微分方程若干題目的提示(二)

《微分方程》若干習(xí)題的提示（二）各位同學(xué)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須要通過(guò)自己的思考和探索，積累和領(lǐng)悟，在不斷地犯錯(cuò)誤和糾正錯(cuò)誤的過(guò)程中，加深對(duì)基本概念和結(jié)論的理解，反過(guò)來(lái)，又進(jìn)一步增加積累和領(lǐng)悟，使自己螺旋式上升，數(shù)學(xué)和科學(xué)能力不斷提高。任何人都必須經(jīng)歷這樣過(guò)程，就是天才也要經(jīng)過(guò)這個(gè)過(guò)程，只是時(shí)間短一點(diǎn)罷了。指望聽(tīng)一、兩次課，可以解決問(wèn)題，那是假的。即使去聽(tīng)了偉大的數(shù)學(xué)家的課，自己在課后不動(dòng)，還是什么也不可能學(xué)到手，那怕是最基本的東西。事實(shí)求是地講，如果只是為了“會(huì)”做些簡(jiǎn)單的題目，以期望通過(guò)學(xué)校的考試，拿到學(xué)分，那么，我覺(jué)得你去選誰(shuí)的課（指主講老師），基本是差不多的，因?yàn)閷W(xué)校派來(lái)上課的老師，都會(huì)把大綱規(guī)定的內(nèi)容，正確地講解，否則學(xué)校不會(huì)派他來(lái)上課。目前學(xué)校搞了選課制，不少同學(xué)弄的很糾結(jié)：到底選誰(shuí)呢？似乎選了張三，又覺(jué)得李四更好，結(jié)果總是不使你滿意。所以我看到有不少同學(xué)開(kāi)學(xué)了還在轉(zhuǎn)班級(jí)。這種盲目性，使不少人朝三暮四，心神不定。為什么靜下心來(lái)，踏實(shí)地化功夫呢？問(wèn)題在哪里？可能在這些同學(xué)的心目中，自己能否學(xué)好數(shù)學(xué)，或能否通過(guò)這門(mén)功課，很關(guān)鍵的是老師，似乎聽(tīng)了某某的課，就可以萬(wàn)事大吉，可以“過(guò)”了。你的人生目標(biāo)就是“過(guò)”嗎？在大學(xué)里，最好的老師不是別人，而是你自己，誰(shuí)也救不了，只能靠自己。不要把課堂聽(tīng)課看得太重要，實(shí)際上自己在課后課前的鉆研探索更加重要。只有自己理解了的東西，才能不忘，才能去靈活應(yīng)用。我覺(jué)得很多同學(xué)沒(méi)有把自己放在合適的位置。至于正確的學(xué)習(xí)方法，很多人到了大學(xué)，還沒(méi)有領(lǐng)悟出來(lái)，許多學(xué)校技能，也沒(méi)有很好地掌握，比如，記筆記，對(duì)很多人來(lái)說(shuō)，還沒(méi)有過(guò)關(guān)。你看，有人不知道怎么記，有人干脆臨時(shí)找張紙，寫(xiě)得像草稿紙那樣，我的天，你課后怎么看得清楚？怪不得我課上布置的內(nèi)容，很少有人去復(fù)做或練習(xí)。這種學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)方法，有這么能保證你的聽(tīng)課質(zhì)量，怎么能保證在做練習(xí)時(shí)有必要的知識(shí)支撐？一天復(fù)一天，每次可都欠債，一個(gè)學(xué)期又一年，你怎么能不被拉下？我?guī)筒涣四?，任何人救不了你。講到做題目，對(duì)學(xué)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)非常重要，可以說(shuō)，不做數(shù)學(xué)題，要學(xué)好數(shù)學(xué)是天方夜譚。我想大家都明白這個(gè)道理。那么誰(shuí)來(lái)做數(shù)學(xué)題？是學(xué)生，不是老師！靠別人的提示或講解，只能啟發(fā)一時(shí)或一題，不可能解決全部。我自己在年輕時(shí)（文化大革命期間）主要靠自學(xué)，許多難題不會(huì)解，又找不到老師（那時(shí)，老師們也去搞文革了，或不敢對(duì)學(xué)生講數(shù)理化），怎么辦?