4年級(jí)-9-行程之相遇問題-難版

第8講行程之相遇問題知識(shí)梳理甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是甲和乙一起走了A,B之間這段路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么甲 七 甲乙? ?? * ?在 RA B。時(shí)刻準(zhǔn)備用發(fā) 的間T后相遇相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度X相遇時(shí)間+乙的速度X相遇時(shí)間=（甲的速度+乙的速度）X相遇時(shí)間=速度和X相遇時(shí)間.一般地，相遇問題的關(guān)系式為：速度和X相遇時(shí)間 =路程和。解決行程問題，常常要借助于線段圖?！?>典型例題【例1】★一輛客車與一輛貨車同時(shí)從甲、乙兩個(gè)城市相對(duì)開出，客車每小時(shí)行 46千米，貨車每小時(shí)行48千米。3.5小時(shí)兩車相遇。甲、乙兩個(gè)城市的路程是多少千米？【解析】本題是簡(jiǎn)單的相遇問題，根據(jù)相遇路程等于速度和乘以相遇時(shí)間得到甲乙兩地路程為：（46+48）X3.5=94X3.5=329（千米）.【小試牛刀】?jī)傻亻g的路程有 255千米，兩輛汽車同時(shí)從兩地相對(duì)開出，甲車每小時(shí)行 45千米，乙車每小時(shí)行40千米。甲、乙兩車相遇時(shí)，各行了多少千米？【解析】根據(jù)相遇公式知道相遇時(shí)間是： 255+（45+40）=255+85=3（小時(shí)），所以甲走的路程為：45X3=135（千米），乙走的路程為：40X3=120（千米）.【例2】★大頭兒子的家距離學(xué)校3000米，小頭爸爸從家去學(xué)校接大頭兒子放學(xué)，大頭兒子從學(xué)?；丶遥麄兺瑫r(shí)出發(fā)，小頭爸爸每分鐘比大頭兒子多走 24米，50分鐘后兩人相遇，那么大頭兒子的速度是每分鐘走多少米？【解析】大頭兒子和小頭爸爸的速度和： 30005060（米/分鐘），小頭爸爸的速度：（6024）242（米/分鐘），大頭兒子的速度： 604218（米/分鐘）.【小試牛刀】聰聰和明明同時(shí)從各自的家相對(duì)出發(fā)，明明每分鐘走20米，聰聰騎著腳踏車每分鐘比明明快42米，經(jīng)過20分鐘后兩人相遇，你知道聰聰家和明明家的距離嗎？【解析】方法一：由題意知聰聰?shù)乃俣仁牵?204262（米/分），兩家的距離 明明走過的路程聰聰走過的路程2020622040012401640（米），請(qǐng)教師畫圖幫助學(xué)生理解分析.注意利用乘法分配律的反向應(yīng)用就可以得到公式： 6口v和t.對(duì)于剛剛學(xué)習(xí)奧數(shù)的孩子，注意引導(dǎo)他們認(rèn)識(shí)、理解及應(yīng)用公式.方法二：直接利用公式： &v和t（2062201640（米）.【例3】★★A、B兩地相距90米，包子從A地到B地需要30秒，菠蘿從B地到A地需要15秒，現(xiàn)在包子和菠蘿從A、B兩地同時(shí)相對(duì)而行，相遇時(shí)包子與B地的距離是多少米？【解析】包子的速度： 90303（米/秒），菠蘿的速度：90156（米/秒），相遇的時(shí)間：90（36）10（秒），包子距B地的距離：9031060（米）.【例4】★★甲、乙兩車分別從相距360千米的A、B兩城同時(shí)出發(fā)，相對(duì)而行，已知甲車到達(dá)B城需4小時(shí)，乙車到達(dá)A城需12小時(shí)，問：兩車出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相遇？