電路分析基礎13-電路方程的矩陣形式課件

第13章電路方程的矩陣形式（）13.1割集13.2關聯(lián)矩陣、割集矩陣、回路矩陣13.3回路電流方程的矩陣形式13.4節(jié)點電壓方程的矩陣形式13.5割集電壓方程的矩陣形式13.6狀態(tài)方程13.7應用實例——計算機輔助電路分析

（，★）（，★）第13章電路方程的矩陣形式（）13.1割集（，★）（13.1

割集割集Q是連通圖G中支路的集合，具有下述性質：1.把Q中全部支路移去(保留支路的兩個端點)

，將圖分成兩個分離部分。2.保留Q

中的一條支路，其余都移去，G還是連通的。①4321②④③56①1②3④③4256Q1:{2,5,4,6}一、割集定義13.1割集割集Q是連通圖G中支路的集合，具有二、割集的確定在圖G上作一個高斯面（閉合面），使其包圍G的某些節(jié)點，而每條支路只能被閉合面切割一次，去掉與閉合面相切割的支路，圖G將被分為兩部分，那么這組支路集合即為圖G的一個割集。在圖G上畫高斯面（閉合面）Q1、Q2、Q3如下圖所示，對應割集Q1、Q2、Q3的支路集合為{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}。注意：同一割集中每一條支路只能被切割一次。1Q1Q2Q323465二、割集的確定在圖G上作一個高斯面（閉合面），使其圖13-1割集的定義245(b)15(c)12345(a)①②③④(d)234512345(f)①②③④Q1Q2Q3Q4Q5Q6125(e)圖13-1割集的定義245(b)15(c)12345(a三、基本割集888(a)1234567(c)1234567(b)1234567(d)12345678(e)12345678(f)12345678由一條樹支及相應的連支構成的割集稱為單樹支割集或基本割集。n個節(jié)點，b條支路的連通圖G，獨立割集的數(shù)目為(n－1)。

三、基本割集888(a)1234567(c)1234567思考與練習1.割集必須滿足的條件是什么？

2.如何選擇基本割集？3.割集和節(jié)點的關系是什么？

4.屬于同一割集的所有支路的電流是否滿足KCL？

思考與練習1.割集必須滿足的條件是什么？2圖的矩陣表示是指用矩陣描述圖的拓撲性質，即KCL和KVL的矩陣形式。有三種矩陣形式：圖的矩陣表示:節(jié)點支路關聯(lián)矩陣回路支路回路矩陣割集支路割集矩陣

13.2關聯(lián)矩陣、割集矩陣、回路矩陣圖的矩陣表示是指用矩陣描述圖的拓撲性質，即KCL和KVajk=

1有向支路k

背離

j節(jié)點。

-1有向支路k指向

j節(jié)點。

0有向支路k

與j

節(jié)點無關。1.關聯(lián)矩陣：Aa={ajk}nb節(jié)點數(shù)支路數(shù)643521①②④③Aa=1234

123456

支節(jié)

100-101

-1-11000

0100-1-1

00-11

10設④為參考節(jié)點，劃去第4行。

-1-11000A=123

123456

支節(jié)

100-101

0100-1-1稱A為降階關聯(lián)矩陣

(n-1)b

，表征獨立節(jié)點與支路的關聯(lián)性質。也稱關聯(lián)矩陣。各行不獨立。

一、關聯(lián)矩陣、割集矩陣和回路矩陣的定義ajk=1有向支路k背離j節(jié)點。2.割集矩陣支路k與割集j方向一致。-1支路k與割集j方向相反。0支路k

不在割集j中。qjk=12345678(a)Q1

Q2Q3

Q4Q={qjk}n-1

b基本割集數(shù)支路數(shù){(1,2,3)，(1,4,5)，(2,6,8)，(5,7,8)}是該圖的一組獨立割集，流出閉合面方向為割集方向。

Q1Q2Q3Q414283576úúúú?ùêêêê?é-----=11010000101000100001100100000111Q支路割集2.割集矩陣支路k與割集j方向一致。-1支路(2)支路排列順序為先樹支后連支。約定:(1)割集方向與樹支方向相同。12345678(b)Q1

Q2Q4Q3基本割集矩陣Qf選2、

4、5、8為樹支，連支為1、3、6、7。Q1Q2Q3Q428475163支路割集=[1

Ql]EtQl(2)支路排列順序為先樹支后連支。約定:(1)割3.回路矩陣B={bjk}lb基本回路數(shù)支路數(shù)1支路k與回路j關聯(lián)，方向一致。-1支路k

與回路j關聯(lián)，方向相反。0支路k

不在回路j中。bjk=(a)12345678l2l3

l4l114283576l1l2l3l4支路回路3.回路矩陣B={bjk}lb基本回路數(shù)12345678

(2)支路排列順序為先連支后樹支。約定:(1)回路電流的參考方向取連支電流方向。基本回路矩陣Bf選2、

4、5、8為樹支，連支為1、3、6、7。17386254b1b3b6b7支路回路=[1

Bt]ElBt12345678(2)支路排列順序為先連支后樹支。1.用矩陣A描述的基爾霍夫定律的矩陣形式(1)KCL的矩陣形式以節(jié)點④為參考節(jié)點Aib

=111000000-111000000-1-11n-1個獨立方程矩陣形式的KCL:Aib=0二、用矩陣A、Q、B表示的基爾霍夫定律的矩陣形式1234567①②③④1.用矩陣A描述的基爾霍夫定律的矩陣形式(1)KCL的矩陣形(2)KVL的矩陣形式矩陣形式=úúúúúúúúú?ùêêêêêêêêê?é---=n3n3n3n2n2n2n1n2n1uuuuuuuuu(2)KVL的矩陣形式矩陣形式=úúúúúúúúú?ùê矩陣形式的KCL：矩陣形式的KCL：Qfib=0

(1)KCL的矩陣形式?。?，3，6）為樹，1234567Q2Q1Q32.用矩陣Qf描述的基爾霍夫定律的矩陣形式矩陣形式的KCL：矩陣形式的KCL：Qfib=0(1)電路中的（n-1）個樹支電壓可用（n-1）階列向量表示，即(2)KVL的矩陣形式，，，

