空間向量及其運算（重難點突破） 高二數(shù)學上學期對點訓練（人教A版2019選擇性必修第一冊）

空間向量及其運算知識結(jié)構思維導圖學法指導與考點梳理（一）、空間向量及其運算知識點1：空間向量的有關概念1．空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：空間向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知識點詮釋：（1）空間中點的一個平移就是一個向量；（2）數(shù)學中討論的向量與向量的起點無關，只與大小和方向有關，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。2．幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知識點2：空間向量的線性運算(1)、向量的加法、減法空間向量的運算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運算律①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)、空間向量的數(shù)乘運算①定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．當λ>0時，λa與向量a方向相同；當λ<0時，λa與向量a方向相反；當λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．②運算律結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點3：共線問題共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知識點4：向量共面問題共面向量(1)定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①證明四點共面②線面平行（進而證面面平行）。知識點5：空間向量數(shù)量積的運算空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數(shù)量積的運算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知識點6：利用數(shù)量積證明空間垂直關系當a⊥b時，a·b＝0.知識點七：夾角問題1.定義：已知兩個非零向量、，在空間任取一點D，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。根據(jù)空間兩個向量數(shù)量積的定義：，那么空間兩個向量、的夾角的余弦。知識點7：空間向量的長度定義：在空間兩個向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；。2.利用向量求線段的長度。將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解。（二）、空間向量的基本定理知識點8：空間向量基本定理及樣關概念的理解空間向量基本定理：如果空間中的三個向量，，不共面，那么對空間中的任意一個向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得.其中，空間中不共面的三個向量，，組成的集合{，，}，常稱為空間向量的一組基底.此時，，，都稱為基向量；如果，則稱為在基底{，，}下的分解式.知識點9：空間向量的正交分解單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示.正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.知識點10：用空間向量基本定理解決相關的幾何問題用已知向量表示某一向量的三個關鍵點：(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量．(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立（三）、空間向量及其運算的坐標表示知識點11、空間直角坐標系1.空間直角坐標系從空間某一定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標系，點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別是平面、yOz平面、zOx平面.2.右手直角坐標系在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系.3.空間點的坐標空間一點A的坐標可以用有序數(shù)組(x，y，z)來表示，有序數(shù)組(x，y，z)叫做點A的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標.知識點12、空間直角坐標系中點的坐標1.空間直角坐標系中點的坐標的求法通過該點，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點，交點在這條軸上的坐標就是已知點相應的一個坐標.特殊點的坐標：原點；軸上的點的坐標分別為；坐標平面上的點的坐標分別為.2.空間直角坐標系中對稱點的坐標在空間直角坐標系中，點，則有點關于原點的對稱點是；點關于橫軸(x軸)的對稱點是；點關于縱軸(y軸)的對稱點是；點關于豎軸(z軸)的對稱點是；點關于坐標平面的對稱點是；點關于坐標平面的對稱點是；點關于坐標平面的對稱點是.知識點13、空間向量的坐標運算（1）空間兩點的距離公式若，則①即:一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。②，或.知識點詮釋：兩點間距離公式是模長公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量的坐標表示，然后再用模長公式推出。（2）空間線段中點坐標空間中有兩點，則線段AB的中點C的坐標為.（3）向量加減法、數(shù)乘的坐標運算若，則①;②;③;（4）向量數(shù)量積的坐標運算若，則即：空間兩個向量的數(shù)量積等于他們的對應坐標的乘積之和。（5）空間向量長度及兩向量夾角的坐標計算公式若，則(1).(2).（6）空間向量平行和垂直的條件若，則①②規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直作用：證明線線平行、線線垂直.重難點題型突破重難點1空間向量的概念及其線性運算例1．（1）、（2022·全國·高二課時練習）下列說法正確的是（

）A．零向量沒有方向B．空間向量不可以平行移動C．如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等D．同向且等長的有向線段表示同一向量【答案】D【分析】根據(jù)零向量的規(guī)定可以確定A錯誤；根據(jù)空間向量是自由向量可以確定B；根據(jù)相等向量的定義可以確定C、D.【詳解】對于A：零向量的方向是任意的，A錯誤；對于B：空間向量是自由向量可以平移，B錯誤；對于C、D：大小相等方向相同的兩個向量為相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即為向量不同，C錯誤；D符合定義，正確.故選：D.（2）、（2022·全國·高二專題練習）如圖，在三棱錐中，設，若，則=（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】連接根據(jù)三棱錐的結(jié)構特征及空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義，用表示，即可知正確選項.【詳解】連接.故選：A（3）、（2022·全國·高二課時練習）（多選題）下列結(jié)論正確的是（

