微分方程模型第四講課件

例1（理想單擺運(yùn)動(dòng)）建立理想單擺運(yùn)動(dòng)滿足的微分方程，并得出理想單擺運(yùn)動(dòng)的周期公式。從圖3-1中不難看出，小球所受的合力為mgsinθ，根據(jù)可得：

從而得出兩階微分方程：（3.1）這是理想單擺應(yīng)滿足的運(yùn)動(dòng)方程

（3.1）是一個(gè)兩階非線性方程，不易求解。當(dāng)θ很小時(shí)，sinθ≈θ，此時(shí)，可考察（3.1）的近似線性方程：（3.2）由此即可得出

（3.2）的解為:θ(t)=θ0cosωt

其中當(dāng)時(shí),θ(t)=0故有MQPmg圖3-1

（3.1）的近似方程例6新產(chǎn)品的推廣

經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會(huì)學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷速度問題。怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述它，并由此析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯包銷售模型。

設(shè)需求量有一個(gè)上界，并記此上界為K，記t時(shí)刻已銷售出的電飯包數(shù)量為x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為K－x(t)，于是由統(tǒng)計(jì)籌算律：記比例系數(shù)為k，則x(t)滿足：

此方程即Logistic模型，解為：還有兩個(gè)奇解:x=0和x=K

對(duì)x(t)求一階、兩階導(dǎo)數(shù)：x’(t)>0，即x(t)單調(diào)增加。令x’’(t0)=0，有當(dāng)t<t0時(shí)，x’(t)單調(diào)增加，當(dāng)t>t0時(shí)，x’(t)單調(diào)減小。在銷出量小于最大需求量的一半時(shí)，銷售速度是不斷增大的，銷出量達(dá)到最大需求量的一半時(shí)，該產(chǎn)品最為暢銷，接著銷售速度將開始下降。所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有20%用戶到有80%用戶這段時(shí)期，應(yīng)該大批量生產(chǎn)；后期則應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟(jì)效果。藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認(rèn)為是與藥物當(dāng)前的濃度成正比的，即：藥物分布的單房室模型

單房室模型是最簡(jiǎn)單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時(shí)刻都是均勻分布的，設(shè)t時(shí)刻體內(nèi)藥物的總量為x(t)；系統(tǒng)處于一種動(dòng)態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式：

藥物的輸入規(guī)律與給藥的方式有關(guān)。下面，我們來(lái)研究一下在幾種常見的給藥方式下體內(nèi)藥體的變化規(guī)律。機(jī)體環(huán)境藥物總量圖3-8

假設(shè)藥物均勻分布情況1快速靜脈注射機(jī)體環(huán)境只輸出不輸入房室其解為：藥物的濃度：

與放射性物質(zhì)類似，醫(yī)學(xué)上將血漿藥物濃度衰減一半所需的時(shí)間稱為藥物的血漿半衰期：負(fù)增長(zhǎng)率的Malthus模型

在快速靜脈注射時(shí)，總量為D的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。設(shè)機(jī)體的體積為V，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為D，濃度為D/V，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地滿足微分方程：（3.12）

情況2恒速靜脈點(diǎn)滴機(jī)體環(huán)境恒定速率輸入房室藥物似恒速點(diǎn)滴方式進(jìn)入體內(nèi)，即:則體內(nèi)藥物總量滿足：（x(0)=0）

（3.13）

這是一個(gè)一階常系數(shù)線性方程，其解為：或易見：稱為穩(wěn)態(tài)血藥濃度

對(duì)于多次點(diǎn)滴，設(shè)點(diǎn)滴時(shí)間為T1，兩次點(diǎn)滴之間的間隔時(shí)間設(shè)為T2，則在第一次點(diǎn)滴結(jié)束時(shí)病人體內(nèi)的藥物濃度可由上式得出。其后T2時(shí)間內(nèi)為情況1。故：（第一次）

0≤t≤T1

T1≤t≤T1

+T2

類似可討論以后各次點(diǎn)滴時(shí)的情況，區(qū)別只在初值上的不同。第二次點(diǎn)滴起，患者體內(nèi)的初始藥物濃度不為零。情況3口服藥或肌注y(t)x(t)K1yK1x環(huán)境機(jī)體外部藥物

