高等代數(shù)課件-第七章線性變換

第七變§1一、線性變換的定線性空間V到自身的映射稱為V的一個(gè)變換A()=A()+A(A(k)=Ak(A()=A()+A(A(k)=Ak(A，B，…表示V的線性變換，A()A代表元素A下的像.例1.平面上的向量構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的二維線性空間.把平面圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)按反時(shí)鐘方向旋轉(zhuǎn)角，就是一個(gè)線性變換，用?表示.如果平面上一個(gè)向量xy，那么像)的坐標(biāo)，即旋轉(zhuǎn)角之后的坐標(biāo)xy sinx sin cosy 例2設(shè)是幾何空間中一固定非零向量，把每個(gè)向量變到它在上的 也是一個(gè)線性變換，以表示它.用公式表示就是()(,) (,這里(,),(,)表示內(nèi)積3線性空間VEE() 以及零變換?o() (V都是線性變換4設(shè)VPkP中的某個(gè)數(shù)，定義Vk VkK表示.k1時(shí)，便得恒等變換，當(dāng)k0時(shí)，便得零變換.例5性空間P[x]或者P[x]n中，求微商是一個(gè)線性變換.這個(gè)變換通常用D代表即D（f(x)）=f(x)例 定義在閉區(qū)間a,b上的全體連續(xù)函數(shù)組成實(shí)數(shù)域上一線性空間，以C(a,b)代表x?（f(x)）=afx是一線性變換二、線性變換的簡(jiǎn)單性A是V的線性變換，則A(0)=0A)=-A線性變換保持線性組合與線性關(guān)系式不變.是1,2,,rk11k22krrA之后，A)A1),A(2),…,Ar)A()=k1A(1)+k2A(2又如果1,2,,rk11k22krr

krA(rk1A(1)+k2A(2)+…+krA(r線性變換把線性相關(guān)的向量組變成線性相關(guān)的向量組 線性變換的運(yùn)算一、線性變換的乘A,,B是線性空間V(AB)()=A,(B( (VD（f(x)）=f(x)D?=?，但一般?D≠?.對(duì)于任意線性變換A

?（f(x)）=afxA?=?A=x二、線性變換的加A,B是線性空間VA+B(A+B)()=A()+B( (V?A對(duì)于每個(gè)線性變換A，可以定義它的負(fù)變換（-(-A)()=-A( (VA+（-三、線性變換的數(shù)量乘PAkA即kA()=K(A())=KA(當(dāng)然A還是線性變換.(kl)A=k(lA),(kl)A=kA+lA,k(A+B)=kA+kB,V的變換A稱為可逆的，如果有V的變B存在，BAA1AA1也既然線性變換的乘法滿足結(jié)合律，當(dāng)若干個(gè)線性變換A重復(fù)相乘時(shí)，其最終結(jié)果是完全確定的，與乘法的結(jié)合方法無關(guān).n個(gè)（n是正整數(shù)）線性變換A用個(gè)AnAn.A0=Amn=AmAn,(Am)n=Amn(m,nAAAn=(A1nn是正整數(shù)).(AB)nAnBn設(shè)f(x)amxmam1xm1P[x中一多項(xiàng)式，A是V f(A)=aAm+ Am1+…+ f(AA的多項(xiàng)式.不難驗(yàn)證，如果在P[x]中h(x)f(x)g(x),p(x)f(x)g(x)h(A)=f(A)+g(A),p(A)=f(A)g(f(A)g(A)=g(A)f(例1在三維幾何空間中，對(duì)于某一向量的 影是一個(gè)線性變換.可以用下其中(,),(,

()(,) (,從圖2不難看出，在以為法向量的平面x上 影x()可以用公x()(

x?-這里?x的反射?x?x()2(

?x=?-2設(shè)例 性空間P[]n中，求微商是一個(gè)線性變換，用D表示.顯然Dn

f()f( a?a2f(a)f()af()2

f()

