2017-2018學(xué)年同步備課套餐之高一物理滬科版必修二講義：第5章 5.3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精5。3萬有引力定律與天文學(xué)的新發(fā)現(xiàn)［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1。了解萬有引力定律在天文學(xué)上的應(yīng)用,知道海王星、冥王星等天體的發(fā)現(xiàn)過程。2.會(huì)用萬有引力定律計(jì)算天體質(zhì)量,掌握天體質(zhì)量求解的基本思路。一、筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星——海王星的發(fā)現(xiàn)根據(jù)天王星的“出軌”現(xiàn)象，英國劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國青年天文學(xué)家勒維烈利用萬有引力定律預(yù)言在天王星的附近還有一顆新行星，并計(jì)算出了軌道。1846年9月23日，德國的伽勒在預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星-—海王星。二、哈雷彗星的預(yù)報(bào)1。英國天文學(xué)家哈雷斷言,1682年天空中出現(xiàn)的彗星與1531年、1607年出現(xiàn)的彗星是同一顆星。并根據(jù)萬有引力定律計(jì)算出這顆彗星的橢圓軌道，發(fā)現(xiàn)它的周期約為76年，這顆彗星后來被稱為哈雷彗星。2。1759年3月13日，這顆大彗星不負(fù)眾望，光耀奪目地通過近日點(diǎn)，進(jìn)一步驗(yàn)證了萬有引力定律是正確的。三、稱量天體的質(zhì)量-—太陽質(zhì)量的估算1。稱量地球的質(zhì)量(1)思路：地球表面的物體，若不考慮地球自轉(zhuǎn)，物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力.(2)關(guān)系式:mg＝Geq\f(Mm，R2）。（3）結(jié)果：M＝eq\f（gR2,G）,只要知道g、R、G的值，就可計(jì)算出地球的質(zhì)量.2。太陽質(zhì)量的計(jì)算(1）思路：質(zhì)量為m的行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，行星與太陽間的萬有引力充當(dāng)向心力.(2）關(guān)系式：eq\f（GMm,r2)＝meq\f(4π2，T2）r.(3）結(jié)論:M＝eq\f(4π2r3,GT2），只要知道行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期T和半徑r就可以計(jì)算出太陽的質(zhì)量。(4）推廣:若已知衛(wèi)星繞行星運(yùn)動(dòng)的周期T和衛(wèi)星與行星之間的距離r，可計(jì)算行星的質(zhì)量M.［即學(xué)即用］1。判斷下列說法的正誤。(1）地球表面的物體的重力必然等于地球?qū)λ娜f有引力.(×)(2）若只知道某行星繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，則可以求出太陽的質(zhì)量。（×)(3）已知地球繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)的周期和軌道半徑,可以求出地球的質(zhì)量。(×)（4）天王星是依據(jù)萬有引力定律計(jì)算的軌道而發(fā)現(xiàn)的.(×)（5)牛頓根據(jù)萬有引力定律計(jì)算出了海王星的軌道。(×）（6)海王星、冥王星的發(fā)現(xiàn)表明了萬有引力理論在太陽系內(nèi)的正確性。(√)2.已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，重力加速度g＝9。8m/s2，地球半徑R＝6.4×106m，則可知地球的質(zhì)量約為（)A。2×1018kg B。2×1020kgC。6×1022kg D。6×1024kg答案D一、天體質(zhì)量和密度的計(jì)算［導(dǎo)學(xué)探究］1?？ㄎ牡显S在實(shí)驗(yàn)室測(cè)出了引力常量G的值,他稱自己是“可以稱量地球質(zhì)量的人".（1)他測(cè)量的依據(jù)是什么？(2)若還已知地球表面重力加速度g,地球半徑R，求地球的質(zhì)量和密度.答案(1)若忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，在地球表面上物體受到的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力。(2)由mg＝Geq\f(Mm，R2)，得：M＝eq\f（gR2，G）ρ＝eq\f(M,V）＝eq\f（M，\f（4,3)πR3)＝eq\f（3g，4πGR）.2.