矢量分析與場論課后答案

矢量分析與場論

習(xí)題11.寫出下列曲線的矢量方程，并說明它們是何種曲線。（1）x=acost,y=bsint（2）x=3sint,y=4sint,z=3cost解：(1)r=acosti+bsintj，其圖形是xOy平面上之橢圓。（2）r=3sinti+4sintj+3costk,其圖形是平面4x-3y=0與圓柱面x2+z2=32之交線，為一橢圓。4.求曲線x=t,y=t2,z=213的一個切向單位矢量t。J_??2解：曲線的矢量方程為r=ti+t2j+313kdr=i+20+2t2k則其切向矢量為dt模為I攵1=p'1+4t2+4t4=1+2t2ddr/|dr|=i+2tj+212k于是切向單位矢量為dTd―1+212一-A-if.■一4，一，丸……▲，一??一6.求曲線x=asin21,y=asin21,z=acost,在t=處的一個切向矢量。4解：曲線矢量方程為r=asin2"+a血笏+aco詼切向矢量為t==asin2i+2acos2j—asintk切向矢量為t=ai冗在t=彳處，=ai7.求曲線x=t2+1,y=4t-3,z=2t2-6t在對應(yīng)于t=2的點m處的切線方程和法平面方程。解：由題意得M(5,5,-4),曲線矢量方程為r=(t2+偵+(劣一3"+。2一G火dr在t=2的點m處，切向矢量t=dt=[2?+4j+(4t-6)k]\2=4i+4j+2kt=2x一5y-5z+4x-5y-5z+4于是切線方程為==—z—,即==—442221于是法平面方程為2(x一5)+2(y一5)+(z+4)=0，即2x+2y+z一16=08.求曲線r=ti+12j+13k上的這樣的點，使該點的切線平行于平面x+2y+z=4。解：曲線切向矢量為t=dr=i+2tj+3t象，⑴dt平面的法矢量為n=i+2J+k，由題知t-n=G+2tJ+3t2k).(i+2J+k)=1+4t+3t2=01得t=-1,-。將此依次代入⑴式，得.111.t111=-i+J-k,tI1=-3i+9J-牝kt=-3，…一、r111、故所求點為(-1，1-1),--w一無392/j習(xí)題21.說出下列數(shù)量場所在的空間區(qū)域，并求出其等值面。u=,Ax+By+Cz+D(2)u=arcsin,z=v'x2+y2解：G）場所在的空間區(qū)域是除Ax+By+Cz+D=0外的空間。等值面為1Ax+By+Cz+D=C1或^+刃心+D"=°（罕。為任意常數(shù)），這是與平面Ax+By+Cz+D=0平行的空間。(2)場所在的空間區(qū)域是除原點以外的z2<x2+y2的點所組成的空間部分。等值面為Z2=(x2+y2)sin2c,(x2+y2/0)，當sinc豐0時，是頂點在坐標原點的一族圓錐面(除頂點外)；當sinc=0時，是除原點外的xOy平面。2.求數(shù)量場u=x2+y2經(jīng)過點M(1,1,2)的等值面方程。z解：經(jīng)過點M6,12)等值面方程為x2+y2I2+12vu===1,z2即z=x2+y2,是除去原點的旋轉(zhuǎn)拋物面。3.已知數(shù)量場u=xy，求場中與直線x+2y-4=0相切的等值線方程。解：設(shè)切點為Gq)，等值面方程為xy=c=研，因相切，則斜率為k=—*=——，即x=2yx0200點(x0,y0)在所給直線上，有解之得*=?=2故xy=24.求矢量A=xy2i+x2yj+zy2k的矢量線方程。解矢量線滿足的微分方程為Axdr=0，dxdydz或==—xy2x2yzy2dxdz有xdx=ydy,=.xz解之得＜x：了；=C「(C1,C2為任意常數(shù))、Z25.求矢量場A=x2i+J2j+(X+y)zk通過點M(2,1,1)的矢量線方程。dxdydz解矢量線滿足的微分方程為/=元=的五由史=玄得n1+c，x2y2xy1TOC\o"1-5"\h\zd(x一y)dzd(x-y)dz_按等比定理有G=E'即片H-解得x一y=c2z.11八故矢量線方程為J1，又M(2,1,1)求得C=一i,C=1一122x一y=Czl21_11——故所求矢量線方程為〈xy2.x—y=zy習(xí)題31.求數(shù)量場U=x2z3+2y2z在點M(2,0,—1)處沿I=2xi—xy2j+3z4k的方向?qū)?shù)。其方向余弦為解：因/|=(2xi—xy2j+3z4k)=4i+3k,cosa=4,cosp=0,cosy=3.其方向余弦為在點M(2,0,—1)處有二=2xz3=—4,=4yz=0,=3x2z2+2y2=12,oxdydz所以奪=4?(—4)+0?0+3?12=4dl55.求數(shù)量場u=3x2z—xy+z2在點M(1,—1,1)處沿曲線x=t,y=—t2,z=t3朝t增大一方的方向?qū)?shù)。解：所求方向?qū)?shù)，等于函數(shù)u在該點處沿曲線上同一方向的切線方向?qū)?shù)。曲線上點M所對應(yīng)的參數(shù)為t=1,從而在點M處沿所取方向，曲線的切向方向?qū)?shù)為dx

