江蘇省2015年高三開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題

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4．右面莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則乙的平均成績超過甲的概率為．5．若雙曲線的焦點到漸近線的距離為，則實數(shù)的值是．6．如圖所示的“雙塔”形立體建筑，已知和是兩個高相等的正三棱錐，四點在同一平面內(nèi)．要使塔尖之間的距離為m，則底邊的長為m．第6題圖第6題圖II←2S←0WhileI＜mS←S+II←I+3EndWhilePrintSEnd（第7題圖）7．下面求的值的偽代碼中，正整數(shù)的最大值為．8．向量，=．9．對于函數(shù)，若存在區(qū)間，當(dāng)時的值域為，則稱為倍值函數(shù)．若是倍值函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是10．函數(shù)的最大值與最小值之和為11．已知半橢圓和半圓組成的曲線如圖所示．曲線交軸于點，交軸于點，點是半圓上異于的任意一點，當(dāng)點位于點時，的面積最大，則半橢圓的方程為．ACACDBE第12題圖第11題圖12．已知，C是線段AB上異于A，B的一點，均為等邊三角形，則的外接圓的半徑的最小值是．13．已知實數(shù)x、y滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值是．14．設(shè)等比數(shù)列滿足公比，且中的任意兩項之積也是該數(shù)列中的一項，若，則的所有可能取值的集合為．二．解答題：本大題共6小題，共90分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本題滿分14分）已知且．（1）求的值；（2）證明：．16．（本題滿分14分）（第16題圖）如圖，正方形所在的平面與三角形所在的平面交于，平面，且（第16題圖）．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；17．（本小題滿分14分）某企業(yè)投入81萬元經(jīng)銷某產(chǎn)品，經(jīng)銷時間共60個月，市場調(diào)研表明，該企業(yè)在經(jīng)銷這個產(chǎn)品期間第個月的利潤函數(shù)（單位：萬元）．為了獲得更多的利潤，企業(yè)將每月獲得的利潤再投入到次月的經(jīng)營中．記第個月的利潤率為，例如．（1）求；（2）求第個月的當(dāng)月利潤率；（3）求該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間，哪一個月的當(dāng)月利潤率最大，并求出該月的當(dāng)月利潤率．18．（本小題滿分16分）已知橢圓的左頂點為A，左、右焦點分別為，且圓C：過兩點．（1）求橢圓標準的方程；（2）設(shè)直線的傾斜角為α，直線的傾斜角為β，當(dāng)β－α＝eq\F(2π,3)時，證明：點P在一定圓上；（3）設(shè)橢圓的上頂點為Q，在滿足條件（2）的情形下證明：+．19．（本小題滿分16分）已知數(shù)列的前項和滿足：（為常數(shù)，且）．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，若數(shù)列為等比數(shù)列，求的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)，數(shù)列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．20．（本小題滿分16分）己知函數(shù)（，是自然對數(shù)的底）．（1）若函數(shù)在點處的切線方程為，試確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）①當(dāng)，時，若對于任意，都有恒成立，求實數(shù)m的最小值；②當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，是否存在實數(shù)，使得若存在，求出t的取值范圍；若不存在，說明理由．?dāng)?shù)學(xué)試卷附加題21．【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)做答，解答時寫出文字說明、證明過程或演算步驟.B．（選修4－2：矩陣與變換）設(shè)是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到倍，縱坐標伸長到倍的伸壓變換．（1）求矩陣的特征值及相應(yīng)的特征向量；（2）求逆矩陣以及橢圓在的作用下的新曲線的方程．C.（選修4－4：參數(shù)方程）以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸．已知點P的直角坐標為(1，－5)，點M的極坐標為(4，eq\f(π,2))，若直線l過點P，且傾斜角為，圓C以M為圓心、4為半徑．（1）求直線l關(guān)于的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程；（2）試判定直線l和圓C的位置關(guān)系．22．已知數(shù)列的前項和為，通項公式為，，（1）計算的值；（2）比較與1的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.23．如圖所示，某城市有南北街道和東西街道各條，一郵遞員從該城市西北角的郵局出發(fā)，送信到東南角地，要求所走路程最短.（1）求該郵遞員途徑C地的概率；ABC（2）求證：，（）.ABC數(shù)學(xué)參考答案1．【解析】由，得．2．【解析】因為，所以兩邊同時取模可得．3．【解析】由，知，因為，所以．4．【解析】由圖示可知，甲的平均成績?yōu)?0，若要符合題意，被污損的數(shù)字只能是9，故所求概率為．5．【解析】顯然，，雙曲線的漸近線方程為，焦點坐標是，由距離公式，得．6．【解析】由正三棱錐的概念知，頂點在底面的射影分別是正三角形和正三角形的中心，因為高相等，所以塔尖之間的距離即為兩個正三角形中心間的距離，由平面幾何易知，底邊的長為．7．2015【解析】由偽代碼知，這是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的算法，由于是正整數(shù)，所以最大值為2015．