山財自考37線性代數(shù)考核作業(yè)(已填好答案)

線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題一（課程代碼4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.設(shè)D==M≠0，則D1==(B)．A.－2MB.2MC.－6M2.設(shè)A、B、C為同階方陣，若由AB=AC必能推出B=C，則A應(yīng)滿足(D)．A.A≠OB.A=OC.|A|=0D.|A|≠03.設(shè)A，B均為n階方陣，則(A)．A.|A+AB|=0，則|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.當(dāng)AB=O時，有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A4.二階矩陣A，|A|=1，則A-1=(B)．A.B.C.D.5.設(shè)兩個向量組與，則下列說法正確的是(B)．A.若兩向量組等價，則s=t.B.若兩向量組等價，則r()=r()C.若s=t，則兩向量組等價.D.若r()=r()，則兩向量組等價.6.向量組線性相關(guān)的充分必要條件是(C)．A.中至少有一個零向量B.中至少有兩個向量對應(yīng)分量成比例C.中至少有一個向量可由其余向量線性表示D.可由線性表示7.設(shè)向量組有兩個極大無關(guān)組與，則下列成立的是(C)．A.r與s未必相等B.r+s=mC.r=sD.r+s>m8.對方程組Ax=b與其導(dǎo)出組Ax=o，下列命題正確的是(D)．A.Ax=o有解時，Ax=b必有解.B.Ax=o有無窮多解時，Ax=b有無窮多解.C.Ax=b無解時，Ax=o也無解.D.Ax=b有惟一解時，Ax=o只有零解.9.設(shè)方程組有非零解，則k=(D)．A.2B.3C.-1D.10.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是(D)．A.|A|>0B.存在n階方陣C使A=CTCC.負慣性指標(biāo)為零D.各階順序主子式均為正數(shù)二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.四階行列式D中第3列元素依次為-1，2，0，1，它們的余子式的值依次為5，3，-7，4，則D=-15．12.若方陣A滿足A2=A，且A≠E，則|A|=0.13.若A為3階方陣，且，則|2A|=4．14.設(shè)矩陣的秩為2，則t=-3．15.設(shè)向量＝(6，8，0)，=(4，–3，5)，則(,)=0．16.設(shè)n元齊次線性方程組Ax=o，r(A)=r<n，則基礎(chǔ)解系含有解向量的個數(shù)為n-r個.17.設(shè)＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，則=(1，2，3)在此基下的坐標(biāo)為（1,1,2）18.設(shè)A為三階方陣，其特征值為1，-1，2，則A2的特征值為1,1,4.19.二次型的矩陣A=20.若矩陣A與B=相似，則A的特征值為1,2,3三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.求行列式的值解：==xy=xy=x2y222.解矩陣方程：.解：令A(yù)=，B=因為（AE）=→→，所以A=由AX=B,得X=AB==23.求向量組=(1,1,2,3)，=(－1,－1,1,1)，=(1,3,3,5)，=(4,－2,5,6)的秩和一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示.解：將已知向量按列構(gòu)成矩陣，并對其進行行變換：（）=→→→→所以，r（）=3，極大無關(guān)組為，，；=7-324.a取何值時，方程組有解？并求其通解（要求用它的一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）.解：對方程組的增廣矩陣施以初等變換：=→→若方程有解，則r()=r（A），故a=5當(dāng)a=5時，繼續(xù)施以初等行變換得：→,原方程組的同解方程組為：，x,x為自由未知量，令x=x=0得原方程組的一個特解：與導(dǎo)出組同解的方程組為：x,x為自由未知量，令分別取，，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：，，所以，方程組的全部解為v=+c+c,其中c，c為任意常數(shù)。25.已知,求A的特征值及特征向量，并判斷A能否對角化，若能，求可逆矩陣P，使P–1AP=Λ（對角形矩陣）．解：矩陣A的特征多項式為：==所以，A的特征值為:對于:，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，,得基礎(chǔ)解系：從而矩陣A的對應(yīng)于特征值的全部特征向量為：不全為零。