立體幾何經(jīng)典題型匯總

PAGE第17頁（共17頁）1．平面平面的基本性質(zhì)：掌握三個公理及推論，會說明共點(diǎn)、共線、共面問題。（1）.證明點(diǎn)共線的問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個平面的公共點(diǎn)（依據(jù)：由點(diǎn)在線上，線在面內(nèi)，推出點(diǎn)在面內(nèi)），這樣可根據(jù)公理2證明這些點(diǎn)都在這兩個平面的公共直線上。（2）.證明共點(diǎn)問題，一般是先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明這點(diǎn)在第三條直線上，而這一點(diǎn)是兩個平面的公共點(diǎn)，這第三條直線是這兩個平面的交線。（3）.證共面問題一般先根據(jù)一部分條件確定一個平面，然后再證明其余的也在這個平面內(nèi)，或者用同一法證明兩平面重合2.空間直線.（1）.空間直線位置關(guān)系三種：相交、平行、異面.相交直線：共面有且僅有一個公共點(diǎn)；平行直線：共面沒有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任一平面內(nèi)，無公共點(diǎn)[注]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（×）（也可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等）②直線在平面外，指的位置關(guān)系是平行或相交③若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi).=4\*GB3④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn).=5\*GB3⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（×）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）=6\*GB3⑥在同一平面內(nèi)的射影長相等，則斜線長相等.（×）（并非是從平面外一點(diǎn)向這個平面所引的垂線段和斜線段）=7\*GB3⑦是夾在兩平行平面間的線段，若，則的位置關(guān)系為相交或平行或異面.⑧異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）（2）.平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等（如右圖）.（直線與直線所成角）（向量與向量所成角推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.（3）.兩異面直線的距離：公垂線段的長度.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.[注]：是異面直線，則過外一點(diǎn)P，過點(diǎn)P且與都平行平面有一個或沒有，但與距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi).（或在這個做出的平面內(nèi)不能叫與平行的平面）3.直線與平面平行、直線與平面垂直.（1）.空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).（2）.直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（“線線平行線面平行”）[注]：①直線與平面內(nèi)一條直線平行，則∥.（×）（平面外一條直線）②直線與平面內(nèi)一條直線相交，則與平面相交.（×）（平面外一條直線）③若直線與平面平行，則內(nèi)必存在無數(shù)條直線與平行.（√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）=4\*GB3④兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面.（×）（可能在此平面內(nèi)）=5\*GB3⑤平行于同一個平面的兩直線平行.（×）（兩直線可能相交或者異面）=6\*GB3⑥直線與平面、所成角相等，則∥.（×）（、可能相交）（3）.直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行線線平行”）（4）.直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個平面和一條直線垂直.若⊥，⊥，得⊥（三垂線定理），三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面.（“線線垂直線面垂直”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.（5）.a.垂線段和斜線段長定理：從平面外一點(diǎn)向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短.[注]：垂線在平面的射影為一個點(diǎn).[一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.（×）]b.射影定理推論：如果一個角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上。4.平面平行與平面垂直.（1）.空間兩個平面的位置關(guān)系：相交、平行.（2）.平面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.（“線面平行面面平行”）推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.[注]：一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面.（3）.兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行線線平行”）（4）.兩個平面垂直判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.兩個平面垂直判定二：如果一條直線與一個平面垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面.（“線面垂直面面垂直”）注：如果兩個二面角的平面分別對應(yīng)互相垂直，則兩個二面角沒有什么關(guān)系.（5）.兩個平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.簡證：如圖，在平面內(nèi)過O作OA、OB分別垂直于，因?yàn)閯t.所以結(jié)論成立（6）.兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式：（為銳角取減，為鈍角取加，綜上，都取減則必有）（1）.a.最小角定理：（為最小角，如圖）b.最小角定理的應(yīng)用（∠PBN為最小角）簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補(bǔ)角一半長，一定有4條.成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補(bǔ)角小，一定有2條.成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有.5.棱柱.棱錐（1）.棱柱.a.=1\*GB3①直棱柱側(cè)面積：（為底面周長，是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.=2\*GB3②斜棱住側(cè)面積：（是斜棱柱直截面周長，是斜棱柱的側(cè)棱長）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.b.{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長方體}{正四棱柱}{正方體}.{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.c.棱柱具有的性質(zhì)：=1\*GB3①棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形.=2\*GB3②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.=3\*GB3③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.注：（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.d.平行六面體：定理一：平行六面體的對角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.[注]：四棱柱的對角線不一定相交于一點(diǎn).定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點(diǎn)上三條棱長的平方和.推論一：長方體一條對角線與同一個頂點(diǎn)的三條棱所成的角為，則.推論二：長方體一條對角線與同一個頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為，則.[注]：=1\*GB3①有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四棱柱的兩個平行的平面可以為矩形）=2\*GB3②各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行）=3\*GB3③對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.（×）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形）=4\*GB3④棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直.（兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）（2）.棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形.[注]：①一個三棱錐四個面可以都為直角三角形.②一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以.a.①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面正多邊形的中心.[注]：=1\*romani.正四棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）=2\*romanii.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正三角形，側(cè)棱與底棱不一定相等iii.正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.②正棱錐的側(cè)面積：（底面周長為，斜高為）=3\*GB3③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：（側(cè)面與底面成的二面角為）附：以知⊥，，為二面角.則=1\*GB3①，=2\*GB3②，=3\*GB3③=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③得.注：S為任意多邊形的面積（可分別求多個三角形面積和的方法）.b.棱錐具有的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形.c.特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置：=1\*GB3①棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.=2\*GB3②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.=3\*GB3③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.=4\*GB3④棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.=5\*GB3⑤三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.=6\*GB3⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心.=7\*GB3⑦每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑；=8\*GB3⑧每個四面體都有內(nèi)切球，球心是四面體各個二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑.[注]：=1\*romani.各個側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（×）（各個側(cè)面的等腰三角形不知是否全等）=2\*romanii.若一個三棱錐，兩條相對棱互相垂直，則第三組相對棱必然垂直.簡證：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD.令得，已知則.=3\*romaniii.空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.