如果知道地球繞太陽的公轉(zhuǎn)周期T和它與太陽的距離r,能求出太陽的質(zhì)量嗎？若要求太陽的密度，還需要哪些量？答案由eq\f(Gm地M太,r2)＝eq\f（4π2，T2）m地r知M太＝eq\f（4π2r3，GT2).由密度公式ρ＝eq\f(M太,\f(4,3）πR\o\al(3，太）)可知，若要求太陽的密度還需要知道太陽的半徑。[知識(shí)深化]天體質(zhì)量和密度的計(jì)算方法“自力更生法"“借助外援法”情景已知天體(如地球）的半徑R和天體(如地球）表面的重力加速度g行星或衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)思路物體的重力近似等于天體(如地球)與物體間的萬有引力：mg＝Geq\f（Mm,R2）行星或衛(wèi)星受到的萬有引力充當(dāng)向心力:Geq\f(Mm，r2)＝m(eq\f（2π，T))2r(或Geq\f（Mm，r2）＝meq\f（v2,r））（或Geq\f(Mm，r2）＝mω2r）天體質(zhì)量天體(如地球）質(zhì)量：M＝eq\f（gR2，G)中心天體質(zhì)量：M＝eq\f（4π2r3,GT2）(M＝eq\f（rv2,G)或M＝eq\f(r3ω2,G））天體密度ρ＝eq\f(M，\f(4,3）πR3）＝eq\f(3g，4πRG)ρ＝eq\f(M，\f(4,3）πR3)＝eq\f（3πr3,GT2R3）（以T為例)說明利用mg＝eq\f（GMm，R2）求M是忽略了天體自轉(zhuǎn)，且g為天體表面的重力加速度由F引＝F向求M，求得的是中心天體的質(zhì)量,而不是做圓周運(yùn)動(dòng)的天體質(zhì)量例1假設(shè)在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星.若它貼近該天體的表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T1，已知萬有引力常量為G。（1）則該天體的密度是多少?(2)若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測(cè)得衛(wèi)星在該處做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T2，則該天體的密度又是多少？答案（1）eq\f(3π,GT\o\al（2,1))（2）eq\f（3πR＋h3,GT\o\al(2，2）R3）解析設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量為M。(1）衛(wèi)星貼近天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)有Geq\f（Mm，R2）＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))R，M＝eq\f(4π2R3，GT\o\al（2，1))根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知天體的體積為V＝eq\f（4,3）πR3故該天體的密度為ρ＝eq\f(M，V)＝eq\f(4π2R3，GT\o\al(2，1）·\f(4，3)πR3）＝eq\f(3π,GT\o\al（2，1）)。（2）衛(wèi)星距天體表面的高度為h時(shí),忽略自轉(zhuǎn)有Geq\f（Mm，R＋h2）＝meq\f（4π2,T\o\al（2,2）)（R＋h）M＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2，2)）ρ＝eq\f（M,V)＝eq\f（4π2R＋h3,GT\o\al（2,2）·\f(4，3)πR3)＝eq\f(3πR＋h3，GT\o\al(2，2)R3)注意區(qū)分R、r、h的意義：一般情況下,R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑，h指衛(wèi)星距離星球表面的高度，r＝R＋h。針對(duì)訓(xùn)練過去幾千年來，人類對(duì)行星的認(rèn)識(shí)與研究僅限于太陽系內(nèi)，行星“51pegb”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕?！?1pegb”繞其中心恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運(yùn)動(dòng)半徑的eq\f(1，20).該中心恒星與太陽的質(zhì)量的比值約為(）A。eq\f(1,10）B。1C。5D。10答案B解析由Geq\f（Mm，r2)＝meq\f（4π2,T2）r得M∝eq\f(r3,T2）已知eq\f(r51,r地)＝eq\f(1，20),eq\f(T51，T地）＝eq\f（4,365）,則eq\f(M51,M地)＝（eq\f(1,20)）3×（eq\f（365，4）)2≈1，B項(xiàng)正確.