對于，求齊次線性性方程組（E-A）x=O的基礎(chǔ)解系，，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對應(yīng)于特征值的全部特征向量為：因為三階矩陣A有三個線性無關(guān)的特征向量，，，所以，A相似于對角矩陣，且26.用配方法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：解：====令，即得二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為：.四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)向量，證明向量組是R3空間中的一個基.證：因為，所以線性無關(guān)，所以向量組是空間的一個基。線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題二（課程代碼4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.若三階行列式=0,則k=(C).A．1B．0C．-1D2.設(shè)A、B為n階方陣,則成立的充要條件是(D).A．A可逆B．B可逆C．|A|=|B|D．AB=BA3.設(shè)A是n階可逆矩陣,A*是A的伴隨矩陣,則(A).A．B．C．D．4.矩陣的秩為2，則λ=(B).A．2B．1C．0D．5.設(shè)3×4矩陣A的秩r(A)=1，是齊次線性方程組Ax=o的三個線性無關(guān)的解向量，則方程組的基礎(chǔ)解系為(D).A．B．C．D．6.向量線性相關(guān),則(C).A．k=-4B．k=4C．k=-3D．7.設(shè)u1,u2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個解,若是其導(dǎo)出組Ax=o的解,則有(B).A．c1+c2=1B．c1=c2C．c1+c2=0D．c1=8.設(shè)A為n(n≥2)階方陣，且A2=E，則必有(B).A．A的行列式等于1 B．A的秩等于nC．A的逆矩陣等于E D．A的特征值均為19.設(shè)三階矩陣A的特征值為2,1,1，則A-1的特征值為(D).A．1,2B．2,1,1C．,1D．,1,110.二次型是(A).A．正定的B．半正定的C．負定的D．不定的二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.=_______5__．12.設(shè)A為三階方陣,且|A|=4，則|2A|=_____32___13.設(shè)A=,B=,則ATB=__________．14.設(shè)A=,則A-1=__________．15.向量表示為向量組的線性組合式為__________．16.如果方程組有非零解,則k=___-1_______．17.設(shè)向量與正交，則a=____2______．18.已知實對稱矩陣A=,寫出矩陣A對應(yīng)的二次型__________．19.已知矩陣A與對角矩陣Λ=相似，則A2=___E_____．20.設(shè)實二次型的矩陣A是滿秩矩陣，且二次型的正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為__________．三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計算行列式的值.解：原式====22.設(shè)矩陣A=，B=，求矩陣A-1B.解：（AB）=23.設(shè)矩陣，求k的值，使A的秩r(A)分別等于1，2，3.解：對矩陣A施行初等變換：當(dāng)k=1時，，矩陣A的秩r（A）=1；當(dāng)k=-2時，，矩陣A的秩r（A）=2；當(dāng)k時，，矩陣A的秩r（A）=3.24.求向量組的秩和一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示.解：將所給列向量構(gòu)成矩陣A，然后實施初等行變換:所以，向量組的秩，向量組的一個極大無關(guān)組為：且有.25.求線性方程組的基礎(chǔ)解系，并用基礎(chǔ)解系表示其通解.解：對方程組的系數(shù)矩陣（或增廣矩陣）作初等行變換：與原方程組同解的方程組為:,其中x,x為自由未知量。令分別取，得基礎(chǔ)解系：方程組的通解為：（c，c為任意常數(shù)）26.已知矩陣，求正交矩陣P和對角矩陣Λ，使P-1AP=Λ.解：矩陣A的特征多項式為：得矩陣A的所有特征值為:對于，求方程組的基礎(chǔ)解系。，得基礎(chǔ)解系為：，將此線性無關(guān)的特征向量正交化，得：，再標(biāo)準(zhǔn)化，得：，對于解方程組，方程組的基礎(chǔ)解系為，將其單位化，得，令則P是正交矩陣，且PAP=四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)向量組線性無關(guān)，證明：向量組也線性無關(guān).證：令整理得：因為線性無關(guān)，所以解得:故線性無關(guān)。