=4\*romaniv.若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形.簡證：取AC中點(diǎn)，則平面90°易知EFGH為平行四邊形EFGH為長方形.若對角線等，則為正方形.（3）.球：a.球的截面是一個圓面.①球的表面積公式：.②球的體積公式：.b.緯度、經(jīng)度：①緯度：地球上一點(diǎn)的緯度是指經(jīng)過點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).②經(jīng)度：地球上兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)的經(jīng)線是本初子午線時，這個二面角的度數(shù)就是點(diǎn)的經(jīng)度.附：①圓柱體積：（為半徑，為高）②圓錐體積：（為半徑，為高）=3\*GB3③錐體體積：（為底面積，為高）（1）.=1\*GB3①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時，設(shè)邊長為a，，，，得.注：球內(nèi)切于四面體：。=2\*GB3②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.6.空間向量.（1）.a.共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.注：①若與共線，與共線，則與共線.（×）[當(dāng)時，不成立]②向量共面即它們所在直線共面.（×）[可能異面]③若∥，則存在小任一實(shí)數(shù)，使.（×）[與不成立]④若為非零向量，則.（√）[這里用到之積仍為向量]b.共線向量定理：對空間任意兩個向量，∥的充要條件是存在實(shí)數(shù)（具有唯一性），使.c.共面向量：若向量使之平行于平面或在內(nèi)，則與的關(guān)系是平行，記作∥.d.①共面向量定理：如果兩個向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對x、y使.②空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，則是PABC四點(diǎn)共面的充要條件.（簡證：P、A、B、C四點(diǎn)共面）注：①②是證明四點(diǎn)共面的常用方法.（2）.空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使.推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使(這里隱含x+y+z≠1).注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，其中Q是△BCD的重心，則向量用即證.對空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足，則四點(diǎn)P、A、B、C是共面（3）.a.空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對應(yīng)為縱坐標(biāo)），z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標(biāo)）.①令=(a1,a2,a3),，則，，，∥。。(向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)空間兩個向量的夾角公式（a＝，b＝）。=2\*GB3②空間兩點(diǎn)的距離公式：.b.法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量.c.向量的常用方法：=1\*GB3①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)B到平面的距離為.=2\*GB3②.異面直線間的距離(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).=3\*GB3③.直線與平面所成角(為平面的法向量).=4\*GB3④.利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大?。ǚ较蛳嗤?，則為補(bǔ)角，反方，則為其夾角）.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.d.證直線和平面平行定理：已知直線平面，，且C、D、E三點(diǎn)不共線，則a∥的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對使.（常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）.７．知識網(wǎng)絡(luò)經(jīng)典例題剖析考點(diǎn)一空間向量及其運(yùn)算1.已知三點(diǎn)不共線，對平面外任一點(diǎn)，滿足條件，試判斷：點(diǎn)與是否一定共面？2.如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點(diǎn)，分別在對角線，上，且，．求證：平面．考點(diǎn)二證明空間線面平行與垂直3.如圖,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，（I）求證：AC⊥BC1；（=2\*ROMANII）求證：AC1//平面CDB1；4.（2007武漢3月）如圖所示，四棱錐P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn)。(1)求證：BM∥平面PAD；(2)在側(cè)面PAD內(nèi)找一點(diǎn)N，使MN平面PBD；(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦?？键c(diǎn)三求空間圖形中的角與距離根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機(jī)統(tǒng)一.解題時注意各種角的范圍：異面直線所成角的范圍是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和補(bǔ)形法；直線與平面所成角的范圍是0°≤θ≤90°，其解法是作垂線、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法另外也可借助空間向量求這三種角的大小.5.（四川省成都市2007屆高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測）如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點(diǎn).(Ⅰ)求與底面所成角的大??