2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)選修2-1學(xué)案：2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（二）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.2。1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(二）學(xué)習(xí)目標(biāo)加深理解橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，能夠熟練求解與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識(shí)與推導(dǎo)思考1橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何特征與代數(shù)特征分別是什么?思考2依據(jù)橢圓方程,如何確定其焦點(diǎn)位置？思考3觀察橢圓的形狀,你認(rèn)為怎樣選擇坐標(biāo)系才能使橢圓的方程較簡(jiǎn)單?并寫出求解過(guò)程．梳理(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式焦點(diǎn)位置形狀、大小焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上形狀、大小相同a>b〉0，b2＝a2－c2,焦距為2cF1(－c，0），F(xiàn)2(c，0)eq\f（x2,a2）＋eq\f（y2，b2）＝1（a>b>0）焦點(diǎn)在y軸上F1(0，－c)，F(xiàn)2（0，c)eq\f（y2，a2)＋eq\f（x2,b2)＝1(a〉b〉0）（2)方程Ax2＋By2＝1表示橢圓的充要條件是________________．(3)橢圓方程中參數(shù)a，b，c之間的關(guān)系為________．類型一橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的確定例1求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A(eq\r(3)，－2)和B(－2eq\r（3），1)兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．反思與感悟求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以利用定義,也可以利用待定系數(shù)法，選擇求解方法時(shí)，一定要結(jié)合題目條件,其次需注意橢圓的焦點(diǎn)位置．跟蹤訓(xùn)練1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0,－2),（0,2)，并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－eq\f(3,2），eq\f(5，2)）；(2）焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(0，2）和（1,0）．類型二相關(guān)點(diǎn)法在求解橢圓方程中的應(yīng)用例2如圖，在圓x2＋y2＝4上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足．當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PD的中點(diǎn)M的軌跡．引申探究若本例中“過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD”，改為“過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線段PD"．那么線段PD的中點(diǎn)M的軌跡又是什么？反思與感悟如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P隨著另一個(gè)在已知曲線上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)Q而運(yùn)動(dòng)，則求P點(diǎn)的軌跡方程時(shí)一般用轉(zhuǎn)代法來(lái)求解．基本步驟為(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)所求軌跡上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為P(x，y）,已知曲線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為Q（x1,y1）．(2)求關(guān)系式：用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo),即得關(guān)系式eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x1＝gx，y,，y1＝hx，y.））(3）代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程得到所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程，并把所得方程化簡(jiǎn)即可．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0），P是以O(shè)為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，∠POB的平分線交直線PB于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程．1．方程eq\f（x2，m)＋y2＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則m的取值范圍為()A．（1,＋∞） B．（eq\f（1，2)，＋∞）C．[1,＋∞） D．（－∞，1)2．設(shè)B（－4,0)，C(4,0），且△ABC的周長(zhǎng)等于18,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為（)A.eq\f(x2，25）＋eq\f(y2,9）＝1(y≠0) B.eq\f（y2，25）＋eq\f（x2，9)＝1(y≠0)C。eq\f（x2，16)＋eq\f(y2,16）＝1(y≠0） D.eq\f(y2，16)＋eq\f（x2，9)＝1（y≠0)3．已知橢圓E：eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2,b2）＝1（a>b〉0)的右焦點(diǎn)為F（3，0），過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則橢圓E的方程為____________．4．在橢圓eq\f（x2，3)＋y2＝1中,有一沿直線運(yùn)動(dòng)的粒子從一個(gè)焦點(diǎn)F2出發(fā)經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)F1,再次被橢圓反射后又回到F2，則該粒子在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路程為________．5．△ABC的三邊長(zhǎng)a，b,c成等差數(shù)列，且b＝6,求頂點(diǎn)B的軌跡方程．1．兩種形式的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的比較如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f（y2,b2）＝1（a〉b〉0）eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1（a〉b>0)不同點(diǎn)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1（－c，0），F(xiàn)2（c,0）F1（0，－c)，F(xiàn)2(0,c)相同點(diǎn)定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于｜F1F2|)的點(diǎn)的軌跡a、b、c的關(guān)系a2＝b2＋c22。所謂橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；在eq\f(x2，a2)＋eq\f(y2,b2)＝1與eq\f(y2，a2）＋eq\f（x2，b2)＝1這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有a>b〉0的要求，如方程eq\f(x2，m)＋eq\f（y2，n）＝1(m〉0，n>0，m≠n）就不能肯定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上；分清兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，可與直線截距式eq\f（x，a）＋eq\f（y,b）＝1類比,如eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2,b2)＝1中,由于a〉b，所以在x軸上的“截距”更大，因而焦點(diǎn)在x軸上(即看x2，y2分母的大?。獏^(qū)別a2＝b2＋c2與習(xí)慣思維下的勾股定理c2＝a2＋b2。

