【高三數(shù)學(xué)】易錯(cuò)題解析

高三數(shù)學(xué)-易錯(cuò)題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）若集合，，，，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求出集合，，進(jìn)而可以判斷集合，的關(guān)系．【解答】解：由已知可得當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以，則，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了集合間的包含關(guān)系，涉及到指數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）已知，則“”是“，”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】“，”，或，，解得范圍即可判斷出結(jié)論．【解答】解：“，”，或，，解得．“”是“，”的充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了簡易邏輯的判定方法、不等式的解法、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“二百五十四里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，七朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走254里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了7天后到達(dá)目的地，請問第四天走了A．64里 B．32里 C．16里 D．8里【分析】設(shè)此人每天走的路程構(gòu)成數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，由題設(shè)條件求得首項(xiàng)，即可求得結(jié)果．【解答】解：設(shè)此人每天走的路程構(gòu)成數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，由題設(shè)知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，，解得：，，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）設(shè)，則A． B． C． D．【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：，，，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．5．（5分）國防部新聞發(fā)言人在2020年9月24日舉行的例行記者會上指出：“臺灣是中國不可分割的一部分，解放軍在臺海地區(qū)組織實(shí)兵演練，展現(xiàn)的是捍衛(wèi)國家主權(quán)和領(lǐng)土完整的決心和能力”，如圖為我空軍戰(zhàn)機(jī)在海面上空繞臺巡航．已知海面上的大氣壓強(qiáng)是，大氣壓強(qiáng)（單位：和高度（單位：之間的關(guān)系為是自然對數(shù)的底數(shù)，是常數(shù)），根據(jù)實(shí)驗(yàn)知高空處的大氣壓強(qiáng)是，則我軍戰(zhàn)機(jī)在高空處的大氣壓強(qiáng)約是（結(jié)果保留整數(shù)）A． B． C． D．【分析】由題意知，，求出的值，再代入中，求得的值，即可．【解答】解：高空處的大氣壓強(qiáng)是，，即，當(dāng)時(shí)，有．故選：．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握指數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）如圖，在平行四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，已知，，則A． B． C． D．【分析】可設(shè)，然后可得出，然后即可得出，，從而根據(jù)即可求出的值．【解答】解：設(shè)，則，兩式相加、相減得：，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘和數(shù)量積的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．7．（5分）朱載堉是明太祖朱元璋的九世孫，雖然貴為藩王世子，卻自幼儉樸敦本，聰穎好學(xué)，遂成為明代著名的律學(xué)家，歷學(xué)家、音樂家．朱載堉對文藝的最大貢獻(xiàn)是他創(chuàng)建下十二平均律，亦稱“十二等程律”．十二平均律是將八度的音程按頻率比例分成十二等份，也就是說，半單比例應(yīng)該是，如果12音階中第一個(gè)音的頻率是，那么第二個(gè)音的頻率就是，第三個(gè)單的頻率就是，第四個(gè)音的頻率是，，第十二個(gè)音的頻率是，第十三個(gè)音的頻率是，就是．在該問題中，從第二個(gè)音到第十三個(gè)音，這十二個(gè)音的頻率之和為A． B． C． D．【分析】分析題意，利用等比數(shù)列的求和公式即可計(jì)算得解．【解答】解：由題意知，第二個(gè)音到第十三個(gè)音的頻率分別為，顯然以上12個(gè)數(shù)構(gòu)成了以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故其和為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查學(xué)生合情推理的能力，考查了等比數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）如圖，在四面體中，，，，的重心為，則A．2 B． C． D．3【分析】畫出圖形，連接交于，連接，則為邊的中線，的重心為靠近的三等分點(diǎn)．把長方體的對角面單獨(dú)畫出，如圖，記為和的交點(diǎn)．通過三角形的相似，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：如圖，將四面體還原到長方體中，易知四面體的棱是長方體的面對角線，則，連接交于，連接，則為邊的中線，的重心為靠近的三等分點(diǎn)．把長方體的對角面單獨(dú)畫出，如圖，記為和的交點(diǎn)．因?yàn)?，且，所以為靠近的三等分點(diǎn)，即重心與點(diǎn)重合，故．故選：．【點(diǎn)評】本題考查空間幾何體的相關(guān)知識的應(yīng)用，點(diǎn)線面距離的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．二、選擇題：共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多選符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分．9．（5分）已知為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是A．復(fù)數(shù)的虛部為 B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù) C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 D．