人教版初中數(shù)學(xué)九級上冊《弧長和扇形面積》課件

弧長和扇形面積第一課時弧長和扇形面積

生活里有好多物品或者建筑都呈現(xiàn)出流暢的圓弧形，小學(xué)已經(jīng)學(xué)過了有關(guān)圓的周長和面積公式，你還記得嗎？

弧是圓周的一部分，扇形是圓的一部分，那么弧長與扇形面積應(yīng)怎樣計算？它們與圓的周長、圓的面積之間有怎樣的關(guān)系呢？（R表示圓的半徑，d表示圓的直徑）圓的周長公式：或圓的面積公式：生活里有好多物品或者建筑都呈現(xiàn)出流暢的圓弧形，小學(xué)已經(jīng)學(xué)過如圖所示，在半徑為R的⊙O上，有兩動點A、B，當(dāng)A、B兩點在圓上運動時，想一想弧AB的長度與什么因素有關(guān)？當(dāng)∠AOB＝360°時，弧AB的長表示什么意思？探究一：弧長的計算公式活動1動畫展示，探究新知。重點知識★與∠AOB的大小有關(guān)當(dāng)∠AOB＝1°時呢？弧AB的長與整個圓的周長是什么關(guān)系？⊙O的周長，即l＝2πR此時弧AB的長是整個圓的周長的

，

即l＝

。

如圖所示，在半徑為R的⊙O上，有兩動點A、B，當(dāng)A、B兩點在當(dāng)∠AOB＝2°時，弧AB的長呢？

當(dāng)∠AOB＝n°時，弧AB的長呢？此時弧AB的長是整個圓的周長的

，

即l＝

。

弧AB的長

，這就是弧長的計算公式，其中n表示弧AB所對的圓心角的度數(shù)，R表示弧AB所在圓的半徑。此時弧AB的長是整個圓的周長的

，

即l＝

。

根據(jù)弧長的計算公式，我們可知，只要知道n和R就可以求弧長。探究一：弧長的計算公式重點知識★當(dāng)∠AOB＝2°時，弧AB的長呢？此時弧AB的長是整個圓的特別的，幾個特殊圓心角所對的弧長是我們經(jīng)常用到的，比如：①當(dāng)n＝30°時，弧長l＝③當(dāng)n＝60°時，弧長l＝②當(dāng)n＝45°時，弧長l＝④當(dāng)n＝90°時，弧長l＝⑤當(dāng)n＝120°時，弧長l＝⑥當(dāng)n＝180°時，弧長l＝探究一：弧長的計算公式重點知識★特別的，幾個特殊圓心角所對的弧長是我們經(jīng)常用到的，比如：①當(dāng)運用弧長計算公式解決下列各題：（1）半徑為3cm，圓心角為30°的弧長為__________（2）半徑為6cm，圓心角為120°的弧長為__________（3）半徑為4cm，長度為2π的弧所對的圓心角是________°（4）圓心角為150°，長度為5π的弧所在圓的半徑是________通過上面的4個問題，我們不難發(fā)現(xiàn)弧長、圓心角度數(shù)、半徑三者中可以“知二求一”。探究一：弧長的計算公式活動2例題演練，鞏固新知。重點知識★690cmcm運用弧長計算公式解決下列各題：通過上面的4個問題，我們不難發(fā)觀察下面陰影部分圖形，它像我們生活中的什么圖案呢？像上面陰影這樣由兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形就叫做扇形。探究二：扇形面積的計算公式活動1引入概念重點知識★扇子的形狀觀察下面陰影部分圖形，它像我們生活中的什么圖案呢？像上面陰影

你能類比前面弧長計算公式的推導(dǎo)，得到扇形的面積計算公式嗎？試試看吧！

類似前面弧長的討論，我們可以知道扇形AOB的面積也與圓心角∠AOB的大小有關(guān)：當(dāng)∠AOB＝360°時，扇形AOB的面積就是整個圓的面積，即。探究二：扇形面積的計算公式活動2類比弧長，探究新知。重點知識★即