，電路中的（n-1）個樹支電壓可用（n-1）階列向l個獨立KVL方程矩陣形式的KVL：Bf

ub=03.用矩陣Bf表示的基爾霍夫定律的矩陣形式1234567(1)KVL的矩陣形式l個獨立KVL方程矩陣形式的KVL：Bfub=03.用(2)KCL的矩陣形式獨立回路電流1234567矩陣形式的KCL：ib=BfTil(2)KCL的矩陣形式獨立回路電流1234567矩陣形式的KQQi=0QTut=u小結：ABAi=0

BTil=iKCLKVL

ATun=uBu=0QQi=0QTut=u小結：ABAi13-1電路的有向圖如圖所示，(1)節(jié)點⑤為參考寫出其關聯(lián)矩陣A，(2)以實線為樹枝，虛線為連支，寫出其單連支回路矩陣Bf(3)寫出單樹支割集矩陣Qf。例：解：⑤123456789①②③④(1)以節(jié)點⑤為參考節(jié)點，其余4個節(jié)點為獨立節(jié)點的關聯(lián)矩陣A為應用舉例

13-1電路的有向圖如圖所示，(1)節(jié)點⑤為參考寫出例：解：(2)以實線(1,2,3,4)為樹枝，虛線(5,6,7,8,9)為連支，其單連支回路矩陣Bf為⑤123456789①②③④(2)以實線(1,2,3,4)為樹枝，虛線(5,6,7,8,(3)以實線(1,2,3,4)為樹枝，虛線(5,6,7,8,9)為連支，其單樹支割集矩陣Qf為⑤123456789①②③④(3)以實線(1,2,3,4)為樹枝，虛線(5,6,7,8,1.對于一個含有n個節(jié)點b條支路的電路，關聯(lián)矩陣反映了什么關聯(lián)性質？2.對于一個含有n個節(jié)點b條支路的電路，回路矩陣反映了什么關聯(lián)性質？

檢驗學習結果3.對于一個含有n個節(jié)點b條支路的電路，割集矩陣反映了什么關聯(lián)性質？

4.對于一個含有n個節(jié)點b條支路的電路，用矩陣A、Qf、Bf表示的基爾霍夫定律的矩陣形式分別是什么？1.對于一個含有n個節(jié)點b條支路的電路，關聯(lián)矩陣反映了什么關13.3回路電流方程的矩陣形式

Zk一、復合支路第k條支路第k條支路的阻抗，只能是單一的電阻、電感或電容，不允許是它們的組合。阻抗上電壓、電流的參考方向與支路方向相同。獨立電壓源，其參考方向和支路方向相反。獨立電流源，其參考方向和支路方向相反。支路電壓、支路電流，取關聯(lián)參考方向。13.3回路電流方程的矩陣形式Zk一、復合支路1.電路中不含互感和受控源的情況(相量法)按定義寫開

Zk二、支路方程的矩陣形式1.電路中不含互感和受控源的情況(相量法)按定義寫2.電路中含有互感的情況設第k條、j條支路有耦合關系，編號時把它們相鄰的編在一起（設兩個電流都為流入同名端）：其余支路電壓、電流的關系為：2.電路中含有互感的情況設第k條、j條支故回路電流方程不變，只是阻抗陣Z不再為對角陣，其非對角線元素的第k行、第j列和第j行、第k列的兩個元素是兩條支路的互阻抗?；プ杩骨暗摹啊馈保娏髁魅胪说膶　埃?，反之取“－”。

仍可統(tǒng)一寫為故回路電流方程不變，只是阻抗陣Z不再為對角陣3.電路中含有受控源的情況而這時含有受控源的支路阻抗Z為非對角陣，非對角線上的元素是與受控電壓源的控制系數(shù)有關的元素。因支路方程的右端加上受控電壓源，故支路阻抗陣變?yōu)椋?/p>

Zk++－－kj3.電路中含有受控源的情況而這時含取回路電流（連支電流）為未知變量?；芈贩匠叹仃囆问?/p>

支路電壓與支路電流的關系代入上面方程，整理后得Zk+-+-回路矩陣方程（回路電壓源相量）Zl（回路阻抗陣）三、回路電流方程的矩陣形式

取回路電流（連支電流）為未知變量。回路方程矩陣形式例：解：13.2列出圖示電路矩陣形式回路電流方程的頻域表達式。124356+-μU2Z3Z6

IS6+-Z2Z5Z1+-

U2US1⑴畫出有向圖，給支路編號，選樹(1,4,6)。⑵

應用舉例

例：解：13.2列出圖示電路矩陣形式回路電流方程的頻域表達式⑶計算Zl和。矩陣形式回路電流方程的頻域表達式為⑶計算Zl和。矩陣形式回路電流方程的頻域表達式為13-3列出圖示電路矩陣形式回路電流方程的復頻域表達式。例：解：R1C2L3L5uS4uS5**M12435⑴畫出有向圖，給支路編號，選樹(1,4)。⑵應用舉例

13-3列出圖示電路矩陣形式回路電流方程的復頻域例：解：R1⑶計算Z(s)UlS(s)。矩陣形式回路電流方程的復頻域表達式為⑶計算Z(s)UlS(s)。矩陣形式回路電流方程的復頻域表。小結列寫回路電流方程矩陣形式的步驟如下：(1)畫有向圖，給支路編號，選樹。(2)寫出支路阻抗矩陣Z(s)和回路矩陣Bf。按標準復合支路的規(guī)定寫出支路電壓列向量(4)寫出矩陣形式回路電流方程的復頻域表達式或(3)求出回路阻抗矩陣。。小結列寫回路電流方程矩陣形式的步驟如下：(1)畫有向圖，給思考回答