(n

f(n1)因之?a實(shí)質(zhì)上是??a=?+a

aD222

(n

Dn1 線性變換和矩陣一、線性變換關(guān)于基的設(shè)VPn維線性空間1,2,,nV的一組基，現(xiàn)在建立線性變換與矩陣關(guān)系.空間V中任意一個(gè)向量可以被基1,2,,n線性表出，即有關(guān)系式x11x22xn 而在的像A與基的像A1,A2,…，An之間也必然有相同的關(guān)系：A=A（x11x22xnn=x1A(1)+x2A(2)+…+xnA(n 上式表明，如果知道了基1,2,,n的像，那么線性空間中任意一個(gè)向量的像也就知設(shè)1,2,,n是線性空間V與即Ai=Bi i1,2,,nA結(jié)論1的意義就是，一個(gè)線性變換完全被它在一組基上的作用所決定.下面，基向設(shè)1,2,,n是線性空間V的一組基，對(duì)于任意一組向量1,2,,n

Ai= i1,2,,n1設(shè)1,2,,n是線性空間V的一組基，1,2,,n是Vn個(gè)向量.?

Ai= i1,2,,n定義2設(shè)1,2,,nPn維線性空間V的一組基，A是V中的一個(gè)線性變換.A1a111a212an1nAaaan2n 12 22

Ana1n1a2n2annnA（1,2,,n）=（A(1)，A?(2)，…，A(n=(1,2,,n a

ana2nA an2annAA在基1,2,,n11,2,,mn(nm維線性空間V的子空間W的一組基，把它擴(kuò)充為V的一組基1,2,,n.指定線性變換A如下Aii,i1,2,,A0,im1,, 如此確定的線性變換A稱為子空間WA1,2,,n

A2 100 Pn維線性空間VP上的nn矩陣的一個(gè)映射.12說明這個(gè)映射是滿射.換句話2設(shè)1,2,,nP上n維線性空間V的一組基，在這組基下，每個(gè)線性變換按公式（5）對(duì)應(yīng)一個(gè)nn矩陣，這個(gè)對(duì)應(yīng)具有以下性質(zhì)：2P上n維線性空間VL(V)對(duì)于線性變換的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成P上一個(gè)線性空間，與數(shù)域P上n級(jí)方陣構(gòu)成的線性空間Pnn同構(gòu).3A在基1,2,,nA，向量在基1,2,,n(x1x2xn,A在基1,2,,n下的坐標(biāo)y1y2yny1 x1y x2 2 A

yn xn二、同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣的關(guān)系線性變換的矩陣是與空間中一組基聯(lián)系在一起的.一般說來，隨著基的改變，同一個(gè)線性變換就有不同的矩陣.為了利用矩陣來研究線性變換，有必要弄清楚線性變換的矩陣是如何隨著基的改變而改變的.4設(shè)線性空間VA1,2,,n 1,2 AB從基（6）到（7）XBX1AX4告訴我們，同一個(gè)線性變換A在不同基下的矩陣之間的關(guān)系3ABPnPnX，BX1AXABA~B.反身A~對(duì)稱性：如果A~B，那么B~A傳遞性：如果A~BB~C,那么A~C定理5線性變換在不同基下所對(duì)應(yīng)的矩陣是相似的；反過來，如果兩個(gè)矩陣相似，那如果BX1AXBX1AX，那 B1B2 A2)XBBX1(AA1 1BX1AXf(xPf(B)X1f(A)2設(shè)VP上一個(gè)二維線性空間，12A在12是 A在V的另一組基1,2 (1,2)(1,2) 2 §4一、線性變換的特征值和特征向4AP上線性空間VP中一數(shù)0個(gè)非零向量A=0 0A的一個(gè)特征值,而A0變(00或者方向相反(00,至于(000.如果A0的特征向量，那么kA的屬于特征值0的特征向量.這說明特征向量不是被特征值所唯一決定的.相反，特征值卻是二、特征值與特征向量的求設(shè)VPn維線性空間，1,2,,nA在這組基下的矩A.設(shè)0是特征值，它的一個(gè)特征向量在1,2,,nx01,x02,,x0nA

x01x02A0的坐標(biāo)

x0nx01 x020

x0nx01

x01x02 x02A0 x0n或

x0nx01 (E 02 x0n這說明特征向量的坐標(biāo)(x01x02x0na11x1a12x2a1nxn0x1a21x1a22x2a2nxn0x2 an1x1an2x2annxn0xn即(0a11)x1a12x2a1nxn0a21x1(0a22)x2a2nxn0 an1x1an2x2(0ann)xn0由于0x01x02x0n不全為零，即齊次方程組有非零解.而齊次方程組有0EA

