全等三角形解題能力提升（中等題型訓(xùn)練與競賽培優(yōu)）

62八年級數(shù)學(xué)全等三角形解題能力提升（中等題型訓(xùn)練與競賽培優(yōu)）1．判定全等三角形的方法三角形全等是證明線段相等，角相等最基本、最常用的方法，這不僅因為全等三角形有很多重要的角相等、線段相等的特征，還在于全等三角形把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來。全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形中，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。（2）全等三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)邊上的中線，對應(yīng)邊上的高，對應(yīng)角的平分線）相等。（3）全等三角形的周長相等，面積相等。全等三角形的五種判定公理：（1）三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，“邊邊邊”（SSS）；（2）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，“邊角邊”（SAS）；（3）兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，“角邊角”（ASA）；（4）兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，“角角邊”（AAS）；（5）斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，“斜邊，直角邊”（HL）。SSS（邊邊邊）SAS（邊角邊）ASA（角邊角）AAS（角角邊）HL(斜邊，直角邊)注意幾點：（1）在判定兩個三角形全等時，至少有一邊對應(yīng)相等；（2）以下情況兩個三角形不一定全等:①三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等（AAA）。AAASSA②兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等（SSA）。AAASSA如圖AAA，△ABC和△ADE中，∠A=∠A，∠1=∠3，∠2=∠4，即三個角對應(yīng)相等，但它們只是形狀相同而大小并不相等，故它們不全等；又如圖SSA，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，即兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等，但它們并不全等。AAA尋找對應(yīng)元素的規(guī)律AAA尋找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊．(2)全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角．(3)有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊．(4)有公共角的，公共角是對應(yīng)角．(5)有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角．(6)如右圖中，兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對最短邊(或最小角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)．通過觀察，想象圖形的運(yùn)動變化狀況，確定對應(yīng)關(guān)系。通過對兩個全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個是由另一個經(jīng)過下列各種運(yùn)動而形成的。旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)平移平移翻折翻折【提示】一個三角形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折后所得到的三角形與原三角形全等。判定全等三角形的思路判定全等三角形的方法：一、挖掘“隱含條件”判全等【提示】：公共邊，公共角，對頂角這些都是隱含的邊，角相等的條件1.如圖（1），AB=CD，AC=BD，則△ABC≌△DCB嗎?說說理由2.如圖（2），點D在AB上，點E在AC上，CD與BE相交于點O，且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm，則∠C=20°,BE=5cm.說說理由.3.如圖（3），AC與BD相交于O,若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，則CD=3cm.說說理由.二、添條件判全等【提示】：添加條件的題目.首先要找到已具備的條件,這些條件有些是題目已知條件,有些是圖中隱含條件.4、如圖，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根據(jù)“SAS”需要添加條件AB=AC；根據(jù)“ASA”需要添加條件∠BDA=∠CDA；根據(jù)“AAS”需要添加條件∠B=∠C；5、已知：∠B＝∠DEF，BC＝EF，現(xiàn)要證明△ABC≌△DEF，若要以“SAS”為依據(jù)，還缺條件AB=DE；若要以“ASA”為依據(jù)，還缺條件∠ACB=∠F；若要以“AAS”為依據(jù)，還缺條件一∠A=∠D，并說明理由。三、熟練轉(zhuǎn)化“間接條件”判全等6.如圖（4）AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD與△CEB全等嗎？為什么？解：∵AE=CF(已知）∴AE－FE=CF－EF(等量減等量，差相等)即AF=CE在△AFD和△CEB中，∠AFD=∠CEB(已知)DF=BE(已知)∠AFD=∠CEB(已知)DF=BE(已知)AF=CE(已證)如圖（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC與△ADE全等嗎？為什么？解：∵∠CAE=∠BAD(已知)∴∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE(等量減等量，差相等)即∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE(已證)AC=AE∠BAC=∠DAE(已證)AC=AE(已知)∠B=∠D(已知)8.“三月三，放風(fēng)箏”如圖（6）是小東同學(xué)自己做的風(fēng)箏，他根據(jù)AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC。請用所學(xué)的知識給予說明。解:連接ACBC=DC(已知)BC=DC(已知)AC=AC(公共邊)AB=AD(已知)圖3∴△ADC≌△ABC(SSS)圖3∴∠ABC=∠ADC(全等三角形的對應(yīng)角相等)四、條件比較隱蔽時，可通過添加輔助線如圖3，AB=AC，∠1=∠2．求證：AO平分∠BAC．分析：要證AO平分∠BAC，即證∠BAO=∠BCO，要證∠BAO=∠BCO，只需證∠BAO和∠BCO所在的兩個三角形全等．而由已知條件知，只需再證明BO=CO即可．證明：連結(jié)BC．因為AB=AC，所以∠ABC＝∠ACB．因為∠1=∠2，所以∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2．即∠3=∠4，所以BO=CO．因為AB=AC，BO=CO，AO=AO，所以△ABO≌△ACO．所以∠BAO=∠CAO，即AO平分∠BAC．五、條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時，通過構(gòu)造全等三角形來判定圖4例4已知：如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，D為BC的中點，CE⊥AD于E，交AB于F，連接DF．圖4求證：∠ADC=∠BDF．證明：過B作BG⊥BC交CF延長線于G，所以BG∥AC．所以∠G=∠ACE．因為AC⊥BC，CE⊥AD，所以∠ACE=∠ADC．所以∠G=∠ADC．因為AC=BC，∠ACD＝∠CBG=90o，所以△ACD≌△CBG．所以BG=CD=BD．因為∠CBF=∠GBF=45o，BF=BF，所以△GBF≌△DBF．所以∠G=∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．2構(gòu)造全等三角形的主要方法常見的構(gòu)造三角形全等的方法有以下三種：①涉及三角形的中線問題時，采用延長中線一倍來構(gòu)造一對全等三角形；②涉及角平分線問題時，經(jīng)過角平分線上一點向兩邊作垂線來構(gòu)造一對全等三角形；③證明兩條線段的和等于第三條線段時，用“截長補(bǔ)短”法來構(gòu)造一對全等三角形；（1）利用中點（中線）構(gòu)造全等若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。例1：如圖，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。

