(1)甲乙丙三人向飛機(jī)射擊,擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7.飛機(jī)被一人擊落的概率是0.2,被兩人擊落的概率是0.6,被三