微積分第三章五節(jié)-函數(shù)的極值與最大值與最小值課件

二、最大值與最小值問(wèn)題一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束函數(shù)的極值與最大值最小值第三章二、最大值與最小值問(wèn)題一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)機(jī)動(dòng)1一、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱(chēng)為的極大點(diǎn),稱(chēng)為函數(shù)的極大值;(2)則稱(chēng)為的極小點(diǎn),稱(chēng)為函數(shù)的極小值.極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱(chēng)2注意:為極大點(diǎn)為極小點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對(duì)常見(jiàn)函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或

不存在的點(diǎn).1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如(P146例4)為極大點(diǎn),是極大值是極小值為極小點(diǎn),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:為極大點(diǎn)為極小點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對(duì)常見(jiàn)函數(shù),極值可3定理1

(極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,(自證)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束點(diǎn)擊圖中任意處動(dòng)畫(huà)播放\暫停定理1(極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“4例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令得令得3)列表判別是極大點(diǎn)，其極大值為是極小點(diǎn)，其極小值為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令5定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類(lèi)似可證.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則6例2.求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得7定理3

(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),是極小點(diǎn);是極大點(diǎn).2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為極值點(diǎn),且不是極值點(diǎn).當(dāng)充分接近時(shí),上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定,故結(jié)論正確.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:利用在點(diǎn)的泰勒公式,可得定理3(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)8例如

,例2中所以不是極值點(diǎn).極值的判別法(定理1~定理3)都是充分的.說(shuō)明:當(dāng)這些充分條件不滿(mǎn)足時(shí),不等于極值不存在.例如:為極大值,但不滿(mǎn)足定理1~定理3的條件.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,例2中所以不是極值點(diǎn).極值的判別法(定理1~9二、最大值與最小值問(wèn)題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2)最大值最小值機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、最大值與最小值問(wèn)題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.10特別:

當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)

對(duì)應(yīng)用問(wèn)題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別:當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)11例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:顯然且故12因此也可通過(guò)例3.求函數(shù)說(shuō)明:求最值點(diǎn).與最值點(diǎn)相同,由于令(自己練習(xí))在閉區(qū)間上的最大值和最小值.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此也可通過(guò)例3.求函數(shù)說(shuō)明:求最值點(diǎn).與最值點(diǎn)相同,13(k

為某一常數(shù))例4.鐵路上AB段的距離為100km,工廠(chǎng)C

距A處20AC⊥

AB,要在AB

線(xiàn)上選定一點(diǎn)D

向工廠(chǎng)修一條已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為3:5,為使貨D點(diǎn)應(yīng)如何選取?20解:設(shè)則令得又所以為唯一的極小點(diǎn),故AD=15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.總運(yùn)費(fèi)物從B運(yùn)到工廠(chǎng)C的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小點(diǎn),問(wèn)Km,公路,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(k為某一常數(shù))例4.鐵路上AB段的距離為10014例5.把一根直徑為d的圓木鋸成矩形梁,問(wèn)矩形截面的高h(yuǎn)和b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?解:由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為令得從而有即由實(shí)際意義可知,所求最值存在,駐點(diǎn)只一個(gè),故所求結(jié)果就是最好的選擇.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.把一根直徑為d的圓木鋸成矩形梁,問(wèn)矩形截面的高15用開(kāi)始移動(dòng),例6.設(shè)有質(zhì)量為5kg

的物體置于水平面上,受力

作解:克服摩擦的水平分力正壓力即令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值問(wèn)題.

為多少時(shí)才可使力設(shè)摩擦系數(shù)問(wèn)力與水平面夾角機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的大小最小?用開(kāi)始移動(dòng),例6.設(shè)有質(zhì)量為5kg的物體置于水平面上16令解得而因而F取最小值.解:即令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值問(wèn)題.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束令解得而因而F取最小值.解:即令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值17清楚(視角最大)?觀察者的眼睛1.8m,例7.

一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于解:設(shè)觀察者與墻的距離為xm,則令得駐點(diǎn)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義,觀察者最佳站位存在,唯一,駐點(diǎn)又因此觀察者站在距離墻2.4m處看圖最清楚.問(wèn)觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束清楚(視角最大)?觀察者的眼睛1.8m,例7.18內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)(2)第一充分條件過(guò)由正變負(fù)為極大值過(guò)由負(fù)變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值(4)判別法的推廣(Th.3)定理3目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為019最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找;應(yīng)用題可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義判別.思考與練習(xí)(L.P500題4)2.連續(xù)函數(shù)的最值1.設(shè)則在點(diǎn)a處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示:利用極限的保號(hào)性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找;應(yīng)用題可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義判202.設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點(diǎn)處(A)不可導(dǎo);(B)可導(dǎo),且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D提示:利用極限的保號(hào)性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點(diǎn)處(A)不可導(dǎo);(B213.設(shè)是方程的一個(gè)解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示:A機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.設(shè)是方程的一個(gè)解,若且則在(A)取得極大值;(B22作業(yè)P1601(5),(9);2;3;5;10;14;15第六節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P1601(5),(9);2;23試問(wèn)為何值時(shí),在時(shí)取得極值,還是極小.解:

由題意應(yīng)有又取得極大值為備用題1.求出該極值,并指出它是極大機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束試問(wèn)為何值時(shí),在時(shí)取得極值,還是極小.解:由題意24試求解:2.