思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。2）解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。解答過程：

證明：延長AD到E，使DE=AD，連接BE。又因為AD是BC邊上的中線，∴BD=DC又∠BDE=∠CDAΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分線∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形?！咎崾尽浚侯}目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。（2）利用角平分線構(gòu)造全等遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。例2：已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°。思路分析：1）題意分析：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。2）解題思路：因為AC是∠BAD的平分線，所以可過點C作∠BAD的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。解答過程：證明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。（3）用“截長補(bǔ)短”法構(gòu)造全等證明兩條線段的和等于第三條線段時，用“截長補(bǔ)短”法可以構(gòu)造一對全等三角形。具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例3：如圖甲，AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求證：CD=AD+BC。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補(bǔ)短法。2）解題思路：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡化問題的目的。解答過程：證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。在△FDE與△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC?！咎崾尽浚河龅角笞C一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長法或補(bǔ)短法：截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。1）對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證明不出來，可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。3全等三角形的應(yīng)用運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ)．在證題過程中涉及到的有關(guān)基礎(chǔ)知識：證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應(yīng)邊相等。

2.同一三角形中等角對等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。

4.平行四邊形的對邊或?qū)蔷€被交點分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。

8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。

9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。

10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。

11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。

12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等。

13.等于同一線段的兩條線段相等。

（2）證明兩角相等

1.兩全等三角形的對應(yīng)角相等。2.同一三角形中等邊對等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。

4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等。

5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。6.同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎Φ膱A心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。