線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題三（課程代碼4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.當(dāng)(D)成立時，階行列式的值為零.A.行列式主對角線上的元素全為零B.行列式中有個元素等于零C.行列式至少有一個階子式為零D.行列式所有階子式全為零2.已知均為n階矩陣，E為單位矩陣，且滿足ABC=E，則下列結(jié)論必然成立的是(B).A.ACB=EB.BCA=EC.CBA=ED.BAC=E3.設(shè)A，B均為n階可逆矩陣，則下列等式成立的是(D).A.(AB)-1=A-1B-1B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(AB)T=ATBTD.4.下列矩陣不是初等矩陣的是(B).A.B.C.D.5.設(shè)是4維向量組，則(D).A.線性無關(guān)B.至少有兩個向量成比例C.只有一個向量能由其余向量線性表示D.至少有兩個向量可由其余向量線性表示6.設(shè)A為m×n矩陣，且m<n，則齊次線性方程組Ax=o必(C).A.無解B.只有唯一零解C.有非零解D.不能確定7.已知4元線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A的秩為3，又是Ax=b的兩個解,則Ax=b的通解是(D).A.B.C.D.8.如果矩陣A與B滿足(D)，則矩陣A與B相似.A.有相同的行列式B.有相同的特征多項式C.有相同的秩D.有相同的特征值,且這些特征值各不相同9.設(shè)A是n階實對稱矩陣，則A是正定矩陣的充要條件是(D).A.|A|>0B.A的每一個元素都大于零C.D.A的正慣性指數(shù)為n10.設(shè)A，B為同階方陣，且r(A)=r(B)，則(C).A.A與B相似B.A與B合同C.A與B等價D.|A|=|B|二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.行列式24.12.設(shè)A為三階矩陣，|A|=-2，將矩陣A按列分塊為，其中是A的第j列，,則|B|=6.13.已知矩陣方程AX=B，其中A=，B=，則X=.14.已知向量組的秩為2，則k=-2.15.向量的長度=.16.向量在基下的坐標(biāo)為.17.設(shè)是4元齊次線性方程組Ax=o的基礎(chǔ)解系，則矩陣A的秩r(A)=1.18.設(shè)是三階矩陣A的特征值，則a=1.19.若是正定二次型，則滿足.20.設(shè)三階矩陣A的特征值為1,2,3，矩陣B=A2+2A,則|B|=360三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.設(shè)三階矩陣A=，E為三階單位矩陣.求：(1)矩陣A-2E及|A-2E|；(2).解：（1）(2)22.已知向量組求：(1)向量組的秩；(2)向量組的一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示.解：(1)將所給向量按列構(gòu)成矩陣A，然后實施初等行變換:所以，向量組的秩，向量組的一個極大無關(guān)組為：，且有23.討論a為何值時，線性方程組有解？當(dāng)方程組有解時，求出方程組的通解.解：對方程組的增廣矩陣實施初等行變換：若方程組有解，則,從而a=1.當(dāng)a=1時，原方程組的通解方程組為：，x，x為自由未知量.令x=x=0，得原方程組的一個特解：(0,1,0,0).導(dǎo)出組的同解方程組為：，x，x為自由未知量.令，分別取，得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：(0,1,1,0)，(-4,1,0,1).所以,方程組的通解為：(0,1,0,0)+c(0,1,1,0)+c(-4,1,0,1)，其中，c，c為任意常數(shù).24.已知向量組，討論該向量組的線性相關(guān)性.解:因為當(dāng)a=2或a=-6時，向量組線性相關(guān)，當(dāng)a2且a-6時，向量組線性無關(guān)，25.已知矩陣A=，(1)求矩陣A的特征值與特征向量；(2)判斷A可否與對角矩陣相似，若可以，求一可逆矩陣P及相應(yīng)的對角形矩陣Λ.解：矩陣A的特征多項式為：所以，A的特征值對于求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對應(yīng)于特征值的全部特征值為：對于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對應(yīng)于特征值的全部特征值為：因為三階矩陣A只有兩個線性無關(guān)的特征向量，所以，A不能相似于對角矩陣。26.設(shè)二次型(1)將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；(2)求二次型的秩和正慣性指數(shù).令。