人教版數(shù)學(xué)八年級上冊14-公式法(第2課時)課件

14.3.2公式法第十四章整式的乘法與因式分解第2課時運用完全平方公式分解因式14.3.2公式法第十四章整式的乘法與第2課時運用1學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重點）2.靈活應(yīng)用各種方法分解因式，并能利用因式分解進(jìn)行計算．（難點）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重點）21.什么是因式分解？把一個多項式轉(zhuǎn)化為幾個整式的積的形式.2.我們已經(jīng)學(xué)過哪些因式分解的方法？（1）提公因式法；（2）平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).1.什么是因式分解？把一個多項式轉(zhuǎn)化為幾個整式的積的形式.23

你能把下面4個圖形拼成一個正方形并求出你拼成的圖形的面積嗎？拼出圖形為：aabbabababa2b2ab用完全平方公式分解因式你能把下面4個圖形拼成一個正方形并求出你拼成的圖形的4這個大正方形的面積可以怎么求？a2+2ab+b2（a+b）2=ababa2ababb2（a+b）2a2+2ab+b2=將上面的等式倒過來看，能得到：這個大正方形的面積可以怎么求？a2+2ab+b2（a+b）25a2+2ab+b2a2－2ab+b2

我們把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式.觀察這兩個式子：（1）每個多項式有幾項？（3）中間項和第一項、第三項有什么關(guān)系？（2）每個多項式的第一項和第三項有什么特征？三項.這兩項都是數(shù)或式的平方，并且符號相同.中間項第一項和第三項底數(shù)的積的±2倍.a2+2ab+b2a2－2ab+b2我們把a2+26完全平方式的特點：

1.必須是三項式（或可以看成三項）；

2.有兩個同號的數(shù)或式的平方；

3.中間有兩底數(shù)之積的±2倍.

完全平方式：完全平方式的特點：完全平方式：7簡記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.

凡具備這些特點的三項式，就是完全平方式.將這樣的三項式寫成完全平方形式，便實現(xiàn)了因式分解.2ab+b2±=(a

±

b)2a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2

兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.簡記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.凡具備這些83.a2+4ab+4b2=()2+2·()·()+()2=()22.m2-6m+9=(

)2-2·()·(

)+()2=()21.x2+4x+4=()2+2·()·()+()2=()2x2x+2aa2ba+2b2b對照a2±2ab+b2=(a±b)2，填空：mm-33x2m33.a2+4ab+4b2=()2+2·(9下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4;（2）1+4a2;

（3）4b2+4b-1;（4）a2+ab+b2;

（5）x2+x+0.25.是（2）只有兩項；不是（3）4b2與-1的符號不統(tǒng)一；不是分析：不是是（4）ab不是a與b的積的2倍.下列各式是不是完全平方式？是（2）只有兩項；不是（3）4b210

如果x2-6x+N是一個完全平方式，那么N是()A.11B.9C.-11D.-9B解析：根據(jù)完全平方式的特征，中間項-6x=2x×(-3)，故N=(-3)2=9.【變式】如果x2-mx+16是一個完全平方式，那么m的值為________.解析：∵16=(±4)2，∴-m=2×(±4)，∴m=±8.±8例1如果x2-6x+N是一個完全平方式，那么N是11解題技巧：解此類題要熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)參數(shù)所在位置，結(jié)合公式，找出參數(shù)與已知項之間的數(shù)量關(guān)系，從而求出參數(shù)的值.計算時，要注意積的2倍的符號，避免漏解．解題技巧：解此類題要熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)參數(shù)12

分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一個完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2.2abb2a2(2)中，首項有負(fù)號，一般先利用添括號法則將其變形為-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.例2分解因式：分析：(1)中，16x2=(4x)213解：

(1)16x2+24x+9=(4x+3)2.=(4x)2+2·4x·3+32(2)-x2+4xy-4y2

=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.