；(Ⅱ)求證：平面；(Ⅲ)求二面角的余弦值.6.（2007河北省唐山市三模）如圖，在長方體中，點(diǎn)在線段上.（Ⅰ）求異面直線與所成的角；（Ⅱ）若二面角的大小為，求點(diǎn)到平面的距離.考點(diǎn)四探索性問題7.（2007年4月濟(jì)南市）如圖所示：邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED//AF且∠DAF=90°。（1）求BD和面BEF所成的角的余弦；（2）線段EF上是否存在點(diǎn)P使過P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說明理由。1,3,51,3,58.(2007安徽·文)如圖，在三棱錐中，，，是的中點(diǎn)，且，．ＶAＣＤＢ（I）求證：平面ＶAＣＤＢ（II）試確定角的值，使得直線與平面所成的角為．考點(diǎn)五折疊、展開問題9．（2006年遼寧高考）已知正方形、分別是、的中點(diǎn),將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為(=1\*ROMANI)證明平面;(=2\*ROMANII)若為正三角形,試判斷點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是否在直線上,證明你的結(jié)論,并求角的余弦值考點(diǎn)六球體與多面體的組合問題10．設(shè)棱錐M-ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面積為1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.方法總結(jié)高考預(yù)測（一）方法總結(jié)1．位置關(guān)系：（1）．兩條異面直線相互垂直證明方法：eq\o\ac(○,1)證明兩條異面直線所成角為90o；eq\o\ac(○,2)證明兩條異面直線的方向量相互垂直。（2）．直線和平面相互平行證明方法：eq\o\ac(○,1)證明直線和這個平面內(nèi)的一條直線相互平行；eq\o\ac(○,2)證明這條直線的方向向量和這個平面內(nèi)的一個向量相互平行；eq\o\ac(○,3)證明這條直線的方向向量和這個平面的法向量相互垂直。（3）．直線和平面垂直證明方法：eq\o\ac(○,1)證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，eq\o\ac(○,2)證明直線的方向量與這個平面內(nèi)不共線的兩個向量都垂直；eq\o\ac(○,3)證明直線的方向量與這個平面的法向量相互平行。（4）．平面和平面相互垂直證明方法：eq\o\ac(○,1)證明這兩個平面所成二面角的平面角為90o；eq\o\ac(○,2)證明一個平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個平面；eq\o\ac(○,3)證明兩個平面的法向量相互垂直。2．求距離：求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點(diǎn)到這個平面的距離。（1）．兩條異面直線的距離求法：利用公式（其中A、B分別為兩條異面直線上的一點(diǎn)，為這兩條異面直線的法向量）（2）．點(diǎn)到平面的距離求法：eq\o\ac(○,1)“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。eq\o\ac(○,2)等體積法。eq\o\ac(○,3)向量法，利用公式（其中A為已知點(diǎn)，B為這個平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，這個平面的法向量）3．求角（1）．兩條異面直線所成的角求法：eq\o\ac(○,1)先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得；eq\o\ac(○,2)通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。（2）．直線和平面所成的角求法：eq\o\ac(○,1)“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。eq\o\ac(○,2)向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角為或。（3）．平面與平面所成的角求法：eq\o\ac(○,1)“一找二證三求”，找出這個二面角的平面角，然后再來證明我們找出來的這個角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過解三角形來求。eq\o\ac(○,2)通過射影面積來求（在其中一個平面內(nèi)找出一個三角形，然后找這個三角形在另外一個平面的射影，那么這個三角形的射影面積與原三角形面積之比即為cosα，注意到我們要求的角為α或π－α）；eq\o\ac(○,3)向量法，先求兩個平面的法向量所成的角為α，那么這兩個平面所成的二面角的平面角為α或π－α。我們現(xiàn)在來解決立體幾何的有關(guān)問題的時候，注意到向量知識的應(yīng)用，如果可以比較容易建立坐標(biāo)系，找出各點(diǎn)的坐標(biāo)，那么剩下的問題基本上就可以解決了，如果建立坐標(biāo)系不好做的話，有時求距離、角的時候也可以用向量，運(yùn)用向量不是很方便的時候，就用傳統(tǒng)的方法了！4．解題注意點(diǎn)（1）．我們現(xiàn)在提倡用向量來解決立體幾何的有關(guān)問題，但是當(dāng)運(yùn)用向量不是很方便的時候，傳統(tǒng)的解法我們也要能夠運(yùn)用自如。（2）．我們?nèi)绻峭ㄟ^解三角形去求角、距離的時候，做到“一找二證三求”，解題的過程中一定要出現(xiàn)這樣一句話，“∠α是我們所要求的角”、“線段AB的長度就是我們所要求的距離”等等。讓人看起來一目了然。（3）．用向量來求兩條異面直線所成角時，若求出cosα＝x，則這兩條異面直線所成的角為α＝arccos|x|（4）．在求直線與平面所成的角的時候，法向量與直線方向量所成的角或者法向量與直線的方向量所成角的補(bǔ)交與我們所要求的角互余，所以要或，若求出的角為銳角，就用，若求出的鈍角，就用。（5）．求二面角時，若用第eq\o\ac(○,2)、eq\o\ac(○,3)種方法，先要去判斷這個二面角的平面角是鈍角還是銳角，然后再根據(jù)我們所作出的判斷去取舍。（二）高考預(yù)測從近幾年各地高考試題分析，立體幾何題型一般是一個解答題，1至3個填空或選擇題．解答題一般與棱柱和棱錐相關(guān)，主要考查線線關(guān)系、線面關(guān)系和面面關(guān)系，其重點(diǎn)是考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力，其解題方法一般都有二種以上，并且一般都能用空間向量來求解．

