自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)章節(jié)作業(yè)

PAGEPAGE131第一章隨機(jī)事件與概率一、單項(xiàng)選擇題1.擲一枚骰子，設(shè)A={出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}，B={出現(xiàn)1或3點(diǎn)}，則下列選項(xiàng)正確的是(B).A.AB={出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}B.={出現(xiàn)5點(diǎn)}C.={出現(xiàn)5點(diǎn)}D.2.設(shè)A、B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是(A).A.B.C.D.3.將一枚勻稱的硬幣投擲兩次，令A(yù)i={第i次正面向上}（i=1,2），則“至少有一次正面向上”可表示為(D).A.B.C.D.4.某人向一目標(biāo)射擊3次，設(shè)Ai表示“第i次射擊命中目標(biāo)”（i=1，2，3），則3次都沒有命中目標(biāo)表示為(A).A.B.C.D.5.設(shè)A與B為互為對(duì)立事件，且，則下列各式中錯(cuò)誤的是(A).A.B.C.D.6.設(shè)事件A與B相互獨(dú)立,P(A)=0.2,P(B)=0.4,則=(D).A.0.2B.0.4C.0.6D.0.87.已知事件A與B互不相容,P(A)>0,P(B)>0,則(C).A.B.C.D.8.設(shè)P(A)=0,B為任一事件,則(C).A.B.C.A與B相互獨(dú)立D.A與B互不相容9.已知P(A)=0.4,P(B)=0.5,且,則P(A|B)=(C).A.0B.0.4C.0.8D.110.設(shè)A與B為兩事件,則=(B).A.B.C.D.11.設(shè)事件,P(A)=0.2,P(B)=0.3,則(A).A.0.3B.0.2C.0.5D.0.4412.設(shè)事件A與B互不相容,P(A)=0.4,P(B)=0.2,則P(A|B)=(D).A.0.08B.0.4C.0.2D.013.設(shè)A,B為隨機(jī)事件,P(B)>0,P(A|B)=1,則必有(A).A.B.C.P(A)=P(B)D.P(AB)=P(A)14.從1,2,3,4,5中任意取3個(gè)數(shù)字,則這3個(gè)數(shù)字中不含5的概率為(A).A.0.4B.0.2C.0.25D.0.7515.某學(xué)習(xí)小組有10名同學(xué)，其中6名男生、4名女生，從中任選4人參加社會(huì)活動(dòng)，則4人中恰好2男2女的概率為(A).A.B.0.4C.0.25D.16.某種動(dòng)物活20年的概率為0.8，活25年的概率為0.6，現(xiàn)有一只該種動(dòng)物已經(jīng)活了20年，它能活到25年的概率是(B).A.0.48B.0.75C.0.6D.0.817.將兩封信隨機(jī)地投到4個(gè)郵筒內(nèi)，則前兩個(gè)郵筒內(nèi)各有一封信的概率為(A).A.0.125B.0.25C.0.5D.0.418.一批產(chǎn)品的合格品率為96%，而合格品中有75%是優(yōu)質(zhì)品，從該批產(chǎn)品中任取一件恰好是優(yōu)質(zhì)品的概率為(A).A.0.72B.0.75C.0.96D.0.7819.設(shè)有10個(gè)產(chǎn)品，其中7個(gè)正品，3個(gè)次品，現(xiàn)從中任取4個(gè)產(chǎn)品，則這4個(gè)都是正品的概率為(C).A.B.C.D.20.設(shè)有10個(gè)產(chǎn)品，其中8個(gè)正品，2個(gè)次品，現(xiàn)從中抽取3次，每次任取1個(gè)，取后放回，則取到的3個(gè)產(chǎn)品都是正品的概率為(C).A.B.C.D.21.某人打靶的命中率為0.4，現(xiàn)獨(dú)立地射擊5次，則5次中恰有2次命中的概率為(C).A.B.C.D.22.隨機(jī)地拋擲質(zhì)地勻稱的6枚骰子,則至少有一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)的概率為(D).A.B.C.D.23.把3個(gè)不同的球分別放在3個(gè)不同的盒子中,則出現(xiàn)2個(gè)空盒的概率為(A).A.B.C.D.24.從1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字中,等可能地、有放回地連續(xù)抽取4個(gè)數(shù)字，則取到的4個(gè)數(shù)字完全不同的概率為(A).A.B.C.D.25.某人每次射擊命中目標(biāo)的概率為p(0<p<1)，他向目標(biāo)連續(xù)射擊，則第一次未中第二次命中的概率為(D).A.p2B.(1-p)2C.1-2pD.p(1-p)二、填空題1.一個(gè)盒子中有6顆黑棋子、9顆白棋子，從中任取兩顆，則這兩顆棋子是不同色的概率為18/35.2.甲乙兩人，每人扔兩枚均勻硬幣，則兩人所扔硬幣均未出現(xiàn)正面的概率為1/16.3.設(shè)袋中有5個(gè)紅球、3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從袋中任取3個(gè)球，則恰好取到1個(gè)紅球、1個(gè)白球和1個(gè)黑球的概率為0.25.4.從數(shù)字1，2，…，10中有放回地任取4個(gè)數(shù)字，則數(shù)字10恰好出現(xiàn)兩次的概率為0.0486.5.甲乙丙三人各自獨(dú)立地向一目標(biāo)射擊一次，三人的命中率分別是0.5，0.6，0.7，則目標(biāo)被擊中的概率為0.94.6.甲袋中裝有兩白一黑共3個(gè)球，乙袋中裝有一白兩黑共3個(gè)球，從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，則取到白球的概率為5/12.7.設(shè)事件A與B互不相容，P(A)=0.2,P(B)=0.3,則=0.5.8.設(shè)事件A與B相互獨(dú)立，且P(A+B)=0.6,P(A)=0.2,則P(B)=0.5.9.設(shè)，則P(AB)=0.42.10.設(shè)，則P(A+B+C)=5/12.11.已知P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,則=0.6.12.某射手對(duì)一目標(biāo)獨(dú)立射擊4次，每次射擊的命中率為0.5，則4次射擊中恰好命中3次的概率為0.25.13.已知P(A)=0.4,P(B)=0.8,P(B|A)=0.25,則P(A|B)=0.125.14.設(shè)，則=1/3.15.一批產(chǎn)品的廢品率為4%，而正品中的一等品率為60%，從這批產(chǎn)品中任取一件是一等品的概率為0.576.16.甲、乙兩門高射炮彼此獨(dú)立地向一架飛機(jī)各發(fā)一炮，甲、乙擊中飛機(jī)的概率分別為0.4，0.5，則飛機(jī)至少被擊中一炮的概率為0.7.三、計(jì)算題1.設(shè)P(A)=0.4,P(B)=0.2,,求P(AB)以及P(A|B).解:由得:即,解得:P(AB)=0.02.從而,.2.已知求：(1)；(2)P(AB)；(3)；(4)；(5)P(B-A).：(1)由概率的性質(zhì)，知；(2)因?yàn)?，所以，P(AB)=P(A)=0.2；(3)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)=0；(4)因?yàn)?，所?=P(B)=0.3；或者，=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.3-0.2=0.3；(5)P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.3-0.2=0.1.3.若事件A與B互不相容，P(A)=0.6,P(A+B)=0.9,求：(1)；(2)；(3).解:(1)因A與B互不相容，故，P(AB)=0，所以=1-P(AB)=1；(2)因A與B互不相容，由加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)，得P(B)=0.3，從而=；(3)=.4.