1.什么是復合支路？

2.矩陣形式回路電流方程的列寫中，若電路中含有無伴電流源，將會有何問題？思考回答1.什么是復合支路？2.矩陣形式回路電

13.4節(jié)點電壓方程的矩陣形式一、復合支路—

元件電流—

支路電流—

受控電流—

支路的復導納（阻抗）—

支路電壓—

獨立電壓源—

獨立電流源按復合支路的規(guī)定，電路中不允許有受控電壓源，也不允許存在“純電壓源支路”。復合支路規(guī)定了一條支路可以最多包含的元件數(shù)，可以缺少某些元件，但不能缺少阻抗。Zk

(Yk)+-+-13.4節(jié)點電壓方程的矩陣形式一、復合支路—元件電流二、支路方程的矩陣形式分三種不同情況進行分析。1.電路中不含互感和受控源

Zk(Yk)+-+-二、支路方程的矩陣形式1.電路中不含互感和受控源支路阻抗陣、支路導納陣為

b×b

矩陣：按定義列寫支路阻抗陣、支路導納陣為b×b矩陣：按定義列2.具有互感情況下的節(jié)點電壓分析設第k條、j條支路有耦合關系，編號時把它們相鄰的編在一起（設兩個電流都為流入同名端）。則2.具有互感情況下的節(jié)點電壓分析設第k條、3.具有受控電流源的節(jié)點分析+對第k條支路有(1)VCCS時：(2)CCCS時：考慮b條支路3.具有受控電流源的節(jié)點分析+對第k條支路k

jYkj其中此方程形式與情況1相同，只是Y

不是對角陣。kjYkj其中此方程形式與情況1相同二、節(jié)點電壓方程的矩陣形式KCL支路方程：節(jié)點導納矩陣獨立電源引起的注入節(jié)點的電流列向量KCL：KVL：二、節(jié)點電壓方程的矩陣形式KCL支路方程：節(jié)點導納矩陣獨立13-4列出圖示電路的節(jié)點電壓方程的矩陣形式。例：解：L1R5R4iS4L2R3C6iS3②③④①123456③②①④

.US

=0,

..

.IS

=[00

IS3IS400]T(1)作有向圖，選參考節(jié)點；(2)寫關聯(lián)矩陣A、獨立電源列相量和支路導納矩陣；應用舉例

13-4列出圖示電路的節(jié)點電壓方程的矩陣形式。例：解：L1

AYAT

.Un

.

=AIS

.-AYUS(3)求AYAT并代入得到

AYAT

.Un

.

=AIS

.Un1

.Un2

.Un3

.IS3+

.IS4

=0

.-IS4

R31+R41+jwL11-jwL11-R41-jwL11jwL11+jwL21+jwC6-jwL21-R41-jwL21R41+R51+jwL21jwL11jwL21R31R41R51jwC6Y=diag[,,,,,]AYAT...(3)求AY1.畫有向圖，給支路和節(jié)點編號，選出參考節(jié)點。2.寫出關聯(lián)矩陣A3.寫支路導納矩陣Y5.寫出矩陣形式節(jié)點電壓方程的表達式4.寫列向量小結列寫節(jié)點電壓方程矩陣形式的步驟如下：1.畫有向圖，給支路和節(jié)點編號，選出參考節(jié)點。2.寫出關聯(lián)

1.節(jié)點電壓方程的矩陣形式的一般步驟是什么？

2.矩陣形式節(jié)點電壓方程的列寫中，若電路中含有無伴（無串聯(lián)電阻）電壓源，將會有何問題？想想練練？1.節(jié)點電壓方程的矩陣形式的一般步驟是什么？2.矩

13.5割集電壓方程的矩陣形式割集電壓是指由割集劃分的兩分離部分之間的一種假想電壓。以割集電壓為電路獨立變量的分析法稱為割集電壓法。復合支路用導納表示的支路方程：Zk(Yk)+-+-13.5割集電壓方程的矩陣形式割集電壓是指割集矩陣方程割集電壓法是節(jié)點電壓法的推廣。割集矩陣方程割集電壓法是節(jié)點電壓法的推廣。例：應用舉例

13-5以運算形式寫出如圖所示電路的割集電壓方程的矩陣形式。設L3、L4、C5的初始條件為零。31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)選1、2、3為樹支，3個單樹支割集如虛線所示，樹支電壓Ut1(s)、Ut2(s)、Ut3(s)也即割集電壓，它們的方向也是割集的方向?；靖罴仃嘠為:iS2R2R1L4L3C5iS1解：例：應用舉例13-5以運算形式寫出如圖所示電路的割集電壓源和電流源列向量分別為（運算法）：支路導納矩陣為：31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)iS2R2R1L4L3C5iS1電壓源和電流源列向量分別為（運算法）：支路導納矩陣為31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)iS2R2R1L4L3C5iS1則割集電壓方程的矩陣形式為：31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)由此可得：(1)兩個割集互電導中的公共支路若同時與兩個割集同(或反)方向，該支路電導取正號，反之取負號。

因為每一樹支只能出現(xiàn)在本割集中，所以割集互導不可能包含樹支，全部由連支構成。任一連支若是某兩單樹支割集的共有支路，則該兩樹支必包含在這個連支的單連支回路中，則：當沿著樹繞行，兩個樹支方向相同時其割集互導為正，反之為負。(2)當電壓源正極性對著該割集方向時取正號，反之取負號。由此可得：(1)兩個割集互電導中的公共支檢驗學習結果

1.列寫割集電壓方程的矩陣形式的步驟是什么？

2.節(jié)點電壓方程和割集電壓方程有何區(qū)別和聯(lián)系？檢驗學習結果1.列寫割集電壓方程的矩陣形式的步驟是什么？13.6狀態(tài)方程一、狀態(tài)和狀態(tài)變量1.狀態(tài):電路在任何時刻所必需的最少信息,它們和自該時刻以后的輸入(激勵)足以確定該電路的性狀。2.狀態(tài)變量:描述電路的一組最少數(shù)目獨立變量,如果某一時刻這組變量已知，且自此時刻以后電路的輸入亦已知，則可以確定此時刻以后任何時刻電路的響應。選定系統(tǒng)中一組最少數(shù)量的變量X=[x1，x2，…，xn]T,如果當t=

t0時這組變量X(t0)和t

t0后的輸入e(t)為已知,就可以確定t0及t0以后任何時刻系統(tǒng)的響應。13.6狀態(tài)方程一、狀態(tài)和狀態(tài)變量1.狀態(tài):電路在任何時刻二、狀態(tài)方程用狀態(tài)變量和激勵所描述的電路的一階微分方程組。特點：1.聯(lián)立一階微分方程組；2.左端為狀態(tài)變量的一階導數(shù)；3.右端僅含狀態(tài)變量和輸入量；[x]=[x1

x2xn]T式中:一般形式:\nn\nmn1m1二、狀態(tài)方程用狀態(tài)變量和激勵所描述的電路的一階微分方程組。RuLCuS(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR選uC,iL