。

當(dāng)∠AOB＝1°時，扇形AOB的面積就是整個圓面積的

，你能類比前面弧長計算公式的推導(dǎo)，得到扇形的面積計算公式嗎？即

。

當(dāng)∠AOB＝2°時，扇形AOB的面積就是整個圓面積的

，即

。

當(dāng)∠AOB＝n°時，扇形AOB的面積就是整個圓面積的

，

扇形AOB的面積

，這就是扇形面積的計算公式，其中n表示弧AB所對的圓心角的度數(shù)，R表示弧AB所在圓的半徑。

同樣的根據(jù)扇形面積的計算公式，我們可知，只要知道n和R就可以求扇形面積。探究二：扇形面積的計算公式重點知識★即。當(dāng)∠AOB特別的，幾個特殊圓心角所對的扇形面積是我們經(jīng)常用到的，比如：①當(dāng)n＝30°時，扇形面積S＝③當(dāng)n＝60°時，扇形面積S＝②當(dāng)n＝45°時，扇形面積S＝④當(dāng)n＝90°時，扇形面積S＝⑤當(dāng)n＝120°時，扇形面積S＝⑥當(dāng)n＝180°時，扇形面積S＝探究二：扇形面積的計算公式重點知識★特別的，幾個特殊圓心角所對的扇形面積是我們經(jīng)常用到的，比如：運用扇形面積計算公式解決下列各題：（1）半徑為3cm，圓心角為30°的扇形面積為__________（2）半徑為6cm，圓心角為120°的扇形面積為__________（3）半徑為4cm，面積為4π的扇形所對應(yīng)的圓心角是________°（4）圓心角為150°，面積為

的扇形所在圓的半徑是_______

通過上面的4個問題，同樣可以發(fā)現(xiàn)扇形面積、圓心角度數(shù)、半徑三者中可以“知二求一”。探究二：扇形面積的計算公式活動3例題演練，鞏固新知。重點知識★290運用扇形面積計算公式解決下列各題：通過上面的4個問題，同樣

現(xiàn)在我們從特殊到一般的方法推導(dǎo)出弧長的計算公式

和扇形面積的計算公式

，對比這兩個公式，你能找到它們之間的聯(lián)系嗎？探究二：扇形面積的計算公式活動4對比聯(lián)系，拓展新知。重點知識★都含有π；

都與圓心角度數(shù)n有關(guān)；都與圓的半徑R有關(guān)；……

實際上，扇形的面積計算公式里就包含著一個弧長計算公式，聰明的你們發(fā)現(xiàn)了嗎？因為，而l＝

，所以?，F(xiàn)在我們從特殊到一般的方法推導(dǎo)出弧長的計算公式

這樣我們又得到了一個扇形面積的計算公式：

。在這個公式里，圓心角的度數(shù)n不見了，取而代之的是弧長l，只要知道弧長l和半徑R就能求出扇形面積了。

同時

這個公式還比較簡潔，簡單到和我們?nèi)切蔚拿娣e計算公式非常相似。不同的是，三角形的底是一條線段，而扇形的“底”是一條弧線；三角形的高是底上的一條過頂點的垂線段，而扇形的“高”是弧線上任意一條半徑。探究二：扇形面積的計算公式重點知識★這樣我們又得到了一個扇形面積的計算公式：例1.填空（若結(jié)果含圓周率的請保留π）（1）一個扇形的圓心角為120°，半徑為3，則這個扇形的面積為___________（2）圓心角為135°，半徑為4的弧長為___________解：（1）∵圓心角n＝120°，半徑R＝3∴扇形面積（2）∵圓心角n＝135°，半徑R＝4∴弧長活動1基礎(chǔ)性例題探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲例1.填空（若結(jié)果含圓周率的請保留π）解：活動1基礎(chǔ)性例題探練習(xí).填空（若結(jié)果含圓周率的請保留π）（1）一個扇形的圓心角為240°，半徑為6，則這個扇形的面積為______（2）圓心角為45°，半徑為8的弧長為_______解：（1）∵圓心角n＝240°，半徑R＝6∴扇形面積（2）∵圓心角n＝45°，半徑R＝8∴弧長探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲練習(xí).填空（若結(jié)果含圓周率的請保留π）解：探究三：應(yīng)用弧長公例2.填空（若結(jié)果含圓周率的請保留π）（1）75°的圓心角所對的弧長是2.5πcm，則此弧所在圓的半徑是______（2）一個扇形的弧長是20πcm，半徑是6cm，則該扇形的面積是______【思路點撥】第1小問知道的是圓心角和弧長，根據(jù)弧長公式反過來求半徑，只需根據(jù)弧長公式建立關(guān)于半徑的方程即可；第2小問也可以先求出對應(yīng)的圓心角度數(shù)后再求扇形面積，但是比較復(fù)雜。另外兩個題目需注意單位的問題。解：（1）∵圓心角n＝75°，弧長l=2。5πcm∴弧長

