中學(xué)物理競賽講義微積分初步

5.2微積分初步一、微積分的基本概念1、極限極限指無限趨近于一個(gè)固定的數(shù)值兩個(gè)常見的極限公式sinx,lim二1Xr-x.0*lim[l+1]x=1J演廠2、導(dǎo)數(shù)當(dāng)自變量的的增量趨于零時(shí)，因變量的增量與自變量的增量之商的極限叫做導(dǎo)數(shù)。y'二?"lim必由 AX導(dǎo)數(shù)含義，簡量來說就是y隨x變化的變化率。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該點(diǎn)切線的斜率。3＞原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)對原函數(shù)上每點(diǎn)都求出導(dǎo)數(shù)，作為新函數(shù)的函數(shù)值，這個(gè)新的函數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)。y'（x）二lim必 y（x+Ax）-y（x）一 Ax, Axf04微分和積分 二lim由原函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)：微分由導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)：積分微分和積分互為逆運(yùn)算。例1、根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義，推導(dǎo)下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（1）y=x2（2）y=xn （n中0） （3）（1）y=x2二、微分1、基本的求導(dǎo)公式（二、微分1、基本的求導(dǎo)公式（1）（C》=0 （C為常數(shù)）（3）ex=ex⑸（lnx）'=]（7）（sinx）'=x：osx（9）（tanx）'= 1**（11）（arcsinx）^2= 1⑵（xn）':n<1 （n中0）*⑷ax'=axlna1*（6）（locax）'=xtna（8）（cosx）'=-sinx1（cotx）'=sin2x1**（12）（arccox）'=-『=**（13）（**（13）（arctarx）'=1+x.2、函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則**（14）（arcc0tx）'=-It-x^（1）（1）設(shè)u=u（x），，u土v）'v=v（x）=u'±v(2)(uv)'=u'v+uv(3(3)(u\u'v-uV-!'=-^vr-例2、求y=tax的導(dǎo)數(shù)3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)對于函數(shù)喝3,就用復(fù)合函數(shù)的觀點(diǎn)看成y=f[g(x)],即y=f(u),u=g(x)ydx-dudx即：y'=y'u'例3、求y=u(i+x2x2)8的導(dǎo)數(shù)例4、求y=Intanx的導(dǎo)數(shù)三、積分1、基本的不定積分公式下列各式中C為積分常數(shù)(1)(3)(5)Jkd*kx+C (k為常數(shù))J.drexdx=ex+CJbdx=Inx+C■x⑵Jxndx=上1+C (nw-1)n+1*(4)Jaxdx=二+C

ina(6)Jsinxdx=-cosx+C(7)**(9)cosxdx=sinx+CJ1Ji+x2dx二arctanc+C1(8)J-cos2x1*(10)J.dx=tanx+Cdx二arcsirx+C22、2、3、簡單的定積分求法(即牛頓―萊布尼茨公式)物理競賽中最基本的微積分公式牛頓―萊布尼茨公式：若f(x)是F(x)在區(qū)間[a,場上的導(dǎo)函數(shù)則Jbf(x)dx=F(b)-F(a)而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f(x)求原函數(shù)F(x)的過程，其實(shí)就是不定積分的過程。換元積分法⑴第一類換元積分(湊微法)例5、求J2xcosx2dx**(2)第二類換元積分法技巧性較強(qiáng)，沒有一定的通法，高中階段很少用至U。物理例題：例7、已知地球的半徑為R,質(zhì)量為M。將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從地面移動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處，此過程中，萬有引力做了多少功？例8、求半徑為R，質(zhì)量均勻的半圓形薄板的重心位置例9、求常見幾何體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。各物體質(zhì)量均為m桿長均為L，半徑均為r(1)均勻桿繞中點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)(2)均勻桿繞一端轉(zhuǎn)動(dòng)(3)均勻圓盤繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)*(4)均勻球繞中軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.2附微積分閱讀材料**一、求極限的羅必塔法則如果當(dāng)xfa(或xf8)時(shí)，兩個(gè)函黜(X)與F(X)都趨于零或都趨于無窮大，那么極限lim式。Xfa(X_>8)f(X)可能存在、也可能不存在。通常把這種極限稱為0或8型未定 那么極限lim式。Xfa(X_>8)f(X)可能存在、也可能不存在。通常把這種極限稱為0或8型未定 此時(shí)可以I(X) 08對分子分母同時(shí)求導(dǎo)后再求極限，從而避免出現(xiàn)未limf兇=limmg(X)G/\ /xfaxfaf式無法計(jì)算的情況。八八?y(X)如果求導(dǎo)后仍然是未定式，可多次利用羅必塔法則。如果始終是未定式，則此方法失效。(Xf8)例1：求limtarx>0..(tanx)r原式=lim,(XTXf0.lnsinax例2：求limJm學(xué);1.Xf0acosaX.sinbX cosbX原式=lim..二limXf0bcosbX，sinaX cosaX-.0.8,8-8,00,L,80型未定式0可以化為1或8鉆山#0一的形式***二、分部積分法理解、運(yùn)用起來容易出錯(cuò)，/根據(jù)函數(shù)相乘的求導(dǎo)公式：(移項(xiàng)可得：uV=(uJ'—u'v階段很少用到。'=u'v+uVJ兩邊取積分：.JuvdX=uv—vudXudguv—』vdu…例3、求…例3、求jxcosxdxJxcosxdx又u=x,序cosxdxxsinx—Lsinxdx=xsinx+cosx+C則d*dx,v=sinx***例4***例4、求1X2exdXx2exdx取u=討仁e?dxX2eX—21xqdx則du=2xdxv=e取u=Xrdv=exdxXze_2xe+2.「eXdx則du=d%v=e<= x2ex—2xex+2ex+C利用分部積分法的步驟：(1)將被積函數(shù)分為兩部分，一部分可以看做是原函數(shù)，即，另一部分可以看做是導(dǎo)函數(shù)，艮Pv'。

