2015年湖南省益陽(yáng)市初三中考數(shù)學(xué)真題試卷(含解析版)

2015年湖南省益陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）15分）下列實(shí)數(shù)中，是無理數(shù)的為（ ）A． B． C．0 D．﹣325分）下列運(yùn)算正確的是（ ）A．2＝6 B（）＝5 Cxy336 D．÷＝235分）某小組5名同學(xué)在一周內(nèi)參加家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間如下表所示，關(guān)于“勞動(dòng)時(shí)間”這組數(shù)據(jù)，以下說法正確的是（ ）勞動(dòng)時(shí)間（小時(shí)） 3人數(shù) 1

3.5 41 2

4.51A．中位數(shù)是4，平均數(shù)是3.75 B．眾數(shù)是4，平均數(shù)是C．中位數(shù)是4，平均數(shù)是3.8 D．眾數(shù)是2，平均數(shù)是3.845分）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體是（ ）A．三棱錐 B．三棱柱 C．圓柱 D．長(zhǎng)方體55分）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線ABD交于點(diǎn)，以下說法錯(cuò)誤的是（ ）A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD65分）下列等式成立的是（ ）A．+ ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝﹣75分）沅江市近年來大力發(fā)展蘆筍產(chǎn)業(yè)，某蘆筍生產(chǎn)企業(yè)在兩年內(nèi)的銷售額從2080萬(wàn)元．設(shè)這兩年的銷售額的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可列方程為（）第1頁(yè)（共21頁(yè)）85分）若拋物線＝﹣mm+）的頂點(diǎn)在第一象限，則m的取值范圍為（ ）A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0二、填空題（5525橫線上）95分）計(jì)算： ＝ ．15分）已知y是x的反比例函數(shù)，當(dāng)0時(shí)y隨x的增大而減?。?qǐng)寫出一個(gè)滿足以上條件的函數(shù)表達(dá)式 ．1（5分甲乙丙三位好朋友隨機(jī)站成一排照合影甲沒有站在中間的概率為 ．15分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接OO的半徑為，則 的長(zhǎng)為 ．1（5分）如圖是用長(zhǎng)度相等的小棒按一定規(guī)律擺成的一組圖案，第1個(gè)圖案中有6根棒，第2個(gè)圖案中有11根小棒，…，則第n個(gè)圖案中有 根小棒．三、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）18分）+﹣（+1．18分）如圖，直線ACBCAB＝62的度數(shù)．第2頁(yè)（共21頁(yè)）四、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1（10分）如圖，直線l上有一點(diǎn)P21，將點(diǎn)1先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到像點(diǎn)P2，點(diǎn)P2恰好在直線l上．P2的坐標(biāo)；l所表示的一次函數(shù)的表達(dá)式；P23個(gè)單位，再向上平移6P3P3l上，并說明理由．1（10分2014年益陽(yáng)市的地區(qū)生產(chǎn)總值（第一、二、三產(chǎn)業(yè)的增加值之和）元俱樂部，如圖表示2014年益陽(yáng)市第一、二、三產(chǎn)業(yè)增加值的部分情況，請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題（1）2014年益陽(yáng)市的地區(qū)生產(chǎn)總值為多少億元？請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖中第二產(chǎn)業(yè)部分補(bǔ)充完整；求扇形統(tǒng)計(jì)圖中第二產(chǎn)業(yè)對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)．第3頁(yè)（共21頁(yè)）1（10分）如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)CA＝AC，過點(diǎn)BBE⊥ABACE．AB＝14，cos∠CAB＝，求線段OE的長(zhǎng)．五、解答題（本大題共2小題，每小題12分，共24分）1（12分）63610303求初期購(gòu)得的原材料噸數(shù)與每天所耗費(fèi)的原材料噸數(shù)；若生產(chǎn)16天后，根據(jù)市場(chǎng)需求每天產(chǎn)量提高20%原材料？第4頁(yè)（共21頁(yè)）212分）已知點(diǎn)P是線段AB上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn)，且A＜PAP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α≤90°）AP1，BPB順時(shí)針也旋轉(zhuǎn)角αBP2PP1、PP2．1，當(dāng)α＝90的度數(shù)；2P2AP13BPEl1⊥BPBP2FQ，連PQ第5頁(yè)（共21頁(yè)）六、解答題（本題滿分15分）2（15分）已知拋物線E：2經(jīng)過點(diǎn)（，，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線2經(jīng)過點(diǎn)B（2，，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)′．mE2所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；如圖1，在第一象限內(nèi)，拋物線E1上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)QB角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；2，PE1AOPE2P第6頁(yè)（共21頁(yè)）2015年湖南省益陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）15分）下列實(shí)數(shù)中，是無理數(shù)的為（ ）A． B． C．0 D．﹣3【考點(diǎn)】26：無理數(shù)．有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【解答】解：A、是無理數(shù)，選項(xiàng)正確；B、是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是整數(shù)，是有理數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是整數(shù)，是有理數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．25分）下列運(yùn)算正確的是（）A．x2?x3＝x6Cx3＝36

