新疆巴楚縣一中2023年高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．定義在R上的函數(shù)y=fx滿(mǎn)足fx≤2x-1A． B． C． D．2．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差對(duì)所有都成立，則（）A． B． C． D．3．已知，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．4．閱讀下面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，程序運(yùn)行輸出的結(jié)果是（）A．1．1 B．1 C．2．9 D．2．85．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”意思為有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天比第四天多走了（）A．96里 B．72里 C．48里 D．24里6．已知向量，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．7．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員?面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài)?緊跟時(shí)代脈搏的熱門(mén)?該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”?“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專(zhuān)項(xiàng)答題”?“挑戰(zhàn)答題”四個(gè)答題模塊?某人在學(xué)習(xí)過(guò)程中，“閱讀文章”不能放首位，四個(gè)答題板塊中有且僅有三個(gè)答題板塊相鄰的學(xué)習(xí)方法有（）A．60 B．192 C．240 D．4328．在四邊形中，，，，，，點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，點(diǎn)在邊所在直線(xiàn)上，則的最大值為（）A． B． C． D．9．若的展開(kāi)式中的系數(shù)之和為，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．110．設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞增，，則（）A． B．C． D．11．設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則()A． B． C．1 D．212．雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)交兩漸近線(xiàn)于兩點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)的其中一個(gè)交點(diǎn)為，若，且，則該雙曲線(xiàn)的離心率為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則_____.14．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，點(diǎn)E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BDCD，△ACD為正三角形，點(diǎn)M，N分別在AE，CD上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），且AM＝CN，則當(dāng)四面體C﹣EMN的體積取得最大值時(shí)，三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為_(kāi)____.15．若直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)___．16．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，且，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明:.18．（12分）如圖，在正四棱柱中，已知，.（1）求異面直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角的大??；（2）求點(diǎn)到平面的距離.19．（12分）11月，2019全國(guó)美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國(guó)農(nóng)村改革的發(fā)源地-安徽鳳陽(yáng)舉辦，其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃比賽（每人各投一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次投球命中的概率為，乙每次投球命中的概率為，且各次投球互不影響.（1）經(jīng)過(guò)1輪投球，記甲的得分為，求的分布列；（2）若經(jīng)過(guò)輪投球，用表示經(jīng)過(guò)第輪投球，累計(jì)得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求；②規(guī)定，經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)計(jì)算可估計(jì)得，請(qǐng)根據(jù)①中的值分別寫(xiě)出a，c關(guān)于b的表達(dá)式，并由此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.20．（12分）已知，，.（1）求的最小值；（2）若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，設(shè)，證明：，，使.

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【答案解析】

根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù)，得到函數(shù)關(guān)于1,0中心對(duì)稱(chēng)，排除AB，計(jì)算f1.5≤【題目詳解】y=fx+1為奇函數(shù)，即fx+1=-f-x+1，函數(shù)關(guān)于f1.5≤2故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識(shí)別，確定函數(shù)關(guān)于1,0中心對(duì)稱(chēng)是解題的關(guān)鍵.2．D【答案解析】

根據(jù)X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值為,進(jìn)而得出結(jié)論.【題目詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值,又對(duì)所有成立,所以,解得,故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題綜合考查了隨機(jī)變量的期望?方差的求法,結(jié)合了概率?二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí),需要學(xué)生具備一定的計(jì)算能力,屬于中檔題.3．B【答案解析】

利用函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，可得，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)比較a,c進(jìn)而可得結(jié)論.【題目詳解】依題意，函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則，即，又，所以，.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)、指數(shù)的大小比較，屬于基礎(chǔ)題.4．C【答案解析】

根據(jù)程序框圖的模擬過(guò)程，寫(xiě)出每執(zhí)行一次的運(yùn)行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.【題目詳解】初始值，第一次循環(huán)：，；第二次循環(huán)：，；第三次循環(huán)：，；第四次循環(huán)：，；第五次循環(huán)：，；第六次循環(huán)：，；第七次循環(huán)：，；第九次循環(huán)：，；第十次循環(huán)：，；所以輸出.故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運(yùn)行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.5．B【答案解析】