口服藥或肌肉注射時(shí)，藥物的吸收方式與點(diǎn)滴時(shí)不同，藥物雖然瞬間進(jìn)入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為K1，即若記t時(shí)刻殘留藥物量為y(t)，則y滿足：D為口服或肌注藥物總量

因而：所以：解得：從而藥物濃度：

新藥品、新疫苗在臨床應(yīng)用前必須經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間的基礎(chǔ)研究、小量試制、中間試驗(yàn)、專業(yè)機(jī)構(gòu)評(píng)審及臨床研究。當(dāng)一種新藥品、新疫苗研制出來(lái)后，研究人員必須用大量實(shí)驗(yàn)搞清它是否真的有用，如何使用才能發(fā)揮最大效用，提供給醫(yī)生治病時(shí)參考。在實(shí)驗(yàn)中研究人員要測(cè)定模型中的各種參數(shù)，搞清血藥濃度的變化規(guī)律，根據(jù)疾病的特點(diǎn)找出最佳治療方案（包括給藥方式、最佳劑量、給藥間隔時(shí)間及給藥次數(shù)等），這些研究與試驗(yàn)據(jù)估計(jì)最少也需要數(shù)年時(shí)間。在2003年春夏之交的SARS（非典）流行期內(nèi)，有些人希望醫(yī)藥部門能趕快拿出一種能治療SARS的良藥或預(yù)防SARS的有效疫苗來(lái)，但這只能是一種空想。SARS的突如其來(lái)，形成了“外行不懂、內(nèi)行陌生”的情況。國(guó)內(nèi)權(quán)威機(jī)構(gòu)一度曾認(rèn)為這是“衣原體”引起的肺炎，可以用抗生素控制和治療。但事實(shí)上，抗生素類藥物對(duì)SARS的控制與治療絲毫不起作用。以鐘南山院士為首的廣東省專家并不迷信權(quán)威，堅(jiān)持認(rèn)為SARS是病毒感染引起的肺炎，兩個(gè)月后（4月16日），世界衛(wèi)生組織正式確認(rèn)SARS是冠狀病毒的一個(gè)變種引起的非典型性肺炎（注：這種確認(rèn)并非是由權(quán)威機(jī)構(gòu)定義的，而是經(jīng)對(duì)猩猩的多次實(shí)驗(yàn)證實(shí)的）。發(fā)現(xiàn)病原體尚且如此不易，要攻克難關(guān)，找到治療、預(yù)防的辦法當(dāng)然就更困難了，企圖幾個(gè)月解決問題注定只能是一種不切實(shí)際的幻想。

§3.5

傳染病模型傳染病是人類的大敵，通過疾病傳播過程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點(diǎn)來(lái)看待傳染病的流行，并建立起相應(yīng)的多房室模型。醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)民族或地區(qū)，當(dāng)某種傳染病流傳時(shí)，波及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個(gè)常數(shù)。即既非所有人都會(huì)得病也非毫無(wú)規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會(huì)相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來(lái)加以證明。問題的提出：模型2記t時(shí)刻的病人數(shù)與易感染人數(shù)（susceptible）分別為i(t)與s(t)，初始時(shí)刻的病人數(shù)為i。根據(jù)病人不死也不會(huì)康復(fù)的假設(shè)及（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）統(tǒng)計(jì)籌算律，其中：解得：（3.17）可得：（3.16）統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，(3.17)預(yù)報(bào)結(jié)果比(3.15)更接近實(shí)際情況。醫(yī)學(xué)上稱曲線為傳染病曲線，并稱最大值時(shí)刻t1為此傳染病的流行高峰。令：得：此值與傳染病的實(shí)際高峰期非常接近，可用作醫(yī)學(xué)上的預(yù)報(bào)公式。

模型2仍有不足之處，它無(wú)法解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，且當(dāng)時(shí)間趨與無(wú)窮時(shí)，模型預(yù)測(cè)最終所有人都得病，與實(shí)際情況不符。為了使模型更精確，有必要再將人群細(xì)分，建立多房室系統(tǒng)infectiverecoveredsusceptiblekl

（3.18）

l稱為傳染病恢復(fù)系數(shù)求解過程如下：對(duì)（3）式求導(dǎo)，由（1）、（2）得：解得：記：

則：將人群劃分為三類（見右圖）：易感染者、已感染者和已恢復(fù)者（recovered）。分別記t時(shí)刻的三類人數(shù)為s(t)、i(t)和r(t)，則可建立下面的三房室模型：模型3infectiverecoveredsusceptiblekl

