數(shù)值分析習(xí)題集及答案Word版

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數(shù)值分析習(xí)題集

（適合課程《數(shù)值方法A》和《數(shù)值方法B》）

長沙理工大學(xué)

第一章緒論

1.設(shè)x>0,x的相對誤差為δ,求lnx的誤差.

2.設(shè)x的相對誤差為2％,求n

x的相對誤差.

3.下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù),即誤差限不超過最后一位的半個單位,試指

出它們是幾位有效數(shù)字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,71.0.xxxxx=====?

4.利用公式(3.3)求下列各近似值的誤差限:

********12412324(),(),()/,ixxxiixxxiiixx++其中****

1234

,,,xxxx均為第3題所給的數(shù).

5.計算球體積要使相對誤差限為1％,問度量半徑R時允許的相對誤差限是多少?

6.設(shè)028,Y=按遞推公式

1nnYY-=…)

計算到100Y.27.982(五位有效數(shù)字),試問計算100Y將有多大誤差?

7.求方程2

5610xx-+=的兩個根,使它至少具有四位有效數(shù)字27.982).

8.當(dāng)N充分大時,怎樣求2

1

1Ndxx+∞+??

9.正方形的邊長大約為100㎝,應(yīng)怎樣測量才能使其面積誤差不超過1㎝2

?10.設(shè)

212Sgt=

假定g是準(zhǔn)確的,而對t的測量有±0.1秒的誤差,證明當(dāng)t增加時S的絕對

誤差增加,而相對誤差卻減小.

11.序列

{}ny滿足遞推關(guān)系1101nnyy-=-(n=1,2,…),若01.41y=≈(三位有效數(shù)字),

計算到

10y時誤差有多大?這個計算過程穩(wěn)定嗎?

12.計算6

1)f=,1.4≈,利用下列等式計算,哪一個得到的結(jié)果最好?

3

--

13.()ln(fxx=,求f(30)的值.若開平方用六位函數(shù)表,問求對數(shù)時誤差有多大?

若改用另一等價公式

ln(ln(xx=-

計算,求對數(shù)時誤差有多大?

14.試用消元法解方程組

{

101012121010;2.

xxxx+=+=假定只用三位數(shù)計算,問結(jié)果是否可靠?

15.已知三角形面積1sin,2sabc=

其中c為弧度,02cπ<<,且測量a,b,c的誤差分別為

,,.abc???證明面積的誤差s?滿足

.sabc

sabc????≤++

第二章插值法

1.根據(jù)(

2.2)定義的范德蒙行列式,令

2000

01121112

1

()(,,

,,)1

1

nnnnnnnnnxxxVxVxxxxxxxx

xx==

證明()nVx是n次多項式,它的根是01,,nxx-,且101101()(,,

,)()

()nnnnVxVxxxxxxx=--.

2.當(dāng)x=1,-1,2時,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多項式.

3.

4.給出cosx,0°≤x≤90°的函數(shù)表,步長h=1′=(1/60)°,若函數(shù)表具有5位有效數(shù)

字,研究用線性插值求cosx近似值時的總誤差界.5.設(shè)0kxxkh=+,k=0,1,2,3,求032max()xxxlx≤≤.

6.設(shè)

j

x為互異節(jié)點(j=0,1,…,n),求證:

i)0()(0,1,,);

n

kk

jjjxlxx

kn=≡=∑

ii)

()()1,2,

,).

n

kj

jjx

xlxkn=-≡0(=∑

7.設(shè)[]2

(),fxCab∈且()()0fafb==,求證21

()()().

8maxmaxaxb

ax

bfxbafx≤≤≤≤≤-"

8.在44x-≤≤上給出()xfxe=的等距節(jié)點函數(shù)表,若用二次插值求x

e的近似值,要使截

斷誤差不超過6

10-,問使用函數(shù)表的步長h應(yīng)取多少?

9.若2n

ny=,求4ny?及4nyδ.

10.如果()fx是m次多項式,記()()()fxfxhfx?=+-,證明()fx的k階差分

()(0)kfxkm?≤≤是mk-次多項式

,并且()0(ml

fxl+?

=為正整數(shù)).

11.證明1()kkkkkkfgfggf+?=?+?.12.證明1

1

0010

.

nnk

k

nnkkkkfg

fgfggf--+==?=--?∑∑

13.證明

1

2

00

.

njnjyyy-=?

=?-?∑

14.若1011()nnnnfxaaxaxax--=++++有n個不同實根12,,,nxxx,證明

{

10,02;

,1.