，解得R＝6（2）∵弧長l=20πcm，半徑R＝6∴扇形的面積6cm60πcm2探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲例2.填空（若結(jié)果含圓周率的請保留π）【思路點撥】第1小問知練習(xí)：填空（若結(jié)果含圓周率的請保留π）（1）75°的圓心角所扇形的面積是7.5πcm2，則此扇形所在圓的半徑是_____（2）一個扇形的面積是20πcm2，半徑是4cm，則該扇形的周長是________【思路點撥】第1小問知道的是圓心角和扇形面積，根據(jù)扇形面積公式反過來求半徑，只需根據(jù)扇形面積公式建立關(guān)于半徑的方程即可；第2小問也可以先求出對應(yīng)的圓心角度數(shù)后再求弧長，但是比較復(fù)雜。同時第2小問要注意扇形周長包含兩條半徑。解：（1）∵圓心角n＝75°，扇形面積S=

7.5πcm2∴扇形面積，解得R＝6（2）∵扇形面積S=20πcm2，半徑R＝4cm∴扇形的面積

，解得l=10π∴扇形的周長為10π+4+4=（10π+8）cm探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲練習(xí)：填空（若結(jié)果含圓周率的請保留π）【思路點撥】第1小問知例1.制造彎型管道時，經(jīng)常要先按照中心線計算“展直長度”，再下料，試計算下圖所示的管道的展直長度L（結(jié)果保留整數(shù)）。【思路點撥】本題需審清題目中“展直長度”的含義：展直長度包括一段弧長和兩端700mm的線段長。解：由弧長公式得弧AB的長

，所以展直長度

?；顒?提升型例題探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲例1.制造彎型管道時，經(jīng)常要先按照中心線計算“展直長度”，再練習(xí)：如圖是一段彎型管道，其中∠O＝∠O’＝90°，中心線的兩條圓弧半徑都是1000mm，求圖中管道的展直長度（π取3.142）。解：由弧長公式，兩端弧長均為

，所以展直長度L＝

。【思路點撥】本題中展直長度包括兩段弧長和一條長3000mm的線段長。探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲練習(xí)：如圖是一段彎型管道，其中∠O＝∠O’＝90°，中心線的解：連接OA、OB，過點O做OC⊥AB，垂足為D，交弧AB于點C，連接AC。

∵OC＝0.6m，DC＝0.3m∴OD＝OC－DC＝0.3m∴OD＝DC又∵AD⊥DC∴AD是線段OC的垂直平分線∴AC＝AO＝OC∴△AOC是等邊三角形例2.如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）。探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲解：連接OA、OB，過點O做OC⊥AB，垂足為D，交弧AB于例2.如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）。從而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°又∵AO＝0.6m，DO＝0.3m∴AD＝m∴AB＝2AD＝∴有水部分的面積S＝＝≈0.22（m2）＝探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲例2.如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，

練習(xí)：如圖是一個馬戲團帳篷的地面，是一個半徑為20m的圓形，從點A到點B有一段筆直的柵欄，且∠AOB＝90°，觀眾坐在陰影區(qū)域內(nèi)看馬戲，如果每平方米可以坐3名觀眾，估計陰影區(qū)域內(nèi)坐滿觀眾時可以坐多少人？解：∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝20m∴