為狀態(tài)變量，列微分方程。整理得狀態(tài)方程三、狀態(tài)方程的列寫1.直觀法13-6電路圖如圖所示，選uC，iL為狀態(tài)變量，列寫狀態(tài)方程。解：例：應用舉例

RuLCuS(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR選u矩陣形式RuLCuS(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR(4)把狀態(tài)方程整理成標準形式。對于簡單的網(wǎng)絡，用直觀法比較容易，列寫狀態(tài)方程的步驟為：(1)選擇獨立的電容電壓和電感電流作為狀態(tài)變量；(2)對只接有一個電容的節(jié)點列寫KCL方程；對只包含一個電感的回路列KVL方程；(3)列寫其他必要的方程，消去方程中的非狀態(tài)變量；直觀編寫法的缺點：1)編寫方程不系統(tǒng)，不利于計算機計算。

2)對復雜網(wǎng)絡的非狀態(tài)變量的消除很麻煩。矩陣形式RuLCuS(t)+-uCiLiCuR+-+-+-L步驟：

(1)選擇一個樹，也稱為特有樹，它包含電容和電壓源，

而不包含電容和電流源。(2)對包含電容的單樹支割集列寫KCL方程。(3)對包含電感的單連支割集列寫KVL方程。(4)列寫其他必要的方程，消去非狀態(tài)變量。(5)整理并寫出矩陣形式。2.系統(tǒng)法：對于比較復雜的電路，僅靠觀察法列寫狀態(tài)方程有時是很困難的，有必要尋求一種系統(tǒng)的編寫方法。簡單的說，系統(tǒng)編寫法就是尋求一個適當?shù)臉?，使其包含全部電容而不包含電感。對含電容的單樹支割集用KCL可列寫一組含有的方程。對于含電感的用KVL可列寫出一組含有的方程。這些方程中含有一個導數(shù)項，若再加上其他約束方程，便可求得標準狀態(tài)方程。單連支回路運步驟：2.系統(tǒng)法：對于比較復雜的電路，僅靠觀察法列寫狀態(tài)的方13.7列寫如下圖所示電路的狀態(tài)方程。解：例：+_1F+_+__uSiSuiLiC11對圖示的兩個樹支，按基本割集列寫KCL方程對圖示的兩個連支，按基本回路列KVL方程應用舉例

13.7列寫如下圖所示電路的狀態(tài)方程。解：例：+_1F+_整理得矩陣形式狀態(tài)方程為整理得矩陣形式狀態(tài)方程為檢驗學習結果

1.狀態(tài)方程系統(tǒng)列寫法的步驟是什么？

2.如何選取特有樹？檢驗學習結果1.狀態(tài)方程系統(tǒng)列寫法的步驟是什么？213.7應用實例——計算機輔助電路分析

電路的矩陣表示用計算機程序分析電路時，應根據(jù)電路圖寫出這些電路數(shù)據(jù)，在程序運行時，從鍵盤將這些數(shù)據(jù)輸入計算機，或者將這些數(shù)據(jù)先存入到某個數(shù)據(jù)文件(例如D.DAT)中，讓計算機從這個文件中自動讀入這些數(shù)據(jù)。13.7應用實例——計算機輔助電路分析電路的矩陣表示13-8用DCAP程序對圖13-21所示電路進行分析。-----電壓，電流和功率-----節(jié)點電壓V1=8.000V2=1.000V3=3.000各支路吸收功率之和P=.0000解：例：應用舉例

運行DCAP程序，讀入圖(b)所示電路數(shù)據(jù)，選擇菜單中的功能代碼2，可得到各節(jié)點電壓，各支路電壓、電流和吸收功率：13-8用DCAP程序對圖13-21所示電路進行分析。---小結：看看記記一、割集割集Q是連通圖G中支路的集合，具有下述性質：1.把Q中全部支路移去(保留支路的兩個端點)

，將圖分成兩個分離部分。2.保留Q

中的一條支路，其余都移去，G還是連通的。

3.這種由一條樹支及相應的連支構成的割集稱為單樹支割集或基本割集。對于一個具有n個節(jié)點，b條支路的連通圖G，獨立割集的數(shù)目等于樹支數(shù)，為（n－1）。

215634Q1Q2Q3小結：看看記記一、割集割集Q是連通圖G中支路二、關聯(lián)矩陣、割集矩陣、回路矩陣ajk=

1有向支路k

背離

j節(jié)點。

-1有向支路k指向

j節(jié)點。

0有向支路k

與j

節(jié)點無關。1.關聯(lián)矩陣：Aa={ajk}nb節(jié)點數(shù)支路數(shù)643521①②④③Aa=1234

123456

支節(jié)

100-101

-1-11000

0100-1-1

00-11

10設④為參考節(jié)點，劃去第4行。

-1-11000A=123

123456

支節(jié)

100-101

0100-1-1稱A為降階關聯(lián)矩陣

(n-1)b

，表征獨立節(jié)點與支路的關聯(lián)性質。也稱關聯(lián)矩陣。各行不獨立。

二、關聯(lián)矩陣、割集矩陣、回路矩陣ajk=1有向1支路k與割集j方向一致。-1支路k與割集j方向相反。0支路k不在割集j中。qjk=(2)支路排列順序為先樹支后連支。約定：(1)割集方向與樹支方向相同。2.基本割集矩陣：Q={qjk}n-1

b基本割集數(shù)支路數(shù)選4、5、6為樹支，連支為1、2、3。Q1Q2Q3Q=456123支路割集100-1-10

01011-1=[1

Ql]