由(1)式可得：從而解得：積分得：（3.19）

不難驗(yàn)證，當(dāng)t→+∞時(shí)，r(t)趨向于一個(gè)常數(shù)，從而可以解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。

為揭示產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因（3.18）中的第（1）式改寫成：其中通常是一個(gè)與疾病種類有關(guān)的較大的常數(shù)。下面對(duì)

進(jìn)行討論，請(qǐng)參見右圖如果，則有，此疾病在該地區(qū)根本流行不起來(lái)。如果，則開始時(shí)，i(t)單增。但在i(t)增加的同時(shí)，伴隨地有s(t)單減。當(dāng)s(t)減少到小于等于時(shí)，i(t)開始減小，直至此疾病在該地區(qū)消失。鑒于在本模型中的作用，被醫(yī)生們稱為此疾病在該地區(qū)的閥值。的引入解釋了為什么此疾病沒有波及到該地區(qū)的所有人。圖3-14

綜上所述，模型3指出了傳染病的以下特征：（1）當(dāng)人群中有人得了某種傳染病時(shí)，此疾病并不一定流傳，僅當(dāng)易受感染的人數(shù)與超過閥值時(shí)，疾病才會(huì)流傳起來(lái)。（2）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因?yàn)槿鄙賯鞑フ卟磐Ｖ箓鞑サ?，否則將導(dǎo)致所有人得病。（3）種群不可能因?yàn)槟撤N傳染病而絕滅。模型檢驗(yàn)：

醫(yī)療機(jī)構(gòu)一般依據(jù)r(t)來(lái)統(tǒng)計(jì)疾病的波及人數(shù)，從廣義上理解，r(t)為t時(shí)刻已就醫(yī)而被隔離的人數(shù)，是康復(fù)還是死亡對(duì)模型并無(wú)影響。及：注意到：可得：（3.20）

通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會(huì)太大，故一般是小量。利用泰勒公式展開取前三項(xiàng)，有：代入（3.20）得近似方程：積分得：其中：這里雙曲正切函數(shù)：而：對(duì)r(t)求導(dǎo)：（3.21）§3.7

穩(wěn)定性問題

在研究許多實(shí)際問題時(shí)，人們最為關(guān)心的也許并非系統(tǒng)與時(shí)間有關(guān)的變化狀態(tài)，而是系統(tǒng)最終的發(fā)展趨勢(shì)。例如，在研究某頻危種群時(shí)，雖然我們也想了解它當(dāng)前或今后的數(shù)量，但我們更為關(guān)心的卻是它最終是否會(huì)絕滅，用什么辦法可以拯救這一種群，使之免于絕種等等問題。要解決這類問題，需要用到微分方程或微分方程組的穩(wěn)定性理論。在下兩節(jié)，我們將研究幾個(gè)與穩(wěn)定性有關(guān)的問題。一般的微分方程或微分方程組可以寫成：定義稱微分方程或微分方程組為自治系統(tǒng)或動(dòng)力系統(tǒng)。（3.28）

若方程或方程組f(x)=0有解Xo，X=Xo顯然滿足（3.28）。稱點(diǎn)Xo為微分方程或微分方程組（3.28)的平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)。定義2設(shè)x0是（3.28）的平衡點(diǎn)，稱：（1）x0是穩(wěn)定的，如果對(duì)于任意的ε>0，存在一個(gè)δ>0，只要|x(0)-x0|<δ，就有|x(t)-x0|<ε對(duì)所有的t都成立。（2）x0是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的且。

微分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性除了幾何方法，還可以通過解析方法來(lái)討論，所用工具為以下一些定理。（3）x0是不穩(wěn)定的，如果（1）不成立。根據(jù)這一定義，Logistic方程的平衡點(diǎn)N=K是穩(wěn)定的且為漸近穩(wěn)定的，而平衡點(diǎn)N=0則是不穩(wěn)定的。解析方法定理1設(shè)xo是微分方程的平衡點(diǎn)：若,則xo是漸近穩(wěn)定的若,則xo是漸近不穩(wěn)定的證由泰勒公式，當(dāng)x與xo充分接近時(shí)，有：由于xo是平衡點(diǎn)，故f(xo)=0。若，則當(dāng)x<xo時(shí)必有f(x)>0，從而x單增；當(dāng)x>xo時(shí)，又有f(x)<0，從而x單減。無(wú)論在哪種情況下都有x→xo，故xo是漸進(jìn)穩(wěn)定的。的情況可類似加以討論。高階微分方程與高階微分方程組平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性討論較為復(fù)雜，大家有興趣可參閱微分方程定性理論。為了下兩節(jié)的需要，我們簡(jiǎn)單介紹一下兩階微分方程組平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性判別方法。記λ1、λ2為A的特征值則λ1、λ2是方程：det（A-λI）=λ2-(a+b)λ+(ad–bc)=0的根令p=a+d,q=ad-bc=|A|，則，記。討論特征值與零點(diǎn)穩(wěn)定的關(guān)系（1）若△>0，可能出現(xiàn)以下情形：