dt=1dydtdx

dt=1dydtM=—21|t=1Mdzdt其方向余弦為cosa=——,cosP=-——,cosy=.——14v!414Ou.Ou又瓦Ou.Ou又瓦=(6xz頊=7=OuM于是所求方向?qū)?shù)為mOy=-xMOuOzOu=(Oucosa+OucosP+Oucosy)=7x—+(-1)x+5x—=^4rTOC\o"1-5"\h\zOxOyOzv14\14<14(14OuMM3.求數(shù)量場u=x2yz3在點M（2,1,-1）處沿哪個方向的方向?qū)?shù)最大?解：因Ou=(gradu)?10=|gradu|cos0當0=0時，方向?qū)?shù)最大。當0=0時，方向?qū)?shù)最大。gradU=（普+§+黑k）moxqyaz=(2xyz3i+x2z3j+3x2yz2k)=-4i-4j+12k,M即函數(shù)U沿梯度gradu=-4i-4j+12k方向的方向?qū)?shù)最大M最大值為gradu|I=、；176=牝11。M,.13.4.畫出平面場u=-(x2-y2)中u=0,3,15,2的等值線，并畫出場在M1(2^2)與點221M。（3八7）處的梯度矢量，看其是否符合下面事實：2（1）梯度在等值線較密處的模較大，在較稀處的模較??；（2）在每一點處，梯度垂直于該點的等值線，并指向U增大的方向。x2-y2=0,x2-y2=1,解：所述等值線的方程為：x2-y2=2,x2-y2=3,其中第一個又可以寫為x2-y2=4,X-y=0,X+y=0為二直線，其余的都是以O(shè)x軸為實軸的等軸雙曲線

（如下圖，圖中G1=gradu|,G2=gradu,）由于gradu=xi-y,故gradU=2i-、：2j,M1gradu|=3i-、7j,由圖可見，其圖形都符合所論之事實。5.用以下二法求數(shù)量場u=xy+yz+zx在點P（1,2,3）處沿其矢徑方向的方向?qū)?shù)。（1）直接應(yīng)用方向?qū)?shù)公式；（2）作為梯度在該方向上的投影。解：6）點P的矢徑r=i+2j+3k,其模r\=*14.其方向余弦為du=(y+z)=pp海Q=七海隊岳皿丫弓.又=(x+y)|=du=(y+z)=ppTOC\o"1-5"\h\zdu,dududu、=(cosa+cosp+cosy)所以dldxdydz所以P5x—+4x-L+3x￡=-2L。、14<14v1414gradu|=(竺i+竺j+竺k)=5i+4j+3kpdxdydzpr1.2.3-r0=_=i+j+k.r714V14V14故竺故dl故竺故dl=gradu|P?r0=5x-^+4x-L+3x旦=141414226,求數(shù)量場u=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z在點O(0,0,0)與點A(1,1,1)處梯度的大小和方向余弦。又問在哪些點上梯度為0?解：gradu=(2x+y+3)i+(4y+x一2)j+(6z-6)k,gradu|=3i-2j一6k,gradu|=6i+3j+0k,OA其模依次為：t'32+(—2)2+(—6)2=7,%62+32+02=3\：5326于是gradu的萬向余弦為cosa=-,cosP=一子,cosy=一藹.O777gradu|的方向余弦為cosa=Agradu|的方向余弦為cosa=A2?5，cosP1,cosy=0.‘2x+y+3=0,求使gradu=0之點，即求坐標滿足<4y+x-2=0,之點，由此解得6z-6=0x=-2,y=1,z=1故所求之點為(-2,1,1).7.通過梯度求曲面x2y+2xz=4上一點M(1,-2,3)處的法線方程。解：所給曲面可視為數(shù)量場u=x2y+2xz的一張等值面，因此，場u在點M處的梯度，就是曲面在該點的法矢量，即gradu|=(2xy+2z)i+x2j+2xk\=2i+j+2k,x—1y+2z—3故所求的法線方程為丁='—習(xí)題41.設(shè)S為上半球面x2+y2+z2=a2(z>0),求矢量場r=xi+yj+zk向上穿過S的通量中?！咎崾荆鹤⒁釹的法矢量n與r同指向】①=Jfr?dS=JJrdS=fjrdS=aJJdS=a-2m2=2na3.nSSSS2.設(shè)S為曲面x2+y2+z2=a2(0<z<h),求流速場v=(x+y+z)k在單位時間內(nèi)下側(cè)穿S的流量Q。