已知事件A與B相互獨(dú)立，且P(A)=0.4,P(A+B)=0.6,求(1)P(B)；(2)；(3)P(A|B).解：(1)因?yàn)槭录嗀與B相互獨(dú)立，所以P(AB)=P(A)P(B)，0.6=0.4+P(B)-0.4P(B)，解得：P(B)=；(2)因?yàn)槭录嗀與B相互獨(dú)立，所以A與也相互獨(dú)立，故=；(3)因?yàn)槭录嗀與B相互獨(dú)立，所以P(A|B)=P(A)=0.4.四、應(yīng)用題1.一批產(chǎn)品共有50個(gè)，其中40個(gè)一等品、6個(gè)二等品、4個(gè)三等品，現(xiàn)從中任取3個(gè)產(chǎn)品，求3個(gè)產(chǎn)品中至少有2個(gè)產(chǎn)品等級(jí)相同的概率..解：設(shè)A“3個(gè)產(chǎn)品中至少有2個(gè)產(chǎn)品等級(jí)相同”，“3個(gè)產(chǎn)品等級(jí)都不同”，由古典概率定義，得，從而.2.10把鑰匙中有3把能打開門，現(xiàn)從中任取2把，求能打開門的概率.解：A“取出2把鑰匙能打開門”，由古典概率知：.3.將5雙不同的鞋子混放在一起，從中任取4只，求這4只鞋子至少能配成一雙的概率.解：A“4只鞋子中至少能配成一雙”，則“4只鞋子都不同”.由古典概率得：，故.4.從0，1，2，3這4個(gè)數(shù)中任取3個(gè)進(jìn)行排列，求取得的三個(gè)數(shù)字排成的數(shù)是三位數(shù)且是偶數(shù)的概率.解：A“排成的數(shù)是三位數(shù)且是偶數(shù)”，A0“排成的三位數(shù)末位是0”，A2“排成的三位數(shù)末位是2”，則A=A0+A2，且A0與A2互不相容，因?yàn)樗裕?5.一批零件共100個(gè)，次品率為10%，每次從中任取一個(gè)零件，取出的零件不再放回去，求下列事件的概率：(1)第三次才取得合格品；(2)如果取得一個(gè)合格品后就不再取零件，在三次內(nèi)取得合格品.解：設(shè)Ai“第i次取到合格品”（i=1,2,3），則(1)第三次才取到合格品的概率為：.(2)A“三次內(nèi)取得合格品”，則，所求概率為：6.盒子中有8個(gè)紅球和4個(gè)白球，每次從盒子中任取一球，不放回地抽取兩次，試求：(1)兩次取出的都是紅球的概率；(2)在第一次取出白球的條件下，第二次取出紅球的概率；(3)第二次取到紅球的概率.解：A1“第一次取出的是紅球”，A2“第二次取出的是紅球”，則(1)由乘法公式得，兩次取出的都是紅球的概率為：；(2)在第一次取出白球的條件下，第二次取出紅球的概率為：；(3)由全概率公式得，第二次取到紅球的概率為：.7.某工廠有三臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)同一型號(hào)零件，每臺(tái)設(shè)備的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的25%，35%，40%，而各臺(tái)設(shè)備的廢品率分別是0.05，0.04，0.02，今從全廠生產(chǎn)的這種零件中任取一件，求此件產(chǎn)品是廢品的概率.解：設(shè)Ai“第i臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)的零件”(i=1，2)，B“產(chǎn)品是廢品”，由題意知：P(A1)=25%，P(A2)=35%，P(A3)=40%，P(B|A1)=0.05,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.02,由全概率公式得，產(chǎn)品是廢品的概率為：.8.兩臺(tái)車床加工同一種零件，加工出來的零件放在一起，已知第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.03，第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.02，且第一臺(tái)加工的零件比第二臺(tái)加工的零件多一倍.(1)求任取一個(gè)零件是合格品的概率；(2)如果取出的是廢品，求它是由第二臺(tái)車床加工的概率..解：設(shè)B“零件是合格品”，A“第一臺(tái)車床加工的零件”，則“第二臺(tái)車床加工的零件”，由題意知：.(1)由全概率公式得：；(2)由貝葉斯公式得，如果取出的是廢品，求它是由第二臺(tái)車床加工的概率為：9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,假設(shè)男人女人各占一半.現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人，求：(1)此人恰是色盲的概率是多少？(2)若隨機(jī)挑選一人，此人是色盲，問他是男人的概率多大？(3)若隨機(jī)挑選一人，此人不是色盲，問他是男人的概率多大？解：設(shè)B“色盲患者”，A“隨機(jī)挑選一人是男人”，由題設(shè)知：，則(1)由全概率公式得，隨機(jī)挑選一人是色盲的概率為：；(2)由貝葉斯公式得，隨機(jī)選一人是色盲，他是男人的概率為：；(3)由貝葉斯公式得，隨機(jī)選一人不是色盲，他是男人的概率為：.10.現(xiàn)有10張考簽，其中4張是難簽，甲、乙、丙三人抽簽考試(取后不放回)，甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：(1)甲乙都抽到難簽；(2)甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽；(3)甲乙丙都抽到難簽；(4)證明：甲乙丙抽到難簽的機(jī)會(huì)均等..解：設(shè)A，B，C分別表示“甲、乙、丙抽到難簽”，則(1)甲乙都抽到難簽的概率為：；(2)甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽的概率為：；(3)甲乙丙都抽到難簽的概率為：；(4)由古典概率知，甲抽到難簽的概率為：.由全概率公式得，乙抽到難簽的概率為：.丙抽到難簽的概率為：=0.4.得，P(A)=P(B)=P(C)=0.4，所以，甲乙丙抽到難簽的機(jī)會(huì)均等，各占40%.11.三個(gè)人向同一敵機(jī)射擊，設(shè)三人命中飛機(jī)的概率分別為0.4，0.5和0.7.若三人中只有一人擊中，飛機(jī)被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，飛機(jī)被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機(jī)必被擊落.求飛機(jī)被擊落的概率.解：設(shè)Ai表示“三人中恰有i人擊中飛機(jī)”，i=0，1，2，3.B“飛機(jī)被擊落”.A0,A1,A2,A3構(gòu)成完備事件組，且，,,.由題設(shè)知：.故，由全概率公式得，飛機(jī)被擊落的概率為：.12.在上題中，假設(shè)三人的射擊水平相當(dāng)，命中率都是0.6，其他條件不變，再求飛機(jī)被擊落的概率.解：設(shè)Ai表示“三人中恰有i人擊中飛機(jī)”，i=0，1，2，3.B“飛機(jī)被擊落”.A0,A1,A2,A3構(gòu)成完備事件組，且由貝努里公式得：，，，.由題設(shè)知：.故由全概率公式得，飛機(jī)被擊落的概率為：.13.已知一批產(chǎn)品中有95%是合格品，檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，一個(gè)合格品被誤判為次品的概率為0.02，一個(gè)次品被誤判為合格品的概率為0.03，求：(1)任意抽查一個(gè)產(chǎn)品，它被判為合格品的概率；(2)一個(gè)經(jīng)檢查被判為合格的產(chǎn)品，它確實(shí)是合格品的概率..解：設(shè)A“產(chǎn)品是合格品”，B“經(jīng)檢查產(chǎn)品被判為合格品”，且由題意知：P(A)=95%,.則(1)由全概率公式得，任意抽查一個(gè)產(chǎn)品，它被判為合格品的概率為：；(2)由貝葉斯公式得，一個(gè)經(jīng)檢查被判為合格的產(chǎn)品，它確實(shí)是合格品的概率為：.14.