那時(shí)還沒(méi)有什么同學(xué)可討論，他們有的搞文革，多數(shù)人不學(xué)習(xí)，只能逼著自己動(dòng)腦筋。但是，這種逼出來(lái)的路，一旦走通，我就再也不想靠別人了。做出一個(gè)難題帶來(lái)的樂(lè)趣和成就感，遠(yuǎn)比當(dāng)時(shí)能吃到紅燒肉更無(wú)價(jià)！在我現(xiàn)在教的兩個(gè)班上，我相信也有這樣的同學(xué)。除了我多次提到的邱兆祥，蔣文都，程鵬等同學(xué)外，有個(gè)同學(xué)（本學(xué)期新選我的課的，所以我還叫不上他的大名），2個(gè)星期前問(wèn)我一個(gè)題（是那個(gè)的題，見(jiàn)《微分方程若干習(xí)題的提示（一）》），我沒(méi)有回答，請(qǐng)他自己考慮。當(dāng)時(shí)他可能很委屈，覺(jué)得老師怎么可以不為學(xué)生解答呢？第二次，我提示他考慮轉(zhuǎn)化為微分方程。過(guò)了幾天，他獨(dú)立解出了，而且書(shū)寫(xiě)在自己的習(xí)題本上。我拜讀了他的全過(guò)程，點(diǎn)水不漏，非常漂亮。我相信他現(xiàn)在的成就感一定不小，更重要的是，以后他遇到難題時(shí)的信心一定大增，這樣一路走下去，希望他走得更遠(yuǎn)。還有不少同學(xué)的學(xué)習(xí)也很扎實(shí)。比如，女同學(xué)肖婷，大家可取看她的筆記和練習(xí)題，就看她記的條理性和清晰程度，你就不得不服。我們那些糊里糊涂的同學(xué)，為什么不能去取經(jīng)？大學(xué)老師的作用就是這樣：以引導(dǎo)啟發(fā)為主，培養(yǎng)學(xué)生走上獨(dú)立學(xué)習(xí)之路，而不能像中學(xué)老師什么都告訴你。以后你們會(huì)知道，什么都告訴你的老師其實(shí)在“害”你，不知不覺(jué)地拔去了你的翅膀上的羽毛。如果你學(xué)會(huì)了獨(dú)立（有時(shí)需要寫(xiě)引導(dǎo)或提示），那么，你走上了正真的大學(xué)學(xué)習(xí)之路。否則，你的大學(xué)生涯恐怕是假的。其實(shí)，“獨(dú)立”這個(gè)詞，應(yīng)該寫(xiě)在每一位大學(xué)生的每一件事上。你要經(jīng)常問(wèn)自己：我獨(dú)立了嗎？我是一個(gè)什么樣的老師，這恐怕要在十年或更長(zhǎng)的時(shí)間后，你心里才會(huì)有正確的結(jié)論。好了，下面再對(duì)我們課上布置的若干習(xí)題，做些提示。提醒一下，如果你事先還沒(méi)有想過(guò)，探索過(guò)，那么，請(qǐng)你暫不看，有了些想法后再干。下面一題是我在課堂上布置的。題1（考研題）已知函數(shù)，，是某個(gè)二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的三個(gè)解。求此方程。分析：這個(gè)題考核的是微分方程的解的結(jié)構(gòu)。注意到這3個(gè)函數(shù)有重復(fù)的部分，而且更重要的是，二階常系數(shù)齊次方程的特解形式只包括：指數(shù)，沒(méi)有其他形式的函數(shù)！而現(xiàn)在，此3個(gè)函數(shù)包含了，所以特征根中沒(méi)有共軛復(fù)根。第二，給出的這3個(gè)根是對(duì)應(yīng)的特征根產(chǎn)生的特解的和或差，所以我們需要把這些特解“解脫”出來(lái)，使之露出“真面貌”。我想，本題其實(shí)是考核我們這種“解脫”的能力。解1：首先，我們知道非齊次方程的任2個(gè)解的差，是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解（性質(zhì)2），所以是對(duì)應(yīng)齊次方程的一個(gè)解（特解）；第二，因?yàn)榉驱R次方程的解齊次方程的解==非齊次方程的解，（這是由性質(zhì)2直接推出），故是非齊次方程的一個(gè)解（特解）因此推出第三點(diǎn)是齊次方程的一個(gè)解（特解）。