7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

8.相似三角形的對應(yīng)角相等。

9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。10.等于同一角的兩個角相等

（3）證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個角等于90°，或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證。3.1全等三角形知識的應(yīng)用（1）證明線段（或角）相等例1：如圖，已知AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC分析：由已知條件可證出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分別位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先證明ΔACD≌ΔABE，再證明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.證明：在ΔACD和ΔABE中，∴ΔACD≌ΔABE(SAS)∴∠B=∠C（全等三角形對應(yīng)角相等）又∵AD=AE,AB=AC.∴AB－AD=AC－AE即BD=CE在ΔDBF和ΔECF中∴ΔDBF≌ΔECF（AAS）∴BF=FC（全等三角形對應(yīng)邊相等）（2）證明線段平行例2：已知：如圖，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E、F，DE=BF，AF=CE.求證：AB∥CD分析：要證AB∥CD，需證∠C＝∠A，而要證∠C＝∠A，又需證ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.顯然證明ΔABF≌ΔCDE條件已具備，故可先證兩個三角形全等，再證∠C＝∠A,進(jìn)一步證明AB∥CD.證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC（已知）∴∠DEC＝∠BFA=90°（垂直的定義）在ΔABF與ΔCDE中，∴ΔABF≌ΔCDE（SAS）∴∠C＝∠A(全等三角形對應(yīng)角相等)∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）（3）證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等例3：如圖，在△ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，取AB的中點E，連接CD和CE證：CD=2CE分析：(ⅰ)折半法：取CD中點F，連接BF，再證ΔCEB≌ΔCFB.這里注意利用BF是ΔACD中位線這個條件。證明：取CD中點F，連接BF∴BF=EQ\F(1,2)AC,且BF∥AC（三角形中位線定理）∴∠ACB＝∠2(兩直線平行內(nèi)錯角相等)又∵AB=AC∴∠ACB＝∠3（等邊對等角）∴∠3＝∠2在ΔCEB與ΔCFB中，∴ΔCEB≌ΔCFB(SAS)∴CE=CF=EQ\F(1,2)CD（全等三角形對應(yīng)邊相等）即CD=2CE（ⅱ）加倍法證明：延長CE到F，使EF=CE，連BF.在ΔAEC與ΔBEF中，∴ΔAEC≌ΔBEF(SAS)∴AC=BF,∠4＝∠3(全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等)∴BF∥AC(內(nèi)錯角相等兩直線平行)∵∠ACB+∠CBF=180o,∠ABC+∠CBD=180o,又AB=AC∴∠ACB=∠ABC∴∠CBF=∠CBD（等角的補(bǔ)角相等）在ΔCFB與ΔCDB中，∴ΔCFB≌ΔCDB(SAS)∴CF=CD即CD=2CE說明：關(guān)于折半法有時不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取AC中點F，連BF(如圖)（B為AD中點是利用這個辦法的重要前提），然后證CE=BF.(4)證明線段相互垂直例4：已知：如圖，A、D、B三點在同一條直線上，ΔADC、ΔBDO為等腰三角形，AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論。分析：本題沒有直接給出待證的結(jié)論，而是讓同學(xué)們先根據(jù)已知條件推斷出結(jié)論，然后再證明所得出的結(jié)論正確。通過觀察，可以猜測：AO=BC，AO⊥BC.證明：延長AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中∴ΔADO≌ΔCDB(SAS)∴AO=BC,∠OAD=∠BCD（全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等）∵∠AOD＝∠COE（對頂角相等）∴∠COE+∠OCE=90o∴AO⊥BC3.2應(yīng)用三角形全等解決實際問題【思想方法】：把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，抽象概括出基本的幾何圖形，并充分利用所學(xué)知識構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題.【例1】在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望．為了炸掉這個碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地的距離．在不能過河測量又沒有任何測量工具的情況下，如何測得距離？一位戰(zhàn)士的測量方法是:面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他轉(zhuǎn)過一個角度，保持剛才的姿勢，這時視線落在了自己所在岸的某一點上；接著，他用步測的辦法量出自己與那個點的距離，這個距離就是他與碉堡的距離.DABDABFEBCFEBC將實際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題為：已知：在△ABC與△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，∠A=∠D求證：BC=EF證明：在△ABC與△DEF中∠A=∠D（已知）AB=DE（已知）∠B=∠E（已知）∴△ABC≌△DEF(ASA)∴BC=EF(全等三角形對應(yīng)邊相等)【例2】課間，小明和小聰在操場上突然爭論起來。他們都說自己比對方長得高，這時數(shù)學(xué)老師走過來，笑著對他們說：“你們不用爭了，其實你們一樣高，瞧瞧地上，你倆的影子一樣長！”（如圖），你知道數(shù)學(xué)老師為什么能從他們的影長相等就斷定它們的身高相同？你能運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識說明一下其中的道理嗎？（假定太陽光線是平行的）太陽光線太陽光線DADAFECBFECB將實際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題為：已知：在△ABC和△DEF中，∠C=∠F，∠B=∠E，BC=EF求證：AB=DEABCEDABCED有人這樣測量：先在地上取一個可以直接到達(dá)A點和B點的點C，連接AC并延長到D，使CD=AC；連接BC并延長到E，使CE=CB，連接DE并測量出它的長度，DE的長度就是A，B間的距離。ABCDABABCDABE嗎？FFABA●●DABA●●DCEFFDCBA、SSSB、ASAC、AASD、SASFDCBODCBADDDDDADODCBADDDDDADAA、AO=COOOOC、AC=BDOCCCCBBBB●BABE●BABEC●【例7】如圖，要計算這個花瓶的容積，需要測量其內(nèi)直徑.由于瓶頸較小，無法直接測量，你能想出一種測量方案嗎？CABDCCABDCOAB●EDDEDDODC●DDC●D【例8】某城市搞亮化工程，如圖，在甲樓底部、乙樓頂部分別安裝一盞射燈.已知A燈恰好照到B燈，B燈恰好照到甲樓的頂部，如果兩盞燈的光線與水平線的夾角相等，那么能否說甲樓的高度是乙樓的2倍？說說你的看法.甲甲乙AB4全等三角形難度提升4．1巧添輔助線證全等（1）由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。①從角平分線上一點向兩邊作垂線；②利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線1）截取構(gòu)全等如圖1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。如圖1-2，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點E在AD上，求證：BC=AB+CD。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來構(gòu)造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。已知：如圖1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證DC⊥AC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方還是截取線段相等。其它問題自已證明。已知：如圖1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？練習(xí)①已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC②已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE③已知：在△ABC中，AB>AC,AD為∠BAC的平分線，M為AD上任一點。求證：BM-CM>AB-AC④已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分線AD上的任一點，連接DB、DC。求證：BD+CD>AB+AC。2）角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題?！纠?】如圖2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180