一個(gè)工人看管三臺(tái)機(jī)床，在一小時(shí)內(nèi)機(jī)床不需要工人看管的概率第一臺(tái)為0.9，第二臺(tái)為0.8，第三臺(tái)為0.7，且三臺(tái)機(jī)床是否需要看管彼此獨(dú)立.求在一小時(shí)內(nèi)三臺(tái)機(jī)床中最多有一臺(tái)需要工人看管的概率.解：設(shè)Ai“第i臺(tái)機(jī)床需要看管”，i=1，2，3.“三臺(tái)機(jī)床中最多有一臺(tái)需要工人看管”表示為，且這4個(gè)事件兩兩互不相容，由加法與獨(dú)立性知，所求的概率為：15.加工某一零件共需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、第二、第三道工序的次品率分別是2%，3%，5%.假定各道工序是互不影響的，問加工出來的零件的次品率是多少？解：設(shè)Ai“第i道工序加工出次品”，i=1，2，3.則加工出來的零件是次品表示為A1+A2+A3，且A1，A2，A3相互獨(dú)立，從而也相互獨(dú)立.所求概率為：.16.甲、乙、丙三人獨(dú)立地破譯一密碼，他們各自能破譯出的概率分別是0.4，0.6，0.7，求此密碼被破譯的概率..解：設(shè)A，B，C分別表示“甲、乙、丙破譯出密碼”，則A+B+C表示“密碼被破譯”，且A，B，C相互獨(dú)立，從而也相互獨(dú)立，故所求概率為：.17.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7，各在兩批中隨機(jī)取一粒，求：(1)兩粒種子都能發(fā)芽的概率；(2)至多有一粒種子能發(fā)芽的概率；(3)至少有一粒種子能發(fā)芽的概率.解：設(shè)A，B分別表示“甲、乙種子發(fā)芽”，由題設(shè)知：.(1)兩粒種子都能發(fā)芽的概率為：；(2)至多有一粒種子能發(fā)芽的概率為：；(3)至少有一粒種子能發(fā)芽的概率為：.18.一批產(chǎn)品有70%的一級(jí)品，進(jìn)行重復(fù)抽樣檢查，共抽取5件樣品，求：(1)取出5件樣品中恰有2件一級(jí)品的概率p1；(2)取出5件樣品中至少有2件一級(jí)品的概率p2；(3)取出5件樣品中至少有一件一級(jí)品的概率p3.解：該問題是參數(shù)p=0.7的5重貝努里試驗(yàn)，由貝努里公式得：(1)取出5件樣品中恰有2件一級(jí)品的概率p1=；(2)取出5件樣品中至少有2件一級(jí)品的概率為：p2==；(3)取出5件樣品中至少有一件一級(jí)品的概率為：p3==.19.一射手對(duì)一目標(biāo)獨(dú)立地射擊4次,若至少命中一次的概率為,求射手射擊一次命中目標(biāo)的概率..解：設(shè)射手射擊一次命中目標(biāo)的概率為p，由貝努里定理知，4次射擊中至少有一次命中目標(biāo)的概率為：，由題設(shè)知：，解得：.20.一射手對(duì)一目標(biāo)獨(dú)立地射擊,每次射擊命中率為p,求射擊到第4次時(shí)恰好兩次命中的概率.解：射手射擊到第4次恰好有兩次命中目標(biāo)，即第四次命中，而前三次中恰有一次命中，由貝努里定理知，所求概率為：.五、證明題1.設(shè)0<P(B)<1，證明事件A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是.證：必要性設(shè)事件A與B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B)，P(A|B)=P(A)，又，所以，.充分性若，則，對(duì)上式兩端化簡(jiǎn)，得：，所以A與B相互獨(dú)立2.證明條件概率的下列性質(zhì)：(1)若P(B)>0，則；(2)若A與B互不相容，，則；(3).證：(1)因?yàn)?，而，所以，，且，?2)若A與B互不相容，則AC與BC也互不相容，從而；(3)由性質(zhì)(2)得：，又，由性質(zhì)(1)知，，所以，，即第二章隨機(jī)變量及其概率分布X012P0.30.20.5一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為則P{X<1}=(C).A.0B.0.2C.0.3D.0.5X0123P0.10.20.3a2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為則a=(D).A.0.2B.0.3C.0.1D.0.43.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為則常數(shù)c=(D).A.B.C.-D.14.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為則常數(shù)a=(D).A.B.C.3D.45.下列函數(shù)中可作為某隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的是(A).A.B.C.D.6.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上等于，而在此區(qū)間外等于0；若可以作為某連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，則區(qū)間為(A).A.B.C.D.7.下列函數(shù)中，可以作為某隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的是(C).A.B.C.D.8.設(shè)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，則(B).A.一定連續(xù)B.一定右連續(xù)C.是不增的D.一定左連續(xù)9.設(shè)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(D).A.是定義在上的函數(shù)B.C.D.對(duì)一切實(shí)數(shù)x，都有0<<110.設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，則常數(shù)a=(B).A.1B.C.2D.X0123P0.30.40.10.211.已知隨機(jī)變量X的分布律為是X的分布函數(shù)，則F(2.5)=(B).A.0.7B.0.8C.0.1D.112.隨機(jī)變量X的概率密度，則(A).A.B.C.D.X-1012P0.10.20.30.413.已知隨機(jī)變量X的分布律為若隨機(jī)變量Y=X2，則P{Y=1}=(C).A.0.1B.0.3C.0.4D.0.214.設(shè)隨機(jī)變量X~B(4,0.2)，則P{X>3}=(A).A.0.0016B.0.0272C.0.4096D.0.819215.設(shè)隨機(jī)變量X~N(1，4)，Y=2X+1，Y~(C).A.N(1,4)B.N(0,1)C.N(3,16)D.N(3,9)16.設(shè)，是N(0,1)的分布函數(shù)，則=(D).A.B.C.D.17.設(shè)X~N(-1，4)，是N(0,1)的分布函數(shù)，則P(-2<X<0)=(A).A.B.C.D.18.設(shè)X~N(0，1)，是X的概率密度函數(shù)，則(C).A.0B.0.5C.D.119.設(shè)X服從均勻分布U[0，5]，Y=3X+2，則Y服從(B).A.U[0,5]B.U[2,17]C.U[2,15]D.U[0,17]20.某種商品進(jìn)行有獎(jiǎng)銷售，每購買一件有0.1的中獎(jiǎng)率.現(xiàn)某人購買了20件該商品，用隨機(jī)變量X表示中獎(jiǎng)的件數(shù)，則X的分布為(D).A.正態(tài)分布B.指數(shù)分布C.泊松分布D.二項(xiàng)分布21.設(shè)X服從參數(shù)的泊松分布，是X的分布函數(shù)，則下列正確的選項(xiàng)是(B).A.B.C.P(X=0)=P(X=1)D.22.設(shè)X服從參數(shù)的泊松分布，且，則=(C).A.1B.2C.3D.4二、填空題1.若,,其中x1<x2,則=1.X-2012P0.10.20.30.42.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為記Y=X2,則P(Y=4)=0.5.3.若X是連續(xù)型隨機(jī)變量,則P(X=1)=0.4.