空間幾何的外接球和內(nèi)切球問題八個(gè)無敵模型

八個(gè)有趣模型一一搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球類型一、墻角模型(三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑)圖1類型一、墻角模型(三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑)圖1圖2圖3圖4(3)題-2方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式(2R)2=a2+b2+c2，即2R=-,'a2+b2+c2，求出R例1(1)已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4,體積為16，則這個(gè)球的表面積是(C)(3)題-2A.16兀B.20kC.24兀D.32兀(2)若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是9兀解：(1)V=a2h=16，a=2，4R2=a2+a2+h2=4+4+16=24，S=24兀，選C；4R2=3+3+3=9，S=4kR2=9兀在正三棱錐S-ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且AM±MN，若側(cè)棱SA=2招，則正三棱錐S-ABC外接球的表面積是。36兀解：引理：正三棱錐的對棱互垂直。證明如下：如圖(3)-1，取AB,BC的中點(diǎn)D,E，連接AE,CD，AE,CD交于H，連接SH，則H是底面正三角形ABC的中心，SH±平面ABC，SH±AB，AC=BC，AD=BD，.CD±AB，.AB±平面SCD，/.AB±SC，同理：BC±SA，AC±SB，即正三棱錐的對棱互垂直，本題圖如圖(3)-2，...AM±MN，SB//MN，AM±SB，?AC±SB，.?.SB±平面SAC，SB±SA，SB±SC，SB±SA，BC±SA，SA±平面SBC，.SA±SC，故三棱錐S-ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，(2R)2=(2\.'3)2+(2(3)2+(2t3)2=36，即4R2=36，.正三棱錐S-ABC外接球的表面積是36兀(4)在四面體S-ABC中，SA1平面ABC,ABAC=120。,SA=AC=2,AB=1,則該四面體的外接球的表面積為(D)A.11^B.7兀C.10兀3(5)如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3，那么它的外接球的表面積是(6)已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為球的表面積為(D)A.11^B.7兀C.10兀3(5)如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3，那么它的外接球的表面積是(6)已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體外接球的體積為解析：(4)在AABC中，BC2=AC2+AB2—2AB-BC-cos120=7，BC=3，AABC的外接球直徑為2r=法嘉=%=￥，(2R)2=(2r)2+SA2=.40仁40兀+4=，S=，選D33(5)三條側(cè)棱兩兩生直，設(shè)三條側(cè)棱長分別為a,b,c(a,b,cgR+)，則'ab=12<bc=8，abc=24，a=3，b=4，c=2，(2R)2=a2+b2+c2=29，S=4兀R2=29兀，ac=6.一_一3一克(6)(2R)2=a2+b2+c2=3，R2=—，R=—424“43百<3V=—兀R3=—兀?=兀3382類型二、垂面模型(一條直線垂直于一個(gè)平面)1.題設(shè)：如圖5，PA1平面ABC解題步驟：第一步：將AABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑AD，連接PD，則PD必過球心O；第二步：O1為AABC的外心，所以O(shè)O11平面ABC，算出小圓O1的半徑叩=r(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得圖5a_b