人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為，計(jì)算，代入得到答案.【題目詳解】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為，則，解得，從而可得，故.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.6．A【答案解析】

投影即為，利用數(shù)量積運(yùn)算即可得到結(jié)論.【題目詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，由題意，得，，所以，向量在向量方向上的投影為.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題主要考察了向量的數(shù)量積運(yùn)算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.7．C【答案解析】

四個(gè)答題板塊中選三個(gè)捆綁在一起，和另外一個(gè)答題板塊用插入法．注意按“閱讀文章”分類(lèi)．【題目詳解】四個(gè)答題板塊中選三個(gè)捆綁在一起，和另外一個(gè)答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數(shù)為．故選：C．【答案點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，考查捆綁法和插入法求解排列問(wèn)題．對(duì)相鄰問(wèn)題用捆綁法，不相鄰問(wèn)題用插入法是解決這類(lèi)問(wèn)題的常用方法．8．A【答案解析】

依題意，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求出的坐標(biāo)，求出邊所在直線(xiàn)的方程，設(shè)，利用坐標(biāo)表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【題目詳解】解：依題意，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由，，，，，，，因?yàn)辄c(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，設(shè)，解得，所在直線(xiàn)的方程為因?yàn)辄c(diǎn)在邊所在直線(xiàn)上，故設(shè)當(dāng)時(shí)故選：【答案點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，屬于中檔題.9．B【答案解析】

由，進(jìn)而分別求出展開(kāi)式中的系數(shù)及展開(kāi)式中的系數(shù)，令二者之和等于，可求出實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】由，則展開(kāi)式中的系數(shù)為，展開(kāi)式中的系數(shù)為，二者的系數(shù)之和為，得.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10．C【答案解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，比較即可.【題目詳解】解：顯然，所以是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞增，所以故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算及偶函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.11．C【答案解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知條件，求得的值.【題目詳解】由于等差數(shù)列滿(mǎn)足，所以，，.故選：C【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12．D【答案解析】

根據(jù)已知得本題首先求出直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的交點(diǎn)，再利用，求出點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，及，代入整理及得，又已知，即可求出離心率．【題目詳解】由題意可知，代入得：，代入雙曲線(xiàn)方程整理得：，又因?yàn)?，即可得到，故選：D．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查的是雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，離心率問(wèn)題關(guān)鍵尋求關(guān)于，，的方程或不等式，由此計(jì)算雙曲線(xiàn)的離心率或范圍，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

對(duì)原方程兩邊求導(dǎo)，然后令求得表達(dá)式的值.【題目詳解】對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，得，令，則.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式，考查利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.14．32π【答案解析】

設(shè)ED＝a，根據(jù)勾股定理的逆定理可以通過(guò)計(jì)算可以證明出CE⊥ED.AM＝x，根據(jù)三棱錐的體積公式，運(yùn)用基本不等式，可以求出AM的長(zhǎng)度，最后根據(jù)球的表面積公式進(jìn)行求解即可.【題目詳解】設(shè)ED＝a，則CDa.可得CE2+DE2＝CD2，∴CE⊥ED.當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時(shí)，當(dāng)四面體C﹣EMN的體積才有可能取得最大值，設(shè)AM＝x.則四面體C﹣EMN的體積（a﹣x）a×xax（a﹣x），當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào).解得a＝2.此時(shí)三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積＝4πa2＝32π.故答案為：32π【答案點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了球的表面積公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和空間想象能力.15．【答案解析】