（平方米）∵每平方米可以坐3名觀眾∴

估計坐滿觀眾時可以坐3×114＝342人【思路點撥】弓形的面積＝扇形面積－三角形面積探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲練習(xí)：如圖是一個馬戲團帳篷的地面，是一個半徑為20m的圓形例1.如圖，Rt△ABC的邊BC位于直線l上，AC=，∠ACB=90o，∠A=30o，若Rt△ABC由現(xiàn)在的位置向右無滑動地翻轉(zhuǎn)，當(dāng)點A第3次落在直線上l時，求點A所經(jīng)過的路線的長。（結(jié)果用含π的式子表示）?；顒?探究型例題解：AC=，∠ACB=90o，∠A=30°，可以由勾股定理計算斜邊長度是2，∴點A第一次落在l上時經(jīng)過的路線長度是

，探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲例1.如圖，Rt△ABC的邊BC位于直線l上，AC=點A第二次落在l上時經(jīng)過的路線長度是

，點A第三次落在l上時經(jīng)過的路線長度與第二次落在l上時經(jīng)過的路線長度相同，也是

，所以當(dāng)點A三次落在直線l上時，經(jīng)過的路線長度是：【思路點撥】解旋轉(zhuǎn)問題，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)半徑以及旋轉(zhuǎn)角度是前提，另外計算連續(xù)的弧長問題，注意旋轉(zhuǎn)規(guī)律，進行多次循環(huán)旋轉(zhuǎn)的有關(guān)弧長之和的計算。探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲點A第二次落在l上時經(jīng)過的路線長度是練習(xí)：如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在格點上，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，求點A所經(jīng)過的路徑長。解：△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，頂點A經(jīng)過的路徑是以C為圓心AC為半徑，圓心角為60°的弧，根據(jù)勾股定理，可以得到AC的長為

，

∴根據(jù)弧長公式

，可求路徑長為

?！舅悸伏c撥】解答旋轉(zhuǎn)問題，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)半徑以及旋轉(zhuǎn)角度是關(guān)鍵。探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲練習(xí)：如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都例2.（1）如圖（1），以△ABC的三個頂點為圓心，1為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是__________（2）如圖（2），若將三角形改為四邊形，半徑不變，則陰影部分的面積是_________（3）若改為n邊形，半徑不變，則陰影部分的面積是________（4）如圖（3），以n邊形各頂點為圓心，1為半徑作圓，則圖中陰影部分面積是_________探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲例2.（1）如圖（1），以△ABC的三個頂點為圓心，1為半徑例2.（1）如圖（1），以△ABC的三個頂點為圓心，1為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是__________解：（1）設(shè)三角形三個內(nèi)角度數(shù)分別為x1，x2，x3

∴x1+x2+x3

=180°又∵半徑為1探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲例2.（1）如圖（1），以△ABC的三個頂點為圓心，1為半徑例2.（2）如圖（2），若將三角形改為四邊形，半徑不變，則陰影部分的面積是_________解：（2）設(shè)四邊形四個內(nèi)角度數(shù)分別為x1，x2，x3，x4

∴x1+x2+x3

+x4

=360°又∵半徑為1探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲例2.（2）如圖（2），若將三角形改為四邊形，半徑不變，則陰例2.（3）若改為n邊形，半徑不變，則陰影部分的面積是________解：（3）設(shè)n邊形n個內(nèi)角度數(shù)分別為x1，x2，x3，…，xn

∴x1+x2+x3

+…+xn

=180°（n-2）又∵半徑為1探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲例2.（3）若改為n邊形，半徑不變，則陰影部分的面積是___例2.（4）如圖（3），以n邊形各頂點為圓心，1為半徑作圓，則圖中陰影部分面積是_________解：（4）設(shè)n邊形n個外角度數(shù)分別為x1，x2，x3，…，xn

∴x1+x2+x3

+…+xn

=360°又∵半徑為1探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲例2.（4）如圖（3），以n邊形各頂點為圓心，1為半徑作圓，【思路點撥】陰影部分的面積是由多個扇形組成的，而這些扇形的圓心角之和恰好是多邊形的內(nèi)角和或外角和。探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲【思路點撥】陰影部分的面積是由多個扇形組成的，而這些扇形的圓練習(xí)：