①若q>0，λ1λ2>0。當(dāng)p>0時(shí)，零點(diǎn)不穩(wěn)定；當(dāng)p<0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定若q<0，λ1λ2<0

當(dāng)c1=0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定當(dāng)c1≠0時(shí),零點(diǎn)為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)③q=0，此時(shí)λ1=p，λ2=0，零點(diǎn)不穩(wěn)定。（2）△=0，則λ1=λ2:

λ有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量當(dāng)p>0時(shí)，零點(diǎn)不穩(wěn)定當(dāng)p<0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定②如果λ只有一個(gè)特征向量當(dāng)p≥0時(shí)，零點(diǎn)不穩(wěn)定當(dāng)p>0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定（2）△<0，此時(shí)若a>0，零點(diǎn)穩(wěn)定若a=0，有零點(diǎn)為中心的周期解

綜上所述：僅當(dāng)p<0且q>0時(shí)，（3.30）零點(diǎn)才是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)p=0且q>0時(shí)（3.30）有周期解，零點(diǎn)是穩(wěn)定的中心（非漸近穩(wěn)定）；在其他情況下，零點(diǎn)均為不穩(wěn)定的。非線性方程組（3.29）平衡點(diǎn)穩(wěn)定性討論可以證明有下面定理成立:定理2若（3.30）的零點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點(diǎn)也是漸近穩(wěn)定的；若（3.30）的零點(diǎn)是不穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點(diǎn)也是不穩(wěn)定的?！?.8

捕食系統(tǒng)的Volterra方程問題背景：

意大利生物學(xué)家D’Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，在研究過程中他無(wú)意中發(fā)現(xiàn)了一些第一次世界大戰(zhàn)期間地中海沿岸港口捕獲的幾種魚類占捕獲總量百分比的資料，從這些資料中他發(fā)現(xiàn)各種軟骨掠肉魚，如鯊魚、鰩魚等我們稱之為捕食者（或食肉魚）的一些不是很理想的魚類占總漁獲量的百分比。在1914~1923年期間，意大利阜姆港收購(gòu)的魚中食肉魚所占的比例有明顯的增加：他知道，捕獲的各種魚的比例近似地反映了地中海里各種魚類的比例。戰(zhàn)爭(zhēng)期間捕魚量大幅下降，但捕獲量的下降為什么會(huì)導(dǎo)致鯊魚、鰩魚等食肉魚比例的上升，即對(duì)捕食者有利而不是對(duì)食餌有利呢？他百思不得其解，無(wú)法解釋這一現(xiàn)象，就去求教當(dāng)時(shí)著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望他能建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型研究這一問題。Volterra將魚劃分為兩類。一類為食用魚（食餌），數(shù)量記為x1(t)，另一類為食肉魚（捕食者），數(shù)量記為x2(t)，并建立雙房室系統(tǒng)模型。1、模型建立大海中有食用魚生存的足夠資源，可假設(shè)食用魚獨(dú)立生存將按增長(zhǎng)率為r1的指數(shù)律增長(zhǎng)（Malthus模型），既設(shè)：由于捕食者的存在，食用魚數(shù)量因而減少，設(shè)減少的速率與兩者數(shù)量的乘積成正比（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)的統(tǒng)計(jì)籌算律），即：對(duì)于食餌（Prey）系統(tǒng)：λ1反映了捕食者掠取食餌的能力對(duì)于捕食者（Predator）系統(tǒng)：捕食者設(shè)其離開食餌獨(dú)立存在時(shí)的死亡率為r2，即：但食餌提供了食物，使生命得以延續(xù)。這一結(jié)果也要通過競(jìng)爭(zhēng)來(lái)實(shí)現(xiàn)，再次利用統(tǒng)計(jì)籌算律，得到：綜合以上分析，建立P-P模型（Volterra方程）的方程組：（3.31）方程組（3.31）反映了在沒有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的相互制約關(guān)系。下面我們來(lái)分析該方程組。2、模型分析方程組（3.31）是非線性的，不易直接求解。容易看出，該方程組共有兩個(gè)平衡點(diǎn)，即：Po(0,0)是平凡平衡點(diǎn)且明顯是不穩(wěn)定，沒必要研究方程組還有兩組平凡解：和和所以x1、x2軸是方程組的兩條相軌線。當(dāng)x1(0)、x2(0)均不為零時(shí)，，應(yīng)有x1(t)>0且x2(t)>0，相應(yīng)的相軌線應(yīng)保持在第一象限中。求（3.31）的相軌線將兩方程相除消去時(shí)間t，得：分離變量并兩邊積分得軌線方程：（3.32）令兩者應(yīng)具有類似的性質(zhì)用微積分知識(shí)容易證明：有：同理：對(duì)有：圖3-20(b)圖3-20(a)與的圖形見圖3-20易知僅當(dāng)時(shí)（3.32）才有解記：討論平衡點(diǎn)的性態(tài)。當(dāng)時(shí)，軌線退化為平衡點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，軌線為一封閉曲線（圖3-21），即周期解。圖3-21證明具有周期解。只需證明：存在兩點(diǎn)及，<