所以，非齊次方程的一個(gè)特解是，而對(duì)應(yīng)的齊次方程的2個(gè)特解為和。于是齊次方程的特征根為，特征方程為，所求方程對(duì)應(yīng)的齊次方程則為。將非齊次方程的特解代入，不難求出，所以所求方程為。注：理論上都是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，但是以最簡(jiǎn)單，故考慮選它作為求解的基礎(chǔ)。解2：因?yàn)榉驱R次方程的任意2個(gè)解之差都是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，故是對(duì)應(yīng)齊次方程的一個(gè)解（特解）；也是對(duì)應(yīng)齊次方程的一個(gè)解（特解）。另一方面，齊次方程的2個(gè)特解的線性組合，特別是這2個(gè)特解之和仍然是對(duì)應(yīng)齊次方程的解，故是對(duì)應(yīng)齊次方程的解，即是對(duì)應(yīng)齊次方程的解。這就是說(shuō)，和是對(duì)應(yīng)的齊次方程的2個(gè)特解，這樣不難知，對(duì)應(yīng)的齊次方程為，將，，中的任一個(gè)，代入待求非齊次方程，則得，所以所求方程為如果你想不到上面需要較強(qiáng)觀察能力的方法，可以用下列比較“死板”的方法。解3：設(shè)所求的微分方程為，（+）將題給的3個(gè)解，，分別代入（+），得，，。所以，不難得出，比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)，有，解出。故。這樣，所求的方程為。上面3個(gè)解法中，解3最容易被同學(xué)們接受，因?yàn)榭梢杂小疤茁贰?，但是，我覺(jué)得前面2個(gè)解法對(duì)于深入了解齊次和非齊次方程的解的結(jié)構(gòu)，非常有幫助。解3就沒(méi)有這個(gè)訓(xùn)練的功能，你說(shuō)呢？如果你做，會(huì)怎么解？比較一下看。題2設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程的一個(gè)特解為。試確定常數(shù)，并求該方程的通解。分析：本題只給出二階非齊次方程的一個(gè)特解，這點(diǎn)信息夠嗎？現(xiàn)在能做的是將特解代入方程，比較系數(shù)。此路通嗎？探索一下！解：將代入方程。，所以比較同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)：，解出。故原方程為對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為，故特征根為，齊次通解為，這樣原非齊次方程的通解為。題3設(shè)是微分方程的兩個(gè)解。求未知函數(shù)和，并求方程的通解。分析：本題也是給出解，反求方程本身的問(wèn)題。注意本題的方程是變系數(shù)方程，二非常系數(shù)方程，所以不存在特征方程和特征值的便利。求解思路：既然與是方程的解，那么它們必定滿足方程。所以可將它們代入方程，建立關(guān)于和的代數(shù)方程組，求解這個(gè)方程組，就可解出和。OK!此路可走通。解：因，故，將這些代入方程得，（1）由，得，將這些代入方程，得，（2）（1）（2）：，故。把代入（1），得。這樣，原方程為，其通解為。練習(xí)題1已知是二階常系數(shù)非齊次線性方程的解，求該方程。練習(xí)題2（2009年考研題）設(shè)二階常系數(shù)線性齊次方程的通解為，則非齊次方程滿足條件的解為（）。練習(xí)題3（考研題）設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)都是二階線性方程的解，為任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是（）A．；B.;C.;D..我們知道，變換（或稱(chēng)變量代換，或變量置換等）在數(shù)學(xué)中占有很重要作用，它能將困難的問(wèn)題變成能解的問(wèn)題，將麻煩的問(wèn)題變?yōu)槿菀椎膯?wèn)題。