解.Q(xyz)dxdyS(XyX2y2)dxdy其中D為S在xOy面上的解.Q(xyz)dxdySD投影區(qū)域：x投影區(qū)域：x2y2h.用極坐標計算，有Q(rcosrsinr2)rdrdDh3h22dh(?2cosr2sin2dh(?2cosr2sinr3)dr00h2.o343.設(shè)S是錐面zv'x2y2在平面z4的下方部分，求矢量場A4xziyzj3zk向下穿出S的通量。解：略求下面矢量場A的散度。A(x3yz)i(y2xz)j(z3xy)k;A(2z3y)i(3xz)j(y2x)k;A(1ysinx)i(xcosyy)j.解：(1)divA3x22y3z2divA0divAycosxxsiny1求divA在給定點處的值：(1)Ax3iy3jz3k在點M(1,0,1)處;A4xi2xyjz2k在點M(1,1,3)處；Axyzr(rxiyjzk)在點M(1,3,2)處；解：(1)divA|(3x23y23z2)6divA|(42x2z)8divAxyzdivrgrad(xyz)r3xyz(yzixzjxyk)(xiyjzk)6xyz,故divA|6xy036。

6.已知u=xy2z3,A=x2i+xzj-2yzk,求div(uA)。解：divA=2x-2ygradu=y2z3i+2xyz3j+3xy2z2k故div(uA)=udivA+gradu?A=xy2z3(2x-2y)+(y2z3i+2xyz3j+3xy2z2k)(x2i+xzj-2yzk)=2x2y2z3一2x2y3z3+x2y2z3+2x2yz4一6xy3z3=3x2y2z3一8x2y3z3+2x2yz4.7.求矢量場A從內(nèi)穿出所給閉曲面S的通量中:(1)A=x3i+y3j+z3k,S為球面》2+y2+z2=a2;(2)A=(x-y+z)i+(y-z+x)j+(z-x+y)k,S為橢球面云+蕓+1|=1.解:⑴荷A-dS十dvAdV=」:3(x2+y十g其中Q為s所圍之球域x2+y2+z2<a2今用極坐標x=rsin0cosp,y=rsin0sin^,z=rcosO計算，有g(shù)3)Ifr2-r2sinfldrdWp=3』2丸dp』"siriwj"4dr=Q000(2)①=』』A-dS=j』JdivAdV=3』』』dV=3x—"abc=4"abc3SQQ習(xí)題五1.求一質(zhì)點在力場F=-yi-zj+xk的作用下沿閉曲線l:x=acost,y=asint,z=a(1-cost)從t=0到t=2"運動一周時所做的功。(2)解：功W=解：功W=』F?dl』-ydx-zdy+xdz=J2冗12sin21一a2(1一cost)cost+a2costsintL0=a2f2丸(1一cost+costsint)dt=2處a22.求矢量場A=-yi+xj+Ck(C為常數(shù))沿下列曲線的環(huán)量:圓周x2+y2=R2,z=0；圓周(x-2)2+y2=R2,z=0。解：(1)令x=Rcos0，則圓周x2+y2=R2,z=0的方程成為r=fA?dllf-ydx+xdylx=Rcos0,y=Rsin0,z=0，于是環(huán)量+Cdz=f2n(R2sin20+R2cos0)d0=2冗R2.0(2)令x一2=Rcos0，則圓周(x-2)2+y2=R2,z=0的方程成為x=Rcos0+2,y=Rsin0,z=0，于是環(huán)量r=fA?dl=f-ydx+xdy+Cdz=f2K[R2sin20+(Rr=fA?dllf-ydx+xdylll=f2%R2+2Rcos0d=2R203.用以下兩種方法求矢量場A=x(z一y)i+y(x-z)j+z(y一x)k在點m(1,2,3)處沿方向n=i+2j+2k的環(huán)量面密度。（1）直接應(yīng)用環(huán)量面密度的計算公式；（2）作為旋度在該方向上的投影。n1..2..212.2解：（1）n0==—i+j+k,故n的方向余弦為cos^=—,cosp=,cosy=n333333又P=x（z一y）,Q=y（x-z）,R=z（y一x）根據(jù)公式，環(huán)量面密度H|=[(R-Q)cosa+(P-R)cosP+(Q-P)cosy]m19

y1,、2,、2】58619

y=[(z+y)3+(x+z)3+(x+y)3]m=3+3+3=rotA=[(z+y)i+(x+z)j+(x+y)k]m=5i+4j+3k,于是

P|=rotA|nM,.、122.、?no=(5i+4j+3k)?(—i+—j+—k)