0

0

0

05APn級(jí)矩陣是一個(gè)數(shù)字.矩陣EA EA

A的特征多項(xiàng)式,Pn次多項(xiàng)式0是線性變換A0A的一個(gè)根；反過來，如0是矩陣A的特征多項(xiàng)式P中的一個(gè)根，即0EA0，那么齊次方程組（3）就有非零解.這時(shí)，如果(x01,x02,x0n)是方程組（3）的一個(gè)非零解，

x011x022x0nn因此確定一個(gè)線性變換A的一個(gè)特征值與特征向量的方法可以分成以下幾步：性空間V中取一組基1,2,,nAAA0EAPA的全部特，求出一組基礎(chǔ)解系，它們就是屬于這個(gè)特征值的幾個(gè)線性無關(guān)的特征向量在基1,2,,n下的坐AA的特征值，而相應(yīng)的線性方程組（3）的解也就稱為A的屬于這個(gè)特征值的特征向量.1在nKkE是EkE(k)n因此，數(shù)乘變換Kk，由定義可知，每個(gè)非零向量都是屬于數(shù)乘變換2A在基1,2,3 1A 1

2A的特征值與特征向量3P[x]n

Df(x)f在基1,xx

(n

D

001 00010000 0 0 0D

ED

nD的特征值只有0.通過解相應(yīng)的齊次線性方程組知道，屬于特征值0的線性無關(guān)的4平面上全體向量構(gòu)成實(shí)數(shù)域上一個(gè)二維線性空間，§11

sinsin cos

sin

sin

22cos當(dāng)k時(shí)，這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有實(shí)根.因之，當(dāng)k時(shí)，沒有特征值.從幾何上看，這個(gè)容易看出，對(duì)于線性變換A0AA的向量所成的集合，也就是A的屬于0的全部特征向量再添上零向量所成的集合，是V的一個(gè)子空間，稱 的一個(gè)特征子空間，記為V.顯然，V的維數(shù)就是屬于0的線性無A 0 |A0,V0EA

(a11)(a22)(annn2n2.因此特征多項(xiàng)式中含的n次與n1次的項(xiàng)只能在主對(duì)角線上元素的連乘積中出現(xiàn)，它們是n(aa22ann)n1EAn

)n1(1)nA A的全體特征值的和為a11a22ann（A的跡）.而的A全體特征值的積為A.特征值自然是被線性變換所決定的.但是在有限中，任取一組基后，特征值就是是這些矩陣是相似的，對(duì)于相似矩陣有6定理6說明，線性變換的矩陣的特征多項(xiàng)式與基的選取無關(guān)，它直接被線性變換所決定應(yīng)該，定理6的逆是不對(duì)的，特征多項(xiàng)式相同的矩陣不一定是相似的.例A

,B 它們的特征多項(xiàng)式都是(1)ABAA哈密頓-凱萊(Hamilton-Caylay)定理APnnf()EAf(A)An(a11a22ann)An1(1)nAE推論設(shè)A是有 V的線性變換，f()是A的特征多項(xiàng)式，那么f 對(duì)角矩定理7An維線性空間V的一個(gè)線性變換，A的矩陣可以在某一基下為對(duì)角矩陣的充要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.定理 推論1如果在n維線性空間V中，線性變換A的特征多項(xiàng)式在P中有n個(gè)不同的根，即?n個(gè)不同的特征值，那么A在某組基下的矩陣是對(duì)角形的.推論2在復(fù)數(shù)上的線性空間中，如果線性變換AA組基下的矩陣是對(duì)角形的i91,kA的不同的特征值，而i1,,ir是屬于特征值ii性無關(guān)的特征向量， 1,2,,k那么向量組11,,ir,,k1,,kr也線性無關(guān) 根據(jù)這個(gè)定理，對(duì)于一個(gè)線性變換，求出屬于每個(gè)特征值的線性無關(guān)的特征向量，把它們合在一起還是線性無關(guān)的.如果它們的個(gè)數(shù)等于空間的維數(shù)，那么這個(gè)線性變換在一組合適的基下的矩陣是對(duì)角矩陣；如果它們的個(gè)數(shù)少于空間的維數(shù)，那么這個(gè)線性變換在任何一組基下的矩陣都不能是對(duì)角形.換句話說，設(shè)A全部不同的特征值是1,,r，于是A在某一組基下的矩陣成對(duì)角形的充要條件是A的特征子空間V1,,Vr的維數(shù)之和等于空間的維應(yīng)該看到，當(dāng)線性變換A在一組基下的矩陣A 0 A