例2有一星球的密度與地球相同，但它表面處的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍,求：(1）星球半徑與地球半徑之比；（2)星球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比.答案（1)4∶1（2）64∶1解析(1)由eq\f(GMm,R2)＝mg得M＝eq\f（gR2,G），所以ρ＝eq\f（M,V）＝eq\f（\f（gR2，G),\f（4，3)πR3）＝eq\f(3g，4πGR）,R＝eq\f（3g,4πGρ)，eq\f(R，R地）＝eq\f(3g,4πGρ）·eq\f（4πGρ地,3g地）＝eq\f(g，g地)＝eq\f(4,1）。(2)由(1）可知該星球半徑是地球半徑的4倍.根據(jù)M＝eq\f（gR2，G）得eq\f(M，M地)＝eq\f(gR2，G）·eq\f（G，g地R\o\al（2，地)）＝eq\f(64,1).二、物體所受地球的引力與重力的關(guān)系1.物體在地球表面上所受引力與重力的關(guān)系：地球在不停地自轉(zhuǎn)，地球上的物體隨著地球自轉(zhuǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)，做圓周運(yùn)動(dòng)需要一個(gè)向心力，所以重力不直接等于萬有引力而近似等于萬有引力，如圖1，萬有引力為F引,重力為G，自轉(zhuǎn)向心力為F′.當(dāng)然，真實(shí)情況不會(huì)有這么大偏差。圖1（1)物體在一般位置時(shí)F′＝mrω2，F(xiàn)′、F引、G不在一條直線上，重力G與萬有引力F引方向有偏差，重力大小mg<Geq\f（Mm，R2).

(2）當(dāng)物體在赤道上時(shí),F′達(dá)到最大值Fmax′，F(xiàn)max′＝mRω2，此時(shí)重力最小；Gmin＝F引－Fmax′＝Geq\f(Mm,r2)－mRω2.(3)當(dāng)物體在兩極時(shí)F′＝0G＝F引，重力達(dá)最大值Gmax＝Geq\f(Mm,r2）?？梢娭挥性趦蓸O處重力等于萬有引力,其他位置重力小于萬有引力。（4)由于地球自轉(zhuǎn)角速度很小，自轉(zhuǎn)所需向心力很小，一般情況下認(rèn)為重力近似等于萬有引力，mg≈Geq\f(Mm，R2）,g為地球表面的重力加速度.2。重力與高度的關(guān)系:若距離地面的高度為h，則mg′＝Geq\f(Mm，R＋h2)(R為地球半徑，g′為離地面h高度處的重力加速度）。所以在同一緯度距地面越高,物體的重力加速度越小，則物體所受的重力也越小。例3我國航天技術(shù)飛速發(fā)展,設(shè)想數(shù)年后宇航員登上了某星球表面。宇航員從距該星球表面高度為h處，沿水平方向以初速度v拋出一小球，測(cè)得小球做平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離為L，已知該星球的半徑為R，引力常量為G。求：(1）該星球表面的重力加速度；（2)該星球的平均密度.答案(1）eq\f(2hv2,L2）(2)eq\f（3hv2，2πGRL2）解析（1)小球在星球表面做平拋運(yùn)動(dòng),有L＝vt，h＝eq\f(1,2)gt2，解得g＝eq\f（2hv2，L2)。（2）在星球表面滿足Geq\f（Mm，R2)＝mg又M＝ρ·eq\f(4，3)πR3，解得ρ＝eq\f(3hv2,2πGRL2）。1。（天體質(zhì)量的計(jì)算）已知引力常量G、月球中心到地球中心的距離r和月球繞地球運(yùn)行的周期T，僅利用這三個(gè)數(shù)據(jù)，可以估算出的物理量有（)A。月球的質(zhì)量 B.地球的質(zhì)量C。地球的半徑 D.地球的密度答案B解析由天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律知Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2，T2）r可得地球質(zhì)量M＝eq\f（4π2r3,GT2），由于不知地球的半徑，無法求地球的密度，故選項(xiàng)B正確。2.（天體的質(zhì)量和密度的計(jì)算）一艘宇宙飛船繞一個(gè)不知名的行星表面飛行，要測(cè)定該行星的密度，僅僅需要(）A.測(cè)定飛船的運(yùn)行周期B。測(cè)定飛船的環(huán)繞半徑C。測(cè)定行星的體積D.測(cè)定飛船的運(yùn)行速度答案A解析取飛船為研究對(duì)象,由Geq\f(Mm,R2)＝mReq\f(4π2,T2)及M＝eq\f(4,3）πR3ρ，知ρ＝eq\f(3π,GT2),故選A。3.（地球表面的萬有引力與重力的關(guān)系）地球可近似看成球形，由于地球表面上物體都隨地球自轉(zhuǎn),所以有()A。物體在赤道處受到的地球引力等于兩極處，而重力小于兩極處B。赤道處的角速度比南緯30°大C.地球上物體的向心加速度都指向地心，且赤道上物體的向心加速度比兩極處大D。