數(shù)學(xué)分析華師大導(dǎo)數(shù)的概念課件

一、導(dǎo)數(shù)的概念一般認(rèn)為,求變速運(yùn)動的瞬時速度，求已知曲線別在研究瞬時速度和曲線的牛頓(1642－1727,英國)兩個關(guān)于導(dǎo)數(shù)的經(jīng)典例子.切線時發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的.下面是微分學(xué)產(chǎn)生的三個源頭.牛頓和萊布尼茨就是分上一點(diǎn)處的切線，求函數(shù)的最大、最小值，這是一、導(dǎo)數(shù)的概念一般認(rèn)為,求變速運(yùn)動的瞬時速度，求已知曲線11.

瞬時速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動,質(zhì)點(diǎn)的位置s是當(dāng)t越來越接近t0時，平均速度就越來越接近t0時間t的函數(shù),即其運(yùn)動規(guī)律是則在某(1)時刻的瞬時速度.嚴(yán)格地說,當(dāng)極限時刻t0及鄰近時刻t之間的平均速度是1.瞬時速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動,質(zhì)點(diǎn)的位置s22.

切線的斜率如圖所示,存在時,這個極限就是質(zhì)點(diǎn)在t0時刻的瞬時速度.其上一點(diǎn)

P(x0,y0)處的切線點(diǎn)擊上圖動畫演示點(diǎn)Q,作曲線的割線PQ，這PT.為此我們在P的鄰近取一需要尋找曲線y=f(x)

在條割線的斜率為2.切線的斜率如圖所示,存在時,這個極限就是質(zhì)3答:它就是曲線在點(diǎn)

P的切線

PT的斜率.的極限若存在，則這個極限會是什么呢？設(shè)想一下,當(dāng)動點(diǎn)

Q沿此曲線無限接近點(diǎn)

P時，(2)答:它就是曲線在點(diǎn)P的切線PT的斜率.的極限若存在4上面兩個問題雖然出發(fā)點(diǎn)相異，但都可歸結(jié)為同x0

處關(guān)于x的瞬時變化率(或簡稱變化率).均變化率，增量比的極限(如果存在)稱為f在點(diǎn)的極限.這個增量比稱為函數(shù)f關(guān)于自變量的平Dy=f(x)–f(x0)與自變量增量

Dx=

x–xo

之比一類型的數(shù)學(xué)問題：求函數(shù)f在點(diǎn)x0處的增量上面兩個問題雖然出發(fā)點(diǎn)相異，但都可歸結(jié)為同x0處關(guān)于x5定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果極限存在,則稱函數(shù)

f在點(diǎn)

x0

可導(dǎo),

該極限稱為

f在如果令

Dx=

x–

x0,Dy=f(x0

+Dx)–f(x0),導(dǎo)數(shù)就x0

的導(dǎo)數(shù)，記作可以寫成定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰6二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:7這說明導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量

Dy與自變量增量

Dx之比的極限,即

就是

f(x)關(guān)于

x在

x0處的變化點(diǎn)x0不可導(dǎo).率.如果(3)或(4)式的極限不存在,則稱在這說明導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量Dy與自變量增量Dx之比的極限8在點(diǎn)的某個右鄰域內(nèi)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)若極限則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)定義2

.設(shè)函數(shù)有定義,存在,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束在點(diǎn)的某個右鄰域內(nèi)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)若極限則稱此9定理2.函數(shù)在點(diǎn)且存在簡寫為可導(dǎo)的充分必要條件是機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3證明函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo).證因?yàn)闀r它的極限不存在,所以

f(x)

在x=0當(dāng)處不可導(dǎo).定理2.函數(shù)在點(diǎn)且存在簡寫為可導(dǎo)的充分必要條件是機(jī)動10例4

證明函數(shù)在x=0處不可導(dǎo).不存在極限,所以

f在

x=0處不可導(dǎo).證因?yàn)楫?dāng)時,例4證明函數(shù)在x=0處不可導(dǎo).不存在極限,所以11數(shù)學(xué)分析華師大導(dǎo)數(shù)的概念課件12四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點(diǎn)x