B）＝5【考點(diǎn)】46：同底數(shù)冪的乘法；47：冪的乘方與積的乘方；48：同底數(shù)冪的除法．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，可判斷A；根據(jù)冪的乘方，可判斷B；根據(jù)積的乘方，可判斷C；根據(jù)同底數(shù)冪的除法，可判斷D．【解答】解：A、同底數(shù)冪的乘法底數(shù)不變指數(shù)相加，故A錯(cuò)誤；B、冪的乘方底數(shù)不變指數(shù)相乘，故B錯(cuò)誤；C、積的乘方等于乘方的積，故C正確；D、同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，故D第7頁(yè)（共21頁(yè)）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)冪的除法，熟記法則并根據(jù)法則計(jì)算是解題關(guān)鍵．35分）某小組5名同學(xué)在一周內(nèi)參加家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間如下表所示，關(guān)于“勞動(dòng)時(shí)間”這組數(shù)據(jù)，以下說法正確的是（ ）勞動(dòng)時(shí)間（小時(shí)） 3人數(shù) 1

3.5 41 2

4.5143.7543.7543.823.8【考點(diǎn)】W2：加權(quán)平均數(shù)；W4：中位數(shù)；W5：眾數(shù)．【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解．【解答】解：這組數(shù)據(jù)中4出現(xiàn)的次數(shù)最多，眾數(shù)為4，∵共有5個(gè)人，3平均數(shù)為：

＝3.8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握各知識(shí)點(diǎn)的概念．45分）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體是（ ）A．三棱錐 B．三棱柱 C．圓柱 D．長(zhǎng)方體【考點(diǎn)】U3：由三視圖判斷幾何體．故這個(gè)幾何體為直三棱柱直三棱柱．故選：B．第8頁(yè)（共21頁(yè)）認(rèn)識(shí)．55分）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線ABD交于點(diǎn)，以下說法錯(cuò)誤的是（ ）A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD【考點(diǎn)】LB：矩形的性質(zhì)．論．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝AC，OB＝BD，∴OA＝OB，∴A、B、C正確，D錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．65分）下列等式成立的是（ ）A．+ ＝C． ＝

B． ＝D． ＝﹣【考點(diǎn)】6C：分式的混合運(yùn)算．【專題】11：計(jì)算題．【分析】原式各項(xiàng)計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷．【解答】解：A、原式＝B、原式不能約分，錯(cuò)誤；

，錯(cuò)誤；C、原式＝＝，正確；D、原式＝＝﹣，錯(cuò)誤，第9頁(yè)（共21頁(yè)）【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．75分）沅江市近年來大力發(fā)展蘆筍產(chǎn)業(yè)，某蘆筍生產(chǎn)企業(yè)在兩年內(nèi)的銷售額從20萬(wàn)增加到80萬(wàn)元．設(shè)這兩年的銷售額的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可列方程為（ ）A．20（1+2x）＝80C．20（1+x2）＝80