當(dāng)<x1<時(shí)，方程（3.32）有兩個(gè)解，當(dāng)x1=或x1=時(shí)，方程恰有一解，而在x1<或x1>時(shí)，方程無(wú)解。事實(shí)上，若，記，則由的性質(zhì)，，而，使得：。同樣根據(jù)的性質(zhì)知，當(dāng)<x1<時(shí)。此時(shí)：由的性質(zhì)，，使成立。當(dāng)x1=或時(shí)，，僅當(dāng)時(shí)才能成立。而當(dāng)x1<或x1>時(shí)，由于，故無(wú)解。得證。確定閉曲線的走向用直線將第一象限劃分成四個(gè)子區(qū)域在每一子區(qū)域，與不變號(hào)，據(jù)此確定軌線的走向（圖3-22）圖3-22將Volterra方程中的第二個(gè)改寫成：將其在一個(gè)周期長(zhǎng)度為T的區(qū)間上積分，得等式左端為零，故可得：同理：平衡點(diǎn)P的兩個(gè)坐標(biāo)恰為食用魚與食肉魚在一個(gè)周期中的平均值。解釋D’Ancona發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象引入捕撈能力系數(shù)ε，（0<ε<1），ε表示單位時(shí)間內(nèi)捕撈起來(lái)的魚占總量的百分比。故Volterra方程應(yīng)為：平衡點(diǎn)P的位置移動(dòng)到了：由于捕撈能力系數(shù)ε的引入，食用魚的平均量有了增加，而食肉魚的平均量卻有所下降，ε越大，平衡點(diǎn)的移動(dòng)也越大。食用魚的數(shù)量反而因捕撈它而增加，真的是這樣？！P-P模型導(dǎo)出的結(jié)果雖非絕對(duì)直理，但在一定程度上是附合客觀實(shí)際的，有著廣泛的應(yīng)用前景。例如，當(dāng)農(nóng)作物發(fā)生病蟲害時(shí)，不要隨隨便便地使用殺蟲劑，因?yàn)闅⑾x劑在殺死害蟲的同時(shí)也可能殺死這些害蟲的天敵，（害蟲與其天敵構(gòu)成一個(gè)雙種群捕食系統(tǒng)），這樣一來(lái)，使用殺蟲劑的結(jié)果會(huì)適得其反，害蟲更加猖獗了。（3）捕魚對(duì)食用魚有利而對(duì)食肉魚不利，多捕魚（當(dāng)然要在一定限度內(nèi)，如ε<r1）能使食用魚的平均數(shù)量增加而使食肉魚的平均數(shù)量減少。根據(jù)P-P模型，我們可以導(dǎo)出以下結(jié)論：（1）食用魚的平均量取決于參數(shù)r1與λ1（2）食用魚繁殖率r1的減小將導(dǎo)致食肉魚平均量的減小，食肉魚捕食能力λ1的增大也會(huì)使自己的平均量減?。环粗?，食肉魚死亡率r2的降低或食餌對(duì)食肉魚供養(yǎng)效率λ2的提高都將導(dǎo)致食用魚平均量的減少。§3.9