0010-11QtQlQ1:{1,2,4}Q2:{1,2,3,5}Q3:{2,3,6}123

6541支路k與割集j方向一致。-1支3.基本回路矩陣：選4、5、6為樹支，連支為1、2、3。123B=123456支路回路1001-10

0101-11=[1

Bt]

00101-1BlBt123

654l3l2l3l1B={bjk}lb基本回路數(shù)支路數(shù)1支路k與回路j關聯(lián)，方向一致。-1支路k

與回路j關聯(lián)，方向相反。0支路k

不在回路j中。bjk=3.基本回路矩陣：選4、5、6為樹支，連支為1、2、3。三、回路分析法列寫回路電流方程矩陣形式的步驟如下：根據(jù)已知電路，畫出有向圖，寫出回路矩陣B；寫出支路阻抗矩陣Z，電源列向量3.求出回路阻抗矩陣4.列出回路方程；；。四、節(jié)點分析法1.畫有向圖2.寫出關聯(lián)矩陣A3.寫支路導納矩陣Y5.用矩陣乘法求得節(jié)點方程4.寫列向量三、回路分析法列寫回路電流方程矩陣形式的步驟如下：3.求出回1.選定一個樹，寫出五、割集分析法2.求出3.列出割集方程線性電路以iL,uC為狀態(tài)變量。六、狀態(tài)方程的列寫

步驟：

1.選擇一個樹，也稱為特有樹，它包含電容和電壓源，

而不包含電容和電流源。

2.對包含電容的單樹支割集列寫KCL方程。

3.對包含電感的單連支割集列寫KVL方程。

4.列寫其他必要的方程，消去非狀態(tài)變量。

5.整理并寫出矩陣形式。1.選定一個樹，寫出五、割集分析法2.求出3.列出割集課后習題13-1圖(a)以節(jié)點4為參考節(jié)點，圖(b)以節(jié)點5為參考節(jié)點，寫出13-1圖所示有向圖的關聯(lián)矩陣A。(a)123456解：課后習題13-1圖(a)以節(jié)點4為參考節(jié)點，圖(b)以(b)12345678(b)12313-2下圖所示有向圖，若選支路1、2、3為樹支，寫出基本回路矩陣和基本割集矩陣。(a)456123解：13-2下圖所示有向圖，若選支路1、2、3為樹支，寫出和基(b)123456(b)12313-3電路如下圖所示，列出矩陣形式的回路電流方程。R1R2-+1①②③④2345l2l1

1

2

3

45解：13-3電路如下圖所示，列出矩陣形式的回路電流方程。R1R2R1R2-+1①②③④2345l2l1R1R2-+1①②③④2345l2l113-4用矩陣形式列出電路的回路電流方程：(1)L2和L3之間不含互感；(2)L2和L3之間含有互感。

15243(1)選支路1、4、5為樹支，支路2、3為連支，則基本回路矩陣為：解：+US5R5R1L2L3C4IS1123M-13-4用矩陣形式列出電路的回路電流方程：15243(代入(2)L2和L3之間含有互感時，只有支路阻抗陣和(1)不同，電流流進互感同名端，則+US5R5R1L2L3C4IS1123M-代入(2)L2和L3之間含有互感時，只有支路阻抗陣和(1)則回路電流矩陣方程為：+US5R5R1L2L3C4IS1123M-則回路電流矩陣方程為：+US5R5R1L2L3C4I123123450+US5R5R1L2L3C4IS1123-0解：13-5

列寫如圖所示電路的節(jié)點電壓方程。(1)L2和L3之間不含互感；(2)L2和L3之間含有互感。(1)123123450+US5R5R1L2L3C4IS1123-123123450+US5R5R1L2L3C4IS1123-0123123450+US5R5R1L2L3C4IS1123-從[Yn]可知，[Yn]主對角線上的元素為節(jié)點自導納,恒為正值，主對角線外的元素為節(jié)點之間的互導納，恒取負值。等式右邊為節(jié)點電流源流進的電流（流入為“+”）。從[Yn]可知，[Yn]主對角線上的元素為節(jié)點自導納(2)L2和L3之間有互感。123123450+US5R5R1L2L3C4IS1123M-解：(2)L2和L3之間有互感。123123450+US+US5R5R1L2L3C4IS1123M-則+US5R5R1L2L3C4IS1123M-則電路分析基礎13-電路方程的矩陣形式課件3451①②③④2(b)L3iS5(a)L4G1G2C51234513-6電路如下圖(a)所示，圖(b)是它的有向圖。設的初始條件為零，試用運算形式列寫出該電路的節(jié)點電壓方程。、、解：3451①②③④2(b)L3iS5(a)L4G1G2CL3iS5(a)L4G1G2C53451①②③④2(b)L3iS5(a)L4G1G2C53451①②③④2524310312-g13-7電路如圖所示,L1和L2之間有互感,試列寫節(jié)點電壓方程。iS5guauaG5C3G4+

-

**ML2L1解：其中524310312-g13-7電路如圖所示,L1和L2之間有代入，得其中代入，得其中13-8電路如圖所示，試用運算形式寫出該電路割集電壓方程的矩陣形式。（設電感電容的初始條件為零）(1)作出電路的有向圖，如圖(b)所示，選支路1、2、3為樹支。(3)由于電源中不含受控源，所以支路導納矩陣為一對角陣L4R1R1C5L3C6R2L3(a)152436(b)123456解：(2)由圖(b)可寫出基本割集矩陣13-8電路如圖所示，試用運算形式寫出該電路割集電壓(4)將上式關系代入割集電壓方程得:電壓源和電流源列向量分別為:(4)將上式關系代入割集電壓方程得:電壓源和電流源列向量分別