即得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：(2)由上述標(biāo)準(zhǔn)形知：二次型的秩為3，正慣性指數(shù)為2四、證明題（本大題共6分）27.已知A是n階方陣，且，證明矩陣A可逆，并求證：由(A+E)2=O, 得：A2+2A=-E,從而A(A+2E)=-E,A(-A-2E)=E所以A可逆，且A=-A-2E線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題四（課程代碼4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.三階行列式，則a=().A.2B.3C.D.-32.設(shè)A，B均為n階非零方陣，下列選項正確的是().A.(A+B)(A-B)=A2-B2B.(AB)-1=B-1A-1C.若AB=O,則A=O或B=OD.|AB|=|A||B|3.設(shè)A，B，AB-BA=().A.B.C.D.4.設(shè)矩陣的秩為2，則().A.B.t=-4C.t是任意實數(shù)D.以上都不對5.設(shè)向量，則().A.(1,0,5,4)B.(1,0,-5,4)C.(-1,0,5,4)D.(1,0,5,-6)6.向量組線性相關(guān),則().A.k=-4B.k=4C.k=3D.k=27.設(shè)u1,u2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個解，若c1u1+c2u2也是方程組Ax=b的解，則().A.c1+c2=1B.c1=c2C.c1+c2=0D.c1=28.設(shè)m×n矩陣A的秩r(A)=n-3(n>3)，是齊次線性方程組Ax=o的三個線性無關(guān)的解向量，則方程組Ax=o的基礎(chǔ)解系為().A.B.C.D.9.設(shè)三階矩陣A的特征值為1，1，2，則2A+E的特征值為()A.3，5B.1，2C.1，1，2D.3，3，510.n階對稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是().A.B.存在n階矩陣P，使得A=PTPC.負慣性指數(shù)為D.各階順序主子式均為正數(shù)二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11..12.設(shè)A為三階方陣，且|A|=2，A*是其伴隨矩陣，則|2A*|=13.設(shè)矩陣A，則=.14.設(shè)，則內(nèi)積=.15.若向量不能由線性表示，且r()=2，則r(,)=.16.設(shè)線性方程組有解，則t=.17.方程組的基礎(chǔ)解系含有解向量的個數(shù)是.18.設(shè)二階矩陣A與B相似，A的特征值為-1，2，則|B|=.19.設(shè)二次型的矩陣,則二次型.20.用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形為，則矩陣A的最小特征值為.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計算n階行列式.22.解矩陣方程：.23.驗證是R3的一個基，并求向量在此基下的坐標(biāo).24.設(shè)向量組線性無關(guān)，令，試確定向量組的線性相關(guān)性.25.求線性方程組的基礎(chǔ)解系，并表示其通解.26.求矩陣的特征值和全部特征向量.四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)是三維向量組，證明：線性無關(guān)的充分必要條件是任一三維向量都可由它線性表示.線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題五（課程代碼4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.行列式,則k=().A.1B.4C.-1或4D.-12.設(shè)A，B，C均為n階非零方陣，下列選項正確的是().A.若AB=AC，則B=CB.(A-C)2=A2-2AC+C.ABC=BCAD.|ABC|=|A||B||C|3.設(shè)A，B均為n階方陣,則等式(A+B)(A-B)=A2-B2成立的充分必要條件是().A.A=EB.B=OC.A=BD.AB=BA4.若，則初等矩陣P=().A.B.C.D.5.設(shè)向量,則().A.(-1,3,8,9)B.(1,3,8,9)C.(-1,0,8,6)D.(-1,3,9,8)6.下列結(jié)論正確的是().A.若存在一組數(shù)k1,k2,…,km,使得成立，則向量組線性相關(guān).B.當(dāng)k1=k2=…=km=0時，，則向量組線性無關(guān).C.若向量線性相關(guān)，則線性相關(guān).D.若向量線性無關(guān)，則線性無關(guān).7.設(shè)u1,u2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個解，若c1u1+c2u2是其導(dǎo)出組Ax=o的解，則