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故所求最大值為試求解:2.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下25二、最大值與最小值問(wèn)題一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束函數(shù)的極值與最大值最小值第三章二、最大值與最小值問(wèn)題一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)機(jī)動(dòng)26一、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱(chēng)為的極大點(diǎn),稱(chēng)為函數(shù)的極大值;(2)則稱(chēng)為的極小點(diǎn),稱(chēng)為函數(shù)的極小值.極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱(chēng)27注意:為極大點(diǎn)為極小點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對(duì)常見(jiàn)函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或

不存在的點(diǎn).1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如(P146例4)為極大點(diǎn),是極大值是極小值為極小點(diǎn),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:為極大點(diǎn)為極小點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對(duì)常見(jiàn)函數(shù),極值可28定理1

(極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,(自證)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束點(diǎn)擊圖中任意處動(dòng)畫(huà)播放\暫停定理1(極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“29例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令得令得3)列表判別是極大點(diǎn)，其極大值為是極小點(diǎn)，其極小值為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令30定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類(lèi)似可證.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則31例2.求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得32定理3

(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),是極小點(diǎn);是極大點(diǎn).2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為極值點(diǎn),且不是極值點(diǎn).當(dāng)充分接近時(shí),上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定,故結(jié)論正確.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:利用在點(diǎn)的泰勒公式,可得定理3(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)33例如

,例2中所以不是極值點(diǎn).極值的判別法(定理1~定理3)都是充分的.說(shuō)明:當(dāng)這些充分條件不滿(mǎn)足時(shí),不等于極值不存在.例如:為極大值,但不滿(mǎn)足定理1~定理3的條件.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,例2中所以不是極值點(diǎn).極值的判別法(定理1~34二、最大值與最小值問(wèn)題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2)最大值最小值機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、最大值與最小值問(wèn)題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.35特別:

當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)

對(duì)應(yīng)用問(wèn)題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別:當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)36例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:顯然且故37因此也可通過(guò)例3.求函數(shù)說(shuō)明:求最值點(diǎn).與最值點(diǎn)相同,由于令(自己練習(xí))在閉區(qū)間上的最大值和最小值.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此也可通過(guò)例3.求函數(shù)說(shuō)明:求最值點(diǎn).與最值點(diǎn)相同,38(k

為某一常數(shù))例4.鐵路上AB段的距離為100km,工廠(chǎng)C

距A處20AC⊥

AB,要在AB

線(xiàn)上選定一點(diǎn)D

向工廠(chǎng)修一條已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為3:5,為使貨D點(diǎn)應(yīng)如何選取?20解:設(shè)則令得又所以為唯一的極小點(diǎn),故AD=15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.總運(yùn)費(fèi)物從B運(yùn)到工廠(chǎng)C的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小點(diǎn),問(wèn)Km,公路,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(k為某一常數(shù))例4.鐵路上AB段的距離為10039例5.把一根直徑為d的圓木鋸成矩形梁,問(wèn)矩形截面的高h(yuǎn)和b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?解:由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為令得從而有即由實(shí)際意義可知,所求最值存在,駐點(diǎn)只一個(gè),故所求結(jié)果就是最好的選擇.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.把一根直徑為d的圓木鋸成矩形梁,問(wèn)矩形截面的高40用開(kāi)始移動(dòng),例6.設(shè)有質(zhì)量為5kg

的物體置于水平面上,受力

作解:克服摩擦的水平分力正壓力即令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值問(wèn)題.

為多少時(shí)才可使力設(shè)摩擦系數(shù)問(wèn)力與水平面夾角機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的大小最小?用開(kāi)始移動(dòng),例6.設(shè)有質(zhì)量為5kg的物體置于水平面上41令解得而因而F取最小值.解:即令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值問(wèn)題.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束令解得而因而F取最小值.解:即令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值42清楚(視角最大)?觀察者的眼睛1.8m,例7.

一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于解:設(shè)觀察者與墻的距離為xm,則令得駐點(diǎn)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義,觀察者最佳站位存在,唯一,駐點(diǎn)又因此觀察者站在距離墻2.4m處看圖最清楚.問(wèn)觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束清楚(視角最大)?觀察者的眼睛1.8m,例7.43內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)(2)第一充分條件過(guò)由正變負(fù)為極大值過(guò)由負(fù)變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值(4)判別法的推廣(Th.3)定理3目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為044最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找;應(yīng)用題可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義判別.思