（精心整理）二次函數復習專題講義

第1-3講二次函數全章綜合提高【知識清單】※一、網絡框架※二、清單梳理1、一般的，形如的函數叫二次函數。例如等都是二次函數。注意：系數不能為零，可以為零。2、二次函數的三種解析式（表達式）=1\*GB3①一般式：=2\*GB3②頂點式：，頂點坐標為=3\*GB3③交點式：3、二次函數的圖像位置與系數之間的關系=1\*GB3①：決定拋物線的開口方向及開口的大小。當時，開口方向向上；當時，開口方向向下。決定開口大小，當越大，則拋物線的開口越?。划斣叫?，則拋物線的開口越大。反之，也成立。=2\*GB3②：決定拋物線與軸交點的位置。當時，拋物線與軸交點在軸正半軸（即軸上方）；當時，拋物線與軸交點在軸負半軸（即軸下方）；當時，拋物線過原點。反之，也成立。=3\*GB3③：共同決定拋物線對稱軸的位置。當時，對稱軸在軸右邊；當時，對稱軸在軸左邊；當（即當時）對稱軸為軸。反之，也成立。=4\*GB3④特別：當時，有；當，有。反之也成立。4、二次函數的圖像可由拋物線向上（向下），向左（向右）平移而得到。具體為：當時，拋物線向右平移個單位；當時，拋物線向左平移個單位，得到；當時，拋物線再向上平移個單位，當時，拋物線再向下平移個單位，而得到的圖像。5、拋物線與一元二次方程的關系：=1\*GB3①若拋物線與軸有兩個交點，則一元二次方程有兩個不相等的實根。=2\*GB3②若拋物線與軸有一個交點，則一元二次方程有兩個相等的實根（即一根）。=3\*GB3③若拋物線與軸無交點，則一元二次方程沒有實根。6、二次函數的圖像與性質關系式圖像形狀拋物線頂點坐標對稱軸增減性在圖像對稱軸左側，即或，隨的增大而減小；在圖像對稱軸右側，即或，隨的增大而增大；在圖像對稱軸左側，即或，隨的增大而增大；在圖像對稱軸右側，即或，隨的增大而減??；最大值最小值當時，當時，當時，當時，【考點解析】考點一：二次函數的概念【例1】下列函數中是二次函數的是（）【解析】根據二次函數的定義即可做出判斷，中符合的形式，所以是二次函數，分別是一次函數和反比例函數，中右邊不是整式，顯然不是二次函數?！敬鸢浮俊纠?】已知函數是二次函數，則。【解析】根據二次函數的定義，只需滿足兩個條件即可“二次項系數不為零，且的最高次數為”。故有，解得，綜上所述，取1?！敬鸢浮?【針對訓練】若函數是二次函數，則該函數的表達式為?？键c二：待定系數法在求解二次函數解析式中的應用【例1】已知點在二次函數的圖象上，則的值是（）【解析】因為點在二次函數的圖象上，所以將點代入二次函數中，可以得出，則可得，【答案】【例2】（2011，泰安）若二次函數的與的部分對應值如下表，則當時，的值為（）【解析】設二次函數的解析式為，因為當或時，，由拋物線的對稱性可知，，所以，把代入得，，所以二次函數的解析式為，當時，。【答案】【針對訓練】(2002年太原)過,,三點的拋物線的頂點坐標是（）2、無論為何實數，二次函數的圖象總是過定點（）【例3】（2010，石家莊一模）如圖所示，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象頂點為，且過點，則與的函數關系式為（）【解析】設這個二次函數的關系式為，將代入得，解得：，故這個二次函數的關系式是，【答案】【針對訓練】二次函數的頂點為，則二次函數的解析式為________.【例4】二次函數過點，則二次函數的解析式為______?？键c三：二次函數的圖像與性質的綜合應用（與系數的關系）【例1】（2012，蘭州）已知二次函數有最小值1，則、的大小關系為（）不能確定【考點】涉及二次函數頂點坐標和最值【解析】因為二次函數有最小值1，所以，，，所以?！敬鸢浮俊踞槍τ柧殹?、二次函數的最小值是。2、（2013，蘭州）二次函數的圖象的頂點坐標是（）3、拋物線的頂點坐標是（）【例2】（2012，蘭州）拋物線可以由拋物線平移得到，則下列平移過程正確的是（）先向左平移2個單位，再向上平移3個單位先向左平移2個單位，再向下平移3個單位先向右平移2個單位，再向下平移3個單位先向右平移2個單位，再向上平移3個單位【考點】涉及函數平移問題【解析】拋物線向左平移2個單位可得到拋物線，再向下平移3個單位可得到拋物線。【答案】【針對訓練】1、（2012，南京）已知下列函數：（1）；（2）；（3）。其中，圖象通過平移可以得到函數的圖象的有（填寫所有正確選項的序號）。2、（2009，上海）將拋物線向上平移一個單位后，得到新的拋物線，那么新的拋物線的表達式是。3、將拋物線向左平移2個單位后，得到的拋物線的解析式是（）4、將拋物線向下平移3個單位，在向左平移4個單位得到拋物線，則原拋物線的頂點坐標是__________?！纠?】（2013，長沙）二次函數的圖象如圖所示，則下列關系式錯誤的是（）【考點】圖像與系數的關系【解析】觀察題中圖象可知，拋物線的開口方向向上，拋物線與軸的交點在軸的正半軸上，與軸有兩個交點，所以，，，且當時，。