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)思考1標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何特征：橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸或y軸上．標(biāo)準(zhǔn)方程的代數(shù)特征:方程右邊為1，左邊是關(guān)于eq\f(x,a）與eq\f（y，b)的平方和,并且分母為不相等的正值．思考2把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，與x2，y2相對(duì)應(yīng)的分母哪個(gè)大,焦點(diǎn)就在相應(yīng)的軸上．思考3（1)如圖所示，以經(jīng)過(guò)橢圓兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.(2）設(shè)點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)M（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn),且橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（－c，0），F(xiàn)2(c,0)．(3)列式：依據(jù)橢圓的定義式|MF1｜＋|MF2|＝2a列方程，并將其坐標(biāo)化為eq\r（x＋c2＋y2)＋eq\r(x－c2＋y2）＝2a.①(4）化簡(jiǎn):通過(guò)移項(xiàng)、兩次平方后得到：（a2－c2)x2＋a2y2＝a2（a2－c2），為使方程簡(jiǎn)單、對(duì)稱、便于記憶，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2）＋eq\f（y2，b2）＝1（a〉b〉0)．②(5)從上述過(guò)程可以看到,橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程②，以方程②的解（x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1（－c，0),F2（c，0)的距離之和為2a,即以方程②的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上．由曲線與方程的關(guān)系可知，方程②是橢圓的方程，我們把它叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．梳理(2）A>0，B>0且A≠B（3)a2＝b2＋c2題型探究例1解方法一（1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2，b2）＝1(a〉b〉0)，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(\r(3）2,a2)＋\f(－22,b2）＝1，，\f（－2\r(3)2，a2)＋\f(12,b2)＝1，）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＝15,,b2＝5。))故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5）＝1。(2）當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2，a2)＋eq\f(x2,b2)＝1（a〉b〉0),依題意有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（－22，a2)＋\f(\r（3)2,b2)＝1，，\f（12,a2）＋\f(－2\r(3）2，b2)＝1,)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,b2＝15.）)此時(shí)不符合a〉b〉0，所以方程組無(wú)解．故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2，15)＋eq\f(y2,5）＝1.方法二設(shè)所求橢圓的方程為Ax2＋By2＝1（A〉0，B〉0且A≠B），依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3A＋4B＝1,，12A＋B＝1，)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（A＝\f(1，15），，B＝\f（1，5）。）)故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（x2,15)＋eq\f(y2,5）＝1。跟蹤訓(xùn)練1解（1)∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2，a2)＋eq\f（x2,b2)＝1(a>b〉0)．由橢圓的定義知：2a＝eq\r(－\f（3,2)2＋\f（5，2）＋22）＋eq\r（－\f(3,2）2＋\f（5，2）－22）＝2eq\r（10），即a＝eq\r（10）。又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6?！嗨蟮臋E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（y2,10)＋eq\f（x2，6)＝1.（2）∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（y2，a2）＋eq\f(x2，b2)＝1(a>b〉0）．又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,2）和(1，0)，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(4,a2)＋\f（0，b2）＝1，,\f（0,a2)＋\f(1，b2)＝1，)）∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a2＝4，，b2＝1.）)∴所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（y2,4)＋x2＝1。例2解設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0),則x＝x0,y＝eq\f(y0,2）.因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0）在圓x2＋y2＝4上，所以xeq\o\al（2，0)＋yeq\o\al（2,0）＝4.①把x0＝x，y0＝2y代入方程①,得x2＋4y2＝4，即eq\f（x2,4)＋y2＝1.所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．引申探究解設(shè)M（x，y)，P（x0，y0),則xeq\o\al(2，0)＋yeq\o\al(2,0)＝4,(＊）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f（x0，2），，y＝y(tǒng)0）)代入(＊）式得eq\f（y2,4）＋x2＝1.故點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．跟蹤訓(xùn)練2解由三角形角平分線性質(zhì)得eq\f(｜BQ|,|QP｜)＝eq\f（|OB｜,｜OP|）＝2?！鄀q\o(BQ,\s\up6(→)）＝2eq\o(QP,\s\up6(→)）.設(shè)Q（x，y)，P（x0，y0），則(x－2，y）＝2(x0－x，y0－y)，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝2x0－2x，，y＝2y0－2y,）)∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x0＝\f（3x－2，2）,,y0＝\f（3y，2).）)又∵點(diǎn)P在單位圓x2＋y2＝1上．∴（eq\f（3x－2，2））2＋(eq\f(3,2)y)2＝1。∴點(diǎn)Q的軌跡方程為eq\f(3x－22,4)＋eq\f(9，4)y2＝1.當(dāng)堂訓(xùn)練1．A2.A3.eq\f(x2，18）＋eq\f(y2，9）＝14。4eq\r(3