分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADC與∠B之和為平角?！纠?】如圖2-2，在△ABC中，∠A=90

，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求證：BC=AB+AD分析：過D作DE⊥BC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法?！纠?】已知如圖2-3，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：∠BAC的平分線也經(jīng)過點P。分析：連接AP，證AP平分∠BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。練習(xí)：1．如圖2-4∠AOP=∠BOP=15

，PC//OA，PD⊥OA，如果PC=4，則PD=（）A4B3C2D12．已知在△ABC中，∠C=90

，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。3．已知：如圖2-5,∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，AE=2（AB+AD）.求證：∠D+∠B=180

。4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點，F(xiàn)為BC上的點，∠FAE=∠DAE。求證：AF=AD+CF。已知：如圖2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90

,CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠CAB交CD于F，過F作FH//AB交BC于H。求證CF=BH。3）作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）?！纠?】已知：如圖3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中點。求證：DH=2（AB-AC）分析：延長CD交AB于點E，則可得全等三角形。問題可證?！纠?】已知：如圖3-2，AB=AC，∠BAC=90

，AD為∠ABC的平分線，CE⊥BE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形?！纠?】已知：如圖3-3在△ABC中，AD、AE分別∠BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點B作BFAD，交AD的延長線于F，連結(jié)FC并延長交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是∠BAC內(nèi)外角平分線，可得EA⊥AF，從而有BF//AE，所以想到利用比例線段證相等?！纠?】已知：如圖3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延長線于M。求證：AM=2（AB+AC）分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對稱變換，作△ABD關(guān)于AD的對稱△AED，然后只需證DM=1/2EC，另外由求證的結(jié)果AM=1/2（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作△ACM關(guān)于CM的對稱△FCM，然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點，AE是∠BAC的平分線，且CE⊥AE于E，連接DE，求DE。已知BE、BF分別是△ABC的∠ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=1/2BC4）以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示?！纠?】如圖，AB>AC,∠1=∠2，求證：AB－AC>BD－CD?！纠?】如圖，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求證：∠A+∠C=180?！纠?】如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。12A12ACDBBDCAABECD（2）由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補(bǔ)短法：①截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；②補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，想辦法放在一個三角形中證明。1）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：【例1】已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點,求證:AB+AC>BD+DE+CE.方法1：將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）在△BDM中，MB+MD>BD；（2）在△CEN中，CN+NE>CE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE∴AB+AC>BD+DE+EC方法2：（圖1-2）延長BD交AC于F，廷長CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）…（1）GF+FC>GE+CE（同上）（2）DG+GE>DE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE∴AB+AC>BD+DE+EC。2）在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點，求證：∠BDC>∠BAC。分析：因為∠BDC與∠BAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于點E，這時∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC證法二：連接AD，并廷長交BC于F，這時∠BDF是△ABD的外角，∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。3）有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線，且∠1=∠2,∠3=∠4,求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，在△DBE和△NDE中：DN=DB（輔助線作法）∠1=∠2（已知）ED=ED（公共邊）∴△DBE≌△NDE（SAS）∴BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在△EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE+CF>EF。注意：當(dāng)證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。（3）截長補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P為AD上任一點求證：AB-AC>PB-PC。分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在△PNB中，PB-PN<BN，即：AB-AC>PB-PC。證明：（截長法）在AB上截取AN=AC連接PN,在△APN和△APC中AN=AC（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形對應(yīng)邊相等）∵在△BPN中，有PB-PN<BN（三角形兩邊之差小于第三邊）∴BP-PC<AB-AC證明：（補(bǔ)短法）延長AC至M，使AM=AB，連接PM，在△ABP和△AMP中AB=AM（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB=PM（全等三角形對應(yīng)邊相等）又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊)∴AB-AC>PB-PC。DAECBDAECBDCBADCBA求證：∠ADC+∠B=180o【例3】已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。MBMBDCA【例4】如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分線，DM⊥AB于M，且AM=MB。求證：CD=DB。（3）由中點想到的輔助線口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，加倍延長中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。1）中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形如圖1，AD是ΔABC的中線，則SΔABD=SΔACD=SΔABC（因為ΔABD與ΔACD是等底同高的）?！纠?】如圖2，ΔABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。解：因為AD是ΔABC的中線，所以SΔAD=ΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中線，故SΔCDE=SΔACD=1，因DF是ΔCDE的中線，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=?！唳DF的面積為。2）由中點利用三角形的中位線【例2】如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：∠BGE=∠CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點為M，連結(jié)ME、MF，∵M(jìn)E是ΔBCD的中位線，∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，∵M(jìn)F是ΔABD的中位線，∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，從而∠BGE=∠CHE。3）由中線想到延長中線【例3】圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。解：延長AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。在ΔACD和ΔEBD中，

∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，從而BE=AC=3。在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，∴BD===，故BC=2BD=2。【例4】如圖5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。證明：延長AD到E，使DE=AD。仿例3可證：ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。4）直角三角形斜邊中線的性質(zhì)【例5】如圖6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：AC=BD。證明：取AB的中點E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtΔABD，RtΔABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE?！逜B//DC，∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，∴∠1=∠2，在ΔADE和ΔBCE中，∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。5）角平分線且垂直一線段，想到等腰三角形的中線【例6】如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。注：此例中BE是等腰ΔBCF的底邊CF的中線。6）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+CF>EF。證明：廷長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在△BDE和△CDM中，BD=CD（中點定義）∠1=∠5（對頂角相等）ED=MD（輔助線作法）∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定義）∴∠3+∠2=90°即：∠EDF=90°∴∠FDM=∠EDF=90°在△EDF和△MDF中ED=MD（輔助線作法）∠EDF=∠FDM（已證）DF=DF（公共邊）∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF=MF（全等三角形對應(yīng)邊相等）∵在△CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE+CF>EF上題也可加倍FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1：AD為△ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CE∵AD為△ABC的中線（已知）∴BD=CD（中線定義）在△ACD和△EBD中BD=CD（已證）∠1=∠2（對頂角相等）AD=ED（輔助線作法）BABADC86∴BE=CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）∴AB+AC>2AD。練習(xí)：BEBECDA2如圖，AB=CD，E為BC的中點，∠BAC=∠BCA，求證：AD=2AE。DMDMCDEDADBDABABDCEF5．已知：如圖AD為△ABC的中線，AE=EF，求證：BF=AC4．2全等三角形與旋轉(zhuǎn)、動點難題（1）旋轉(zhuǎn)問題基本知識把圖形繞平面上的一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度，得到圖形，這樣的由圖形到變換叫做旋轉(zhuǎn)變換，點叫做旋轉(zhuǎn)中心，叫做旋轉(zhuǎn)角，叫做的象；叫做的原象，無論是什么圖形，在旋轉(zhuǎn)變換下，象與原象是全等形．很明顯，旋轉(zhuǎn)變換具有以下基本性質(zhì)：①旋轉(zhuǎn)變換的對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對應(yīng)直線的交角等于旋轉(zhuǎn)角．旋轉(zhuǎn)變換多用在等腰三角形、正三角形、正方形等較規(guī)則的圖形上，其功能還是把分散的條件相對集中，以便于諸條件的綜合與推演．例題精講【例1】如圖1、圖2、圖3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90o，（1）在圖1中，AC與BD相等嗎，有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由。（2）若△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖2的位置，請問AC與BD還相等嗎，還具有那種位置關(guān)系嗎？為什么？（3）若△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖3的位置，請問AC與BD還相等嗎？還具有上問中的位置關(guān)系嗎？為什么？考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．分析：（1）根據(jù)等腰三角形的兩腰相等進(jìn)行解答．證明△DOB≌△COA，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行說明．解答：解：（1）相等．在圖1中，∵△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OA=OB，OC=OD，∴0A-0C=0B-OD，∴AC=BD；

（2）相等．在圖2中，0D=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△DOB≌△COA，∴BD=AC．點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)問題，在旋轉(zhuǎn)的過程中要注意哪些量是不變的，找出圖形中的對應(yīng)邊與對應(yīng)角．【例2】（2009山西太原）將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖①中的兩張三角形膠片和．且≌。將這兩張三角形膠片的頂點與頂點重合，把繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)，這時與相交于點．①當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點，在同一直線上時，與的數(shù)量關(guān)系是．②當(dāng)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？AO與DO存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：探究型．分析：（1）根據(jù)外角的性質(zhì)，得∠AFD=∠D+∠ABC，∠DCA=∠A+∠ABC，從而得出∠AFD=∠DCA；（2）成立．由△ABC≌△DEF，可證明∠ABF=∠DEC．則△ABF≌△DEC，從而證出∠AFD=∠DCA；（3）BO⊥AD．由△ABC≌△DEF，可證得點B在AD的垂直平分線上，進(jìn)而證得點O在AD的垂直平分線上，則直線BO是AD的垂直平分線，即BO⊥AD．解答：解：（1）∠AFD=∠DCA（或相等）．