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),已知F(2)=0.5,F(-3)=0.1,則=0.4.5.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,則其密度函數(shù)為.6.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,其密度函數(shù)為,則=1/2.7.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,則當(dāng)x>0時(shí),X的概率密度=1.8.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X012P0.40.20.4則=0.6.9.設(shè)隨機(jī)變量X~N(3,4),則0.148.(其中)10.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為6的泊松分布,寫出其概率分布律P(X=K)=6K/K!K=0，1，2，3.11.若隨機(jī)變量X~B(4,0.5),則=15/16.12.若隨機(jī)變量X~U(0,5),且Y=2X,則當(dāng)時(shí),Y的概率密度=1/10.13.設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,4)，則=0.5.14.設(shè)隨機(jī)變量X~U(-1,1)，則=0.5.15.設(shè)隨機(jī)變量X在[2,4]上服從均勻分布，則=0.5.16.設(shè)隨機(jī)變量X~N(-1,4)，則N(0，1).17.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為，則a=2/3.18.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為，則k=-1/2.19.若隨機(jī)變量X~N(1,16)，Y=2X-1，則Y~N(1，64).20.若隨機(jī)變量X~U(1,6)，Y=3X+2，則Y~U(5，20).三、計(jì)算題1.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，求X的概率密度函數(shù).解：由分布函數(shù)與概率密度函數(shù)之間的關(guān)系知，當(dāng)0<x<1時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，=0，所以，X的概率密度為.2.設(shè)X服從參數(shù)p=0.2的0-1分布，求X的分布函數(shù)及P(X<0.5).解：X的分布律為X01P0.80.2當(dāng)時(shí)，=0；當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)時(shí)，=.所以，X的分布函數(shù)為；而P(X<0.5)=P(X=0)=0.8.3.設(shè)隨機(jī)變量X~U(a,b)，求X的密度函數(shù)與分布函數(shù).解：X的密度函數(shù)為；分布函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，X的分布函數(shù)為.4.設(shè)隨機(jī)變量X~N(3,4)，求：(1)P(2<X<3)；(2)P(-4<X<10)；(3)P(|X|>2)；(4)P(X>3).解：(1)P(2<X<3)==0.1915；(2)P(-4<X<10)===0.9996；(3)P(|X|>2)=====0.6977；(4)P(X>3)===0.5.5.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，求：(1)常數(shù)k；(2)分布函數(shù)；(3)..解：(1)因?yàn)?，所以，故k=3.即隨機(jī)變量X的概率密度為；(2)當(dāng)時(shí)，=0，當(dāng)時(shí)，=，當(dāng)時(shí)，=.所以，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為；(3)；6.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，求X的分布函數(shù).解：當(dāng)時(shí)，=0；當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)時(shí)，=.所以，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為.設(shè)隨機(jī)變量X~，求：(1)；(2)解：(1)==；(2)==.8.設(shè)隨機(jī)變量X在[0，5]上服從均勻分布，求方程有實(shí)根的概率.解：X~，而方程有實(shí)根的充分必要條件是，即，故所求概率為：=0+=0.6.X-1012P0.10.20.30.49.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求：(1)Y=2X的分布律；(2)Z=|X|的概率分布；(3)X2的分布律..解：(1)由X的分布律知，Y的取值為-2，0，2，4.且，，，.Y-2024P0.10.20.30.4所以，Y的分布律為(2)Z=|X|的取值為0，1，2.，，.所以，Z的分布律為：Z012P0.20.40.4(3)X2的取值為0，1，4.且，，.所以，X2的分布律為：X2014P0.20.40.410.設(shè)X~U[0，4]，Y=3X+1，求Y的概率密度.解：X~，Y=3X+1的取值范圍是[1，13].Y的分布函數(shù)當(dāng)時(shí)，有，；當(dāng)時(shí)，有，；當(dāng)時(shí)，有，.所以，Y的分布函數(shù)為，Y的概率密度為.11.已知隨機(jī)變量X~N(1，4)，Y=2X+3，求Y的概率密度..解：X~，建立Y的分布函數(shù)與X的分布函數(shù)之間的關(guān)系.因?yàn)椋?，兩邊?duì)y求導(dǎo)：，即Y~N(5，16).12.已知X服從參數(shù)的指數(shù)分布，Y=2X-1，求Y的概率密度.解：由題設(shè)知，X~，方法1，兩邊對(duì)y求導(dǎo)：，又因?yàn)椋?，Y的概率密度為：.四、應(yīng)用題1.一批零件中有10個(gè)合格品和2個(gè)廢品，安裝機(jī)器時(shí)，從這批零件中任取一個(gè)，如果每次取出廢品后不再放回，用X表示在取得合格品以前已取出的廢品的個(gè)數(shù)，求：(1)隨機(jī)變量X的分布律；(2)隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解：(1)隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，且，，，得到X的分布律為：X012P(2)X的可能取值0，1，2將分布函數(shù)F(x)的定義域分為四部分：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.從而得到X的分布函數(shù)為：.2.袋中有標(biāo)號(hào)為1，2，2，3，3，3的六個(gè)球，從中任取一個(gè)球，求所取出的球的號(hào)碼X的概率分布及分布函數(shù)..解：X的可能取值為1，2，3.且，，，所以，X的概率分布為：X123P當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.從而得到X的分布函數(shù)為：3.袋中有標(biāo)號(hào)為1，2，2，3，3，3的六個(gè)球，從中任取兩個(gè)球，X表示取出的兩個(gè)球的最大號(hào)碼，求X的概率分布..解：X的所有可能的取值為2，3.且，，從而得到X的概率分布為：X23P4.設(shè)一批產(chǎn)品共1000個(gè)，其中40個(gè)是次品，隨機(jī)抽取100個(gè)樣品，按下列兩種方式抽樣，分別求樣品中次品數(shù)X的概率分布.(1)不放回抽樣；(2)有放回抽樣.解：(1)不放回抽樣，X的可能取值為0，1，2，…，40.{X=k}表示100個(gè)樣品中恰好有k個(gè)次品，則，得到X的概率分布為：(2)有放回抽樣，X的可能取值為0，1，2，…，100.