等邊△ABC的邊長為a，分別以A、B、C為圓心，

為半徑的圓兩兩相切于點O1、O2、O3。求弧O1O2、弧O2O3、弧O3O1圍成的圖形面積S（圖中陰影部分）。解：連接AO2，∵BO2＝CO2，△ABC是等邊三角形∴AO2⊥BC∵AB＝a，BO2＝∴在Rt△ABO2中，由勾股定理：AO2＝探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲練習(xí)：等邊△ABC的邊長為a，分別以A、B、C為圓心，（1）弧長是圓周的一部分，它的大小取決于圓心角占360°的比例，因此弧長的計算公式是：

（n表示圓心角度數(shù)，R表示圓的半徑）；（2）扇形面積是圓的面積的一部分，它的大小取決于圓心角占360°的比例，因此扇形面積的計算公式是：

（n表示圓心角度數(shù)，R表示圓的半徑）；（3）扇形面積第二種求法：

（其中，l表示弧長，R表示圓的半徑）。（1）弧長是圓周的一部分，它的大小取決于圓心角占360°的比（1）靈活應(yīng)用弧長計算公式

，一般半徑、圓心角、弧長三者之間可以“知二求一”；（2）靈活應(yīng)用扇形面積計算公式

，一般半徑、圓心角、扇形面積三者之間可以“知二求一”；（3）注意扇形面積還可能直接用

來求；（4）弓形的面積可以轉(zhuǎn)化為求扇形面積與三角形面積之差。（1）靈活應(yīng)用弧長計算公式，一謝謝謝謝弧長和扇形面積第一課時弧長和扇形面積

生活里有好多物品或者建筑都呈現(xiàn)出流暢的圓弧形，小學(xué)已經(jīng)學(xué)過了有關(guān)圓的周長和面積公式，你還記得嗎？

弧是圓周的一部分，扇形是圓的一部分，那么弧長與扇形面積應(yīng)怎樣計算？它們與圓的周長、圓的面積之間有怎樣的關(guān)系呢？（R表示圓的半徑，d表示圓的直徑）圓的周長公式：或圓的面積公式：生活里有好多物品或者建筑都呈現(xiàn)出流暢的圓弧形，小學(xué)已經(jīng)學(xué)過如圖所示，在半徑為R的⊙O上，有兩動點A、B，當(dāng)A、B兩點在圓上運動時，想一想弧AB的長度與什么因素有關(guān)？當(dāng)∠AOB＝360°時，弧AB的長表示什么意思？探究一：弧長的計算公式活動1動畫展示，探究新知。重點知識★與∠AOB的大小有關(guān)當(dāng)∠AOB＝1°時呢？弧AB的長與整個圓的周長是什么關(guān)系？⊙O的周長，即l＝2πR此時弧AB的長是整個圓的周長的