復(fù)數(shù)滿足，則【分析】．利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其虛部的定義即可得出；．利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出；．利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出；．設(shè)，，，不全為，根據(jù)滿足，化簡即可得出結(jié)論．【解答】解：．復(fù)數(shù)的虛部為，因此正確；．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，正確；．復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)，位于第四象限，因此不正確；．設(shè)，，，不全為，滿足，則，，即，，因此正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義、共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)、幾何性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則下列說法正確的是A．中的最大項(xiàng)為 B．?dāng)?shù)列的公差 C． D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，【分析】由，可得，，，可得，，再利用求和公式及其性質(zhì)即可判斷出結(jié)論．【解答】解：，，，，，，，，因此中的最大項(xiàng)為，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．11．（5分）已知雙曲線，若圓與雙曲線的漸近線相切，則A．雙曲線的實(shí)軸長為6 B．雙曲線的離心率 C．點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)到的兩條漸近線的距離分別為，，則 D．直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，若為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則【分析】由題意知的漸近線方程為，由點(diǎn)到直線的距離可得圓心到漸近線的距離為半徑，，解得，進(jìn)而可得雙曲線實(shí)軸長為，即可判斷是否正確；由，解得，計(jì)算離心率，即可判斷是否正確；設(shè)，，由點(diǎn)到直線的距離可得點(diǎn)到漸近線的距離，，再計(jì)算，即可判斷是否正確；設(shè)，，，，可得，，兩式相減，得，即，進(jìn)而可判斷是否正確．【解答】解：由題意知的漸近線方程為，所以，解得，所以雙曲線實(shí)軸長為，故錯(cuò)誤，所以半焦距，所以，故正確，設(shè)，，所以，，所以，故正確，對于選項(xiàng)：設(shè)，，，，所以，，兩式相減，得，所以，，所以，所以，所以，所以，所以．故正確，故選：．【點(diǎn)評】本題考查直線與雙曲線的相交問題，解題中需要一定的運(yùn)算能力，屬于中檔題．12．（5分）已知雙曲線滿足條件：（1）焦點(diǎn)為，；（2）離心率為，求得雙曲線的方程為，若去掉條件（2），另加一個(gè)條件求得雙曲線的方程仍為，則下列四個(gè)條件中，符合添加的條件可以為A．雙曲線上的任意點(diǎn)都滿足 B．雙曲線的虛軸長為4 C．雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合 D．雙曲線的漸近線方程為【分析】分別運(yùn)用雙曲線的定義、虛軸的定義和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和雙曲線的漸近線方程，結(jié)合離心率公式，計(jì)算可判斷符合題意的條件．【解答】解：對于，因?yàn)?，所以，又焦點(diǎn)為，，可得，所以離心率，故符合條件；對于，雙曲線的虛軸長為4，所以，，則離心率，故不符合條件；對于，雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，可得，，故不符合條件；對于，因?yàn)闈u近線的方程為，可得，又，，解得，則離心率，故符合條件．故選：．【點(diǎn)評】本題考查命題的真假判斷，主要是雙曲線的方程和性質(zhì)的合理運(yùn)用，考查運(yùn)算能力和推理能力，是中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）談祥柏先生是我國著名的數(shù)學(xué)科普作家，他寫的《數(shù)學(xué)百草園》《好玩的數(shù)學(xué)》《故事中的數(shù)學(xué)》等書，題材廣泛、妙趣橫生，深受廣大讀者喜愛．下面我們一起來看《好玩的數(shù)學(xué)》中談老的一篇文章《五分鐘內(nèi)挑出埃及分?jǐn)?shù)》：文章首先告訴我們，古埃及人喜歡使用分子為1的分?jǐn)?shù)（稱為埃及分?jǐn)?shù)）．如用兩個(gè)埃及分?jǐn)?shù)與的和表示等．從這100個(gè)埃及分?jǐn)?shù)中挑出不同的3個(gè)，使得它們的和為1，這三個(gè)分?jǐn)?shù)是．（按照從大到小的順序排列）【分析】由即可求出答案．【解答】解：，這三個(gè)分?jǐn)?shù)是：，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了簡單的合情推理，是基礎(chǔ)題．14．（5分）已知在，上單調(diào)遞增，．若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【分析】由：先求出的導(dǎo)數(shù)，由題意可得恒成立，求出的范圍，再根據(jù)是的充分不必要條件即可求出的取值范圍．【解答】解：在，上單調(diào)遞增，在，恒成立，即在，恒成立，，，若是的充分不必要條件，，故的取值范圍為，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．15．（5分）經(jīng)緯度是經(jīng)度與緯度的合稱，它們組成一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)，稱為地理坐標(biāo)系統(tǒng)，它是一種利用三度空間的球面來定義地球上的空間的球面坐標(biāo)系統(tǒng)，能夠標(biāo)示地球上的任何一個(gè)位置，經(jīng)度是個(gè)二面角，是兩個(gè)經(jīng)線平面（經(jīng)線與地軸所成的半平面）的夾角，某一點(diǎn)的經(jīng)度，就是該點(diǎn)所在的經(jīng)線平面與本初子午線平面間的夾角．緯度是個(gè)線面角，某一點(diǎn)的緯度是指該點(diǎn)與地球球心的連線和地球赤道面所成的線面角．城市位置東經(jīng)，北緯，城市位置為東經(jīng)，北緯，若地球的半徑為，則過，兩點(diǎn)和地心的平面截球所得的截面圓的劣弧的長是．【分析】由題意可求劣弧所對的圓心角的值，進(jìn)而根據(jù)弧長公式即可求解．【解答】解：設(shè)球心為，由題意和劣弧所對的圓心角，即，所以過，兩點(diǎn)和地心的平面截球所得的截面圓的劣弧的長．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了弧長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）已知直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，，線段的中點(diǎn)為，則△的面積為．