由于有放回抽樣，抽取100個(gè)樣品可看作進(jìn)行了100重貝努里試驗(yàn)，且每次抽到次品的概率都是0.04，抽到正品的概率為0.96，X~B(100,0.04).則X的概率分布為：5.拋擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，每次正面出現(xiàn)的概率為，連續(xù)拋擲10次，以X表示正面出現(xiàn)的次數(shù)，求X的分布律.由題設(shè)知，X~B(10，).則X的分布律為：6.有一繁忙的交通路口，每天有大量的汽車經(jīng)過，設(shè)每輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率為0.0001.在某天的該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車經(jīng)過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率.解：設(shè)X表示1000輛汽車通過路口時(shí)出事故的次數(shù)，由題意知，X~B(1000，0.0001).由于n=1000很大，p=0.0001很小，故利用泊松分布近似代替二項(xiàng)分布計(jì)算.其中，，，查泊松分布表可得，所求概率為：.7.以電話交換臺(tái)每分鐘收到的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求：(1)每分鐘恰有4次呼喚的概率；(2)每分鐘的呼喚次數(shù)至少有4次的概率.解：設(shè)X表示電話交換臺(tái)每分鐘收到的呼喚次數(shù)，由題意知，X~P(4)，其分布律為：，則(1)每分鐘恰有4次呼喚的概率；(2)每分鐘的呼喚次數(shù)至少有4次的概率8.袋中裝有8個(gè)球，其中3個(gè)紅球、5個(gè)白球，現(xiàn)從袋中任取3個(gè)球，求取出紅球數(shù)的概率分布.解：X表示取出3個(gè)球中含有紅球的個(gè)數(shù)，則X的可能取值為0，1，2，3.且，，，，于是，X的概率分布為：X0123P9.已知某類電子元件的壽命X（單位：小時(shí)）服從指數(shù)分布，其概率密度為，一臺(tái)儀器裝有3個(gè)此種類型的電子元件，其中任意一個(gè)損壞時(shí)儀器便不能正常工作，假設(shè)3個(gè)電子元件損壞與否相互獨(dú)立.試求：(1)一個(gè)此類電子元件能工作1000小時(shí)以上的概率p1；(2)一臺(tái)儀器能正常工作到1000小時(shí)以上的概率p2.解：(1)一個(gè)此類電子元件能工作1000小時(shí)以上的概率為：p1=；(2)一臺(tái)儀器能正常工作到1000小時(shí)以上，需要這3個(gè)電子元件的壽命都在1000小時(shí)以上，由獨(dú)立性知，所求概率為：p2=.10.公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭的機(jī)會(huì)在0.01以下來設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X服從（厘米），（厘米）的正態(tài)分布，即.問車門高度應(yīng)如何確定？解：設(shè)車門高度為h厘米，由題意知，，即.因?yàn)閄~N(170，36)，所以，查表得：，所以，解得h=183.98.設(shè)計(jì)車門的高度為183.98厘米時(shí)，可使男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)不超過0.01.五、綜合題1.設(shè)10件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)進(jìn)行連續(xù)無放回抽樣，直至取到正品為止，求：(1)抽樣次數(shù)X的概率分布；(2)X的分布函數(shù)F(x)；(3)..解：(1)X的可能取值為1，2，3.且，，.所以，X的概率分布為：X123P(2)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以，X的分布函數(shù)為：；(3)；或..2.司機(jī)通過某高速路收費(fèi)站等候的時(shí)間X（單位：分鐘）服從參數(shù)的指數(shù)分布.(1)求某司機(jī)在此收費(fèi)站等候時(shí)間超過10分鐘的概率p；(2)若該司機(jī)一個(gè)月要經(jīng)過此收費(fèi)站兩次，用Y表示等候時(shí)間超過10分鐘的次數(shù)，寫出Y的分布律，并求.解：(1)由題設(shè)知，，則司機(jī)在此收費(fèi)站等候時(shí)間超過10分鐘的概率為：；(2)由題意知，，Y的分布律為：..3.甲乙丙三人獨(dú)立地等1，2，3路公共汽車，他們等車的時(shí)間（單位：分鐘）都服從[0，5]上的均勻分布，求三人中至少有兩人等車不超過2分鐘的概率.解：設(shè)一個(gè)人等車的時(shí)間為X，由題設(shè)知，X~U[0，5]，其密度函數(shù)：.則一個(gè)人等車不超過2分鐘的概率為：.設(shè)Y表示三人中等車時(shí)間不超過2分鐘的人數(shù)，則Y~B(3，0.4)，則三人中至少有兩人等車不超過2分鐘的概率為：=0.352.4.設(shè)測(cè)量距離時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差X~N(0，102)（單位：米），現(xiàn)作三次獨(dú)立測(cè)量，記Y為三次測(cè)量中誤差絕對(duì)值大于19.6的次數(shù)，已知(1)求每次測(cè)量中誤差絕對(duì)值大于19.6的概率p；(2)問Y服從何種分布，并寫出其分布律；(3)求三次測(cè)量中至少有一次誤差絕對(duì)值大于19.6的概率.解：(1)p==0.05.(2)由題意知，Y~B(3,0.05)，Y的分布律為：(3)三次測(cè)量中至少有一次誤差絕對(duì)值大于19.6的概率為：=0.142625.5.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（單位：分鐘）服從參數(shù)的指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘，他就離開.他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù).(1)寫出Y的分布律；(2)求該顧客一個(gè)月至少有一次未等到服務(wù)而離開窗口的概率.解：(1)由題設(shè)知，等待服務(wù)的時(shí)間X~，顧客離開銀行的概率為：.由題意知，Y~B(5，e-1)，其分布律為：(2)所求概率為=..6.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：，求：(1)系數(shù)A；(2)X的概率密度；(3)；(4)Y=X2的概率密度.解：(1)由F(x)的連續(xù)性知，，有，得；(2)X的概率密度；(3)，或=；(4)因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，X的分布函數(shù)為：，X的概率密度為：.7.連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，求：(1)常數(shù)A，B；(2)；(3)X的概率密度.解.：(1)由分布函數(shù)的性質(zhì)知，，，即，解得：所以，(2)(3)X的概率密度8.設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為：，求：(1)系數(shù)A及分布函數(shù)F(x)；(2)；(3)Y=2X的概率密度.解：(1)由概率密度的性質(zhì)知：，得，從而，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，X的分布函數(shù)為：；(2)，或；(3)因?yàn)?，上式兩邊?duì)y求導(dǎo)：，又因?yàn)?，所以，Y=2X的概率密度為：.9.設(shè)X的分布律為：X-1123P0.30.20.10.4求：(1)Y=(X-1)2的分布律；(2)Y的分布函數(shù)；(3).