1

()

nkn

j

knaknjj

xfx-≤≤-=-==

'∑

15.證明n階均差有下列性質(zhì):i)

若()()Fxcfx=,則

[][]0101,,,,,

,nnFxxxcfxxx=;

ii)若()()()Fxfxgx=+,則[][][]01

0101,,,,,

,,,

,nnnFxxxfxxxgxxx=+.

16.74()31fxxxx=+++,求

0172,2,,2f????

及

0182,2,,2f????

.

17.證明兩點三次埃爾米特插值余項是

(4)22311()()()()/4!,(,)kkkkRxfxxxxxx++=ξ--ξ∈

并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限.

18.求一個次數(shù)不高于4次的多項式()Px,使它滿足(0)(1)PPk=-+并由此求出分段三次

埃爾米特插值的誤差限.19.試求出一個最高次數(shù)不高于4次的函數(shù)多項式()Px,以便使它能夠滿足以下邊界條件

(0)(0)0PP='=,(1)(1)1PP='=,(2)1P=.

20.設(shè)

[](),fxCab∈,把[],ab分為n等分,試構(gòu)造一個臺階形的零次分段插值函數(shù)()

nx?并證明當(dāng)n→∞時,()nx?在[

],ab上一致收斂到()fx.

21.設(shè)

2

()1/(1)fxx=+,在55x-≤≤上取10n=,按等距節(jié)點求分段線性插值函數(shù)()hIx,計算各節(jié)點間中點處的()hIx與()fx的值,并估計誤差.22.求2

()fxx=在[

],ab上的分段線性插值函數(shù)()hIx,并估計誤差.23.求4

()fxx=在[

],ab上的分段埃爾米特插值,并估計誤差.

試求三次樣條插值并滿足條件i)(0.25)1.0000,(0.53)0.6868;SS'='=ii)

(0.25)(0.53)0.SS"="=

25.若

[]2

(),fxCab∈,()Sx是三次樣條函數(shù),證明

[][][][]2

2

2

()()()()2()()()b

b

b

b

a

a

a

a

fxdxSxdxfxSxdxSxfxSxdx

"-"="-"+""-"?

??

?;

i)

若()()(0,1,

,)iifxSxin==,式中ix為插值節(jié)點,且01naxxxb=<<<=,則

[][][]

()()()()()()()()()b

a

SxfxSxdxSbfbSbSafaSa""-"="'-'-"'-'?

.

26.編出計算三次樣條函數(shù)()Sx系數(shù)及其在插值節(jié)點中點的值的程序框圖(()Sx可用(8.7)

式的表達式).

第三章函數(shù)逼近與計算

1.(a)利用區(qū)間變換推出區(qū)間為[

],ab的伯恩斯坦多項式.

(b)對()sinfxx=在[

]0,/2

π上求1次和三次伯恩斯坦多項式并畫出圖形,并與相應(yīng)的馬克勞林級數(shù)部分和誤差做比較.2.求證:

(a)當(dāng)()mfxM≤≤時,(,)nmBfxM≤≤.(b)當(dāng)()fxx=時,(,)nBfxx=.

3.在次數(shù)不超過6的多項式中,求()sin4fxx=在[

]0,2π的最佳一致逼近多項式.

4.假設(shè)()fx在[

],ab上連續(xù),求()fx的零次最佳一致逼近多項式.

5.選取常數(shù)a,使301

maxxxax

≤≤-達到極小,又問這個解是否唯一?

6.求()sinfxx=在[

]0,/2π上的最佳一次逼近多項式,并估計誤差.

7.求()x

fxe=在[]0,1上的最佳一次逼近多項式.

8.如何選取r,使

2()pxxr=+在[]1,1-上與零偏差最小?r是否唯一?9.設(shè)4

3

()31fxxx=+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多項式.

10.令[]()(21),0,1nnTxTxx=-∈,求

***

0123(),(),(),()TxTxTxTx.

11.試證

{}*

()n

Tx是在[]0,1上帶權(quán)

ρ=

的正交多項式.

12.在[]1,1-上利用插值極小化求1

1

()fxtgx-=的三次近似最佳逼近多項式.13.設(shè)()x

fxe=在[

]1,1-上的插值極小化近似最佳逼近多項式為()nLx,若nfL∞-有界,

證明對任何1n≥,存在常數(shù)nα、nβ,使

11()()()()(11).nnnnnTxfxLxTxx++α≤-≤β-≤≤

14.設(shè)在[]1,1-上2345

11315165()128243843840xxxxxx?=,試將()x?降低到3次

多項式并估計誤差.15.在[

]1,1-上利用冪級數(shù)項數(shù)求()sinfxx=的3次逼近多項式,使誤差不超過0.005.