【解析】要求兩車的相遇時(shí)間，則必須知道它們各自的速度， 甲車的速度是360490（千米/時(shí)），乙車的速度是3601230（千米/時(shí)），則相遇時(shí)間是360（9030）3（小時(shí)）.【例5】★★甲、乙兩輛汽車分別從A、B兩地出發(fā)相對(duì)而行，甲車先行1小時(shí)，甲車每小時(shí)行48千米，乙車每小時(shí)行50千米，5小時(shí)相遇，求A、B兩地間的距離.【解析】這題不同的是兩車不“同時(shí)” .求A、B兩地間的路程就是求甲、乙兩車所行的路程和.這樣可以充分別求出甲車、 乙車所行的路程，再把兩部分合起來(lái).48（15）288（千米），505250（千米），288250538（千米）.【小試牛刀】甲、乙兩列火車從相距 770千米的兩地相向而行，甲車每小時(shí)行 45千米，乙車每小時(shí)行41千米，乙車先出發(fā)2小時(shí)后，甲車才出發(fā).甲車行幾小時(shí)后與乙車相遇？【解析】甲、乙兩車出發(fā)時(shí)間有先有后，乙車先出發(fā) 2小時(shí)，這段時(shí)間甲車沒有行駛，那么乙車這2小時(shí)所行的路程不是甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的時(shí)間. 乙車先行駛路程：41282（千米），甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行路程： 77082688（千米），甲、乙兩車速度和：454186（千米/時(shí)），甲車行的時(shí)間：688868（小時(shí)）.【例6】★★甲、乙兩輛汽車分別從A、B兩地出發(fā)相向而行，甲車先行3小時(shí)后乙車從B地出發(fā)，乙車出發(fā)5小時(shí)后兩車還相距15千米.甲車每小時(shí)行48千米，乙車每小時(shí)行50千米.求A、B兩地間相距多少千米？【解析】題目中寫的“還”相距 15千米指的就是最簡(jiǎn)單的情況。畫線段圖如下：中同工小時(shí)，/W由圖中可以看出，甲行駛了 358（小時(shí)），行駛距離為：488384（千米）；乙行駛了5小時(shí)，行駛距離為：505250（千米），此時(shí)兩車還相距15千米，所以A、B兩地間相距：38425015 649（千米）也可以這樣做：兩車5小時(shí)一共行駛：（4850）5490（千米），A、B兩地間相距：49048315649（千米），所以，A、B兩地間相距649千米.【小試牛刀】（全國(guó)希望杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）甲、乙兩輛汽車從A、B兩地同時(shí)相向開出，出發(fā)后2小時(shí)，兩車相距141千米；出發(fā)后5小時(shí)，兩車相遇.A、B兩地相距多少千米？【解析】公式“相遇時(shí)間路程和速度和”中，對(duì)于速度不變的兩車， “相遇時(shí)間”與“路程和”是一一對(duì)應(yīng)的.如圖所示

相遇5小時(shí)A5小時(shí)141千米相遇5小時(shí)A5小時(shí)141千米B5小時(shí)的相遇時(shí)間與A、B兩地的距離相對(duì)應(yīng)，（52）小時(shí)的相遇時(shí)間與141千米相對(duì)應(yīng)兩車的速度之和是：141（52）47（千米/時(shí)）.A、B兩地相距：475235（千米）【例7】★★兩列城鐵從兩城同時(shí)相對(duì)開出，一列城鐵每小時(shí)走 40千米，另一列城鐵每小時(shí)走45千米，在途中每列車先后各停車 4次，每次停車15分鐘，經(jīng)過7小時(shí)兩車相遇，求兩城的距離？