13-9選

uC,i1,

i2為狀態(tài)變量，列寫狀態(tài)方程。R1

-+uSCuCiSiRR2i2L2L1

-+i1解：13-9選uC,i1,i2為狀態(tài)變量，電路分析基礎13-電路方程的矩陣形式課件學習結束學習結束第13章電路方程的矩陣形式（）13.1割集13.2關聯(lián)矩陣、割集矩陣、回路矩陣13.3回路電流方程的矩陣形式13.4節(jié)點電壓方程的矩陣形式13.5割集電壓方程的矩陣形式13.6狀態(tài)方程13.7應用實例——計算機輔助電路分析

（，★）（，★）第13章電路方程的矩陣形式（）13.1割集（，★）（13.1

割集割集Q是連通圖G中支路的集合，具有下述性質：1.把Q中全部支路移去(保留支路的兩個端點)

，將圖分成兩個分離部分。2.保留Q

中的一條支路，其余都移去，G還是連通的。①4321②④③56①1②3④③4256Q1:{2,5,4,6}一、割集定義13.1割集割集Q是連通圖G中支路的集合，具有二、割集的確定在圖G上作一個高斯面（閉合面），使其包圍G的某些節(jié)點，而每條支路只能被閉合面切割一次，去掉與閉合面相切割的支路，圖G將被分為兩部分，那么這組支路集合即為圖G的一個割集。在圖G上畫高斯面（閉合面）Q1、Q2、Q3如下圖所示，對應割集Q1、Q2、Q3的支路集合為{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}。注意：同一割集中每一條支路只能被切割一次。1Q1Q2Q323465二、割集的確定在圖G上作一個高斯面（閉合面），使其圖13-1割集的定義245(b)15(c)12345(a)①②③④(d)234512345(f)①②③④Q1Q2Q3Q4Q5Q6125(e)圖13-1割集的定義245(b)15(c)12345(a三、基本割集888(a)1234567(c)1234567(b)1234567(d)12345678(e)12345678(f)12345678由一條樹支及相應的連支構成的割集稱為單樹支割集或基本割集。n個節(jié)點，b條支路的連通圖G，獨立割集的數(shù)目為(n－1)。

三、基本割集888(a)1234567(c)1234567思考與練習1.割集必須滿足的條件是什么？

2.如何選擇基本割集？3.割集和節(jié)點的關系是什么？

4.屬于同一割集的所有支路的電流是否滿足KCL？

思考與練習1.割集必須滿足的條件是什么？2圖的矩陣表示是指用矩陣描述圖的拓撲性質，即KCL和KVL的矩陣形式。有三種矩陣形式：圖的矩陣表示:節(jié)點支路關聯(lián)矩陣回路支路回路矩陣割集支路割集矩陣

13.2關聯(lián)矩陣、割集矩陣、回路矩陣圖的矩陣表示是指用矩陣描述圖的拓撲性質，即KCL和KVajk=

1有向支路k

背離

j節(jié)點。

-1有向支路k指向

j節(jié)點。

0有向支路k

與j

節(jié)點無關。1.關聯(lián)矩陣：Aa={ajk}nb節(jié)點數(shù)支路數(shù)643521①②④③Aa=1234

123456

支節(jié)

100-101

-1-11000

0100-1-1

00-11

10設④為參考節(jié)點，劃去第4行。

-1-11000A=123

123456

支節(jié)

100-101

0100-1-1稱A為降階關聯(lián)矩陣

(n-1)b

，表征獨立節(jié)點與支路的關聯(lián)性質。也稱關聯(lián)矩陣。各行不獨立。

一、關聯(lián)矩陣、割集矩陣和回路矩陣的定義ajk=1有向支路k背離j節(jié)點。2.割集矩陣支路k與割集j方向一致。-1支路k與割集j方向相反。0支路k

不在割集j中。qjk=12345678(a)Q1

Q2Q3

Q4Q={qjk}n-1

b基本割集數(shù)支路數(shù){(1,2,3)，(1,4,5)，(2,6,8)，(5,7,8)}是該圖的一組獨立割集，流出閉合面方向為割集方向。

Q1Q2Q3Q414283576úúúú?ùêêêê?é-----=11010000101000100001100100000111Q支路割集2.割集矩陣支路k與割集j方向一致。-1支路(2)支路排列順序為先樹支后連支。約定:(1)割集方向與樹支方向相同。12345678(b)Q1

Q2Q4Q3基本割集矩陣Qf選2、

4、5、8為樹支，連支為1、3、6、7。Q1Q2Q3Q428475163支路割集=[1

Ql]EtQl(2)支路排列順序為先樹支后連支。約定:(1)割3.回路矩陣B={bjk}lb基本回路數(shù)支路數(shù)1支路k與回路j關聯(lián)，方向一致。-1支路k

與回路j關聯(lián)，方向相反。0支路k

不在回路j中。bjk=(a)12345678l2l3

l4l114283576l1l2l3l4支路回路3.回路矩陣B={bjk}lb基本回路數(shù)12345678

(2)支路排列順序為先連支后樹支。約定:(1)回路電流的參考方向取連支電流方向。基本回路矩陣Bf選2、

4、5、8為樹支，連支為1、3、6、7。17386254b1b3b6b7支路回路=[1

Bt]ElBt12345678(2)支路排列順序為先連支后樹支。1.用矩陣A描述的基爾霍夫定律的矩陣形式(1)KCL的矩陣形式以節(jié)點④為參考節(jié)點Aib

=111000000-111000000-1-11n-1個獨立方程矩陣形式的KCL:Aib=0二、用矩陣A、Q、B表示的基爾霍夫定律的矩陣形式1234567①②③④1.用矩陣A描述的基爾霍夫定律的矩陣形式(1)KCL的矩陣形(2)KVL的矩陣形式矩陣形式=úúúúúúúúú?ùêêêêêêêêê?é---=n3n3n3n2n2n2n1n2n1uuuuuuuuu(2)KVL的矩陣形式矩陣形式=úúúúúúúúú?ùê矩陣形式的KCL：矩陣形式的KCL：Qfib=0

(1)KCL的矩陣形式取（2，3，6）為樹，1234567Q2Q1Q32.用矩陣Qf描述的基爾霍夫定律的矩陣形式矩陣形式的KCL：矩陣形式的KCL：Qfib=0(1)電路中的（n-1）個樹支電壓可用（n-1）階列向量表示，即(2)KVL的矩陣形式，，，