（2）∠AFD=∠DCA（或成立），理由如下：方法一：由△ABC≌△DEF，得AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF．∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF，∴∠ABF=∠DEC．在△ABF和△DEC中，AB=DE∠ABF=∠DECBF=EC∴△ABF≌△DEC，∠BAF=∠EDC．∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC，∠FAC=∠CDF．∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，∴∠AFD=∠DCA．方法二：連接AD．同方法一△ABF≌△DEC，∴AF=DC．由△ABC≌△DEF，得FD=CA．在△AFD≌△DCA，AF=DCFD=CAAD=DA∴△AFD≌△DCA，∠AFD=∠DCA．（3）如圖，BO⊥AD．方法一：由△ABC≌△DEF，點B與點E重合，得∠BAC=∠BDF，BA=BD．∴點B在AD的垂直平分線上，且∠BAD=∠BDA．∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF，∴∠OAD=∠ODA．∴OA=OD，點O在AD的垂直平分線上．∴直線BO是AD的垂直平分線，BO⊥AD．方法二：延長BO交AD于點G，同方法一，OA=OD．在△ABO和△DBO中，AB=DBBO=BOOA=OD∴△ABO≌△DBO，∠ABO=∠DBO．在△ABG和△DBG中，AB=DB∠ABG=∠DBGBG=BG∴△ABG≌△DBG，∠AGB=∠DGB=90°．∴BO⊥AD．點評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．【例3】例1正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．分析：延長EB使得BG=DF，易證△ABG≌△ADF（SAS）可得AF=AG，進(jìn)而求證△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解題．解答：解：延長EB使得BG=DF，在△ABG和△ADF中，由AB=AD∠ABG=∠ADF=90°BG=DF，可得△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG=∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°∴∠EAG+∠EAF=90°，∴∠EAF=45°．答：∠EAF的角度為45°．點評：本題考查了正方形各內(nèi)角均為直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證∠EAG=∠EAF是解題的關(guān)鍵．（2）動點問題【例4】（2009寧夏）已知：等邊三角形的邊長為4厘米，長為1厘米的線段在的CPQBAMN邊上沿方向以1厘米/秒的速度向點運(yùn)動（運(yùn)動開始時，點與點重合，點到達(dá)點時運(yùn)動終止），過點分別作邊的垂線，與的其它邊交于兩點，線段運(yùn)動的時間為秒．CPQBAMN（1）線段在運(yùn)動的過程中，為何值時，四邊形恰為矩形？并求出該矩形的面積；CPQBAMN（2）線段在運(yùn)動的過程中，四邊形的面積為，運(yùn)動的時間為．求四邊形的面積隨運(yùn)動時間變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．CPQBAMN解：（1）過點作，垂足為．則，當(dāng)運(yùn)動到被垂直平分時，四邊形是矩形，即時，CPQBAMN四邊形CPQBAMN，（2）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，點評：此題關(guān)鍵也是對P、Q兩點的不同位置進(jìn)行分類?！纠?】（包頭）如圖，已知中，厘米，厘米，點為的中點．（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運(yùn)動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運(yùn)動．AQCDBP①若點Q的運(yùn)動速度與點PAQCDBP②若點Q的運(yùn)動速度與點P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使與全等？（2）若點Q以②中的運(yùn)動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運(yùn)動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在的哪條邊上相遇？解：（1）①∵秒，∴厘米，∵厘米，點為的中點，∴厘米．又∵厘米，∴厘米，∴．又∵，∴，∴．②∵，∴，又∵，，則，∴點，點運(yùn)動的時間秒，∴厘米/秒．（2）設(shè)經(jīng)過秒后點與點第一次相遇，由題意，得，解得秒．∴點共運(yùn)動了厘米．∵，∴點、點在邊上相遇，∴經(jīng)過秒點與點第一次在邊上相遇．圖5全等三角形中等題目圖5例1：如圖1，已知，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠CDE=90°，問BD=AB+ED嗎?[變形1]：如圖，E是正方形ABCD的邊DC上的一點，過點A作FA⊥AE交CB的延長線于點F，求證：DE=BF[變形2]：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過點A的直線，BD⊥AE，CE⊥AE，如果CE=3，BD=7，請你求出DE的長度。[變形3]：在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖9的位置時，△ADC≌△CEB，且DE=AD+BE。你能說出其中的道理嗎？（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖10的位置時，DE=AD-BE。說說你的理由。（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖11的位置時，試問DE，AD，BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系。