，

即l＝

。

如圖所示，在半徑為R的⊙O上，有兩動點A、B，當(dāng)A、B兩點在當(dāng)∠AOB＝2°時，弧AB的長呢？

當(dāng)∠AOB＝n°時，弧AB的長呢？此時弧AB的長是整個圓的周長的

，

即l＝

。

弧AB的長

，這就是弧長的計算公式，其中n表示弧AB所對的圓心角的度數(shù)，R表示弧AB所在圓的半徑。此時弧AB的長是整個圓的周長的

，

即l＝

。

根據(jù)弧長的計算公式，我們可知，只要知道n和R就可以求弧長。探究一：弧長的計算公式重點知識★當(dāng)∠AOB＝2°時，弧AB的長呢？此時弧AB的長是整個圓的特別的，幾個特殊圓心角所對的弧長是我們經(jīng)常用到的，比如：①當(dāng)n＝30°時，弧長l＝③當(dāng)n＝60°時，弧長l＝②當(dāng)n＝45°時，弧長l＝④當(dāng)n＝90°時，弧長l＝⑤當(dāng)n＝120°時，弧長l＝⑥當(dāng)n＝180°時，弧長l＝探究一：弧長的計算公式重點知識★特別的，幾個特殊圓心角所對的弧長是我們經(jīng)常用到的，比如：①當(dāng)運用弧長計算公式解決下列各題：（1）半徑為3cm，圓心角為30°的弧長為__________（2）半徑為6cm，圓心角為120°的弧長為__________（3）半徑為4cm，長度為2π的弧所對的圓心角是________°（4）圓心角為150°，長度為5π的弧所在圓的半徑是________通過上面的4個問題，我們不難發(fā)現(xiàn)弧長、圓心角度數(shù)、半徑三者中可以“知二求一”。探究一：弧長的計算公式活動2例題演練，鞏固新知。重點知識★690cmcm運用弧長計算公式解決下列各題：通過上面的4個問題，我們不難發(fā)觀察下面陰影部分圖形，它像我們生活中的什么圖案呢？像上面陰影這樣由兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形就叫做扇形。探究二：扇形面積的計算公式活動1引入概念重點知識★扇子的形狀觀察下面陰影部分圖形，它像我們生活中的什么圖案呢？像上面陰影

你能類比前面弧長計算公式的推導(dǎo)，得到扇形的面積計算公式嗎？試試看吧！

類似前面弧長的討論，我們可以知道扇形AOB的面積也與圓心角∠AOB的大小有關(guān)：當(dāng)∠AOB＝360°時，扇形AOB的面積就是整個圓的面積，即。探究二：扇形面積的計算公式活動2類比弧長，探究新知。重點知識★即

。

當(dāng)∠AOB＝1°時，扇形AOB的面積就是整個圓面積的

，你能類比前面弧長計算公式的推導(dǎo)，得到扇形的面積計算公式嗎？即

。

當(dāng)∠AOB＝2°時，扇形AOB的面積就是整個圓面積的

，即

。

當(dāng)∠AOB＝n°時，扇形AOB的面積就是整個圓面積的

，

扇形AOB的面積

，這就是扇形面積的計算公式，其中n表示弧AB所對的圓心角的度數(shù)，R表示弧AB所在圓的半徑。

同樣的根據(jù)扇形面積的計算公式，我們可知，只要知道n和R就可以求扇形面積。探究二：扇形面積的計算公式重點知識★即。當(dāng)∠AOB特別的，幾個特殊圓心角所對的扇形面積是我們經(jīng)常用到的，比如：①當(dāng)n＝30°時，扇形面積S＝③當(dāng)n＝60°時，扇形面積S＝②當(dāng)n＝45°時，扇形面積S＝④當(dāng)n＝90°時，扇形面積S＝⑤當(dāng)n＝120°時，扇形面積S＝⑥當(dāng)n＝180°時，扇形面積S＝探究二：扇形面積的計算公式重點知識★特別的，幾個特殊圓心角所對的扇形面積是我們經(jīng)常用到的，比如：運用扇形面積計算公式解決下列各題：（1）半徑為3cm，圓心角為30°的扇形面積為__________（2）半徑為6cm，圓心角為120°的扇形面積為__________（3）半徑為4cm，面積為4π的扇形所對應(yīng)的圓心角是________°（4）圓心角為150°，面積為

的扇形所在圓的半徑是_______

通過上面的4個問題，同樣可以發(fā)現(xiàn)扇形面積、圓心角度數(shù)、半徑三者中可以“知二求一”。探究二：扇形面積的計算公式活動3例題演練，鞏固新知。重點知識★290運用扇形面積計算公式解決下列各題：通過上面的4個問題，同樣

