平面的法向量與平面的向量表示

關(guān)于平面的法向量與平面的向量表示第一頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日一、復(fù)習(xí)引入1.直線與平面垂直的定義、判定和性質(zhì)定義：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直。判定：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這條直線與這個(gè)平面垂直。性質(zhì)：(1)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。(2)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。第二頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日二、概念形成概念1.平面的法向量已知平面，如果向量的基線與平面垂直，則叫做平面的法向量或說向量與平面

正交。由平面的法向量的定義可知，平面的法向量有無窮多個(gè)，法向量一定垂直于與平面共面的所有向量。由于垂直于同一平面的兩條直線平行，所以，一個(gè)平面的所有法向量都是平行的。模為1的法向量，叫做單位法向量，記作顯然第三頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日二、概念形成概念2.直線與平面垂直的判定定理的向量證明直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。已知：是平面內(nèi)的兩條相交的直線，且求證：

第四頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日

正方體AC1棱長(zhǎng)為1，求平面ADB1的一個(gè)法向量。二、概念形成概念1.平面的法向量例子：ABCDA1B1C1D1一個(gè)平面的法向量不只一個(gè)，但它們都是平行(或共線)的，我們借助于待定系數(shù)法可求出平面的一個(gè)法向量。第五頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日待定系數(shù)法第六頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日例題例1：已知點(diǎn)，，，其中求平面的一個(gè)法向量。有何關(guān)系？第七頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日二、概念形成概念3.平面的向量表示空間直線可以用向量來表示，對(duì)于空間的平面也可以用向量來刻畫。設(shè)A是空間任意一點(diǎn)，為空間任意一個(gè)非零向量，適合條件的點(diǎn)M的集合構(gòu)成什么樣的圖形？AMM1M2我們可以通過空間一點(diǎn)和一個(gè)非零向量確定唯一的一個(gè)與該向量垂直的平面。稱此為平面的向量表達(dá)式。第八頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日二、概念形成概念4.用法向量證明平面與平面平行及垂直設(shè)分別是平面的法向量，則有第九頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日

已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點(diǎn)。求證：平面DEA⊥平面A1FD1

。二、概念形成概念4.用法向量證明平面與平面平行及垂直例子ABCDA1B1C1D1EF利用法向量證明兩個(gè)平面垂直的基本思路是證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直。第十頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日射影：已知平面和一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作的垂線與交于點(diǎn)，則就是點(diǎn)A在平面內(nèi)的正射影，也可簡(jiǎn)稱射影。二、概念形成概念5.用法向量證明“三垂線定理”預(yù)備知識(shí)：A斜線在平面上的正射影：設(shè)直線與平面交于點(diǎn)B，但不和垂直，那么直線叫做這個(gè)平面的斜線。斜線和平面的交點(diǎn)B叫做斜足。斜線在平面上的正射影：在直線上任取一點(diǎn)A，作A點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，則平面內(nèi)直線叫做斜線在該平面內(nèi)的射影。A第十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日已知是平面的斜線，是在平面內(nèi)的射影,直線且二、概念形成概念5.用法向量證明“三垂線定理”三垂線定理：如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線垂直。A求證：第十二頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日第十三頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日證明：如圖,已知:求證：在直線l上取向量,只要證為第十四頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日逆定理第十五頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日

(2)三垂線定理：如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的

垂直，則它也和這條斜線垂直．

(3)三垂線定理的逆定理：如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在平面內(nèi)的

垂直．射影射影第十六頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日例題分析：1、判定下列命題是否正確

(1)若a是平面α的斜線、直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b。

()

(2)若a是平面α的斜線，b是平面α內(nèi)的直線，且b垂直于a在β內(nèi)的射影，則a⊥b。

()××三垂線定理第十七頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日

關(guān)于三垂線定的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出平面(基準(zhǔn)面)及垂線。至于射影則是由垂足、斜足來確定的。第一、定平面(基準(zhǔn)面)第二、找平面垂線（電線桿）

第三、看斜線，射影可見三垂線定理第四、證明直線a垂直于射影線，從而得出a與b垂直。

強(qiáng)調(diào)：1°四線是相對(duì)同一個(gè)平面而言。

2°定理的關(guān)鍵是找“基準(zhǔn)面”和“電線桿”。第十八頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日[例3]

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：A1C是平面BDC1的法向量[思路點(diǎn)撥]

根據(jù)正方體中的垂直關(guān)系，找到A1C在平面ABCD和平面CDD1C1內(nèi)的射影，由三垂線定理證明BD⊥A1C，C1D⊥A1C.第十九頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日[精解詳析]

在正方體中，AA1⊥平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD內(nèi)的射影，又AC⊥BD，所以BD⊥A1C.同理D1C是A1C在平面CDD1C1內(nèi)的射影．所以C1D⊥A1C.又C1D∩BD＝D，所以A1C⊥平面BDC1.第二十頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日1．正三棱錐P-ABC中，求證：BC⊥PA.證明：在正三棱錐P-ABC中，P在底面ABC內(nèi)的射影O為正三角形ABC的中心，連接AO，則AO是PA在底面ABC內(nèi)的射影，且BC⊥AO，所以BC⊥PA.第二十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日小結(jié)1.直線與平面垂直的定義

2.平面的法向量：

3.平面的向量表示：

4.兩平面平行或重合、垂直的充要條件

6.有關(guān)平面的斜線概念，三垂線定理及其逆定理第二十二頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日再見第二十三頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日例.在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面經(jīng)過點(diǎn)，平面的法向量為，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，求滿足的關(guān)系式。解：由題意可得

第二十四頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日PO平面PAO∪a⊥PO③答：a⊥PO

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。為什么呢？PA⊥αaα∪①PA⊥aAO⊥a②a⊥平面PAO三垂線定理PaAoα數(shù)式板書第二十五頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日[例1]

已知點(diǎn)A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)，求平面ABC的一個(gè)法向量．[思路點(diǎn)撥]第二十六頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日第二十七頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日平行與垂直關(guān)系的向量表示（1）平行關(guān)系設(shè)直線l，m的方向向量分別為

，，平面，的法向量分別為，線線平行線面平行面面平行新知探究第二十八頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日

（2）垂直關(guān)系設(shè)直線l，m的方向向量分別為

，，平面，的法向量分別為，線線垂直線面垂直面面垂直（