解：(1)Y的可能取值為0，1，4，且，，，得到Y(jié)的分布律為：Y014P0.20.10.7(2)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以，Y的分布函數(shù)為：.(3)=P(Y=0)+P(Y=1)=0.2+0.1=0.3.三章多維隨機(jī)變量及其概率分布一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為： YX0120120.10.200.30.10.10.100.1則P(X=Y)=(A).A.0.3B.0.5C.0.7D.0.82.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且，則P(XY=-1)=(B).A.B.C.D.3.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為： YX123-1010.20.10.10.10.10.20.10.10則P(X+Y≤1)=(A).A.0.4B.0.3C.0.2D.0.14.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，則(B).A.0B.C.D.15.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X~N(3,4),Y~N(2,9),則Z=3X-Y~(C).A.N(7,12)B.N(7,27)C.N(7,45)D.N(11,45)6.設(shè)二維隨機(jī)變量，則Y~(D).A.B.C.D.7.二維隨機(jī)變量(X,Y)只取如下數(shù)組中的值(0,0),(-1,1),(-1,),(2,0)，且相應(yīng)的概率依次為，則c的值為(B).A.2B.3C.4D.58.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為，則=(D).A.B.C.D.9.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為，則常數(shù)c為(C).A.1B.0.5C.2D.310.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，其邊緣分布函數(shù)為、，且對(duì)某一組有，則下列結(jié)論正確的是(C).A.X和Y相互獨(dú)立B.X和Y不獨(dú)立C.X和Y可能獨(dú)立，也可能不獨(dú)立D.X和Y在點(diǎn)()處獨(dú)立11.設(shè)二維隨機(jī)變量，且X與Y相互獨(dú)立，則(B).A.B.C.D.12.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且，則下列結(jié)論正確的是(B).A.B.C.D.二、填空題1.設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域G=上服從均勻分布，則其概率密度0.2.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為： YX123-1010.20.10.100.10.20.20.10則P{X=1}=0.3，P{Y=1}=0.4.3.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且其分布律分別為：12PY12P則P{X=Y}=5/94.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，其概率密度分別為：，，則二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為0.5.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為，則0.5.6.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為，則當(dāng)時(shí)，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度=e.7.當(dāng)時(shí)，隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，其概率密度為，則=1/4.8.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為，則=1/4.9.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度=e.10.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為：，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為0.三、計(jì)算題1.已知二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布為： YX01201C(1)確定常數(shù)C；(2)求(X,Y)關(guān)于X，Y的邊緣分布.解：(1)由概率分布的性質(zhì)知，，解得：C=；(2)，，從而，(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布為：X01P，，，從而，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布為：Y012P2.已知二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布為： YX12401350000求(X,Y)關(guān)于X，Y的邊緣分布.解：，，，，所以，(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布為：X0135P，，，從而，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布為：Y124P3.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的等可能值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).求：(1)(X,Y)的聯(lián)合概率分布律；(2)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣概率分布.解：(1)由題設(shè)知：所以，(X,Y)的聯(lián)合概率分布為： YX0101(2)與上面1，2題作法相同，可得(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣概率分布分別為：X01P0.50.5Y01P0.50.54.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)只能取下列數(shù)組中的值：，且取這些值的概率依次為.(1)寫出(X,Y)的分布律；(2)求(X,Y)關(guān)于X，Y的邊緣分布律.解：(1)由題設(shè)可得(X,Y)的分布律為： YX01-10200000(2)，，，所以，(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布為：X-102P，，，從而，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布為：Y01P5.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為： YX1212試問：X與Y是否相互獨(dú)立？為什么？.解：可求得(X,Y)關(guān)于X，Y的邊緣概率分布分別為：X12PY12P因?yàn)樗?，X與Y相互獨(dú)立.6.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為： YX012010.20.100.20.10.4(1)求邊緣分布律；(2)試問X與Y是否相互獨(dú)立？為什么？解：(1)可求得(X,Y)關(guān)于X，Y的邊緣概率分布分別為：X01P0.30.7Y012P0.40.20.4(2)因?yàn)椋?，所以，X與Y不獨(dú)立.7.