，電路中的（n-1）個樹支電壓可用（n-1）階列向l個獨立KVL方程矩陣形式的KVL：Bf

ub=03.用矩陣Bf表示的基爾霍夫定律的矩陣形式1234567(1)KVL的矩陣形式l個獨立KVL方程矩陣形式的KVL：Bfub=03.用(2)KCL的矩陣形式獨立回路電流1234567矩陣形式的KCL：ib=BfTil(2)KCL的矩陣形式獨立回路電流1234567矩陣形式的KQQi=0QTut=u小結：ABAi=0

BTil=iKCLKVL

ATun=uBu=0QQi=0QTut=u小結：ABAi13-1電路的有向圖如圖所示，(1)節(jié)點⑤為參考寫出其關聯(lián)矩陣A，(2)以實線為樹枝，虛線為連支，寫出其單連支回路矩陣Bf(3)寫出單樹支割集矩陣Qf。例：解：⑤123456789①②③④(1)以節(jié)點⑤為參考節(jié)點，其余4個節(jié)點為獨立節(jié)點的關聯(lián)矩陣A為應用舉例

13-1電路的有向圖如圖所示，(1)節(jié)點⑤為參考寫出例：解：(2)以實線(1,2,3,4)為樹枝，虛線(5,6,7,8,9)為連支，其單連支回路矩陣Bf為⑤123456789①②③④(2)以實線(1,2,3,4)為樹枝，虛線(5,6,7,8,(3)以實線(1,2,3,4)為樹枝，虛線(5,6,7,8,9)為連支，其單樹支割集矩陣Qf為⑤123456789①②③④(3)以實線(1,2,3,4)為樹枝，虛線(5,6,7,8,1.對于一個含有n個節(jié)點b條支路的電路，關聯(lián)矩陣反映了什么關聯(lián)性質？2.對于一個含有n個節(jié)點b條支路的電路，回路矩陣反映了什么關聯(lián)性質？

檢驗學習結果3.對于一個含有n個節(jié)點b條支路的電路，割集矩陣反映了什么關聯(lián)性質？

4.對于一個含有n個節(jié)點b條支路的電路，用矩陣A、Qf、Bf表示的基爾霍夫定律的矩陣形式分別是什么？1.對于一個含有n個節(jié)點b條支路的電路，關聯(lián)矩陣反映了什么關13.3回路電流方程的矩陣形式

Zk一、復合支路第k條支路第k條支路的阻抗，只能是單一的電阻、電感或電容，不允許是它們的組合。阻抗上電壓、電流的參考方向與支路方向相同。獨立電壓源，其參考方向和支路方向相反。獨立電流源，其參考方向和支路方向相反。支路電壓、支路電流，取關聯(lián)參考方向。13.3回路電流方程的矩陣形式Zk一、復合支路1.電路中不含互感和受控源的情況(相量法)按定義寫開

Zk二、支路方程的矩陣形式1.電路中不含互感和受控源的情況(相量法)按定義寫2.電路中含有互感的情況設第k條、j條支路有耦合關系，編號時把它們相鄰的編在一起（設兩個電流都為流入同名端）：其余支路電壓、電流的關系為：2.電路中含有互感的情況設第k條、j條支故回路電流方程不變，只是阻抗陣Z不再為對角陣，其非對角線元素的第k行、第j列和第j行、第k列的兩個元素是兩條支路的互阻抗?；プ杩骨暗摹啊馈保娏髁魅胪说膶　埃?，反之取“－”。

仍可統(tǒng)一寫為故回路電流方程不變，只是阻抗陣Z不再為對角陣3.電路中含有受控源的情況而這時含有受控源的支路阻抗Z為非對角陣，非對角線上的元素是與受控電壓源的控制系數(shù)有關的元素。因支路方程的右端加上受控電壓源，故支路阻抗陣變?yōu)椋?/p>

Zk++－－kj3.電路中含有受控源的情況而這時含取回路電流（連支電流）為未知變量。回路方程矩陣形式

支路電壓與支路電流的關系代入上面方程，整理后得Zk+-+-回路矩陣方程（回路電壓源相量）Zl（回路阻抗陣）三、回路電流方程的矩陣形式

取回路電流（連支電流）為未知變量。回路方程矩陣形式例：解：13.2列出圖示電路矩陣形式回路電流方程的頻域表達式。124356+-μU2Z3Z6

IS6+-Z2Z5Z1+-

U2US1⑴畫出有向圖，給支路編號，選樹(1,4,6)。⑵

應用舉例

例：解：13.2列出圖示電路矩陣形式回路電流方程的頻域表達式⑶計算Zl和。矩陣形式回路電流方程的頻域表達式為⑶計算Zl和。矩陣形式回路電流方程的頻域表達式為13-3列出圖示電路矩陣形式回路電流方程的復頻域表達式。例：解：R1C2L3L5uS4uS5**M12435⑴畫出有向圖，給支路編號，選樹(1,4)。⑵應用舉例

13-3列出圖示電路矩陣形式回路電流方程的復頻域例：解：R1⑶計算Z(s)UlS(s)。矩陣形式回路電流方程的復頻域表達式為⑶計算Z(s)UlS(s)。矩陣形式回路電流方程的復頻域表。小結列寫回路電流方程矩陣形式的步驟如下：(1)畫有向圖，給支路編號，選樹。(2)寫出支路阻抗矩陣Z(s)和回路矩陣Bf。按標準復合支路的規(guī)定寫出支路電壓列向量(4)寫出矩陣形式回路電流方程的復頻域表達式或(3)求出回路阻抗矩陣。。小結列寫回路電流方程矩陣形式的步驟如下：(1)畫有向圖，給思考回答