現(xiàn)在我們從特殊到一般的方法推導(dǎo)出弧長的計算公式

和扇形面積的計算公式

，對比這兩個公式，你能找到它們之間的聯(lián)系嗎？探究二：扇形面積的計算公式活動4對比聯(lián)系，拓展新知。重點知識★都含有π；

都與圓心角度數(shù)n有關(guān)；都與圓的半徑R有關(guān)；……

實際上，扇形的面積計算公式里就包含著一個弧長計算公式，聰明的你們發(fā)現(xiàn)了嗎？因為，而l＝

，所以?，F(xiàn)在我們從特殊到一般的方法推導(dǎo)出弧長的計算公式

這樣我們又得到了一個扇形面積的計算公式：

。在這個公式里，圓心角的度數(shù)n不見了，取而代之的是弧長l，只要知道弧長l和半徑R就能求出扇形面積了。

同時

這個公式還比較簡潔，簡單到和我們?nèi)切蔚拿娣e計算公式非常相似。不同的是，三角形的底是一條線段，而扇形的“底”是一條弧線；三角形的高是底上的一條過頂點的垂線段，而扇形的“高”是弧線上任意一條半徑。探究二：扇形面積的計算公式重點知識★這樣我們又得到了一個扇形面積的計算公式：例1.填空（若結(jié)果含圓周率的請保留π）（1）一個扇形的圓心角為120°，半徑為3，則這個扇形的面積為___________（2）圓心角為135°，半徑為4的弧長為___________解：（1）∵圓心角n＝120°，半徑R＝3∴扇形面積（2）∵圓心角n＝135°，半徑R＝4∴弧長活動1基礎(chǔ)性例題探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲例1.填空（若結(jié)果含圓周率的請保留π）解：活動1基礎(chǔ)性例題探練習(xí).填空（若結(jié)果含圓周率的請保留π）（1）一個扇形的圓心角為240°，半徑為6，則這個扇形的面積為______（2）圓心角為45°，半徑為8的弧長為_______解：（1）∵圓心角n＝240°，半徑R＝6∴扇形面積（2）∵圓心角n＝45°，半徑R＝8∴弧長探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲練習(xí).填空（若結(jié)果含圓周率的請保留π）解：探究三：應(yīng)用弧長公例2.填空（若結(jié)果含圓周率的請保留π）（1）75°的圓心角所對的弧長是2.5πcm，則此弧所在圓的半徑是______（2）一個扇形的弧長是20πcm，半徑是6cm，則該扇形的面積是______【思路點撥】第1小問知道的是圓心角和弧長，根據(jù)弧長公式反過來求半徑，只需根據(jù)弧長公式建立關(guān)于半徑的方程即可；第2小問也可以先求出對應(yīng)的圓心角度數(shù)后再求扇形面積，但是比較復(fù)雜。另外兩個題目需注意單位的問題。解：（1）∵圓心角n＝75°，弧長l=2。5πcm∴弧長

，解得R＝6（2）∵弧長l=20πcm，半徑R＝6∴扇形的面積6cm60πcm2探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲例2.填空（若結(jié)果含圓周率的請保留π）【思路點撥】第1小問知練習(xí)：填空（若結(jié)果含圓周率的請保留π）（1）75°的圓心角所扇形的面積是7.5πcm2，則此扇形所在圓的半徑是_____（2）一個扇形的面積是20πcm2，半徑是4cm，則該扇形的周長是________【思路點撥】第1小問知道的是圓心角和扇形面積，根據(jù)扇形面積公式反過來求半徑，只需根據(jù)扇形面積公式建立關(guān)于半徑的方程即可；第2小問也可以先求出對應(yīng)的圓心角度數(shù)后再求弧長，但是比較復(fù)雜。同時第2小問要注意扇形周長包含兩條半徑。解：（1）∵圓心角n＝75°，扇形面積S=

7.5πcm2∴扇形面積，解得R＝6（2）∵扇形面積S=20πcm2，半徑R＝4cm∴扇形的面積

，解得l=10π∴扇形的周長為10π+4+4=（10π+8）cm探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲練習(xí)：填空（若結(jié)果含圓周率的請保留π）【思路點撥】第1小問知例1.制造彎型管道時，經(jīng)常要先按照中心線計算“展直長度”，再下料，試計算下圖所示的管道的展直長度L（結(jié)果保留整數(shù)）?！舅悸伏c撥】本題需審清題目中“展直長度”的含義：展直長度包括一段弧長和兩端700mm的線段長。解：由弧長公式得弧AB的長