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為，求邊緣概率密度.解：當(dāng)時(shí)，，所以，(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為：.當(dāng)時(shí)，，所以，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為：.8.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為，求邊緣概率密度.解：當(dāng)時(shí)，，所以，(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為：.當(dāng)時(shí)，，所以，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為：9.已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為：，求：(1)常數(shù)a；(2)(X,Y)關(guān)于X，Y的邊緣概率密度.解：(1)由概率密度的性質(zhì)知，，即，解得：a=2,故；(2)當(dāng)時(shí)，，所以，(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為：.當(dāng)時(shí)，，所以，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為：.10.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為： YX123-1010.10.100.200.20.10.30求：(1)的分布律；(2)的分布律.解：(1)Z1=X+Y的可能取值為0，1，2，3，4.且，，，，，所以，Z1的分布律為：Z101234P0.10.30.10.50(2)Z2=XY的可能取值為-3，-2，-1，0，1，2，3.且，，，，，，，所以，Z2的分布律為：Z2-3-2-10123P00.10.10.40.10.30四、綜合題1.箱子里裝有12件產(chǎn)品,其中2件是次品,每次從箱子里任取一件產(chǎn)品,共取兩次,定義隨機(jī)變量X,Y如下：，.(1)在有放回抽樣情況下，求(X,Y)的分布律和邊緣分布律，此時(shí)X與Y是否獨(dú)立？(2)在不放回抽樣情況下，求(X,Y)的分布律和邊緣分布律，此時(shí)X與Y是否獨(dú)立？解：(1)有放回抽樣情況下，X的可能取值為0，1；Y的可能取值為0，1.且，，，.所以，(X,Y)的分布律為： YX0101從而，(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律為：X01P(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律為：Y01P因?yàn)樗?，X與Y相互獨(dú)立.(2)不放回抽樣情況下，X的可能取值為0，1；Y的可能取值為0，1.且，，，.所以，(X,Y)的分布律為： YX0101從而，(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律為：X01P(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律為：Y01P因?yàn)?，所以，X與Y不相互獨(dú)立.2.袋中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，現(xiàn)進(jìn)行無放回地摸球，定義：，.求：(1)(X,Y)的概率分布；(2)(X,Y)關(guān)于X，Y的邊緣分布，并問X與Y是否相互獨(dú)立？.解：X的可能取值為0，1；Y的可能取值為0，1.且，，，.所以，(X,Y)的分布律為： YX01010.30.30.30.1從而，(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律為：X01P0.60.4(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律為：Y01P0.60.4因?yàn)?，所以，X與Y不相互獨(dú)立.3.已知(X,Y)在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，求：(1)(X,Y)的聯(lián)合概率密度；(2)(X,Y)關(guān)于X，Y的邊緣概率密度，并問隨機(jī)變量X與Y是否獨(dú)立？(3)(X,Y)的分布函數(shù).解：(1)因?yàn)閰^(qū)域G的面積SG=2，由均勻分布的定義知，(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：；(2)當(dāng)時(shí)，，所以，(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為：.當(dāng)時(shí)，，所以，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為：；因?yàn)閷?duì)于有，所以X與Y相互獨(dú)立；【注：由此問題可得：矩形區(qū)域內(nèi)的二維均勻分布，其邊緣分布就是各自區(qū)間上的一維均勻分布.一般地，若，則邊緣分布為X~U[a，b]，Y~U[c，d]】.(3)分布函數(shù).當(dāng)x<0或y<0時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)時(shí)，=.所以，(X,Y)的分布函數(shù)為：.4.已知二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為：，求：(1)常數(shù)k；(2)(X,Y)關(guān)于X，Y的邊緣概率密度.(3)X與Y是否相互獨(dú)立？為什么？(4).解：(1)由概率密度的性質(zhì)知，，解得：k=6,故；(2)當(dāng)時(shí)，，所以，(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為：.當(dāng)時(shí)，，所以，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為：；(3)因?yàn)閷?duì)于有，所以X與Y相互獨(dú)立；(4)5.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為：，求：(1)常數(shù)k；(2)；(3)(X,Y)的分布函數(shù)；(4)隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立？6.設(shè)X與Y相互獨(dú)立，X服從均勻分布U[0,]，Y的概率密度為：，求：(1)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度；(2).解：(1)因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，且，，所以，(X,Y)的概率密度為：；(2)=.第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、單項(xiàng)選擇題1.B.2.A.3.A.4.A.5.C.6.A.7.B.8.D.9.C.10.B.11.B.12.A.13.B.14.C.15.C.16.B第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、單項(xiàng)選擇題X-1123P0.30.2c0.41.隨機(jī)變量X的概率分布律為則期望EX=(B).A.1.2B.1.3C.1D.1.12.隨機(jī)變量X的概率分布律為X-112P0.30.20.5則方差DX=(A).A.1.69B.2.5C.1.6D.3.43.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則下列各項(xiàng)中正確的是(A).A.EX=0.5,DX=0.25B.EX=2,DX=2C.EX=0.5,DX=0.5D.EX=2,DX=44.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，Y~B(6,0.5)，則E(X-Y)=(A).A.