B．2×20（1+x）＝80D．20（1+x）2＝80【考點(diǎn)】AC：由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．【專題】123：增長(zhǎng)率問題．【分析】根據(jù)第一年的銷售額×（1+平均年增長(zhǎng)率）2＝第三年的銷售額，列出方程即可．【解答】解：設(shè)增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得20（1+x）2＝80，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的應(yīng)用﹣﹣求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為1＝b（“﹣．85分）若拋物線＝﹣mm+）的頂點(diǎn)在第一象限，則m的取值范圍為（ ）A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0【考點(diǎn)】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】16：壓軸題．利用y＝ax2+bx+c0列出不等式組．解：由＝m++1）可知為頂點(diǎn)m+，m+1＞0，解得m＞0．故選：B．難度較大．二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上）95分）計(jì)算： ＝4 ．【考點(diǎn)】75：二次根式的乘除法．【專題】11：計(jì)算題．第10頁(yè)（共21頁(yè)）【分析】原式利用二次根式的乘法法則計(jì)算，將結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式即可．【解答】解：原式＝故答案為：4

＝ ＝4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．15分）已知y是x的反比例函數(shù)，當(dāng)0y隨x的增大而減?。?qǐng)寫出一個(gè)滿足以上條件的函數(shù)表達(dá)式＝0，答案不唯一．【考點(diǎn)】G4：反比例函數(shù)的性質(zhì)．【專題】26：開放型．反比例函數(shù)的圖象在每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值yxk＜0k＜0，則反比例函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變x的增大而增大．解：只要使反比例系數(shù)大于0即可．如＝（＝（，答案不唯一．y＝（k≠0）的性質(zhì)：①k＞0時(shí)，函數(shù)圖象在第一，三象限．在每個(gè)象限內(nèi)yx的增大而減??；②k＜0時(shí)，函數(shù)圖象在第二，四象限．在每個(gè)象限內(nèi)yx的增大而增大．1（5分）甲、乙、丙三位好朋友隨機(jī)站成一排照合影，甲沒有站在中間的概率為 ．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹狀圖法．【分析】列舉出所有情況，看甲沒排在中間的情況占所有情況的多少即為所求的概率．【解答】解：甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)排成一排拍照有以下可能：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6種情況，有4種甲沒在中間，所以甲沒排在中間的概率是＝．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用列舉法求概率，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．15分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接OO的半徑為，則 的長(zhǎng)為 ．第11頁(yè)（共21頁(yè)）【考點(diǎn)】MM：正多邊形和圓；MN：弧長(zhǎng)的計(jì)算．【分析】求出圓心角∠AOB的度數(shù)，再利用弧長(zhǎng)公式解答即可．【解答】解：∵ABCDEF為正六邊形，∴∠AOB＝360°×＝60°，的長(zhǎng)為 ＝ 故答案為： ．【點(diǎn)評(píng)】此題將扇形的弧長(zhǎng)公式與多邊形的性質(zhì)相結(jié)合，構(gòu)思巧妙，利用了正六邊形的性質(zhì)．1（5分）如圖是用長(zhǎng)度相等的小棒按一定規(guī)律擺成的一組圖案，第1個(gè)圖案中有6根棒，第2個(gè)圖案中有11根小棒，…，則第n個(gè)圖案中有5n+1 根小棒．【考點(diǎn)】38：規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】16：壓軸題；2A：規(guī)律型．