）A．三個非零向量能構成空間的一個基底，則它們不共面B．兩個非零向量與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則這兩個向量共線C．若，是兩個不共線的向量，且，且，則，，構成空間的一個基底D．若，，不能構成空間的一個基底，則，，，四點共面【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量基本定理即可判斷出各個選項的正誤．【詳解】解：對于選項A：三個非零向量能構成空間的一個基底，則三個非零向量不共面，所以選項A正確，對于選項B：三個非零向量不共面，則此三個向量可以構成空間的一個基底，若兩個非零向量與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則這三個向量共面，則已知的兩個向量共線，所以選項B正確，對于選項C：、且、，，，共面，不能構成基底，所以選項C錯誤，對于選項D：、、共起點，若、、、四點不共面，則必能作為空間的一個基底，所以選項D正確，故選：ABD．【變式訓練1-1】、（2022·全國·高二專題練習）有下列命題：①若與平行，則與所在的直線平行；②若與所在的直線是異面直線，則與一定不共面；③若、、兩兩共面，則、、一定也共面；④若與是平面上互不平行的向量，點，點，則與、一定不共面．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)空間向量共線、共面及基本定理判斷即可；【詳解】解：①若向量，平行，則向量，所在的直線平行或重合，因此①不正確；②若向量，所在的直線為異面直線，則向量，是共面向量，因此②不正確；③若三個向量，，兩兩共面，則向量，，不一定共面，可能是空間三個不共面的向量，如空間直角坐標系中軸、軸、軸方向上的單位向量，因此③不正確；④若與是平面上互不平行的向量，即與可以作為平面上的一組基底，點，點，但是直線可以平行平面，則與、共面，故④錯誤．故選：A【變式訓練1-2】、（2023·全國·高三專題練習）如圖，在斜三棱柱中，M為BC的中點，N為靠近的三等分點，設，，，則用，，表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)空間向量的線性運算即可得到答案.【詳解】故選：A【變式訓練1-3】、（2021·江蘇·周市高級中學高二階段練習）(多選題)下列說法正確的是（

）A．空間中任意兩非零向量共面B．直線的方向向量是唯一確定的C．若，則A，B，C，D四點共面D．在四面體中，E，F(xiàn)為，中點，G為中點，則【答案】AC【分析】由空間中任意兩個向量都共面判斷A；由直線的方向向量定義判斷B；由共面定理的推理判斷C；根據(jù)向量的平行四邊形法則判斷D.【詳解】對于A，空間中任意兩個向量都共面，故A正確；對于B，空間直線的方向用一個與該直線平行的非零向量來表示，該向量稱為這條直線的一個方向向量，故B錯誤；對于C，因為，所以，，因為，所以A，B，C，D四點共面，故C正確；對于D，因為E，F(xiàn)為，中點，G為中點，所以，，故D錯誤；故選：AC重難點2空間向量的基本定理例2．（1）、為空間向量的一組基底，則下列各項中，能構成空間向量的基底的一組向量是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，因為，所以共面，不能構成基底，排除A，對于B，因為，所以共面，不能構成基底，排除B，對于D，，所以共面，不能構成基底，排除D，對于C，若共面，則，則共面，與為空間向量的一組基底相矛盾，故可以構成空間向量的一組基底，故選C（2）、（2021·浙江省杭州第二中學高二期中）（多選題）已知是空間中的一個基底，則下列說法正確的是（

