高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)真題源講義專題強(qiáng)化訓(xùn)練(十三)

專題強(qiáng)化訓(xùn)練(十三)1.如圖,AB是圓O的直徑,PA⊥圓O所在的平面,C為圓周上一點(diǎn),D為線段PC的中點(diǎn),∠CBA=30°,AB=2PA.(1)證明:平面ABD⊥平面PBC;(2)若G為AD的中點(diǎn),求直線CG與平面PBG所成角的正弦值.(1)證明:因?yàn)镻A⊥圓O所在的平面,即PA⊥平面ABC,而BC?平面ABC,則PA⊥BC,又AB是圓O的直徑,C為圓周上一點(diǎn),有AC⊥BC,又PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,則BC⊥平面PAC,而AD?平面PAC,因此BC⊥AD,在Rt△ABC中,∠CBA=30°,有AB=2AC,又AB=2PA,即PA=AC,而D為線段PC的中點(diǎn),則AD⊥PC,又PC∩BC=C,PC,BC?平面PBC,因此AD⊥平面PBC,而AD?平面ABD,所以平面ABD⊥平面PBC.(2)解:過(guò)點(diǎn)C作Cz∥PA,如圖,由PA⊥平面ABC知,Cz⊥平面ABC,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),直線CA,CB,Cz分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz,令A(yù)C=2,則A(2,0,0),B(0,23,0),P(2,0,2),D(1,0,1),G(32,0,12則CG→=(32,0,12),PB→=(-2,23,-2),PG→=(-設(shè)平面PBG的法向量為n=(x,y,z),則n令z=-3,得n=(33,2,-3),設(shè)直線CG與平面PBG所成角為θ,則sinθ=|cos<n,CG→>|=|n·CG→2.(2021·山西晉中三模)在三棱錐ABCD中,E,F分別是棱BC,CD上的點(diǎn),且EF∥平面ABD.(1)求證:BD∥平面AEF;(2)若AE⊥平面BCD,DE⊥BC,AE=CE=DE=2,二面角BADC的平面角的余弦值為-33,求直線AB與AD所成角的余弦值.(1)證明:E,F分別是棱BC,CD上的點(diǎn),即EF?平面BCD,又EF∥平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EF∥BD,因?yàn)锽D?平面AEF,EF?平面AEF,所以BD∥平面AEF.(2)解:因?yàn)锳E⊥平面BCD,DE⊥BC,所以以E為原點(diǎn),ED所在直線為x軸,EC所在直線為y軸,EA所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)锳E=CE=DE=2,所以A(0,0,2),C(0,2,0),D(2,0,0),設(shè)BE=a,則B(0,-a,0),AB→=(0,-a,-2),AC→=(0,2,-2),設(shè)平面ABD的法向量為n=(x1,y1,z1),則n取x1=1,得n=(1,-2a,1)設(shè)平面ACD的法向量為m=(x2,y2,z2),則m取x2=1,得m=(1,1,1),因?yàn)槎娼荁ADC的平面角的余弦值為-33,所以|cos<m,n>|=|2-2a2+解得a=4,所以B(0,-4,0),AB→設(shè)直線AB與AD所成角為θ,則cosθ=|AB→·AD→所以直線AB與AD所成角的余弦值為10103.(2022·河北保定高三期末)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為平行四邊形,平面PCD⊥底面ABCD,且BC=2,AB=4,BD=25.(1)證明:BC⊥PD;(2)若PC=PD=13,求二面角APBC的余弦值.(1)證明:在平行四邊形ABCD中,AD=BC=2,AB=4,BD=25,因?yàn)锳D2+AB2=BD2,則AD⊥AB,即BC⊥CD,因?yàn)槠矫鍼CD⊥底面ABCD,且平面PCD∩底面ABCD=CD,BC?平面ABCD,則BC⊥平面PCD.又PD?平面PCD,所以BC⊥PD.(2)解:取CD的中點(diǎn)E,AB的中點(diǎn)F,連接PE,EF,由(1)知,EF⊥CD,因?yàn)镻C=PD=13,則PE⊥CD,又平面PCD⊥底面ABCD,且平面PCD∩底面ABCD=CD,PE?平面PCD,則PE⊥平面ABCD,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),EF→,EC→,EP→則P(0,0,3),A(2,-2,0),B(2,2,0),C(0,2,0),所以PB→=(2,2,-3),BC→=(-2,0,0),設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,z),則n即2x設(shè)平面PBC的法向量為m=(a,b,c),m·PB→于是得cos<m,n>=m·n|m||由圖知,二面角APBC的平面角為鈍角,所以二面角APBC的余弦值為-413.4.(2022·四川雅安二模)如圖(1),已知△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,點(diǎn)M,N分別在AB,AC上,MN∥BC,O是線段MN的中點(diǎn).將△AMN沿直線MN進(jìn)行翻折,A翻折到點(diǎn)P的位置,使得二面角PMNB是直二面角,如圖(2).(1)若BM⊥平面POC,求MN的長(zhǎng);(2)求二面角NPMB的余弦值.解:(1)設(shè)BC的中點(diǎn)為E,因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,O是線段MN的中點(diǎn),則OE⊥BC,PO⊥MN.所以PO⊥平面MNB.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)M,OE,OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.設(shè)MN=2x,OE=y,0<x<3,0<y<33,則M(x,0,0),B(3,y,0),C(-3,y,0),所以MB→=(3-x,y,0),OC因?yàn)锽M⊥平面POC,則MB→⊥OC→,故-3(3-x)+y2=0,又在翻折前,OMBE=AOAE,即x3聯(lián)立解得x=2或x=3(舍去),故y=3,故MN=4.(2)易知平面PMN的一個(gè)法向量為m=(0,1,0),由P(0,0,33-y),得MP→=(