-2.5B.0.5C.2D.55.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X~B(16,0.5)，Y服從參數(shù)為9的泊松分布，則D(X-2Y+3)=(C).A.-14B.-11C.40D.436.已知隨機(jī)變量X的概率密度，則EX與DX分別為(A).A.B.C.D.7.已知隨機(jī)變量X服從均勻分布U[1,5]，則下列各項(xiàng)中正確的是(B).A.EX=2,DX=B.EX=3,DX=C.EX=3,DX=D.EX=2,DX=8.設(shè)X為隨機(jī)變量，EX=2，DX=5，則E(X+2)2=(D).A.4B.9C.13D.219.已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，且，則X的期望EX=(C).A.0B.1C.2D.310.設(shè)X服從[0,1]上的均勻分布，則D(2X)=(B).A.B.C.D.11.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X~N(2,42),Y~N(3,32),則E(X+Y),D(X-Y)的值分別為(B).A.5，7B.5，25C.5，5D.5，712.設(shè)二維隨機(jī)變量，若，則(A).A.X與Y一定獨(dú)立B.X與Y一定不獨(dú)立C.X與Y不一定獨(dú)立D.X與Y僅不相關(guān)，但不獨(dú)立13.設(shè)X與Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，且，則(B).A.X與Y一定獨(dú)立B.X與Y不相關(guān)C.X與Y獨(dú)立且不相關(guān)D.X與Y僅不相關(guān)，但不獨(dú)立14設(shè)隨機(jī)變量X~N(2,4),則D(2X+5)=(C).A.4B.8C.16D.2115.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，則EX與DX為(C).A.2，4B.0.25，0.5C.0.5，0.25D.4，216.已知DX=1，DY=25，，則D(X-Y)=(B).A.6B.22C.19D.2317.已知DX=4，DY=9，，則D(2X-3Y)=(A).A.133B.61C.71D.10318.設(shè)隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差，且DX=4，DY=9，則=(B).A.B.C.D.119.若隨機(jī)變量X與Y滿足，則下列結(jié)論不正確的是(B).A.X與Y不相關(guān)B.X與Y相互獨(dú)立C.D.相關(guān)系數(shù)=020.已知二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為： YX123010.30.10.20.200.2則E(X+Y)與E(XY)分別是(D).A.2.1，0.8B.2.5，0.8C.2.3，0.2D.2.3，0.8二、填空題1.設(shè)隨機(jī)變量X的期望EX=2，方差DX=4，則E(X2)=8.2.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且，則E(X+Y)=U1+U2，D(X+Y)=.3.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X~N(1,4)，Y~B(10,0.2)，則E(2X-3Y)=-4，D(2X-3Y)=30.4.4.隨機(jī)變量X服從0-1分布，且EX=0.2，則P(X=0)=0.8.5.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為3的指數(shù)分布，則D(2X+1)=4/9.X-11P6.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為則E(X2)=1.7.已知二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為： YX0112則E(XY)=2/3.8.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且DX>0,DY>0，則X與Y的相關(guān)系數(shù)=0.9.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，其分布律分別為：X03PY02P則E(XY)=2，D(X-Y)=3.10.設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1)，Y~N(0,1)，，則D(X+Y)=3.11.設(shè)DX=9，DY=25，相關(guān)系數(shù)，則D(X-Y)=19.12.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且EX=EY=0，E(X2)=E(Y2)=1，則E(X+Y)2=2，D(X+Y)=2.13.已知二維隨機(jī)變量，則=3.X-1123P0.10.20.30.414.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為令Y=2X+1，則EY=4.8.15.設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且均值為,若，則EY=U.三、計(jì)算題X-202P0.40.30.31.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求：(1)EX；(2)E(X2)；(3)E(3X3+5).解：(1)EX=；(2)E(X2)=；(3)E(3X3+5)=3E(X3)+5，而E(X3)=，所以，.X123P0.20.50.32.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求：期望EX與方差DX..解：；，.3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，求：期望EX與方DX.解：；，.4.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，求：期望EX與方差DX..解：；，=.5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，求：期望EX與方差DX.解：=；=，=.6.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X服從參數(shù)的泊松分布，Y的概率密度為，求：(1)；(2).解：(1)因?yàn)閄服從參數(shù)的泊松分布，所以，EX=DX=2.由Y的概率密度知，Y~U(0,4)，所以，EY=.從而，，又X與Y相互獨(dú)立，故；(2)因?yàn)?，，又X與Y相互獨(dú)立，所以=DX+4DY=.7.已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為 YX0123120.10.20.100.200.30.1求：協(xié)方差與相關(guān)系數(shù).解：因?yàn)?X,Y)關(guān)于X，Y的邊緣分布分別為：X12P0.40.6Y0123P0.30.20.40.1所以，EX=，EY=.又因?yàn)?，E(XY)===2.2，所以，=E(XY)-EXEY=0.12；因?yàn)椋?，所以?0.24，=1.01.從而，相關(guān)系數(shù)==0.24373.8.設(shè)(X,Y)在圓域內(nèi)服從均勻分布，求.解：求得(X,Y)關(guān)于X，Y的邊緣概率密度分別為：，.所以，=0，=0，=0（利用二重積分的對(duì)稱性質(zhì)）.故=E(XY)-EXEY=0.四、應(yīng)用題1.甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)車床，生產(chǎn)同一種標(biāo)準(zhǔn)件，生產(chǎn)1000只所出的次品數(shù)分別用X、Y來表示，經(jīng)過一段時(shí)間的考察，X、Y的分布律分別為：X0123P0.70.10.10.1Y0123P0.