(2)右邊第一項(xiàng)為兩個(gè)原函數(shù)uv的乘積，第二項(xiàng)將原函數(shù)u變?yōu)閷?dǎo)函數(shù)u，導(dǎo)函數(shù)V，變?yōu)樵瘮?shù)v,相乘后再求積分。利用分部積分法的技巧：上述過程的難點(diǎn)在于對V，求積分，以及對〃V求積分。因此，要將被積函數(shù)拆成適當(dāng)?shù)膬刹糠?，使得這兩個(gè)積分求解起來都比較容易。三、簡單的常微分方程(分離變量法)***例5：放射性元素衰變問題設(shè)鈾的衰變速度與未衰變的原子數(shù)目乂成正比已知t=0時(shí)未衰變的鈾的含量為M，求M隨時(shí)間變化的函數(shù)。解：dM-dt的函數(shù)。解：dM-dt=一九M變量為M和t，分離變量得：M二-九dt兩邊分別求不定積分：lnM二-壯+C根據(jù)初始狀態(tài)求出積分常緯：lnM=c帶入后消去c可得： M=ivie4t***例6：電容器充放電問題電容為C的電容經(jīng)過充電后，間t***例6：電容器充放電問題電容為C的電容經(jīng)過充電后，間t的變化函數(shù)。解：兩端電壓為U。從t=0時(shí)刻開始串聯(lián)上電阻R進(jìn)行放電。求電壓U隨時(shí)0i=-%-C.產(chǎn)dU-dt聯(lián)立上面兩式可得:分離變量可得:兩邊分別求不定積分:1=-KUdU-K=-C-dt虬一尊lnU=一KC+C0根據(jù)初始狀態(tài)求出積分常數(shù)C:lnU=C0 t0 0帶入后消去c可得：U=Ue_J0 KC0可以看到，KC的值與電容器放電的快慢有關(guān)，因止LKC也叫做KC電路的時(shí)間常數(shù)。類似的，KL電路中，時(shí)間常數(shù)為L/K。此外，求解簡諧運(yùn)動(dòng)和電磁振蕩問題時(shí)也需要求解微分方程，不過采用的方法是試探解法。***四、泰勒展開將一個(gè)函數(shù)寫成多項(xiàng)式的形式各項(xiàng)分別為零階小量、一階小量、二階小量……常用于近似處理和對小量的討論。f”(x) f(n)(x)f(x +AX) = f(x)+f'(x)AX+ AX2+??????+ ( ；； 0 AXn +0( AXn)0 0 0 2! !!理解公式前兩項(xiàng)的幾何意義。公式最后一項(xiàng)o(AXn)表示剩下所有的項(xiàng)，相對于AXn都是小量。常見函數(shù)在x=0處的泰勒展開:s1nx=x一x3!3+x5!5一x7i7+-1)2常見函數(shù)在x=0處的泰勒展開:cosx=1.^27%一埼V^)!+1+0(X2k+——— + k)1kx2k+0(X2k+(1+X)產(chǎn)1+nX+四聽DX2+??，+咳“：也一n+九+0(Xn).[]X=1—X+X2—X3+ +（