1.什么是復合支路？

2.矩陣形式回路電流方程的列寫中，若電路中含有無伴電流源，將會有何問題？思考回答1.什么是復合支路？2.矩陣形式回路電

13.4節(jié)點電壓方程的矩陣形式一、復合支路—

元件電流—

支路電流—

受控電流—

支路的復導納（阻抗）—

支路電壓—

獨立電壓源—

獨立電流源按復合支路的規(guī)定，電路中不允許有受控電壓源，也不允許存在“純電壓源支路”。復合支路規(guī)定了一條支路可以最多包含的元件數(shù)，可以缺少某些元件，但不能缺少阻抗。Zk

(Yk)+-+-13.4節(jié)點電壓方程的矩陣形式一、復合支路—元件電流二、支路方程的矩陣形式分三種不同情況進行分析。1.電路中不含互感和受控源

Zk(Yk)+-+-二、支路方程的矩陣形式1.電路中不含互感和受控源支路阻抗陣、支路導納陣為

b×b

矩陣：按定義列寫支路阻抗陣、支路導納陣為b×b矩陣：按定義列2.具有互感情況下的節(jié)點電壓分析設第k條、j條支路有耦合關系，編號時把它們相鄰的編在一起（設兩個電流都為流入同名端）。則2.具有互感情況下的節(jié)點電壓分析設第k條、3.具有受控電流源的節(jié)點分析+對第k條支路有(1)VCCS時：(2)CCCS時：考慮b條支路3.具有受控電流源的節(jié)點分析+對第k條支路k

jYkj其中此方程形式與情況1相同，只是Y

不是對角陣。kjYkj其中此方程形式與情況1相同二、節(jié)點電壓方程的矩陣形式KCL支路方程：節(jié)點導納矩陣獨立電源引起的注入節(jié)點的電流列向量KCL：KVL：二、節(jié)點電壓方程的矩陣形式KCL支路方程：節(jié)點導納矩陣獨立13-4列出圖示電路的節(jié)點電壓方程的矩陣形式。例：解：L1R5R4iS4L2R3C6iS3②③④①123456③②①④

.US

=0,

..

.IS

=[00

IS3IS400]T(1)作有向圖，選參考節(jié)點；(2)寫關聯(lián)矩陣A、獨立電源列相量和支路導納矩陣；應用舉例

13-4列出圖示電路的節(jié)點電壓方程的矩陣形式。例：解：L1

AYAT

.Un

.

=AIS

.-AYUS(3)求AYAT并代入得到

AYAT

.Un

.

=AIS

.Un1

.Un2

.Un3

.IS3+

.IS4

=0

.-IS4

R31+R41+jwL11-jwL11-R41-jwL11jwL11+jwL21+jwC6-jwL21-R41-jwL21R41+R51+jwL21jwL11jwL21R31R41R51jwC6Y=diag[,,,,,]AYAT...(3)求AY1.畫有向圖，給支路和節(jié)點編號，選出參考節(jié)點。2.寫出關聯(lián)矩陣A3.寫支路導納矩陣Y5.寫出矩陣形式節(jié)點電壓方程的表達式4.寫列向量小結列寫節(jié)點電壓方程矩陣形式的步驟如下：1.畫有向圖，給支路和節(jié)點編號，選出參考節(jié)點。2.寫出關聯(lián)

1.節(jié)點電壓方程的矩陣形式的一般步驟是什么？

2.矩陣形式節(jié)點電壓方程的列寫中，若電路中含有無伴（無串聯(lián)電阻）電壓源，將會有何問題？想想練練？1.節(jié)點電壓方程的矩陣形式的一般步驟是什么？2.矩

13.5割集電壓方程的矩陣形式割集電壓是指由割集劃分的兩分離部分之間的一種假想電壓。以割集電壓為電路獨立變量的分析法稱為割集電壓法。復合支路用導納表示的支路方程：Zk(Yk)+-+-13.5割集電壓方程的矩陣形式割集電壓是指割集矩陣方程割集電壓法是節(jié)點電壓法的推廣。割集矩陣方程割集電壓法是節(jié)點電壓法的推廣。例：應用舉例

13-5以運算形式寫出如圖所示電路的割集電壓方程的矩陣形式。設L3、L4、C5的初始條件為零。31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)選1、2、3為樹支，3個單樹支割集如虛線所示，樹支電壓Ut1(s)、Ut2(s)、Ut3(s)也即割集電壓，它們的方向也是割集的方向。基本割集矩陣Q為:iS2R2R1L4L3C5iS1解：例：應用舉例13-5以運算形式寫出如圖所示電路的割集電壓源和電流源列向量分別為（運算法）：支路導納矩陣為：31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)iS2R2R1L4L3C5iS1電壓源和電流源列向量分別為（運算法）：支路導納矩陣為31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)iS2R2R1L4L3C5iS1則割集電壓方程的矩陣形式為：31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)由此可得：(1)兩個割集互電導中的公共支路若同時與兩個割集同(或反)方向，該支路電導取正號，反之取負號。

因為每一樹支只能出現(xiàn)在本割集中，所以割集互導不可能包含樹支，全部由連支構成。任一連支若是某兩單樹支割集的共有支路，則該兩樹支必包含在這個連支的單連支回路中，則：當沿著樹繞行，兩個樹支方向相同時其割集互導為正，反之為負。(2)當電壓源正極性對著該割集方向時取正號，反之取負號。由此可得：(1)兩個割集互電導中的公共支檢驗學習結果

1.列寫割集電壓方程的矩陣形式的步驟是什么？

2.節(jié)點電壓方程和割集電壓方程有何區(qū)別和聯(lián)系？檢驗學習結果1.列寫割集電壓方程的矩陣形式的步驟是什么？13.6狀態(tài)方程一、狀態(tài)和狀態(tài)變量1.狀態(tài):電路在任何時刻所必需的最少信息,它們和自該時刻以后的輸入(激勵)足以確定該電路的性狀。2.狀態(tài)變量:描述電路的一組最少數(shù)目獨立變量,如果某一時刻這組變量已知，且自此時刻以后電路的輸入亦已知，則可以確定此時刻以后任何時刻電路的響應。選定系統(tǒng)中一組最少數(shù)量的變量X=[x1，x2，…，xn]T,如果當t=

t0時這組變量X(t0)和t

t0后的輸入e(t)為已知,就可以確定t0及