圖3圖3圖圖1圖圖2例2：已知在△ABC中，AB=AC，在△ADE中，AD=AE，且∠1=∠2，請問BD=CE嗎？2212121[變形2]：過點A分別作兩個大小不一樣的等邊三角形，連接BD，CE，請說明它們相等。[變形3]：如圖16—18，還是剛才的條件，把右側(cè)小等邊三角形的位置稍加變化，，連接BD，CE，請說明它們相等圖18圖18圖17圖16圖17圖16[變形4]：如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG，AE與CG相交于點M，CG與AD相交于點N．求證：；例3：如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中點，點N在BC上，MN⊥AB.求證：AN平分∠BAC.[變形1]：在Rt△ABC中，已知∠A=90°，DE⊥BC于E點，如果AD=DE，BD=CD，求∠C的度數(shù)AFBCED例4：（2008威海）把兩個含有45°角的直角三角板如圖1放置，點D在BC上，連結(jié)BE，AD，AD的延長線交BE于點F．求證：AFBCED例2：△DAC,△EBC均是等邊三角形，且A、C、B在同一直線上，AE,BD分別與CD,CE交于點M,N,EE求證：（1）AE=BD；(2)CM=CN；(3)△CMN為等邊三角形；（4）MN∥BC。EEDDACBNM例3：（10分）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，過A任作一直線l，作BD⊥l于D，CE⊥l于E，觀察三條線段BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系．⑴如圖1，當(dāng)l經(jīng)過BC中點時，DE=（1分），此時BDCE（1分）．⑵如圖2，當(dāng)l不與線段BC相交時，BD，CE，DE三者的數(shù)量關(guān)系為，并證明你的結(jié)論．（3分）⑶如圖3，當(dāng)l與線段BC相交，交點靠近B點時，BD，CE，DE三者的數(shù)量關(guān)系為．證明你的結(jié)論（4分），并畫圖直接寫出交點靠近C點時，BD，CE，DE三者的數(shù)量關(guān)系為．（1分）AlBAlBCABClEDABCDEl圖1圖2圖3八年級培優(yōu)班數(shù)學(xué)全等三角形復(fù)習(xí)題（競賽）1．如圖1，已知在等邊△ABC中，BD＝CE，AD與BE相交于P，則∠APE的度數(shù)是。2．如圖2，點E在AB上，AC＝AD，BC＝BD，圖中有對全等三角形。3．如圖3，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝60°，∠C＝25°，則∠BED等于度。4．如圖4所示的2×2方格中，連接AB、AC，則∠1＋∠2＝度。5．如圖5，下面四個條件中，請你以其中兩個為已知條件，第三個為結(jié)論，推出一個正確的命題。（）①AE＝AD；②AB＝AC；③OB＝OC；④∠B＝∠C。6．如圖6，在△ABC中，∠BAC＝90°，延長BA到點D，使AD＝AB，點E、F分別為邊BC、AC的中點。（1）求證：DF＝BE；（2）過點A作AG∥BC，交DF于點G，求證：AG＝DG。7．如圖7，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，AB＞AD，下列結(jié)論正確的是（）A.AB－AD＞CB－CDB.AB－AD＝CB－CDC.AB－AD＜CB－CDD.AB－AD與CB－CD的大小關(guān)系不確定8．InFig.8,Let△ABCbeanequilateraltriangle,DandEbepointsonedgesABandACrespectively,FbeintersectionofsegmentsBEandCD,and∠BFC=120°,thenthemagnituderelationbetweenADandCEis()A.AD>CEB.AD<CEC.AD=CED.indefinite（英漢小詞典：equilateral等邊的；intersection交點；indefinite不確定的；magnitude大小，量）9．如圖9，在△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝80°，O為△ABC中一點，∠OAB＝10°，∠OBA＝30°，則線段AO的長是。10．如圖10，已知BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點P在BD的延長線上，BP＝AC，點Q在CE上，CQ＝AB。求證：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ。11．如圖11，在△ABC中，∠C＝60°，AC＞BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等邊三角形，而點D在AC上，且BC＝DC。（1）證明：△C′BD≌△B′DC；（2）證明：△AC′D≌△DB′A；12．如圖12，在△ABC中，D、E分別是AC、BC上的點，若△ADB≌EDB≌EDC，則∠C的度數(shù)為。13．如圖13，已知△ABC的六個元素，則下列甲、乙、丙三個三角形中和△ABC全等的圖形是。14．如圖14，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于H點，請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件：，使△AEH≌△CEB。15．如圖15，在△ABC中，已知AB＝AC，要使AD＝AE，需要添加的一個條件是。16．有一腰長為5㎝，底邊長為4㎝的等腰三角形紙片，沿著底邊上的中線將紙片剪開，得到兩個全等的直角三角形紙片，用這兩個直角三角形紙片拼成的平面圖形中有個不同的四邊形。17．如圖16，△ABF和△ADC是△ABC分別沿著AB、AC邊翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，則∠α的度數(shù)為。18．如圖17，已知CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，你能說明△BDF和△CDE全等嗎？若能，請你說明理由；若不能，在不用增加輔助線的情況下，請?zhí)砑悠渲幸粋€適當(dāng)?shù)臈l件，這個條件是，來說明這兩個三角形全等，并寫出證明過程。