【解析】每列車停車時(shí)間：15460（分）=1（小時(shí)），兩列車停車時(shí)間共2小時(shí)，共同行駛時(shí)間:716小時(shí)，速度和：404585（千米），兩城距離：856510（千米）.【小試牛刀】?jī)闪谐氰F從兩城同時(shí)相對(duì)開出，一列城鐵每小時(shí)走 40千米，另一列城鐵每小時(shí)走45千米，在途中每列車先后各停車5次，每次停車12分鐘，經(jīng)過7小時(shí)兩車相遇，求兩城的距離？【解析】每列車停車時(shí)間： 12560（分）=1（小時(shí)），兩列車停車時(shí)間共2小時(shí)，共同行駛時(shí)間：716小時(shí)，速度和：404585（千米），兩城距離：856510（千米）.【例8]★★夏夏和冬冬同時(shí)從兩地相向而行，夏夏每分鐘行 50米，冬冬每分鐘行60米,兩人在距兩地中點(diǎn)50米處相遇，求兩地的距離是多少米？【解析】根據(jù)題意，畫線段圖如下：,中點(diǎn)I—T 1從圖中可以看出（可讓學(xué)生先判斷相遇點(diǎn)在中點(diǎn)哪一側(cè)，為什么？），因?yàn)橄南牡乃俣缺榷韵嘤鳇c(diǎn)一定在中點(diǎn)偏向夏夏的這一邊 50米，由圖可以得出：夏夏所行路程 全程一半50米，冬冬所行路程全程一半50米；所以兩人相遇時(shí)，冬冬比夏夏多走了502100（米），冬冬比夏夏每分鐘多走10米，所以兩人從出發(fā)到相遇共走了 10分鐘，兩地的距離：（6050）101100（米）.【小試牛刀】甲乙兩人同時(shí)從兩地相向而行.甲每小時(shí)行 5千米，乙每小時(shí)行4千米.兩人相遇時(shí)乙比甲少行3千米.兩地相距多少千米？【解析】?jī)扇诵旭偟臅r(shí)間為 3+（5-4）=3小時(shí)，所以兩地相距（5+4）X3=27千米【例9】★★甲乙二人同時(shí)分別自AB兩地出發(fā)相向而行，相遇之地距AB中點(diǎn)300米，已知甲每分鐘行100米，乙每分鐘行70米，求A地至B地的距離.【解析】相遇時(shí)甲比乙多行3002600（米）,相遇時(shí)共用了6001007020（分），AB兩地之間的距離為10070 203400（米）.【小試牛刀】李明和王亮同時(shí)分別從兩地騎車相向而行，李明每小時(shí)行 18千米，王亮每小時(shí)行16千米，兩人相遇時(shí)距全程中點(diǎn) 3千米.問全程長(zhǎng)多少千米？【解析】李明走了全程的一半多3千米，王亮走了全程的一半少3千米，李明比王亮實(shí)際多走了326（千米）.由已知李明每小時(shí)比王亮多走18162（千米），李明比王亮多行6千米需要623（小時(shí)），這就是兩人的相遇時(shí)間，有了相遇時(shí)間，全程是： （1816）3102（千米）.【例10】★★★甲、乙兩車分別同時(shí)從a、B兩地相對(duì)開出，第一次在離A地95千米處相遇.相遇后繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次在離 B地25千米處相遇.求a、b兩地間的距離.【解析】畫線段示意圖（實(shí)線表示甲車行進(jìn)的路線，虛線表示乙車行進(jìn)的路線 ）第一次相通 笫二次始期可以發(fā)現(xiàn)第一次相遇意味著兩車行了一個(gè) A、B兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個(gè)A、B兩地間的距離.當(dāng)甲、乙兩車共行了一個(gè) A、B兩地間的距離時(shí)，甲車行了 95千米，當(dāng)它們共行三個(gè)a、b兩地間的距離時(shí)，甲車就行了3個(gè)95千米，即953285（千米），而這285千米比一個(gè)a、b兩地間的距離多25千米，可得：9532528525260（千米）.