處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù).注意:函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在x=0處連續(xù),

但不可導(dǎo).即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點(diǎn)x處13定理5.1

如果函數(shù)

f在點(diǎn)

x0可導(dǎo),則

f在點(diǎn)

x0連續(xù).值得注意的是函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)僅是函數(shù)在該點(diǎn)可其中

D(x)是熟知的狄利克雷函數(shù).例5證明函數(shù)

僅在

x=0處可導(dǎo),

處連續(xù)，卻不可導(dǎo).導(dǎo)的必要條件.如例3、例4中的函數(shù)均在x=0定理5.1如果函數(shù)f在點(diǎn)x0可導(dǎo),則f14不連續(xù),由定理5.1,f(x)在點(diǎn)

x0不可導(dǎo).由于導(dǎo)數(shù)是一種極限,因此如同左、右極限那樣,所以有當(dāng)

x0=0時,因?yàn)樽C當(dāng)時,用歸結(jié)原理容易證明

f(x)在點(diǎn)

x0可以定義左、右導(dǎo)數(shù)(單側(cè)導(dǎo)數(shù)).不連續(xù),由定理5.1,f(x)在點(diǎn)x0不可導(dǎo)15二、導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)f在區(qū)間I上的每一點(diǎn)都可導(dǎo)(對于區(qū)間(7)即導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù),記作定義了一個在區(qū)間I上的函數(shù)，稱為f在I上的則稱f為區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù).此時,對I上的任端點(diǎn)考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù),如左端點(diǎn)考慮右導(dǎo)數(shù)),僅為一個記號，學(xué)了微分之后就會知注

這里意一點(diǎn)x都有f的一個導(dǎo)數(shù)與之對應(yīng),這就二、導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)f在區(qū)間I上的每一點(diǎn)都可導(dǎo)(對于16三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)的切線斜率為若曲線過上升;若曲線過下降;若切線與x軸平行,稱為駐點(diǎn);若切線與x軸垂直.曲線在點(diǎn)處的切線方程:法線方程:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)的切線斜率為若曲線過上升;若曲線17例1.求函數(shù)(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解:即例2.求函數(shù)解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求函數(shù)(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解:即例2.求函數(shù)18說明：對一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，（以后將證明）機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明：對一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，（以后將證明19例3.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即類似可證得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即類似可證得機(jī)動目錄20因此特別有因此特別有21數(shù)學(xué)分析華師大導(dǎo)數(shù)的概念課件22一、導(dǎo)數(shù)的概念一般認(rèn)為,求變速運(yùn)動的瞬時速度，求已知曲線別在研究瞬時速度和曲線的牛頓(1642－1727,英國)兩個關(guān)于導(dǎo)數(shù)的經(jīng)典例子.切線時發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的.下面是微分學(xué)產(chǎn)生的三個源頭.牛頓和萊布尼茨就是分上一點(diǎn)處的切線，求函數(shù)的最大、最小值，這是一、導(dǎo)數(shù)的概念一般認(rèn)為,求變速運(yùn)動的瞬時速度，求已知曲線231.

瞬時速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動,質(zhì)點(diǎn)的位置s是當(dāng)t越來越接近t0時，平均速度就越來越接近t0時間t的函數(shù),即其運(yùn)動規(guī)律是則在某(1)時刻的瞬時速度.嚴(yán)格地說,當(dāng)極限時刻t0及鄰近時刻t之間的平均速度是1.瞬時速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動,質(zhì)點(diǎn)的位置s242.