地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)提供向心力的是重力答案A解析由F＝Geq\f（Mm，R2）可知，若地球看成球形，則物體在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，此引力的兩個(gè)分力一個(gè)是物體的重力，另一個(gè)是物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力.在赤道上，向心力最大,重力最小，A對(duì)。地球各處的角速度均等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，B錯(cuò)。地球上只有赤道上的物體向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C錯(cuò)。地面上物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力是萬有引力與地面支持力的合力，D錯(cuò)。4.(物體的運(yùn)動(dòng)與萬有引力的結(jié)合)宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時(shí)間t小球落回原處;若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時(shí)間5t小球落回原處.（取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空氣阻力不計(jì))（1）求該星球表面附近的重力加速度g星的大小；（2)已知該星球的半徑與地球半徑之比為eq\f（R星,R地)＝eq\f（1,4），求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比eq\f(M星，M地).答案(1）2m/s2(2）eq\f（1，80)解析（1）在地球表面以一定的初速度v0豎直上拋一小球，經(jīng)過時(shí)間t小球落回原處，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可有t＝eq\f(2v0，g).同理，在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，經(jīng)過時(shí)間5t小球落回原處,則5t＝eq\f(2v0，g星)根據(jù)以上兩式，解得g星＝eq\f(1，5)g＝2m/s2(2）在天體表面時(shí),物體的重力近似等于萬有引力，即mg＝eq\f（GMm,R2)，所以M＝eq\f(gR2，G)由此可得，eq\f(M星，M地)＝eq\f（g星，g)·eq\f(R\o\al（2,星）,R\o\al（2,地））＝eq\f(1，5）×eq\f(1，42）＝eq\f(1,80).課時(shí)作業(yè)一、選擇題(1~7題為單選題,8題為多選題)1。關(guān)于萬有引力定律應(yīng)用于天文學(xué)研究的歷史事實(shí),下列說法中正確的是()A。天王星、海王星和冥王星，都是運(yùn)用萬有引力定律、經(jīng)過大量計(jì)算后發(fā)現(xiàn)的B.在18世紀(jì)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的7個(gè)行星中，人們發(fā)現(xiàn)第七個(gè)行星——天王星的運(yùn)動(dòng)軌道總是同根據(jù)萬有引力定律計(jì)算出來的結(jié)果有比較大的偏差，于是有人推測(cè),在天王星軌道外還有一個(gè)行星，是它的存在引起了上述偏差C。海王星是牛頓運(yùn)用自己發(fā)現(xiàn)的萬有引力定律，經(jīng)大量計(jì)算而發(fā)現(xiàn)的D。冥王星是英國劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和勒維烈合作研究后共同發(fā)現(xiàn)的答案B解析天王星是通過觀察發(fā)現(xiàn)的，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確;海王星是英國劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和勒維烈合作研究后共同發(fā)現(xiàn)的，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤.2。地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，若高空中某處的重力加速度為eq\f(g，2），則該處距地球表面的高度為（)A.（eq\r（2）－1）RB。RC.eq\r(2）RD.2R答案A解析萬有引力近似等于重力，設(shè)地球的質(zhì)量為M，物體質(zhì)量為m，物體距地面的高度為h，分別列式eq\f(GMm，R2）＝mg，Geq\f（Mm，R＋h2）＝meq\f(g，2)，聯(lián)立得2R2＝(R＋h）2，解得h＝(eq\r（2)－1)R，選項(xiàng)A正確。3.