較一般的雙種群生態(tài)系統(tǒng)

Volterra的模型揭示了雙種群之間內(nèi)在的互相制約關(guān)系，成功解釋了D’Ancona發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。然而，對(duì)捕食系統(tǒng)中存在周期性現(xiàn)象的結(jié)論，大多數(shù)生物學(xué)家并不完全贊同，因?yàn)楦嗟牟妒诚到y(tǒng)并沒有這種特征。

一個(gè)捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型未必適用于另一捕食系統(tǒng)，捕食系統(tǒng)除具有共性外，往往還具有本系統(tǒng)特有的個(gè)性，反映在數(shù)學(xué)模型上也應(yīng)當(dāng)有所區(qū)別?，F(xiàn)考察較為一般的雙種群系統(tǒng)。一般的雙種群系統(tǒng)

仍用x1(t)和x2(t)記t時(shí)刻的種群量（也可以是種群密度），設(shè)Ki為種群i的凈相對(duì)增長(zhǎng)率。

Ki隨種群不同而不同，同時(shí)也隨系統(tǒng)狀態(tài)的不同而不同，即Ki應(yīng)為x1、x2的函數(shù)。Ki究竟是一個(gè)怎樣的函數(shù)，我們沒有更多的信息。不妨再次采用一下工程師們的原則，采用線性化方法。這樣，得到下面的微分方程組：（3.33）不僅可以用來(lái)描述捕食系統(tǒng)。也可以用來(lái)描述相互間存在其他關(guān)系的種群系統(tǒng)。（3.33）（3.33）式的一些說(shuō)明式中a1、b2為本種群的親疏系數(shù)，a2、b1為兩種群間的交叉親疏系數(shù)。a2b1≠0時(shí)，兩種群間存在著相互影響，此時(shí)又可分為以下幾類情況：（i）a2>0，b1>0，共棲系統(tǒng)。（ii）a2<0，b1>0（或a2>0，b1<0），捕食系統(tǒng)。（iii）a2<0，b1<0，競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)。（i）—（iii）構(gòu)成了生態(tài)學(xué)中三個(gè)最基本的類型，種群間較為復(fù)雜的關(guān)系可以由這三種基本關(guān)系復(fù)合而成。（3.33）是否具有周期解不同的系統(tǒng)具有不同的系數(shù)，在未得到這些系數(shù)之前先來(lái)作一個(gè)一般化的討論。首先，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為方程組:（3.34）的解。如果系統(tǒng)具有非平凡平衡點(diǎn)則它應(yīng)當(dāng)對(duì)應(yīng)于方程組均為平凡平衡點(diǎn)。的根解得：P存在時(shí)，P一般是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，此時(shí)平凡平衡點(diǎn)常為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。證明：記（無(wú)圈定理）若方程組（3.33）的系數(shù)滿足（i）A=a1b2－a2b1≠0（ii）B=a1b0（a２－b2）－a０b2（a1－b１）≠０

則(3.33)不存在周期解定理3作函數(shù)，并記f(x1,x2)=x1(a0+a1x1+a2x2)，g(x1,x2)=x2(b0+b1x1+b2x2)，容易驗(yàn)證：假設(shè)結(jié)論不真，則在x1~x2平面第一象限存在（3.33）的一個(gè)圈Γ，它圍成的平面區(qū)域記為R。于是由K（x1,x2）>0且連續(xù)以及AB≠0可知，函數(shù)在第一象限中不變號(hào)且不為零，故二重積分：（3.35）但另一方面，由格林公式注意到，，又有:（3.36）其中T為周期。（3.35）與（3.36）矛盾，說(shuō)明圈Γ不可能存在。對(duì)于Voltera方程，由a1=b2=0，得B=0；所以無(wú)圈定理不適用于Volterra方程。對(duì)于一般的生態(tài)系統(tǒng)，如果通過求解的微分方程來(lái)討論常常會(huì)遇到困難。怎樣來(lái)討論一般的生態(tài)系統(tǒng)如果困難的話可以研究種群的變化率，搞清軌線的走向來(lái)了解各種群數(shù)量的最終趨勢(shì)。簡(jiǎn)化模型，設(shè)競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的方程為：其中αβ不為0，否則為L(zhǎng)ogistic模型。方便討論取α=β=1，但所用方法可適用一般情況。（競(jìng)爭(zhēng)排斥原理）若K1>K2，則對(duì)任一初狀態(tài)（x1(0),x2(0)），當(dāng)t→+∞時(shí)，總有（x1(t),x2(t)）→（K1,0），即物種2將絕滅，而物種1則趨于環(huán)境允許承擔(dān)的最大總量。定理4作直線l1:x1+x2=K1及l(fā)2:x1+x2=K2，K1>K2，見圖3-26。dx1/dt<0dx2/dt<0圖3-26IIIII