P|=rotA|nM19

y586=——+——+——=334.用雅可比矩陣求下列矢量場的散度和旋度。19

y(1)A=(3x2y+z)i+(y3-xz2)j+2xyzk;A=yz2i+zx2J+xy2k;A=P(x)i+Q(y)J+R(z)k.解：(1)〃a=16:2yz3x213y2-2xzi故有divA=敏葉3y2+2xy=(8x+3y)y,2xz2xyrotA=4xzi+(1—2yz)J-(z2+3x2比0z22yz(2)DA=<2xz0x2>,故有divA=0+0+0解：(1)〃a=16:2yz3x213y2-2xzi故有divA=敏葉3y2+2xy=(8x+3y)y,2xz2xy[p⑴00]DA=,0Q'(y)0},故有divA=P*(x)+Q'(y)+R*(z).00R?(z)rotA=0。5.已知u=exyz,A=z2i+x2J+y2k,求r<otUA.解：rotuA=urotA+graduxA,，002z]..DA=<2x00|,有rotA=2yi+2zJ+2xk,urotA=exy<2yi+2zJ+2xk),02y0Igradu=exyz(yzi+xzJ+xyk),graduxA

ijk=exyzyzxzxy=g[(xy2z-x3y)i+(x^z2-y3z)j+(x2yz-xz3)k],z2x2y2rotuA=exyJ[(2y+xy2z-x3y)i+(2z+xyz2-y3z)j+(2x+x2yz-xz3)k]習(xí)題六證明下列矢量場為有勢場，并用公式法和不定積分法求其勢函數(shù)。A=ycosxyi+xcosxyj+sinzk;A=(2xcosy一y2sinx)i+(2ycosx一x2siny)j.解：(1)記P=ycosxy,Q=xcosxy,R=sinz.??iJaaa則??iJaaa則rotA=—■—oxayPQkaOzR=0i+0j+[(cosxy一xysinxy)一(cosxy一xysinxy)]k=010公式法：v=-fxP(x,0,0)dx-JyQ(x,y,0)dy一JzR(x,y,z)dz+C0001=-Jx0dx-Jyxcosxydy-Jzsinzdz+C1=0一sinxy+cosz一1+C】=cosz一sinxy+C.2。不定積分法：因勢函數(shù)v滿足A=-gradv，即有v=-ycosxy,v=-xcosxy,v=-sinz,xyz將第一個方程對x積分，得v=-sinxy+9(y,z),對y求導(dǎo)，得v^=-xcosxy+9'y(y,z)，與第二個方程比較，知9'y(y,z)=0,于是9(y,z)=W(z),從而v=-sinxy+w(z).再對z求導(dǎo)，得\=w'(z),與第三個方程比較，知v'(z)=-sinz，故甲(z)=cosz+C.所以v=cosz一sinxy+C.(2)記P=2xcosy-y2sinx,Q=2ycosx-x2siny,R=0.

rotA=I

d

dx

Pk

d

dz

RrotA=I

d

dx

Pk

d

dz

R=0i+0J+[(-2ysinx-2xsiny)-(-2xsiny-2ysinx)依=010公式法：V=-JxP(x,0,0)dx-JyQ(x,y,0肉一JzR(x,y,z㈣+C000=-Jx2xdx-JJ(2ycosx-x2siny)dy-Jz0dz+C000=一x2—y2cosx一x2cosy+x2+C=-y2cosx一x2cosy+C.20不定積分法：因勢函數(shù)V滿足A=-gradV，即有v=-2xcosy+y2sinx,v=-2ycosx+x2siny,v=0,xyz將第一個方程對x積分，得v=-x2cosy-y2cosx+9(y,z),對y求導(dǎo)，得Vy=x2siny-2ycosx+9'y(y,z)，與第二個方程比較，知9'y(y,z)=0,于是9(y,z)=W(z),從而v=-x2cosy-y2cos+w(z).再對z求導(dǎo)，得Vz=w'(z),與第三個方程比較，知w'(z)=0，故w(z)=C.所以v=一x2cosy一y2cosx+C.下列矢量場A是否保守場？若是，計算曲線積分JAdl:l(1)A=(6xy+z2)i+(3x2-z)J+(3xz2-y)k，l的起點為A(4,0,1),終點為B(2,1,-1)；(2)A=2xzi+2yz2J+(x2+2y2z-1)k，l的起點為A(3,0,1),終點為B(5,-1,3).'6y6x3z2、解：(1)DA=<6x0-1b有3z2—16xzrotA=[(-1)一(-1)T+伎2-電/+(6x-礎(chǔ)=Q故A為保守場。因此，存在A?dl的原函數(shù)u。按公式

u-JXP(x9