高考試題中，立體幾何側(cè)重考查學(xué)生的空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運(yùn)算能力

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近幾年凡涉及空間向量應(yīng)用于立體幾何的高考試題，都著重考查應(yīng)用空間向量求異面直線所成的角、二面角，證明線線平行、線面平行和證明異面直線垂直和線面垂直等基本問題。

高考對立體幾何的考查側(cè)重以下幾個方面：

1．從命題形式來看，涉及立體幾何內(nèi)容的命題形式最為多變

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除保留傳統(tǒng)的“四選一”的選擇題型外，還嘗試開發(fā)了“多選填空”、“完型填空”、“構(gòu)造填空”等題型，并且這種命題形式正在不斷完善和翻新；解答題則設(shè)計(jì)成幾個小問題，此類考題往往以多面體為依托，第一小問考查線線、線面、面面的位置關(guān)系，后面幾問考查空間角、空間距離、面積、體積等度量關(guān)系，其解題思路也都是“作——證——求”，強(qiáng)調(diào)作圖、證明和計(jì)算相結(jié)合。

２．從內(nèi)容上來看，主要是：①考查直線和平面的各種位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，這類試題一般難度不大，多為選擇題和填空題；②計(jì)算角的問題，試題中常見的是異面直線所成的角，直線與平面所成的角，平面與平面所成的二面角，這類試題有一定的難度和需要一定的解題技巧，通常要把它們轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；③求距離，試題中常見的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到平面的距離，直線與直線的距離，直線到平面的距離，要特別注意解決此類問題的轉(zhuǎn)化方法；④簡單的幾何體的側(cè)面積和表面積問題，解此類問題除特殊幾何體的現(xiàn)成的公式外，還可將側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化為求平面圖形的面積問題；⑤體積問題，要注意解題技巧，如等積變換、割補(bǔ)思想的應(yīng)用。

３．從方法上來看，著重考查公理化方法，如解答題注重理論推導(dǎo)和計(jì)算相集合；考查轉(zhuǎn)化的思想方法，如經(jīng)常要把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來解決；考查模型化方法和整體考慮問題、處理問題的方法，如有時把形體納入不同的幾何背景之中，從而宏觀上把握形體，巧妙地把問題解決；考查割補(bǔ)法、等積變換法，以及變化運(yùn)動的思想方法，極限方法等。

４．從能力上來看，著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會”：①會畫圖——根據(jù)題設(shè)條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀、虛實(shí)分明；②會識圖——根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)線面的位置關(guān)系；③會析圖——對圖形進(jìn)行必要的分解、組合；④會用圖——對圖形或其某部分進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或?qū)嵭懈钛a(bǔ)術(shù)；考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力和探索能力。強(qiáng)化訓(xùn)練選擇題1．定點(diǎn)P不在△ABC所在平面內(nèi)，過P作平面α，使△ABC的三個頂點(diǎn)到α的距離相等，這樣的平面共有 （）（Ａ）１個 （Ｂ）２個 （Ｃ）３個 （Ｄ）４個2．P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三點(diǎn)的距離分別是，，，則P到A點(diǎn)的距離是 （）（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ） （Ｄ）４3．直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，直角頂點(diǎn)C在平面α外，C在平面α內(nèi)的射影為C1，且C1AB，則△C1AB為 （）（Ａ）銳角三角形 （Ｂ）直角三角形 （Ｃ）鈍角三角形 （Ｄ）以上都不對4．已知四點(diǎn)，無三點(diǎn)共線，則可以確定()A.1個平面 B.4個平面C.1個或4個平面 D.無法確定5．已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)且相距是1，那么這個球的半徑是()A.4 B.3 C.2 D.56．球面上有3個點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過3個點(diǎn)的小圓的周長為4π，那么這個球的半徑為()A.4B.2C.2D.7．棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1被以A為球心，AB為半徑的球相截，則被截形體的表面積為（）A．πB．πC．πD．π8．某刺猬有2006根刺，當(dāng)它蜷縮成球時滾到平面上，任意相鄰的三根刺都可支撐住身體，且任意四根刺的刺尖不共面，問該刺猬蜷縮成球時，共有（）種不同的支撐身體的方式。A．2006B．4008C．4012D．20089．命題①空間直線a，b，c，若a∥b，b∥c則a∥c②非零向量，若∥，∥則∥③平面α、β、γ若α⊥β，β⊥γ，則α∥γ④空間直線a、b、c若有a⊥b，b⊥c，則a∥c⑤直線a、b與平面β，若a⊥β，c⊥β，則a∥c其中所有真命題的序號是（）A．①②③B．①③⑤C．①②⑤D．②③⑤10．在正三棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成二面角的取值范圍是（）A、B、C、（0，）