16.()fx是[

],aa-上的連續(xù)奇(偶)函數(shù),證明不管n是奇數(shù)或偶數(shù),()fx的最佳逼近多項

式

*()

nn

FxH

也是奇(偶)函數(shù).

求a、

b使[]2

2

sinaxbxdxπ

+-?為最小.并與1題及6題的一次逼近多項式誤差作比較.17.()fx、

[]1

(),gxCab∈,定義()(,)()();()(,)()()()();

bb

a

a

afgfxgxdx

bfgfxgxdxfaga=''=''+??

問它們是否構(gòu)成內(nèi)積?

18.用許瓦茲不等式(4.5)估計6

1

01xdxx+?的上界,并用積分中值定理估計同一積分的上下界,

并比較其結(jié)果.

19.選擇a,使下列積分取得最小值:1

1

2221

1

(),xaxdxxaxdx

?

?.

20.設(shè)空間

{}{}

10010121,,,spanxspanxx1?=?=,分別在1?、2?上求出一個元素,使得其

為

[]2

0,1xC∈的最佳平方逼近,并比較其結(jié)果.21.()fxx=在[]1,1-上,求在{}2411,,spanxx?=上的最佳平方逼近.

22.

sin(1)arccos()nnxux+=

是第二類切比雪夫多項式,證明它有遞推關(guān)系

()()()112nnnuxxuxux+-=-.

23.將

1

()sin2fxx

=在[]1,1-上按勒讓德多項式及切比雪夫多項式展開,求三次最佳平方逼近多項式并畫出誤差圖形,再計算均方誤差.

24.把()arccosfxx=在[

]1,1-上展成切比雪夫級數(shù).

25.

2

yabx=+.

26.

用最小二乘擬合求.

28.編出用正交多項式做最小二乘擬合的程序框圖.29.編出改進FFT算法的程序框圖.30.現(xiàn)給出一張記錄{

}{}4,3,2,1,0,1,2,3kx=,試用改進FFT算法求出序列{}kx的離散頻譜

{}kC(0,1,

,7).k=

第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分

1.確定下列求積公式中的待定參數(shù),使其代數(shù)精度盡量高,并指明所構(gòu)造出的求積公式所

具有的代數(shù)精度:

(1)101()()(0)()

hhfxdxAfhAfAfh--≈-++?

;(2)21012()()(0)()

h

h

fxdxAfhAfAfh--≈-++?;

(3)[]1

121()(1)2()3()/3

fxdxffxfx-≈-++?

;

(4)[][]

20

()(0)()/1(0)()h

fxdxhffhahffh≈++'-'?

.

2.分別用梯形公式和辛普森公式計算下列積分:

(1)1

20,84x

dxnx=+?;(2)12

10(1),10xedxnx--=?;

(3)1

,4

n=?

;(4),6

n=.

3.直接驗證柯特斯公式(2.4)具有5次代數(shù)精度.

4.用辛普森公式求積分10x

e

dx

-?

并計算誤差.

5.推導(dǎo)下列三種矩形求積公式:

(1)2()

()()()()2b

affxdx

bafaba'η=-+

-?;(2)2

()

()()()()2b

affxdx

bafbba'η=?;

(3)

3

()

()()()()224b

a

abffxdxbafba+"η=-+-?

.6.證明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)當(dāng)n→∞時收斂到積分()b

a

fxdx

?

.

7.用復(fù)化梯形公式求積分()b

a

fxdx

?

,問要將積分區(qū)間[],ab分成多少等分,才能保證誤差

不超過ε(設(shè)不計舍入誤差)?

8.

1

x

e

dx

-,要求誤差不超過5

10-.

9.衛(wèi)星軌道是一個橢圓,

橢圓周長的計算公式是Sa=θ

,這里a是橢

圓的半長軸,c是地球中心與軌道中心(橢圓中心)的距離,記h為近地點距離,H為遠(yuǎn)地點距離,6371R=公里為地球半徑,則(2)/2,()/2aRHhcHh=++=-.我國第一顆人造衛(wèi)星近地點距離439h=公里,遠(yuǎn)地點距離2384H=公里,試求衛(wèi)星軌道的周長.10.證明等式

3

5

2

4

sin

3!5!nnn

n

π

πππ=-

+

-

試依據(jù)sin(/)(3,6,12)nnnπ=的值,用外推

算法求π的近似值.

11.用下列方法計算積分

3

1