sinAsinBcsinC=2r)OO1=2PA；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①(2R)2=PA2+(2r)2=2R=+(2r)2；②R2=r2+OO2=R=y!r2+OO22.題設(shè)：如圖6,7,8,P的射影是AABC的外心O三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等O三棱錐P-ABC的底面NABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)圖8-1圖8-2圖8-3解題步驟:第一步：確定球心。的位置，取即。的外心弓，則P,。，q三點(diǎn)共線;第二步：先算出小圓q的半徑A。廣圖8-1圖8-2圖8-3解題步驟:第一步：確定球心。的位置，取即。的外心弓，則P,。，q三點(diǎn)共線;第二步：先算出小圓q的半徑A。廣r，再算出棱錐的高P。疽（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：OA2=。1A2+OO2nR2=（h-R）2+r2，解出R方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓。例2一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）C16^A.3兀B.2兀C.D.以上都不對解：選C，（君—R）2+1=R2,3-2血+R2+1=R2,4-2囪=0,16—兀3類型三、切瓜模型（兩個(gè)平面互相垂直）圖9-1圖9-2圖9-3圖9-4題設(shè)：如圖9-1,平面PAC±平面A8C,且AB±BC(即AC為小圓的直徑)第一步：易知球心O必是APAC的外心，即APAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC=2r；第二步：在APAC中，可根據(jù)正弦定理=二；=—^=2R，求出RsinAsinBsinC如圖9-2，平面PAC±平面ABC，且AB±BC(即AC為小圓的直徑)OC2=OC2+OO2=R2=r2+OO2=AC=2^R2-OO2如圖9-3,平面PAC±平面ABC，且AB±BC(即AC為小圓的直徑)，且P的射影是AABC的外心o三棱錐P—ABC的三條側(cè)棱相等O三棱P-ABC的底面AABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)解題步驟：第一步：確定球心O的位置，取AABC的外心O1，則P,O,O1三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓O1的半徑AO^=r，再算出棱錐的高PO1=h(也是圓錐的高)；第三步：勾股定理：OA2=O1A2+OO2nR2=(h-R)2+r2，解出R如圖9-3,平面PAC±平面ABC，且AB±BC(即AC為小圓的直徑)，且PA±AC，貝利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①(2R)2=PA2+(2r)2o2R=.、,：PA2+(2r)2；②R2=r2+OO2OR=y!r2+OO2例3(1)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為1，底面邊長為2,春，則該球的表面積為。(2)正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為*'2，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為一解：(1)由正弦定理或找球心都可得2R=7，S=4兀R2=49兀，4兀(2)方法一：找球心的位置，易知r=1，h=1，h=r，故球心在正方形的中心ABCD處，R=1，V=項(xiàng)方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是ASAC的外接圓，此處特殊，RtASAC的斜邊是球半徑，-4兀2R=2，R=1，V=——3(3)在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=t3，側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60，則該三棱錐外接球的體積為()TOC\o"1-5"\h\zA.兀B.:C.4兀D.蘭\o"CurrentDocument"33解：選D，圓錐A,B,C在以r=――的圓上，R=1(4)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的求面上，AABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為()AA.B.D.IB-乎h—罕u_1?_1很2^6_A.B.D.IB-乎h—罕u_1?_1很2^6_<2

v——Sh——,*33436圖10-1圖10-2圖10-3題設(shè)：如圖10-1，圖10-2，圖10-3,直三棱柱內(nèi)接于球(同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形)第一步：確定球心O的位置，O1是AABC的外心，則OO11平面ABC；第二步：算出小圓q的半徑AOi=r，Oq=2AAi=2h(AAi=h也是圓柱的高)；第三步：勾股定理：OA2—O1A2+OO2nR2=(2)2+r2nR=?r2+(|)2，解出R例4(1)一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，9°且該六棱柱的體積為6,底面周長為3，則這個(gè)球的體積為8,1解：設(shè)正六邊形邊長為a，正六棱柱的高為h，底面外接圓的關(guān)徑為r，則a=5，底面積為S=6,?,（2）2=383，V±=Sh=383h=9，?盤=3，R2=（W）2+（2）2=1，球的體積為V—(2)直三棱柱ABC-A"的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若ab=AC=AA1=2,4AC-12。。，則此球的表面積等于。解：BC=2(3，2r————4，r=2，R=\-:5，S—20^sin120(3)已知AEAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3,AD=2,ZAEB=60。，則多面體E—ABCD的外接球的表面積為。16兀

解析：折疊型，法一：攻的外接圓半徑為『3，叩=1,——5、，73R=p'1+3=2；法二：OM=~2-,r=OD=——,13,-一…R2=—+=4,R=2,S=16兀4兀(4)在直三棱柱ABC-ABC中，AB=4,AC=6,A=-,A*=4則直三棱柱ABC-ABC的外接球的表面積為.111160兀3解析：BC2=16+36-2-4-6--=28，BC=2.32。2目4.32r=——=—~22.、月，R2=r2+（竺2=癸+4=竺，S=堅(jiān)兀2333類型五、折疊模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖11)圖11第一步：先畫出如圖所示的圖形，將ABCD畫在小圓上，找出ABCD和AA'BD的外心丑］和H2；第二步：過H1和H2分別作平面BCD和平面人幽的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心。，連接OE,OC；第三步：解AOEH1，算出OH1，在RtAOCH］中，勾股定理：OH2+CH;=OC2例5三棱錐P-ABC中，平面PAC±平面ABC，錐P-ABC外接球的半徑為.△PAC和^ABC均為邊長為2的正三角形，則三棱解析：122_4sin60<32r=r=—=12<3OH=-L2<3R2=OH22+7=3+1=3,RW:法二：O2H=4，OH=4，AH=1，P