15+1＝622×5+2﹣1＝11根小33×5+3﹣2＝16n＝5n+1根小棒．15+1＝622×5+2﹣1＝11根小棒，33×5+3﹣2＝16根小棒，…n5n+n﹣（n﹣1）＝5n+1故答案為：5n+1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用第12頁(yè)（共21頁(yè)）規(guī)律解決問題．三、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）18分）+﹣（+1．【考點(diǎn)】4I：整式的混合運(yùn)算．【分析】利用完全平方公式和整式的乘法計(jì)算，進(jìn)一步合并得出答案即可．【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣x2﹣x＝x+1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查整式的混合運(yùn)算，掌握計(jì)算方法與計(jì)算公式是解決問題的關(guān)鍵．18分）如圖，直線ACBCAB＝62的度數(shù)．【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì)．【分析】由平行線的性質(zhì)得到∠ABC＝∠1＝65°，∠ABD+∠BDC＝180°，由BC平分∠ABD，得到∠ABD＝2∠ABC＝130°，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠1＝65°，∠ABD+∠BDC＝180°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABC＝130°，∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝50°，∴∠2＝∠BDC＝50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線定義等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是求出∠ABD的度數(shù)，題目較好，難度不大．四、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1（10分）如圖，直線l上有一點(diǎn)P21，將點(diǎn)1先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到像點(diǎn)P2，點(diǎn)P2恰好在直線l上．P2的坐標(biāo)；l所表示的一次函數(shù)的表達(dá)式；P23個(gè)單位，再向上平移6P3P3是否第13頁(yè)（共21頁(yè)）在直線l上，并說明理由．【考點(diǎn)】F8：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；F9：一次函數(shù)圖象與幾何變換；FA：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【分析】（1）根據(jù)“右加左減、上加下減”的規(guī)律來求點(diǎn)P2的坐標(biāo)；設(shè)直線l所表示的一次函數(shù)的表達(dá)式為＝k+（≠，把點(diǎn)（1P33）代入直線方程，利用方程組來求系數(shù)的值；把點(diǎn)代入中的函數(shù)解析式進(jìn)行驗(yàn)證即可．（）（3．設(shè)直線l所表示的一次函數(shù)的表達(dá)式為＝k+（≠，∵點(diǎn)P（，1，2（）在直線l上，∴ ，解得 ．∴直線l所表示的一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝2x﹣3．點(diǎn)3在直線l上．由題意知點(diǎn)3的坐標(biāo)為，9，∵2×6﹣3＝9，∴點(diǎn)P3在直線l上．函數(shù)圖象的幾何變換．在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的平移與圖形上某點(diǎn)的平移相同．平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．1（10分2014年益陽(yáng)市的地區(qū)生產(chǎn)總值（第一、二、三產(chǎn)業(yè)的增加值之和）已進(jìn)入千億第14頁(yè)（共21頁(yè)）元俱樂部，如圖表示2014供的信息解答下列問題（1）2014年益陽(yáng)市的地區(qū)生產(chǎn)總值為多少億元？請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖中第二產(chǎn)業(yè)部分補(bǔ)充完整；求扇形統(tǒng)計(jì)圖中第二產(chǎn)業(yè)對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)．【考點(diǎn)】VB：扇形統(tǒng)計(jì)圖；VC：條形統(tǒng)計(jì)圖．