切線的斜率如圖所示,存在時,這個極限就是質(zhì)點(diǎn)在t0時刻的瞬時速度.其上一點(diǎn)

P(x0,y0)處的切線點(diǎn)擊上圖動畫演示點(diǎn)Q,作曲線的割線PQ，這PT.為此我們在P的鄰近取一需要尋找曲線y=f(x)

在條割線的斜率為2.切線的斜率如圖所示,存在時,這個極限就是質(zhì)25答:它就是曲線在點(diǎn)

P的切線

PT的斜率.的極限若存在，則這個極限會是什么呢？設(shè)想一下,當(dāng)動點(diǎn)

Q沿此曲線無限接近點(diǎn)

P時，(2)答:它就是曲線在點(diǎn)P的切線PT的斜率.的極限若存在26上面兩個問題雖然出發(fā)點(diǎn)相異，但都可歸結(jié)為同x0

處關(guān)于x的瞬時變化率(或簡稱變化率).均變化率，增量比的極限(如果存在)稱為f在點(diǎn)的極限.這個增量比稱為函數(shù)f關(guān)于自變量的平Dy=f(x)–f(x0)與自變量增量

Dx=

x–xo

之比一類型的數(shù)學(xué)問題：求函數(shù)f在點(diǎn)x0處的增量上面兩個問題雖然出發(fā)點(diǎn)相異，但都可歸結(jié)為同x0處關(guān)于x27定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果極限存在,則稱函數(shù)

f在點(diǎn)

x0

可導(dǎo),

該極限稱為

f在如果令

Dx=

x–

x0,Dy=f(x0

+Dx)–f(x0),導(dǎo)數(shù)就x0

的導(dǎo)數(shù)，記作可以寫成定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰28二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:29這說明導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量

Dy與自變量增量

Dx之比的極限,即

就是

f(x)關(guān)于

x在

x0處的變化點(diǎn)x0不可導(dǎo).率.如果(3)或(4)式的極限不存在,則稱在這說明導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量Dy與自變量增量Dx之比的極限30在點(diǎn)的某個右鄰域內(nèi)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)若極限則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)定義2

.設(shè)函數(shù)有定義,存在,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束在點(diǎn)的某個右鄰域內(nèi)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)若極限則稱此31定理2.函數(shù)在點(diǎn)且存在簡寫為可導(dǎo)的充分必要條件是機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3證明函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo).證因?yàn)闀r它的極限不存在,所以

f(x)

在x=0當(dāng)處不可導(dǎo).定理2.函數(shù)在點(diǎn)且存在簡寫為可導(dǎo)的充分必要條件是機(jī)動32例4

證明函數(shù)在x=0處不可導(dǎo).不存在極限,所以

f在

x=0處不可導(dǎo).證因?yàn)楫?dāng)時,例4證明函數(shù)在x=0處不可導(dǎo).不存在極限,所以33數(shù)學(xué)分析華師大導(dǎo)數(shù)的概念課件34四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點(diǎn)x

處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù).注意:函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在x=0處連續(xù),

但不可導(dǎo).即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點(diǎn)x處35定理5.1

如果函數(shù)

f在點(diǎn)

x0可導(dǎo),則

f在點(diǎn)

x0連續(xù).值得注意的是函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)僅是函數(shù)在該點(diǎn)可其中

D(x)是熟知的狄利克雷函數(shù).例5證明函數(shù)

僅在

x=0處可導(dǎo),

處連續(xù)，卻不可導(dǎo).導(dǎo)的必要條件.如例3、例4中的函數(shù)均在x=0定理5.1如果函數(shù)f在點(diǎn)x0可導(dǎo),則f36不連續(xù),由定理5.1,f(x)在點(diǎn)

x0不可導(dǎo).由于導(dǎo)數(shù)是一種極限,因此如同左、右極限那樣,所以有當(dāng)

x0=0時,因?yàn)樽C當(dāng)時,用歸結(jié)原理容易證明

f(x)在點(diǎn)

x0可以定義左、右導(dǎo)數(shù)(單側(cè)導(dǎo)數(shù)).不連續(xù),由定理5.1,f(x)在點(diǎn)x0不可導(dǎo)37二、導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)f在區(qū)間I上的每一點(diǎn)都可導(dǎo)(對于區(qū)間(7)即導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù),記作定義了一個在區(qū)間I上的函數(shù)，稱為