平面向量數(shù)量積及其幾何意義

關(guān)于平面向量數(shù)量積及其幾何意義第一頁，共十八頁，2022年，8月28日定義：

一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a

的積是一個向量，記作λa，它的長度和方向規(guī)定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)當(dāng)λ>0時,λa

的方向與a方向相同；當(dāng)λ<0時,λa

的方向與a方向相反；特別地，當(dāng)λ=0或a=0時,λa=0第二頁，共十八頁，2022年，8月28日運(yùn)算律：

設(shè)a,b為任意向量，λ,μ為任意實(shí)數(shù)，則有：①λ(μa)=(λμ)

a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb第三頁，共十八頁，2022年，8月28日已知兩個非零向量a和b，作OA=a，

OB=b，則∠AOB=θ

（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角。OBAθ向量的夾角當(dāng)θ＝0°時，a與b同向；OAB當(dāng)θ＝180°時，a與b反向；OABB當(dāng)θ＝90°時，稱a與b垂直，記為a⊥b.OAab第四頁，共十八頁，2022年，8月28日

我們學(xué)過功的概念，即一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）θFS力F所做的功W可用下式計算

W=|F||S|cosθ其中θ是F與S的夾角

從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念。第五頁，共十八頁，2022年，8月28日

已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

a·b=|a||b|cosθ定義規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0注意：向量的數(shù)量積是一個數(shù)量。第六頁，共十八頁，2022年，8月28日

向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候?yàn)檎?，什么時候?yàn)樨?fù)？思考：a·b=|a||b|cosθ當(dāng)0°≤θ＜

90°時a·b為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時a·b為負(fù)。當(dāng)θ=90°時a·b為零。第七頁，共十八頁，2022年，8月28日重要性質(zhì):設(shè)是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地OABθ

abB1第八頁，共十八頁，2022年，8月28日解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）

=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角θ=120°，求a·b。第九頁，共十八頁，2022年，8月28日練習(xí)：1．若a=0，則對任一向量b

，有a·b=0．2．若a≠0，則對任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，則b=04．若a·b=0，則a·b中至少有一個為0．5．若a≠0，a·b=b·c，則a=c6．若a·b=a·c,則b≠c,當(dāng)且僅當(dāng)a=0時成立．7．對任意向量a有√×××××√第十頁，共十八頁，2022年，8月28日二、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算律：其中，是任意三個向量，注：第十一頁，共十八頁，2022年，8月28日例2：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.第十二頁，共十八頁，2022年，8月28日例3、的夾角為解:第十三頁，共十八頁，2022年，8月28日第十四頁，共十八頁，2022年，8月28日練習(xí)：第十五頁，共十八頁，2022年，8月28日小結(jié)：1、已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

a·b=|a||b|cosθ第十六頁，共十八頁，20