【分析】（1）用第一產(chǎn)業(yè)增加值除以它所占的百分比，即可解答；算出第二產(chǎn)業(yè)的增加值即可補(bǔ)全條形圖；算出第二產(chǎn)業(yè)的百分比再乘以360°，即可解答．（）237.19＝125（億元；2）第二產(chǎn)業(yè)的增加值為125﹣237.﹣462.55（億元，畫圖如下：（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中第二產(chǎn)業(yè)部分的圓心角為 ．計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．1（10分）如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)CA＝AC，過點(diǎn)BBE⊥ABACE．第15頁(yè)（共21頁(yè)）AB＝14，cos∠CAB＝，求線段OE的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】L5：平行四邊形的性質(zhì)；LA：菱形的判定與性質(zhì)；T7：解直角三角形．【分析根據(jù)∠CAB＝∠ACB是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直即可證得結(jié)論；2分別在R△AOB中和在RABE中求得AO和AO＝AAO求解即可．（）∵CA＝AC，∴AB＝CB，∴ABCD是菱形．∴AC⊥BD；（2）在Rt△AOB中，cos∠CAB＝ ＝，AB＝14，∴AO＝14×＝ ，在Rt△ABE中，cos∠EAB＝ ＝，AB＝14，∴AE＝AB＝16，∴OE＝AE﹣AO＝16﹣ ＝ ．本題考查了解直角三角形及菱形的判定與性質(zhì)解題的關(guān)鍵是讀懂題意，選擇合適的邊角關(guān)系，難度不大．五、解答題（本大題共2小題，每小題12分，共24分）1（12分）63610303求初期購(gòu)得的原材料噸數(shù)與每天所耗費(fèi)的原材料噸數(shù)；1620%，則最多再生產(chǎn)多少天后必須補(bǔ)充第16頁(yè)（共21頁(yè)）原材料？【考點(diǎn)】9A：二元一次方程組的應(yīng)用；C9：一元一次不等式的應(yīng)用．（1）設(shè)初期購(gòu)得原材料a噸，每天所耗費(fèi)的原材料為b噸，根據(jù)“當(dāng)生產(chǎn)6余原材料36噸，當(dāng)生產(chǎn)10天后剩余原材料30（2）設(shè)再生產(chǎn)x天后必須補(bǔ)充原材料，根據(jù)若剩余原材料數(shù)量大于或等于3噸列出不等式解決問題．（）設(shè)初期購(gòu)得原材料a噸，每天所耗費(fèi)的原材料為b噸，根據(jù)題意得： ．解得 ．答：初期購(gòu)得原材料45噸，每天所耗費(fèi)的原材料為1.5噸．（2）設(shè)再生產(chǎn)x天后必須補(bǔ)充原材料，依題意得：45﹣16×1.5﹣1.5（1+20%）x≥3，解得：x≤10．答：最多再生產(chǎn)10天后必須補(bǔ)充原材料．含的數(shù)量關(guān)系與不等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．212分）已知點(diǎn)P是線段AB上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn)，且A＜PAP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α≤90°）AP1，BPB順時(shí)針也旋轉(zhuǎn)角αBP2PP1、PP2．1，當(dāng)α＝90的度數(shù)；2P2AP13BPEl1⊥BPBP2FQ，連PQ【考點(diǎn)】RB：幾何變換綜合題．【專題】16：壓軸題．第17頁(yè)（共21頁(yè)）答案；和△PBP2均為頂角為α＝α，求出△P2P1P∽△P2PA；QBRt△QBE≌Rt△QBF，利用∠P1PQ＝180°﹣∠APP1﹣∠QPB求出即可．【解答】（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP＝AP1，BP＝BP2．∵α＝90°，∴△PAP1和△PBP2均為等腰直角三角形，∴∠APP1＝∠BPP2＝45°，∴∠P1PP2＝180°﹣∠APP1﹣∠BPP2＝90°；和△PBP2均為頂角為α的等腰三角形，∴∠APP1＝∠BPP2＝90°﹣ ，∴∠P1PP2＝180°﹣（∠APP1+∠BPP2）＝180°﹣2（90°在△PP2P1又∵∠PP2P1＝∠AP2P，∴△P2P1P∽△P2PA．QB．∵l1，l2分別為PB，P2B的中垂線，∴EB＝BP，F(xiàn)B＝BP2．又BP＝BP2，∴EB＝FB．Rt△QBE和Rt△QBF中，，∴Rt△QBE≌Rt△QBF，∴∠QBE＝∠QBF＝∠PBP2＝ ，第18頁(yè)（共21頁(yè)）

）＝α，由中垂線性質(zhì)得：QP＝QB，∴∠QPB＝∠Q