【小試牛刀】甲、乙兩車分別同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開出，第一次在離A地90千米處相遇.相遇后繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次在離 B地30千米處相遇.求A、B兩地間的距離？【解析】第一次相遇意味著兩車行了一個(gè) A、B兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個(gè)A、B兩地間的距離.當(dāng)甲、乙兩車共行了一個(gè) A、B兩地間的距離時(shí)，甲車行了 90千米，當(dāng)它們共行三個(gè)A、B兩地間的距離時(shí)，甲車就行了3個(gè)90千米，即903270（千米），而這270千米比一個(gè)A、B兩地間的距離多30千米，可得：9033027030240（千米）..甲、乙兩列火車從相距144千米的兩地相向而行，甲車每小時(shí)行28千米，乙車每小時(shí)行22千米，乙車先出發(fā)2小時(shí)后，甲車才出發(fā).甲車行幾小時(shí)后與乙車相遇？【解析】甲、乙兩車出發(fā)時(shí)間有先有后，乙車先出發(fā) 2小時(shí)，這段時(shí)間甲車沒有行駛，那么乙車這2小時(shí)所行的路程不是甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的時(shí)間. 乙車先行駛路程：22244（千米），甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行路：14444100（千米），甲、乙兩車速度和：282250（千米），與乙車相遇時(shí)甲車行的時(shí)間為： 100502（小時(shí)）..媽媽從家出發(fā)到學(xué)校去接小紅，媽媽每分鐘走 75米.媽媽走了3分鐘后，小紅從學(xué)校出發(fā)，小紅每分鐘走60米.再經(jīng)過20分鐘媽媽和小紅相遇.從小紅家到學(xué)校有多少米?20分鐘后媽媽和小紅相遇，也60）20 2700（米）,這樣?jì)尅窘馕觥繈寢屜茸吡?分鐘，就是先走了75322520分鐘后媽媽和小紅相遇，也60）20 2700（米）,這樣?jì)尵褪钦f媽媽和小紅共同走了 20分鐘，這一段的路程為：（75媽先走的那一段路程， 加上后來(lái)媽媽和小紅走的這一段路程， 就是小紅家到學(xué)校的距離. 即（753）（7560）202925（米）..甲乙兩座城市相距530千米，貨車和客車從兩城同時(shí)出發(fā)，相向而行.貨車每小時(shí)行50千米，客車每小時(shí)行70千米.客車在行駛中因故耽誤1小時(shí)，然后繼續(xù)向前行駛與貨車相遇.問相遇時(shí)客車、貨車各行駛多少千米？【解析】因?yàn)榭蛙囋谛旭傊械⒄`1小時(shí)，而貨車沒有停止繼續(xù)前行，也就是說，貨車比客車多走1小時(shí).如果從總路程中把貨車單獨(dú)行駛 1小時(shí)的路程減去，然后根據(jù)余下的就是客車和貨車共同走過的.再求出貨車和客車每小時(shí)所走的速度和， 就可以求出相遇時(shí)間. 然后根據(jù)路程=速度X時(shí)間，可以分別求出客車和貨車在相遇時(shí)各自行駛的路程.相遇時(shí)間：（53050）（5070）4801204（小時(shí)）相遇時(shí)客車行駛的路程 ：704280（千米）相遇時(shí)貨車行駛的路程：50（41）250（千米）..甲、乙兩列火車從相距366千米的兩個(gè)城市對(duì)面開來(lái)，甲列火車每小時(shí)行 37千米，乙列火車每小時(shí)行36千米，甲列火車先開出2小時(shí)后，乙列火車才開出，問乙列火車行幾小時(shí)后與甲列火車相遇？【解析】（366372）（3736）4（小時(shí)）..夏夏和冬冬同時(shí)從兩地相向而行，兩地相距 1100米，夏夏每分鐘行50米，冬冬每分鐘行60米，問兩人在距兩地中點(diǎn)多遠(yuǎn)處相遇？【解析】?jī)蓚€(gè)人的相遇時(shí)間為： 1100（5060）10（分鐘），所以相遇時(shí)東東走了：6010600（米），兩個(gè)人距離中點(diǎn)距離為：6001100250（米）.王老師從甲地到乙地， 每小時(shí)步行5千米，張老師從乙地到甲地，每小時(shí)步行4千米.兩人同時(shí)出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點(diǎn) 1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.【解析】畫一張示意圖（可讓學(xué)生先判斷相遇點(diǎn)在中點(diǎn)哪一側(cè)，為什么？ ）1千米甲I I I I乙A離中點(diǎn)1千米的地方是A點(diǎn)，從圖上可以看出，王老師走了兩地距離的一半多1千米，張老師走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，王老師比張老師多走了2千米，王老師比張老師每小時(shí)多走（54）千米，從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是2（54）2（小時(shí)）。因此，甲、乙兩地的距離是（54）2 18（千米）..樹葉和月亮同時(shí)分別從兩地騎車相向而行， 樹葉每小時(shí)行18千米，月亮每小時(shí)行16千米，兩人相遇時(shí)距全程中點(diǎn)5千米