5.15R2=AO2=AH2+OH2+OO2=-,R=^-—類型六、對棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（AB=CD,AD=BC,AC=BD）第一步：畫出一個(gè)長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對棱；第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為a,b,c，AD=BC=x，解析：折疊型，法一：攻的外接圓半徑為『3，叩=1,——5、，73R=p'1+3=2；法二：OM=~2-,r=OD=——,13,-一…R2=—+=4,R=2,S=16兀4兀(4)在直三棱柱ABC-ABC中，AB=4,AC=6,A=-,A*=4則直三棱柱ABC-ABC的外接球的表面積為.111160兀3解析：BC2=16+36-2-4-6--=28，BC=2.32。2目4.32r=——=—~22.、月，R2=r2+（竺2=癸+4=竺，S=堅(jiān)兀2333類型五、折疊模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖11)圖11例5三棱錐P-ABC中，平面PAC±平面ABC，錐P-ABC外接球的半徑為.△PAC和^ABC均為邊長為2的正三角形，則三棱解析：122_4sin60<32r=r=—=12<3OH=-L2<3R2=OH22+7=3+1=3,RW:法二：O2H=4，OH=4，AH=1，P7x2+y2+z2<b2+c2=y2n(2R)2=a2+b2+c2=補(bǔ)充：V=abc-^abcx4=—abc-_:.x2+y2+z2第三步：根據(jù)墻角模型，2R=\'a2+b2+c2=、,x2+y2+z2，求出R，例如，正四面體的外接球半徑可用此法。例6（1）棱長為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，個(gè)截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是（2）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（a3%'-口5「3A?B?C?434其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)D.旦12解：（1）截面為^PCOx，面積是C；（2）高h(yuǎn)=R=1，底面外接圓的半徑為R=1，直徑為2R=2，a

設(shè)底面邊長為a，則2R==2，a=y3sin60⑴題解答圖729…29°29a2+b2+c2=——，4R2=——，S=——兀222（4）如圖所示三棱錐A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7,則該三棱錐外接球的表面積為.解析：同上，設(shè)補(bǔ)形為長方體，三個(gè)長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為a,b,c，2(a2+b2+c2)=25+36+49=110，a2+b2+c2=55，4R2=55，S=55兀【55兀；對稱幾何體；放到長方體中】（5）正四面體的各條棱長都為（2，則該正面體外接球的體積為解析：這是特殊情況，但也是對棱相等的模式，放入長方體中，2R=*3，R=#，D圖13類型七、兩直角三角形拼接在一起（斜邊相同,也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐）模型D圖13題設(shè)：ZAPB=ZACB=90，求三棱錐P-ABC外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)O，連接OP,OC，則OA=OB=OC=OP=；AB，?.O為三棱錐P—ABC外接球球心，然后在OCP中求出半徑），當(dāng)看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值。例7（1）在矩形ABCD中，AB=4，則四面體ABCD的外接球的體積為125125A.——兀B.——兀129解：（1）2R=AC=5，R=5（2）在矩形ABCD中，AB=2，的外接球的表面積為BC=3，沿AC將矩形ABCD例7（1）在矩形ABCD中，AB=4，則四面體ABCD的外接球的體積為125125A.——兀B.——兀129解：（1）2R=AC=5，R=5（2）在矩形ABCD中，AB=2，的外接球的表面積為BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B—AC—D，（)125

C^—兀64*4125V=—"rR3=—兀?125

D.——R

3125r，選C3386BC=3，沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC所得三棱錐A—BCD解析：（2）BD的中點(diǎn)是球心O，2R=BD=v13，S=4兀R2=13兀；類型八、錐體的內(nèi)切球問題題設(shè)：如圖14，三棱錐P—ABC上正三棱錐，求其外接球的半徑。第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別是兩個(gè)三角形的外心；第二步：求DH=3BD，PO=PH—r，PD是側(cè)面AABP的高；D第三步：由^POE相似于APDH，建立等式:OE_PO

DH—PD解出r圖15第三步：由APOG相似于APFH，建立等式：=，解出HFPF3.題設(shè)：三棱錐P-ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，建立等式：匕&=VoABC+Vopab+Vopac+VopbcnV=1S-r+1S-r+1S-r+1S-r=1(S+S+S+S)-rP-ABC3AABC3PAB3PAC3PBC3AABCAPABPACAPBC第三步：解出r=3VPABCO-ABCO-PABO-PACO-第三步：解出r=TOC\o"1-5"\h\z若三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA=2，SB=SC=4，則該三棱錐的外接球半徑為()A.3B.6C.36D.9解：【A】(2R)2=*4+16+16=6，R=3【三棱錐有一側(cè)棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共兩種】__