，所以展直長度

。活動2提升型例題探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲例1.制造彎型管道時，經(jīng)常要先按照中心線計算“展直長度”，再練習(xí)：如圖是一段彎型管道，其中∠O＝∠O’＝90°，中心線的兩條圓弧半徑都是1000mm，求圖中管道的展直長度（π取3.142）。解：由弧長公式，兩端弧長均為

，所以展直長度L＝

。【思路點撥】本題中展直長度包括兩段弧長和一條長3000mm的線段長。探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲練習(xí)：如圖是一段彎型管道，其中∠O＝∠O’＝90°，中心線的解：連接OA、OB，過點O做OC⊥AB，垂足為D，交弧AB于點C，連接AC。

∵OC＝0.6m，DC＝0.3m∴OD＝OC－DC＝0.3m∴OD＝DC又∵AD⊥DC∴AD是線段OC的垂直平分線∴AC＝AO＝OC∴△AOC是等邊三角形例2.如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）。探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲解：連接OA、OB，過點O做OC⊥AB，垂足為D，交弧AB于例2.如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）。從而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°又∵AO＝0.6m，DO＝0.3m∴AD＝m∴AB＝2AD＝∴有水部分的面積S＝＝≈0.22（m2）＝探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲例2.如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，

練習(xí)：如圖是一個馬戲團帳篷的地面，是一個半徑為20m的圓形，從點A到點B有一段筆直的柵欄，且∠AOB＝90°，觀眾坐在陰影區(qū)域內(nèi)看馬戲，如果每平方米可以坐3名觀眾，估計陰影區(qū)域內(nèi)坐滿觀眾時可以坐多少人？解：∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝20m∴

（平方米）∵每平方米可以坐3名觀眾∴

估計坐滿觀眾時可以坐3×114＝342人【思路點撥】弓形的面積＝扇形面積－三角形面積探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲練習(xí)：如圖是一個馬戲團帳篷的地面，是一個半徑為20m的圓形例1.如圖，Rt△ABC的邊BC位于直線l上，AC=，∠ACB=90o，∠A=30o，若Rt△ABC由現(xiàn)在的位置向右無滑動地翻轉(zhuǎn)，當(dāng)點A第3次落在直線上l時，求點A所經(jīng)過的路線的長。（結(jié)果用含π的式子表示）。活動3探究型例題解：AC=，∠ACB=90o，∠A=30°，可以由勾股定理計算斜邊長度是2，∴點A第一次落在l上時經(jīng)過的路線長度是

，探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲例1.如圖，Rt△ABC的邊BC位于直線l上，AC=點A第二次落在l上時經(jīng)過的路線長度是

，點A第三次落在l上時經(jīng)過的路線長度與第二次落在l上時經(jīng)過的路線長度相同，也是

，所以當(dāng)點A三次落在直線l上時，經(jīng)過的路線長度是：【思路點撥】解旋轉(zhuǎn)問題，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)半徑以及旋轉(zhuǎn)角度是前提，另外計算連續(xù)的弧長問題，注意旋轉(zhuǎn)規(guī)律，進行多次循環(huán)旋轉(zhuǎn)的有關(guān)弧長之和的計算。探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲點A第二次落在l上時經(jīng)過的路線長度是練習(xí)：如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在格點上，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，求點A所經(jīng)過的路徑長。解：△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，頂點A經(jīng)過的路徑是以C為圓心AC為半徑，圓心角為60°的弧，根據(jù)勾股定理，可以得到AC的長為

，

∴根據(jù)弧長公式

，可求路徑長為

?！舅悸伏c撥】解答旋轉(zhuǎn)問題，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)半徑以及旋轉(zhuǎn)角度是關(guān)鍵。探究三：應(yīng)用弧長公式和扇形面積公式解決問題重點、難點知識★▲練習(xí)：如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都例2.（1）如圖（1），以△ABC的三個頂點為圓心，1為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是__________（2）如圖（2），若將三角形改為四邊形，半徑不變，則陰影部分的面積是_________（3）若改為n邊形，半徑不變，則陰影部分的面積是________（4）如圖（3），以n邊形各頂點為圓心，1為半徑作圓，則圖中陰影部分面積是_______