根據(jù)題意可知,直線(xiàn)與直線(xiàn)分別過(guò)定點(diǎn),且這兩條直線(xiàn)互相垂直,由此可知,其交點(diǎn)在以為直徑的圓上,結(jié)合圖形求出線(xiàn)段的最大值即可.【題目詳解】由題可知,直線(xiàn)可化為,所以其過(guò)定點(diǎn),直線(xiàn)可化為,所以其過(guò)定點(diǎn),且滿(mǎn)足,所以直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直,其交點(diǎn)在以為直徑的圓上,作圖如下:結(jié)合圖形可知,線(xiàn)段的最大值為,因?yàn)闉榫€(xiàn)段的中點(diǎn),所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,所以線(xiàn)段的最大值為.故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題考查過(guò)交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程、動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系;考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力;根據(jù)圓的定義得到交點(diǎn)在以為直徑的圓上是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.16．【答案解析】

根據(jù)題意畫(huà)出幾何題，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)個(gè)各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得.由空間向量的夾角求法即可求得異面直線(xiàn)與所成角的余弦值.【題目詳解】根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則所以所以，所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為，故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了異面直線(xiàn)夾角的求法，利用空間向量求異面直線(xiàn)夾角，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2），證明見(jiàn)解析.【答案解析】

（1）當(dāng)時(shí)，求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)以及二階導(dǎo)函數(shù)，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）令求得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間、極值和最值，結(jié)合有兩個(gè)極值點(diǎn)，求得的取值范圍.將代入列方程組，由證得.【題目詳解】（1），，又，所以在單增，從而當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增.（2）.令，令，則故在遞增，在遞減，所以.注意到當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)，綜上因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以不妨設(shè)，得，因?yàn)樵谶f減，且，所以又所以【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.18．（1）；（2）.【答案解析】

（1）建立空間坐標(biāo)系，通過(guò)求向量與向量的夾角，轉(zhuǎn)化為異面直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角的大?。唬?）先求出面的一個(gè)法向量，再用點(diǎn)到面的距離公式算出即可．【題目詳解】以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建系，設(shè)所以,,所以異面直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角的余弦值為，異面直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角的大小為．（2）因?yàn)?，，設(shè)是面的一個(gè)法向量，所以有即，令，，故，又，所以點(diǎn)到平面的距離為.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查向量法求異面直線(xiàn)所成角的大小和點(diǎn)到面的距離，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．19．（1）分布列見(jiàn)解析；（2）①；②，.【答案解析】

（1）經(jīng)過(guò)1輪投球，甲的得分的取值為，記一輪投球，甲投中為事件，乙投中為事件，相互獨(dú)立，計(jì)算概率后可得分布列；（2）由（1）得，由兩輪的得分可計(jì)算出，計(jì)算時(shí)可先計(jì)算出經(jīng)過(guò)2輪后甲的得分的分布列（的取值為），然后結(jié)合的分布列和的分布可計(jì)算，由，代入，得兩個(gè)方程，解得，從而得到數(shù)列的遞推式，變形后得是等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，然后用累加法可求得．【題目詳解】（1）記一輪投球，甲命中為事件，乙命中為事件，相互獨(dú)立，由題意，，甲的得分的取值為，，，，∴的分布列為：－101（2）由（1），，同理，經(jīng)過(guò)2輪投球，甲的得分取值：記，，，則，，，，由此得甲的得分的分布列為：－2－1012∴，∵，，∴，，∴，代入得：，∴，∴數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，∴．∴．【答案點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量的概率分布列，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查由數(shù)列的遞推式求通項(xiàng)公式，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，本題難點(diǎn)在于求概率分布列，特別是經(jīng)過(guò)2輪投球后甲的得分的概率分布列，這里可用列舉法寫(xiě)出各種可能，然后由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算出概率．20．（1）2；（2）.【答案解析】

（1）化簡(jiǎn)得，所以，展開(kāi)后利用基本不等式求最小值即可；（2）由（1），原不等式可轉(zhuǎn)化為，討論去絕對(duì)值即可求得的取值范圍.【題目詳解】（1）∵，，∴，∴.∴.當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)，.（2）由（1）知，，對(duì)任意，都有，∴，即.①當(dāng)時(shí)，有，解得；②當(dāng)，時(shí)，有，解得；③當(dāng)時(shí)，有，解得；綜上，，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的運(yùn)用和求解