請(qǐng)看下題。題4（1）證明常系數(shù)二階微分方程的一個(gè)特解可以表示為，其中是相應(yīng)的齊次微分方程，且滿足條件的特解。（2）利用（1）小題的結(jié)果，求微分方程的一個(gè)特解。分析：本題要用到對(duì)含參變量積分的求導(dǎo)公式。設(shè)含參變量的積分為，則。解（1）：對(duì)關(guān)于變量求導(dǎo)：（為什么導(dǎo)數(shù)是這樣，請(qǐng)你體會(huì)），注意代入初始條件。將這些導(dǎo)數(shù)代入方程，得，所以，是所求方程的一個(gè)特解。（2）不難知，對(duì)應(yīng)的齊次方程的一個(gè)特解是，且它的初始條件。故由第（1）小題的結(jié)論，可得非齊次方程的一個(gè)特解為。注：本題實(shí)際上給出了計(jì)算非齊次方程的一個(gè)特解的另一種思路。此法稱(chēng)為卷積方法。大家都知道，對(duì)非齊次變系數(shù)方程，求特解的方法是常數(shù)變易法；對(duì)非齊次常系數(shù)方程，對(duì)一般函數(shù)也要用常數(shù)變易法，但當(dāng)右端項(xiàng)是特殊函數(shù)（多項(xiàng)式，指數(shù)函數(shù)，正弦余弦函數(shù)）時(shí)，可用較簡(jiǎn)便的待定系數(shù)法。常數(shù)變易法需要知道對(duì)應(yīng)的齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，不過(guò)找到第一個(gè)特解頗費(fèi)周章，雖然理論上可用劉維爾公式解決第2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，但計(jì)算還是挺麻煩的。所以，常數(shù)變易法的缺點(diǎn)不少?，F(xiàn)在，我們有了一個(gè)新方法，只要知道一個(gè)齊次特解（但要知道齊次初始條件），就可以計(jì)算非齊次方程的一個(gè)特解！請(qǐng)大家仔細(xì)體會(huì)，把以前做過(guò)的有關(guān)習(xí)題，拿出了用新方法計(jì)算一遍。行嗎？我要檢查，看有多少同學(xué)去認(rèn)真實(shí)踐了！題5證明：用常數(shù)變易法計(jì)算非齊次微分方程的一個(gè)特解的兩個(gè)待定函數(shù)的計(jì)算式為，其中是對(duì)應(yīng)的齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解。證明留給大家。注：本題告訴我們計(jì)算的另一條道路，不要去解一個(gè)代數(shù)方程組（這對(duì)有些同學(xué)來(lái)說(shuō)，也許會(huì)有困難）。請(qǐng)大家把老題目拿出來(lái)按新方法重算一次。行嗎？那一種方法對(duì)你更合適？上面的兩題，屬于打開(kāi)“眼界”，擴(kuò)展視野的習(xí)題，希望大家不要小看。每個(gè)人的思想，只有在眼界開(kāi)闊后，才可能活躍起來(lái)。題6設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且。又是的反函數(shù)。（1）將所滿足的微分方程，變換為滿足的微分方程；（2）求變換后的微分方程滿足初始條件的解。解：（1）根據(jù)函數(shù)及其反函數(shù)的關(guān)系，有，所以。對(duì)此關(guān)系式兩邊對(duì)變量求導(dǎo)，得所以，加上，把這2個(gè)導(dǎo)數(shù)代入方程，得。這就是說(shuō)，經(jīng)過(guò)變換，一個(gè)原非線性變系數(shù)齊次方程，變成了一個(gè)線性常系數(shù)非齊次方程。顯然，原方程是很難求解，但變換后的方程很容易求解（盡管是非齊次方程）。（2）對(duì)應(yīng)的齊次方程為，很容易知其齊次通解為。用待定系數(shù)法求特解。設(shè)其非齊次特解為，代入方程，得。則所求的通解為注：本方程的特解也可通過(guò)觀察法“看”出來(lái)。