）A．存在不全為零的實數(shù)，，，使得B．對空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得C．在，，中，能與，構成空間另一個基底的只有D．不存在另一個基底，使得【答案】BC【分析】根據(jù)空間向量基底概念分別判斷即可．【詳解】對于A，若存在不全為零的實數(shù)，，，使得，，，不能構成空間的一個基底，所以A錯；對于B，因為，，構成空間的一個基底，所以對空間任一向量，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，，，使得，所以B對；對于C，因為，，所以，，不能與，構成空間另一個基底；又因為設，，若，所以與，構成空間另一個基底；所以在，，中，能與，構成空間另一個基底的只有，所以C對；對于D，存在，根據(jù)向量運算幾何意義，表示以為頂點，以，，為相鄰三邊的長方體對角線，繞此對角線長方體旋轉(zhuǎn)，基底也變?yōu)榱硪换?，，，都滿足，所以D錯誤．故選：BC【變式訓練2-1】、（2022·全國·高二課時練習）（多選題）若向量{，，}構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）A．，，2 B．，，C．，， D．2，，【答案】ABD【分析】直接利用向量的基底和向量的線性運算的應用判斷A、B、C、D的結(jié)論．【詳解】解：對于A：由于向量{，，}構成空間的一個基底，且滿足，故A正確；對于B：由于，故B正確；對于C：由于，故C錯誤；對于D：由于，故D正確．故選：ABD．【變式訓練2-2】（2022·全國·高二課時練習）（多選題）若是空間的一個基底，則下列向量組也可以作為空間一個基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】ACD【分析】結(jié)合空間向量基底的概念逐項分析判斷即可得出結(jié)論.【詳解】A選項：設，即，不存在使得等式成立，因此，，不共面，故可以作為一個基底；B選項：設，即，令，此時等式成立，即，，共面，故不可以作為一個基底；C選項：設，即，不存在使得等式成立，因此，，不共面，故可以作為一個基底；D選項：設，即，不存在使得等式成立，因此，，不共面，故可以作為一個基底.故選：ACD.重難點3空間向量的坐標與空間直角坐標系例3．（1）、（2022·全國·高二課時練習）化簡算式：______．【答案】【分析】根據(jù)向量的運算法則，準確運算，即可求解.【詳解】由題意得.故答案為：.（2）、（2021·吉林油田高級中學高二開學考試）若向量，，則______．【答案】19【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算，求得的坐標，再根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標表示求得答案.【詳解】∵，，∴，∴,故答案為：19（3）、（2021·吉林油田高級中學高二開學考試）已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘以及減法運算，即可求得答案.【詳解】,故選:D．【變式訓練3-1】、（2022·全國·高二課時練習）已知空間向量??是兩兩互相垂直的單位向量，=___________.【答案】【分析】利用空間向量的數(shù)量積的運算律及模長公式即求.【詳解】∵空間向量??是兩兩互相垂直的單位向量，∴，∴.故答案為：.【變式訓練3-2】、（2021·全國·高二課時練習）（多選題）已知向量，下列等式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)條件可得出，然后可看出選項A的等式的左邊是向量，右邊是實數(shù)，顯然該等式不成立；進行數(shù)量積的運算即可判斷選項B，C都正確；根據(jù)和即可判斷選項D正確．【詳解】，∴，A：，∴該等式錯誤；B：，，∴該等式正確；C：，∴該等式正確；D：，，∴，∴該等式正確．故選：BCD．【變式訓練3-3】、（2022·全國·高三專題練習）已知，，則向量與的夾角為（

）A．90° B．60° C．30° D．0°【答案】A【分析】結(jié)合空間向量的夾角坐標運算公式以及三角恒等變換化簡求出夾角的余弦值，進而可得到結(jié)果.【詳解】因為，，所以，，設向量與的夾角為，則，因為，所以，故向量與的夾角為，故選：A.重難點4平行與垂直例4．（1）、（2022·全國·高三專題練習）已知向量，，若，則實數(shù)的值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】利用列方程，即可求解.【詳解】因為向量，，且，所以，解得：.故選：C（2）、（2022·江蘇省江浦高級中學高二期中）在空間直角坐標系中，，，，若，則實數(shù)的值為（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】由空間向量垂直的坐標表示計算．【詳解】由題意，，，，因為，所以，．故選：A．【變式訓練4-1】、（2022·全國·高二專題練習）已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，則實數(shù)的值為____．【答案】或##或【分析】利用空間向量垂直充要條件列出關于實數(shù)的方程，解之即可求得實數(shù)的值【詳解】，，，解得或．故答案為：或．【變式訓練4-2】、（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三開學考試）已知空間向量，，則下列選項正確的為（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BCD【分析】對于A、B分別根據(jù)向量平行和垂直的等價條件轉(zhuǎn)換計算；對于C、D分別代向量的模的公式及夾角公式計算可得.【詳解】向量，對于A.若，則，所以，故此選項錯誤；對于B.若，，則，故此選項正確；對于C.若，則，則，故此選項正確；對于D.若，則，所以，故此選項正確；故答案為：BCD例5．（2021·吉林油田高級中學高二開學考試）已知空間中三點的坐標分別為，，，且，．(1)求向量與夾角的余弦值；(2)若與互相垂直，求實數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求得向量與的坐標，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案；（2）表示出與的坐標，根據(jù)與互相垂直可得關于k的方程，即可求得答案.（1），，所以．（2）因為，，且與互相垂直，所以，解得．例6．（2022·全國·高二專題練習）已知：，，，求：(1)；(2)與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，求出，由求出，得出答案；（2）利用空間向量的坐標運算和夾角公式可得出答案.(1)，，解得，故又因為，所以，即，解得，故(2)由(1)可得設向量與所成的角為，，則．

課堂定時訓練（45分鐘）1、（2022·全國·高二單元測試）在空間四點O，A，B，C中，若是空間的一個基底，則下列命題不正確的是（

）A．O，A，B，C四點不共線B．O，A，B，C四點共面，但不共線C．O，A，B，C四點不共面D．O，A，B，C四點中任意三點不共線【答案】B【分析】根據(jù)基底的含義，非零向量不在同一平面內(nèi)，即O，A，B，C四點不共面，即可判斷【詳解】因為為基底，所以非零向量不在同一平面內(nèi)，即O，A，B，C四點不共面，所以A、C、D選項說法正確，B錯誤．故選：B2．（2022·全國·高三專題練習）如圖，設，，，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量是線性運算法則，計算即可得答案.【詳解】由題意得=.故選：A3．（2022·全國·高二）設，向量，且，則（