=-[x2-2·x·2y+(2y)2]解：(1)16x2+24x+914

分解因式：

(1)3ax2+6axy+3ay2

；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）

=3a（x+y）2.分析：(1)中有公因式3a，應(yīng)先提出公因式，再進(jìn)一步分解；(2)中，將a+b看成一個整體，設(shè)a+b=m，則原式化為完全平方式m2-12m+36.(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62

=(a+b-6)2.例3分解因式：解：(1)原式=3a（x2+2xy+y215

利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式、完全平方式等）的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式、完全平方式等16【練習(xí)】因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2.(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a＋2)2(a－2)2.有公因式要先提公因式.要檢查每一個多項式的因式，看能否繼續(xù)分解．【練習(xí)】因式分解：＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)解：17

把下列完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+992；(2)342＋34×32＋162.

解：(1)原式=（100－99)2

(2)原式＝(34＋16)2本題利用完全平方公式分解因式，可以簡化計算.=1.＝2500.例4把下列完全平方公式分解因式：解：(1)原式=（18

已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1

的值．＝112＝121.解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個非負(fù)數(shù)都為0.解題技巧：解此類題常通過配方將原式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)的和的形式，再利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)求解．例5已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，19

已知a，b，c分別是△ABC三邊的長，且a22b2＋c2－2b(a＋c)＝0，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．∴△ABC是等邊三角形．解：△ABC是等邊三角形．理由如下：即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得

a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，例6已知a，b，c分別是△ABC三邊的長，且a201.下列四個多項式中，能因式分解的是()A．a(chǎn)2＋1B．a(chǎn)2－6a＋9C．x2＋5yD．x2－5y2.把多項式4x2y－4xy2－x3分解因式的結(jié)果是()A．4xy(x－y)－x3B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2)D．－x(－4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，則m2－4mn＋4n2的值是________．BB14.若關(guān)于x的多項式x2－8x＋m2是完全平方式，則m的值為______．±41.下列四個多項式中，能因式分解的是()2215.把下列多項式因式分解.

（1）x2－12x+36;（2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;(3)y2+2y+1－x2.

(2)原式=[2(2a+b)]2－2·2(2a+b)·1+12=(4a+2b－1)2.解：(1)原式=x2－2·x·6+62=(x－6)2.

(3)原式=(y+1)2－x2=(y+1+x)(y+1－x).5.把下列多項式因式分解.(2)原式=[2(2a+b)]22(2)原式6.計算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92；解：(1)原式＝(38.9－48.9)2＝100.(2)原式6.計算：(1)38.92－2×38.9×48.9237.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；

(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．解：(1)∵a－b＝3，∴a(a－2b)＋b2＝a2－2ab＋b2

＝(a－b)2

＝32＝9.(2)∵ab＝2，a＋b＝5，

∴a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)

＝ab(a＋b)2

＝2×52＝50.7.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；解：(24完全平方公式分解因式公式a2±2ab+b2=(a±b)2特點（1）多項式有三項；（2）其中兩項同號，且都可以寫成某數(shù)或式的平方，另一項則是這兩數(shù)或式的乘積的2倍，符號可正可負(fù)完全平方公式分解因式公式a2±2ab+b2=(a±b)2特點2514.3.2公式法第十四章整式的乘法與因式分解第2課時運用完全平方公式分解因式14.3.2公式法第十四章整式的乘法與第2課時運用26學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重點）2.靈活應(yīng)用各種方法分解因式，并能利用因式分解進(jìn)行計算．（難點）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重點）271.什么是因式分解？把一個多項式轉(zhuǎn)化為幾個整式的積的形式.2.我們已經(jīng)學(xué)過哪些因式分解的方法？（1）提公因式法；（2）平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).1.什么是因式分解？把一個多項式轉(zhuǎn)化為幾個整式的積的形式.228

你能把下面4個圖形拼成一個正方形并求出你拼成的圖形的面積嗎？拼出圖形為：aabbabababa2b2ab用完全平方公式分解因式你能把下面4個圖形拼成一個正方形并求出你拼成的圖形的29這個大正方形的面積可以怎么求？a2+2ab+b2（a+b）2=ababa2ababb2（a+b）2a2+2ab+b2=將上面的等式倒過來看，能得到：這個大正方形的面積可以怎么求？a2+2ab+b2（a+b）230a2+2ab+b2a2－2ab+b2

我們把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式.觀察這兩個式子：（1）每個多項式有幾項？（3）中間項和第一項、第三項有什么關(guān)系？（2）每個多項式的第一項和第三項有什么特征？三項.這兩項都是數(shù)或式的平方，并且符號相同.中間項第一項和第三項底數(shù)的積的±2倍.a2+2ab+b2a2－2ab+b2我們把a2+231完全平方式的特點：

1.必須是三項式（或可以看成三項）；

2.有兩個同號的數(shù)或式的平方；

3.中間有兩底數(shù)之積的±2倍.