19．如圖19，在△ABC中，AB＝AC，過點A作GE∥BC，角平分線BD、CF相交于點H，它們的延長線分別交GE于點E、G。試在圖中找出3對全等三角形，并對其中一對全等三角形給出證明。20．如圖20，在△AFD和△BEC中，點A、E、F、C在同一直線上，有下面四個論斷：①AD＝CB；②AE＝CF；③∠B＝∠D；④AD∥BC。請用其中有一個作為條件，余下的一個作為結(jié)論，編一道數(shù)學(xué)問題，并寫出解答過程。21．如圖21－①，小明剪了一個等腰梯形ABCD，其中AD∥BC，AB＝DC；又剪了一個等邊△EFG，同桌的小華拿過來拼成如圖②的形狀，她發(fā)現(xiàn)AD與FG恰好完全重合，于是她用透明膠帶將梯形ABCD與△EFG粘在一起，并沿EB、EC剪下。小華得到的△EBC是什么三角形？請你作出判斷并說明理由。22．如圖22，在△ABC與△DEF中，給出以下六個條件：①AB＝DE；②BC＝EF；③AC＝DF；④∠A＝∠D；⑤∠B＝∠F；⑥∠A＝∠D，以其中三個條件作為已知，不能判斷△ABC與△DEF全等的是（）A.①⑤②B.①②③C.④⑥①D.②③④23．如圖23（1），在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，將△ADE沿線段DE向下折疊，得到圖23（2），下列關(guān)于圖23（2）的四個結(jié)論中，不一定成立的是（）A.點A落在BC邊的中點B.∠B＋∠1＋∠C＝180°C．△DBA是等腰三角D.DE∥BC24．如圖24，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列不能判定△ABM≌△CDN的條件是（）A.∠M＝∠NB.AB＝CDC.AM＝CND.AM∥CN25．如圖25，在△ABC中，點D在AB上，點E在BC上，BD＝BE。（1）請你再添加一個條件，使得△BEA≌△BDC，并給出證明，你添加的條件是：。并給出證明。（2）根據(jù)你添加的條件，再寫出圖中的一對全等三角形：（只要求寫出一對全等三角形，不再添加其他線段，不再標(biāo)注或使用其他字母，不必寫出證明過程）。26．如圖26，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D點，E在AD上，且DE＝CD，求證：BE＝AC。27．已知：如圖27，給出下列三個式子：①EC＝BD；②∠BDA＝∠CEA；③AB＝AC；請將其中的兩個式子作為題設(shè)，一個式子作為結(jié)論，構(gòu)成一個真命題（收發(fā)室形式：如果……，那么……），并給出證明。28．如圖28，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，已知∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，求證：AO＝BO。29．如圖29，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直線上，下面有四個條件，請你在其中選3個作為題設(shè)，余下一個作為結(jié)論，寫一個真命題，并加以證明。①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF。30．如圖30，已知△ABC為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且△DEF也是等邊三角形。（1）除已知相等的邊以外，請你猜想還有哪些相等線段，并證明你的猜想是正確的；（2）你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變化想到得到？寫出變化過程。31．如圖31，點B在AE上，∠CAB＝∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可補(bǔ)充的一個條件是：（寫一個即可）。32．如圖32，AC交BD于點O，請你從下面三項中選出兩個作為條件，另一個為結(jié)論，寫出一個真命題，并加以證明。①OA＝OC；②OB＝OD；③AB∥DC。33．如圖33，要在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件限制，無法直接度量A、B兩點間的距離。請你用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識按以下要求設(shè)計一測量方案。（1）畫出測量圖案；（2）寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示）；（3）設(shè)計AB的距離（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）。34．如圖34，在△ABC中，D是AB上一點，DF交AC于點E，DE＝FE，AE＝CE，AB與CF有什么位置關(guān)系？證明你的結(jié)論。35．如圖35，OP是∠AOC和∠BOD的平分線，OA＝OC，OB＝OD。求證：AB＝CD。36．如圖36，已知AB＝AC，（1）若CE＝BD，求證：GE＝GD；（2）若DE＝mBD（m為正數(shù)），試猜想GE與GD有何關(guān)系。（只寫結(jié)論，不證明）37．復(fù)習(xí)“全等三角形”知識時，都是布置了一道作業(yè)題：“如圖37（1），已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC內(nèi)任意一點，將AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ，使∠QAP＝∠BAC，連接BQ、CP，則BQ＝CP?！毙×潦莻€愛動腦筋的同學(xué)，他通過圖（2）的分析，證明了△ABQ≌△ACP，從而證得BQ＝CP，之后，他將點P移到等腰三角形ABC之外，原題中其他條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQ＝CP”仍然成立，請你就圖（2）給出證明。38．文文和彬彬在證明“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”這一命題時，畫出圖形，寫出“已知”“求證”（如圖38），她們對各自所作的輔助線描述如下：文文：“過點A作BC的中垂線AD，垂足為D”；彬彬：“作△ABC的角平分線AD”。數(shù)學(xué)老師看了兩位同學(xué)的輔助線作法后說：“彬彬的作法是正