0 A

0nEA(1)(2)(n因此，如果線性變換A 序外是確定的，它們正好是A的特征多項(xiàng)式全部的根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）.例在§42A的特征值是-1（二重）51132233123由此可見，A在基1,2,3.B

00而由1,2,3到1,2,3.

5X1AXB

X

1§6線性變定義6A是線性空間V的一個(gè)線性變換，AAAV表示.AAA1(0)表示.AV=A|V,A1(0)|A0,V線性變換的值域與核都是V的子空間AVA的秩，A1(0)A的零度例1性空間P[x]n中，D(f(x))fD的值域就是P[x]n1，D的核就是子空間P10An維線性空間V1,2,,n是VAAAVAV=L(A1,A2,,AnA的秩=A的秩定理10說明線性變換與矩陣之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系保持不變11An維線性空間VAVA1(0)的一組基合起來就是V的一組基.由此還有A的秩+A的零度推 AVA1(0)nAV+A1(0)并不一定是整個(gè)空間.2AnnA2AA相似于一個(gè)對(duì)角矩陣

0 §7不變子空間n維線性空間V,AL(V,如何才能選到V的一個(gè)基,A具有盡可能簡(jiǎn)單的形式.由于一個(gè)線性變換關(guān)于不同基的矩陣是相似的.因而問題也可以這樣提出:在一切彼此相似的n階矩陣中,如何選出一個(gè)形式盡可能簡(jiǎn)單的矩陣.這一節(jié)介紹不變子空間的概念，來說明線性變換的矩陣的化簡(jiǎn)與線性變換的內(nèi)在聯(lián)系.定義7設(shè)A是數(shù)域P上線性空間V的線性變換,W是V的一個(gè)子空間.如果W中的向A下的像仍在W中，換句話說,對(duì)于W中任一向量AW，就稱WA的不變子空間，簡(jiǎn)稱A-子空間1整個(gè)空間V和零子空間0AA-子空間例 A的值域與核都是A-子空間3ABBA-子空間A的多項(xiàng)式f(A)Af(A)A-子空間例 任何一個(gè)子空間都是數(shù)乘變換的不變子空間特征子空間與一維不變子空間之間有著緊密的聯(lián)系.設(shè)W是一維A-子空間，是W中任何一個(gè)非零向量，它構(gòu)成W的一個(gè)基.按A-子空間的定義，AW,它必是的一個(gè)倍數(shù):A0這說明A的特征向量，而W即是由A-子空間反過來，設(shè)A0的一個(gè)特征向量，則A下的像是原像的0倍，仍舊是的一個(gè)倍數(shù).這說明的倍數(shù)構(gòu)成一個(gè)一維A-子空間.顯然，A0的一個(gè)特征子空間V0A的一不變子空間A-子空間的和與交還是A-子空間設(shè)A是線性空間V的線性變換,W是A的不變子空間.由于W中向量在A下的像仍在W中，這就使得有可能不必在整個(gè)空間VA，而只在不變子空間W中考慮A，即把看成是W的一個(gè)線性變換，稱為 在不變子空間W上引起的變換.為了區(qū)別起見，用符A|W來表示它；但是在很多情況下，仍然用A來表示而不致引起必須在概念上弄清楚AA|W的異同：A是V的線性變換V中每個(gè)向量在A下都有確定的像；A|W是不變子空間W上的線性變換，對(duì)于W中任一向量，有(A|W)=A但是對(duì)于V中不屬于W的向量（A|W）0.