據(jù)報(bào)道，最近在太陽系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星,其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍,一個(gè)在地球表面重量為600N的人在這個(gè)行星表面的重量將變?yōu)?60N.由此可推知，該行星的半徑與地球半徑的比值為（）A。0。5B。2C.3.2D。4答案B解析若地球質(zhì)量為M0,則“宜居”行星質(zhì)量為M＝6.4M0,由mg＝Geq\f(Mm,r2)得eq\f(m0g,m0g′）＝eq\f(M0，r\o\al（2，0））·eq\f(r2,M）＝eq\f（600,960)，所以eq\f(r,r0)＝eq\r(\f（600M，960M0）)＝eq\r（\f（600×6.4M0,960M0))＝2，選項(xiàng)B正確.4?；鹦堑馁|(zhì)量和半徑分別約為地球的eq\f（1，10）和eq\f(1，2），地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為（)A.0.2gB.0。4gC.2.5gD.5g答案B解析在星球表面有mg＝eq\f（GMm,R2），設(shè)火星表面的重力加速度為g火,則eq\f(g火，g)＝eq\f(M火R\o\al(2，地)，M地R\o\al(2，火））＝0.4，故B正確.5.若地球繞太陽公轉(zhuǎn)周期及公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為T和R,月球繞地球公轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為t和r，則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為(）A。eq\f(R3t2，r3T2）B。eq\f（R3T2，r3t2)C。eq\f（R3t2，r2T3）D。eq\f(R2T3,r2t3）答案A解析無論地球繞太陽公轉(zhuǎn)，還是月球繞地球公轉(zhuǎn)，統(tǒng)一的公式為eq\f(GMm,R\o\al（2,0))＝meq\f(4π2R0,T\o\al（2,0)）,即M∝eq\f（R\o\al（3,0),T\o\al(2,0）），所以eq\f（M日,M地)＝eq\f(R3t2，r3T2）.6?！版隙鹑?hào)”的環(huán)月軌道可近似看成是圓軌道,觀察“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月軌道上的運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過時(shí)間t通過的弧長為l,該弧長對(duì)應(yīng)的圓心角為θ（弧度），如圖1所示。已知引力常量為G，由此可推導(dǎo)出月球的質(zhì)量為()圖1A。eq\f(l3，Gθt2）B.eq\f（l3θ，Gt2)C。eq\f（l，Gθt2）D.eq\f（l2,Gθt2）答案A解析根據(jù)弧長及對(duì)應(yīng)的圓心角,可得“嫦娥三號(hào)"的軌道半徑r＝eq\f（l，θ）,根據(jù)轉(zhuǎn)過的角度和時(shí)間，可得ω＝eq\f(θ，t），由于月球?qū)Α版隙鹑?hào)"的萬有引力提供“嫦娥三號(hào)"做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,可得Geq\f（Mm,r2)＝mω2r，由以上三式可得M＝eq\f(l3,Gθt2)。7。假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體.一礦井深度為d（礦井寬度很小).已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，則礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為()A.1－eq\f(d，R）B.1＋eq\f(d，R）C.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（R－d,R))）2D.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（R，R－d）)）2答案A解析設(shè)地球的密度為ρ，地球的質(zhì)量為M，根據(jù)萬有引力定律可知,地球表面的重力加速度g＝eq\f(GM，R2).地球質(zhì)量可表示為M＝eq\f(4，3)πR3ρ。質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)球殼內(nèi)物體的引力為零，礦井下以(R－d）為半徑的地球的質(zhì)量為M′＝eq\f（4,3)π（R－d）3ρ，解得M′＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（R－d,R))）3M，則礦井底部處的重力加速度g′＝eq\f（GM′，R－d2