【分析】先設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法和的中點(diǎn)以及直線的斜率即可求出的值，進(jìn)而可以求出的值，從而可以求解．【解答】解：設(shè)，，，，則，兩式相減得：，因?yàn)橹本€的斜率為，線段的中點(diǎn)為，所以，得，因?yàn)椋?，故△的面積為，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的方程以及點(diǎn)差法的應(yīng)用，涉及到中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，證明：．【分析】（1）先根據(jù)已知條件計(jì)算出的值，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減進(jìn)一步計(jì)算即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果判斷出數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即可計(jì)算出的表達(dá)式，進(jìn)一步計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法計(jì)算出前項(xiàng)和的表達(dá)式，再根據(jù)不等式的運(yùn)算即可證明結(jié)論成立．【解答】（1）解：依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由①，可得②，①②，可得，即，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，，．（2）證明：由（1）知，，故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，，則，，不等式成立．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和與不等式的綜合．考查了整體思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，不等式的運(yùn)算，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．18．（12分）如圖，在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．已知，，是邊上的一點(diǎn)，，若____，求的面積．【分析】若選擇①，由題意利用三角形內(nèi)角和定理可得，，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得的值，利用兩角差的正弦公式可求，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式可求的面積；若選擇②，由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式，結(jié)合，可得的值，結(jié)合，可求，利用三角形內(nèi)角和定理可求，由正弦定理可得，由正弦定理解得，利用兩角差的正弦公式可求，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式可求的面積；若選擇③，利用正弦定理，余弦定理化簡已知等式，結(jié)合，可得，由正弦定理可得，的值，利用兩角差的正弦公式可求，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式可求的面積．【解答】解：若選擇①，由于，則在中，，，由正弦定理：，得．在中，由正弦定理：，即，解得，可得，所以．若選擇②，由于，則，化簡得：，因?yàn)椋?，故，又，故，所以．由正弦定理：，得．在中，由正弦定理：，即，解得，可得，所以．若選擇③，由于，則有，即，可得，由于，故．由正弦定理：，得．在中，由正弦定理：，即，解得，可得，所以．【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19．（12分）“十三五”規(guī)劃確定了到2020年消除貧困的宏偉目標(biāo)，打響了精準(zhǔn)扶貧的攻堅(jiān)戰(zhàn)，為完成脫貧任務(wù)，某單位在甲地成立了一家醫(yī)療器械公司吸納附近貧困村民就工．已知該公司每生產(chǎn)某種型號醫(yī)療器械千件，需投入成本萬元，且，另外每年需投入固定成本200萬元，由市場調(diào)研知，每件售價(jià)0.5萬元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完．（1）請寫出年利潤（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一型號醫(yī)療器械的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？并求出最大利潤．【分析】（1）由題意可知：，然后分段求出，再以分段函數(shù)的形式寫出即可；（2）利用二次函數(shù)以及基本不等式分段求出的最大值，比較即可求解．【解答】解：（1）由題意可知：，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，萬元；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，此時(shí)，所以產(chǎn)量為100千件時(shí)，該公司在這一型號醫(yī)療器械的生產(chǎn)中所獲年利潤最大，且最大利潤為9000萬元．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，涉及到二次函數(shù)以及基本不等式求最值的問題，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．（12分）已知向量，，向量，．函數(shù)，且函數(shù)的周期為．（1）求函數(shù)在上的值域；（2）若，，，求的值．【分析】（1）由題意可得，而，則，由此求得值域；（2）化簡可得，結(jié)合，，可得，再展開化簡代值運(yùn)算得出答案．【解答】解：（1），函數(shù)的周期為，，，（1），，，函數(shù)在上的值域?yàn)?；?）由，且，可得，整理得，，，，故，．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查和差角公式的運(yùn)用，考查化簡變形能力以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．21．（12分）已知橢圓的左．右焦點(diǎn)分別為，，過且斜率為的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)在軸上的射影恰好為．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，下頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作一條與軸不重合的直線．該直線交橢圓于，兩點(diǎn)．直線，分別交軸于點(diǎn)，．求證：與的面積之積為定值，并求出該定值．【分析】（1）寫出直線方程，取求得值，得到直線與橢圓的交點(diǎn)，再由已知列關(guān)于，的方程組，求解，的值，則橢圓方程可求；（2）由題意知，直線的斜率存