8．9．∵，∴在上是增函數(shù)，∴即是方程的兩個不等的正實數(shù)根，問題等價于方程有兩個不等的正根．設(shè)，易得，∴．10．2【解析】是奇函數(shù)，奇函數(shù)的最大值與最小值之和為0，11．【解析】由點在半圓上，所以，而當(dāng)點位于點時，的面積最大可知，，即，，所以半橢圓的方程為．12．設(shè)則，在中，由余弦定理，知又當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”，所以，又的外接圓的半徑．13．【解析】由題意，，設(shè)該數(shù)列中的任意兩項為，它們的積為，則，即，，，故必是81的正約數(shù)，即的可能取值為1,3,9,27,81，即的可能取值為1,3,9,27,81，所以的所有可能取值的集合為．14．【解析】則．設(shè)（表斜率），則，，則，，故，所以．即．15．解：解：（1）將代入得（4分）所以又，解得．（6分）（2）易得，又所以，（8分）由（1）可得，（10分）所以．（14分）16．證明：（1）正方形ABCD中，，又平面CDE，平面CDE，所以平面CDE．（6分）（2）因為，且，所以，（8分）又且，，所以，（12分）又，所以．（14分）17．解：（1）依題意得，．----------------------------------4分（2）當(dāng)時，．當(dāng)時，，則，而也符合上式，故當(dāng)時，．當(dāng)時，，所以，第個月的當(dāng)月利潤率為．--------------------------10分（3）當(dāng)時，是減函數(shù)，此時的最大值為．當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，有最大值為．，當(dāng)時，有最大值為，----------------------------------13分即該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間，第40個月的當(dāng)月利潤率最大，其當(dāng)月利潤率為．-------14分18．解：（1）圓與軸交點坐標為，，故，所以，∴橢圓方程是：．（2）設(shè)點P（x，y），因為（－eq\R(,3)，0），（eq\R(,3)，0），設(shè)點P（x，y），則＝tanβ＝eq\F(y,x＋eq\R(,3)),＝tanα＝eq\F(y,x－eq\R(,3))，因為β－α＝eq\F(2π,3)，所以tan(β－α)＝－eq\R(,3)．因為tan(β－α)＝eq\F(tanβ－tanα,1＋tanαtanβ)＝eq\F(－2eq\R(,3)y,x2＋y2－3)，所以eq\F(－2eq\R(,3)y,x2＋y2－3)＝－eq\R(,3)．化簡得x2＋y2－2y＝3．所以點P在定圓x2＋y2-2y＝3上．（3）∵PQ2＝x2＋(y－3)2＝x2＋y2－6y＋9，因為x2＋y2＝3＋2y，所以PQ2＝12－4y．又PF12＝(x＋eq\R(,3))2＋y2＝2y＋6＋2eq\R(,3)x，PF22＝(x－eq\R(,3))2＋y2＝2y＋6－2eq\R(,3)x，∴2PF1×PF2＝2eq\R(,4(y＋3)2－12x2)＝4eq\R(,(y＋3)2－3x2)，因為3x2＝9－3y2＋6y，所以2PF1×PF2＝4eq\R(,4y2)，∵β＝α+eq\F(2π,3)>eq\F(2π,3)，又點P在定圓x2＋y2－2y＝3上，∴y＜0，所以2PF1×PF2＝－8y，從而(PF1+PF2)2＝PF12＋2PF1×PF2＋PF22＝4y＋12－8y＝12－4y＝PQ2．所以PQ＝PF1＋PF2．19．解：（1）當(dāng)時，，得．-----------------------------------1分當(dāng)時，由，即，①得，，②①②，得，即，是等比數(shù)列，且公比是，．-----------------------------------5分（2）由（1）知，，即，----------------------7分若數(shù)列為等比數(shù)列，則有，而，故，解得，再將代入，得，由，知為等比數(shù)列，．-----------------------------------10分（3）由，知，，，由不等式恒成立，得恒成立，-----------------------------------12分設(shè)，由，當(dāng)時，，當(dāng)時，，-----------------------------------14分而，．-----------------------------------16分20．（1）由題意，∵在點處的切線方程為，∴，即，解得．∴，，當(dāng)，，∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）①由，，即，對于任意，都有恒成立，等價于對于任意恒成立．記，，設(shè)，∵對恒成立，∴在單調(diào)遞增．而，∴在上有唯一零點，∴，，，，∴在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最大值是和中的較大的一個，∴即∴，∴m的最小值為．②假設(shè)存在，使得，則問題等價于．，∴．①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，∴，即，得．②當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，∴，即，得．③當(dāng)時，在上，，在上單調(diào)遞減，在上，，在上單調(diào)遞增，∴，即．（*）由（1）知在上單調(diào)遞減，故，而，不等式（*）無解．綜上所述，存在，使得命題成立．B．（1）由條件得矩陣，它的特征值為和，對應(yīng)的特征向量為及；（2），橢圓在的作用下的新曲線的方程為．C解：（1）直線l的參數(shù)方程為，圓C的極坐標方程為．（2）因為M(4，eq\f(π,2))對應(yīng)的直角坐標為（0，4），直線l的普通方程為，∴圓心到直線l的距離，所以直線l與圓C相離．22解：（1）由已知，，；…………3分（2）由（Ⅰ）知；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，．…………4分（１）由（Ⅰ）當(dāng)時，；………5分（２）假設(shè)時，，即，那么，所以當(dāng)時，也成立．……