完全平方式：完全平方式的特點：完全平方式：32簡記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.

凡具備這些特點的三項式，就是完全平方式.將這樣的三項式寫成完全平方形式，便實現(xiàn)了因式分解.2ab+b2±=(a

±

b)2a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2

兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.簡記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.凡具備這些333.a2+4ab+4b2=()2+2·()·()+()2=()22.m2-6m+9=(

)2-2·()·(

)+()2=()21.x2+4x+4=()2+2·()·()+()2=()2x2x+2aa2ba+2b2b對照a2±2ab+b2=(a±b)2，填空：mm-33x2m33.a2+4ab+4b2=()2+2·(34下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4;（2）1+4a2;

（3）4b2+4b-1;（4）a2+ab+b2;

（5）x2+x+0.25.是（2）只有兩項；不是（3）4b2與-1的符號不統(tǒng)一；不是分析：不是是（4）ab不是a與b的積的2倍.下列各式是不是完全平方式？是（2）只有兩項；不是（3）4b235

如果x2-6x+N是一個完全平方式，那么N是()A.11B.9C.-11D.-9B解析：根據(jù)完全平方式的特征，中間項-6x=2x×(-3)，故N=(-3)2=9.【變式】如果x2-mx+16是一個完全平方式，那么m的值為________.解析：∵16=(±4)2，∴-m=2×(±4)，∴m=±8.±8例1如果x2-6x+N是一個完全平方式，那么N是36解題技巧：解此類題要熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)參數(shù)所在位置，結(jié)合公式，找出參數(shù)與已知項之間的數(shù)量關(guān)系，從而求出參數(shù)的值.計算時，要注意積的2倍的符號，避免漏解．解題技巧：解此類題要熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)參數(shù)37

分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一個完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2.2abb2a2(2)中，首項有負(fù)號，一般先利用添括號法則將其變形為-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.例2分解因式：分析：(1)中，16x2=(4x)238解：

(1)16x2+24x+9=(4x+3)2.=(4x)2+2·4x·3+32(2)-x2+4xy-4y2

=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.

=-[x2-2·x·2y+(2y)2]解：(1)16x2+24x+939

分解因式：

(1)3ax2+6axy+3ay2

；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）

=3a（x+y）2.分析：(1)中有公因式3a，應(yīng)先提出公因式，再進(jìn)一步分解；(2)中，將a+b看成一個整體，設(shè)a+b=m，則原式化為完全平方式m2-12m+36.(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62

=(a+b-6)2.例3分解因式：解：(1)原式=3a（x2+2xy+y240

利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式、完全平方式等）的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式、完全平方式等41【練習(xí)】因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2.(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a＋2)2(a－2)2.有公因式要先提公因式.要檢查每一個多項式的因式，看能否繼續(xù)分解．【練習(xí)】因式分解：＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)解：42

把下列完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+992；(2)342＋34×32＋162.

解：(1)原式=（100－99)2

(2)原式＝(34＋16)2本題利用完全平方公式分解因式，可以簡化計算.=1.＝2500.例4把下列完全平方公式分解因式：解：(1)原式=（43

已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1

的值．＝112＝121.解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個非負(fù)數(shù)都為0.解題技巧：解此類題常通過配方將原式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)的和的形式，再利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)求解．例5已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，44

已知a，b，c分別是△ABC三邊的長，且a22b2＋c2－2b(a＋c)＝0，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．∴△ABC是等邊三角形．解：△ABC是等邊三角形．理由如下：即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得

a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，例6已知a，b，c分別是△ABC三邊的長，且a451.下列四個多項式中，能因式分解的是()A．a(chǎn)2＋1B．a(chǎn)2－6a＋9C．x2＋5yD．x2－5y2.把多項式4x2y－4xy2－x3分解因式的結(jié)果是()A．4xy(x－y)－x3B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2)D．－x(－4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，則m2－4mn＋4n2的值是________．BB14.若關(guān)于x的多項式x2－8x＋