Ik1k2dx1/dt>0dx2/dt>0dx1/dt>0dx2/dt<0有以下幾個(gè)引理:引理1若初始點(diǎn)位于區(qū)域I中，則解

（x1(t)、x2(t)）從某一時(shí)刻起必開此區(qū)域而進(jìn)入?yún)^(qū)域II

引理2若初始點(diǎn)（x1(0)、x2(0)）位于區(qū)域II中，則（x1(t)，x2(t)）始終位于II中，且：引理3若初始點(diǎn)位于區(qū)域III中,且對(duì)于任意t

，（x1(t)，x2(t)）仍位于III中，則當(dāng)t→+∞時(shí)，（x1(t)，x2(t)）必以（K1,0）為極限點(diǎn)。由引理1和引理2，初始點(diǎn)位于像限I和II的解必趨于平衡點(diǎn)（K1,0）。由引理3，初始點(diǎn)位于III且（x1(t)，x2(t)）始終位于III中的解最終必趨于平衡點(diǎn)（K1,0），而在某時(shí)刻進(jìn)入?yún)^(qū)域II的解由引理最終也必趨于（K1,0）。易見只有上述三種可能，而在三種可能情況下（x1(t)，x2(t)）均以（K1,0）為極限，定理得證。定理4的證明：

在研究實(shí)際課題時(shí)，數(shù)值解方法也許會(huì)用得更多。當(dāng)解析解無(wú)法求得時(shí)，計(jì)算機(jī)作為強(qiáng)大的輔助工具發(fā)揮了它應(yīng)起的作用。我校學(xué)生在研究1999年美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題A（小行星撞擊地球）時(shí)就遇到了一個(gè)棘手的問題：如何描述南極地區(qū)的生態(tài)系統(tǒng)，如何定量化地研究小行星撞擊地球?qū)δ霞?jí)生態(tài)環(huán)境的影響？在上網(wǎng)查閱了南極附近的海洋生態(tài)狀況后，他們將南極附近的生物劃分成三個(gè)部分：海藻、鱗蝦和其他海洋生物。鱗蝦吃海藻，其他海洋動(dòng)物吃鱗蝦，運(yùn)用基本建模技巧建立了一個(gè)三房室系統(tǒng)模型。小行星的撞擊會(huì)影響大氣層的能見度，從而影響到海藻的生長(zhǎng)（光合作用），進(jìn)而影響到生物鏈中的其他生物。他們無(wú)法得到模型中的參數(shù)值（事實(shí)上，小行星撞擊南極的事件并未發(fā)生過），就取了一系列不同的參數(shù)值，對(duì)不同參數(shù)值下模型的數(shù)值解進(jìn)行了分析對(duì)比，研究了解對(duì)各參數(shù)變化的靈敏度，取得了十分有意義的結(jié)果并獲得了當(dāng)年國(guó)際競(jìng)賽的一等獎(jiǎng)?！?.10

分布參數(shù)法建模前面建立的模型都用了考察對(duì)象在系統(tǒng)中的均勻分布假設(shè)。這種方法建模被稱為集中參數(shù)法?？紤]個(gè)體差異（或分布差異）的建模方法被稱為分布參數(shù)法。分布參數(shù)法用于連續(xù)變量的問題時(shí)，得到的通常都是偏微分方程，無(wú)論建模還是求解都比較困難。僅舉兩個(gè)簡(jiǎn)單例子，來(lái)說(shuō)明這種方法的應(yīng)用。例8人口問題的偏微分方程模型人有年齡、性別等區(qū)別，本例中考慮到這些因素，用分布參數(shù)法來(lái)建立人口問題的數(shù)學(xué)模型。