題7求一個(gè)以為其兩個(gè)特解的四階常系數(shù)齊次線性微分方程，并求該方程的通解。解：由于是所求方程的一個(gè)特解，故知是微分方程的特征方程的特征根，而且是二重特征根，從而也是方程的一個(gè)特解；又是所求方程的一個(gè)特解，故知是微分方程的特征方程的特征根，從而也是方程的一個(gè)特解。這樣，特征方程為，即為，故對(duì)應(yīng)的齊次方程為，其通解為為任意常數(shù)。下面我們來(lái)做常系數(shù)方程的特解的待定系數(shù)法的題目，在課堂上講了理論，但沒(méi)有時(shí)間舉更多的例子。希望大家仔細(xì)研讀，這是大綱規(guī)定的內(nèi)容。在看解答之前，希望大家先把教材和我的輔助材料上的內(nèi)容消化了。特別要弄清非齊次方程的特解形式為什么會(huì)與齊次方程的特征方程有密切聯(lián)系。題8求的一個(gè)特解。解：本題的屬于型，其中，，故。方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程是，故特征根。所以不是特征方程的根。所以應(yīng)設(shè)原方程的特解為，（）則，，代入原方程，有：，比較同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)：，解得于是，所求特解為。題9求的一個(gè)特解。解：本題的屬于型，其中，，故。對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程是，特征根為。故不是特征方程的根，故應(yīng)設(shè)特解為，又，。代入方程，得，比較同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)：，解得，所求的特解為。例10求的一個(gè)特解。解：本題的屬于型，其中，。方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為，故。所以，是齊次方程的單特征根，故設(shè)原方程的特解為，代入方程，比較系數(shù)，解得（具體計(jì)算請(qǐng)大家自己完整做一次），則所求特解為。例11（考研題）求微分方程的通解。解1：齊次方程的特征方程為，特征根為。故齊次通解為?，F(xiàn)在本題的右端項(xiàng)，顯然。由于是個(gè)參數(shù)，故需要對(duì)在去本題的值時(shí)，特解也不同，需要進(jìn)行討論。當(dāng)時(shí)，則，也即不是特征根，故特解可設(shè)為，我們有，代入方程：，比較系數(shù)：，則所求特解為。這樣，原方程的通解為。當(dāng)時(shí)，，即是單特征根，故設(shè)特解為，我們把求出后，代入方程，比較兩邊系數(shù)，可得特解為。這樣原方程的通解為。解2：（復(fù)數(shù)方法）注意到右端項(xiàng)為，可先求解。（+）求出復(fù)函數(shù)后，只需取其虛部，就是所求的特解。當(dāng)時(shí)，，特征根，故設(shè)特解為，那么，代入方程（+）：，比較系數(shù)得：，故得特解為。取其虛部，得。當(dāng)時(shí)，特征根為，故右端項(xiàng)中的，即。故是單特征根。于是設(shè)特解為，，代入方程有，即比較系數(shù)，，則所求特解為，取其虛部，就得到了所求的特解為。你有沒(méi)有感到“驚訝”？當(dāng)?shù)娜≈蹈淖儠r(shí)，特解居然面目全非！你理解其中的道理嗎？我們?cè)僮鲆粋€(gè)應(yīng)用題：關(guān)于共振。共振是我們?cè)谥袑W(xué)物理課上學(xué)習(xí)過(guò)的，它指當(dāng)外界強(qiáng)加的外力的圓頻率與系統(tǒng)之間的固有原頻率接近時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)幅度將越來(lái)越大，甚至?xí)沟孟到y(tǒng)破壞。工程上當(dāng)然要避免這種可怕現(xiàn)象的發(fā)生。那么，為什么會(huì)發(fā)生如此后果？我們用微分方程的方法來(lái)剖析其中的本質(zhì)原因。