0如果線性空間V的子空間W是由向量組1,2,,s生成的，即WL(1,2,,s)則WA-A1,A2,…As全屬于WA是維線性空間V的線性變換，W是VA-子空間.在W中取一組基1,2,,k并且把它擴(kuò)充成V的一組1,2,,k,k1,,n 那么 a11a1ka1,k1

ak,k

A 3 0

ak1,k

ak1,n

A2a a0

an,k1

nnkA1A|W在的基1,2,,k下的矩陣2)設(shè)VA-VW1W2WsA-子空間Wiii1,i2,,in(i1,2,, i并把它們合并起來成為VI.則在這組基下，A A

sAi(i1,2,sA|W在基(3)下的矩陣A-子空間由此可知，矩陣分解為準(zhǔn)對(duì)角形與空間分解為不變子空間的直和是相當(dāng)?shù)?下面應(yīng)用哈密爾頓凱萊定理將空間V按特征值分解成不變子空間的直和.定理12設(shè)線性變換A的特征多項(xiàng)式為f(，它可分解成一次因式的乘積 f()()r1()r2( 則VVV1V2 V|(A)ri0,V (Jordan 01

000J(,t) 00100 0 (Jordan)塊，其中是復(fù)數(shù).由若干個(gè)

As

A 并且12,s中有一些可以相等

ikiki例

0

0, 20

0 i 都是塊，

2 0 010 0 11 000 0 000 000 1 0 00 0 4 是一個(gè)形矩陣一級(jí)塊就是一級(jí)矩陣，因此形矩陣中包括對(duì)角矩陣在一個(gè)線性變換的標(biāo)準(zhǔn)形中，主對(duì)角線上的元素正是特征多項(xiàng)式的全部的根（重根13A是復(fù)數(shù)域上線性空間V的一個(gè)線性變換，則在V在這組基下的矩陣是形矩陣n維線性空間V上的一個(gè)線性變換BBkk是某正整數(shù)，就B為V上冪零線性變換.對(duì)冪零線性變換BV中必有下列形式的一組元素作為基1Bk111

B Bk212

BsBkss

(Bk11B

(Bk2

(Bks

1

定理14每個(gè)n級(jí)復(fù)矩陣A都與一個(gè)形矩陣相似§9PnAP上一個(gè)多f(xfA)0.f(xfA)0f(xA為根.A的多項(xiàng)式是很多的，其中次數(shù)最低的首項(xiàng)系數(shù)為1AA的最小多項(xiàng)式.1A的最小多項(xiàng)式是唯一的引理2g(xA的最小多項(xiàng)式，那么f(x)A為根的充要條件是g(x)整除f(x)由此可知，矩陣A的最小多項(xiàng)式是A的特征多項(xiàng)式的一個(gè)因式例1kExkx1，零x.A的最小多項(xiàng)式是1A一定是數(shù)量2A的最小多項(xiàng)式.例3設(shè)

A 1 1 112A

,B AB的最小多項(xiàng)式都等于(x1)2x2)AB似的3A

1A1

A2并設(shè)A1的最小多項(xiàng)式為g1x)A2的最小多項(xiàng)式為g2x),那么A的最小多項(xiàng)式為g1x),g2x的最小公倍式[g1xg2這個(gè)結(jié)論可以推廣到A為若干個(gè)矩陣組成的準(zhǔn)對(duì)角矩陣的情形. A

, A sAigi(x),i1,2sA的最小多項(xiàng)式為[g1x),g2x),,gs引理4k級(jí) J 的最小多項(xiàng)式為(xa)k

a15P上nAAP上互素推論AA的最小多項(xiàng)式?jīng)]有重根第七(小結(jié)線性變換是線性代數(shù)的中心內(nèi)容之一,它對(duì)于研究線性空間的整體結(jié)構(gòu)以及向量之間的內(nèi)存聯(lián)系起著重要作用.線性變換的概念是解析幾何中的坐標(biāo)變換、數(shù)學(xué)分析中的某些變換替換等的抽象和推廣,它的理論和方法,(特別是與之相適應(yīng)的矩陣?yán)碚摵头椒?在解析幾何、微分方程等許多其它應(yīng)用學(xué)科,都有極為廣泛的應(yīng)用.本章的中心問題是研究線性變