題12（無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題）（見(jiàn)教科書(shū)p50,例10及其圖9-12）有一臺(tái)電機(jī)安裝在梁上A點(diǎn)，電機(jī)開(kāi)動(dòng)時(shí)由于機(jī)械結(jié)構(gòu)的偏心（重心不在電機(jī)的轉(zhuǎn)軸線上）產(chǎn)生一個(gè)垂直于梁的干擾力。梁上點(diǎn)A出垂直方向的位移用坐標(biāo)表示，梁的彈性恢復(fù)力與位移稱(chēng)正比（比例系數(shù)，求點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：取梁的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直向下為軸正向。（為什么這樣假設(shè)？在這樣的假設(shè)下會(huì)帶來(lái)什么便利？如果不這樣假設(shè)，又會(huì)怎樣？請(qǐng)你搞清楚。在其他問(wèn)題中，比如浮筒的振動(dòng)，垂直掛著的彈簧下的重物的振動(dòng)問(wèn)題等，我們都這樣假設(shè)。你把這個(gè)疑問(wèn)解決了，那么其他問(wèn)題也一起解決了。所以，在每個(gè)問(wèn)題的學(xué)習(xí)和研究上，重要的不是知道“什么”，而是弄明白“為什么”！再做電機(jī)的受力分析。點(diǎn)A上，下振動(dòng)受到3個(gè)外力作用：電機(jī)的重力，干擾力和梁上下運(yùn)動(dòng)時(shí)的恢復(fù)力。設(shè)在任意時(shí)刻，點(diǎn)A的位移是，不論值是正還是負(fù)，梁的彈性產(chǎn)生的恢復(fù)力的大小為，方向總是與位移反向，故在選定的坐標(biāo)系里為。干擾力是個(gè)周期性的力，與A點(diǎn)的位移無(wú)關(guān)，它是時(shí)間的函數(shù)，去定時(shí)間的起點(diǎn)，它就按周期性變化而變。電機(jī)的重力是個(gè)常力，方向總是向下。在現(xiàn)在的坐標(biāo)原點(diǎn)的取法下，重力被梁的彈性所抵消，所以不出現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)方程中。這樣，按牛頓第二定律，我們可寫(xiě)出在選定中標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)微分方程：（電機(jī)質(zhì)量為），寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式：，（1）假定電機(jī)一開(kāi)始是靜止的，電機(jī)開(kāi)動(dòng)后由于偏心質(zhì)量引發(fā)的離心力使得電機(jī)與梁一起振動(dòng)。故初始條件為?，F(xiàn)在通過(guò)求解電機(jī)的上下振動(dòng)規(guī)律來(lái)探索為什么會(huì)共振，采取什么措施可以避免共振？這是一個(gè)二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的初值問(wèn)題。先研究其齊次方程：。記，則方程為。它的特征方程為，特征根為。故齊次通解為，其中常數(shù)稱(chēng)為“梁+電機(jī)”組成的系統(tǒng)的固有圓頻率，因?yàn)楫?dāng)梁的彈性系數(shù)和電機(jī)的質(zhì)量確定后，這個(gè)“系統(tǒng)”本身具有的圓頻率也就固定下來(lái)了。這個(gè)指標(biāo)是衡量“系統(tǒng)”的振動(dòng)特性的。下面就來(lái)求（1）的一個(gè)特解。注意干擾力為。根據(jù)固有圓頻率與外界強(qiáng)迫力的圓頻率之間的關(guān)系，討論如下。若，即干擾圓頻率不等于固有圓頻率，那么，所以干擾函數(shù)的不是特征方程的根，故可設(shè)特解為，由待定系數(shù)法，將特解代入方程（1），比較系數(shù)，不難得