顯然選項A、B、C都正確，只有選項D錯誤。【答案】【例4】（2011，山西）已知二次函數的圖象如圖所示，對稱軸為直線，則下列結論正確的是（）方程的兩根是，當時，隨的增大而減小【考點】圖像與性質的綜合應用【解析】由圖象可知，，故A錯誤；因對稱軸為直線，所以，故C錯誤；由圖象可知當時，隨的增大而增大，故D錯誤；由二次函數的對稱性可知B選項正確，【答案】【針對訓練】1、（2013，呼和浩特）在同一平面直角坐標系中，函數和函數（是常數，且）的圖象可能是（）2、（2011，重慶）已知拋物線在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則下列結論中，正確的是（）3、在反比例函數中，當時，隨的增大而減小，則二次函數的圖象大致是（）4、如圖所示，二次函數的圖像經過，且與軸的交點的橫坐標分別為，其中，下列結論：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④，其中正確的選項有______________?！纠?】已知關于的函數，求當時函數的最大值和最小值【針對訓練】已知函數，試求當的最大值和最小值已知函數，試求當的最大值和最小值【例6】已知二次函數其中滿足和，則該二次函數的對稱軸是直線____________?！踞槍τ柧殹恳阎嵌魏瘮档膱D像上的兩點，則當時，二次函數的值是__________.【例7】已知二次函數，當時，的值隨值的增大而增大，則實數的取值范圍是____________?！踞槍τ柧殹咳舳魏瘮?，當時，隨的增大而減小，則的取值范圍是_________。講到這兒了考點四：二次函數的實際應用【例1】（2011，重慶）某企業(yè)為重慶計算機產業(yè)基地提供電腦配件，受美元走低的影響，從去年1至9月，該配件的原材料價格一路攀升，每件配件的原材料價格（元）與月份（，且取整數）之間的函數關系如下表：月份123456789價格（元/件）560580600620640660680700720隨著國家調控措施的出臺，原材料價格的漲勢趨緩，10至12月每件配件的原材料價格（元）與月份（10≤≤12，且取整數）之間存在如圖所示的變化趨勢：（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，直接寫出與之間的函數關系式，根據如圖所示的變化趨勢，直接寫出與之間滿足的一次函數關系式；（2）若去年該配件每件的售價為1000元，生產每件配件的人力成本為50元，其它成本30元，該配件在1至9月的銷售量（萬件）與月份滿足函數關系式（1≤≤9，且取整數）10至12月的銷售量（萬件）與月份滿足函數關系式（10≤≤12，且取整數）．求去年哪個月銷售該配件的利潤最大，并求出這個最大利潤；（3）今年1至5月，每件配件的原材料價格均比去年12月上漲60元，人力成本比去年增加20%，其它成本沒有變化，該企業(yè)將每件配件的售價在去年的基礎上提高，與此同時每月銷售量均在去年12月的基礎上減少．這樣，在保證每月上萬件配件銷量的前提下，完成了1至5月的總利潤1700萬元的任務，請你參考以下數據，估算出的整數值．（參考數據：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）【考點】涉及函數模型，把實際問題轉化為函數，用函數的觀點來解決問題，綜合性比較強，一般還涉及不等式，最值問題。【解析】（1）把表格（1）中任意2點的坐標代入直線解析式可得的解析式．把（10，730）（12，750）代入直線解析式可得的解析式，；（2）分情況探討得：1≤≤9時，利潤=×（售價﹣各種成本）；10≤≤12時，利潤=×（售價﹣各種成本）；并求得相應的最大利潤即可；（3）根據1至5月的總利潤1700萬元得到關系式求值即可。解：（1）設，則QUOTE，解得QUOTE，∴（1≤≤9，且取整數）；設，則QUOTE，解得QUOTE，∴（10≤≤12，且取整數）；（2）設去年第月的利潤為元．1≤≤9，且取整數時∴=4時，最大=450元；10≤≤12，且取整數時，∴=10時，最大=361元；（3）去年12月的銷售量為﹣0.1×12+2.9=1.7（萬件），今年原材料價格為：750+60=810（元）今年人力成本為：50×（1+20%）=60元．∴5×[1000×（1+）﹣810﹣60﹣30]×1.7（1﹣0.1×）=1700，設，整理得，解得∵9401更接近于9409，∴QUOTE，∴≈0.1，≈9.8，∴≈10或≈980，∵1.7（1﹣0.1×）≥1，∴≈10．【答案】（1）（10≤≤12，且取整數）；（2）=10時，最大=361元；（3）≈10【針對訓練】1、（2013湖北孝感）在“母親節(jié)”前夕，我市某校學生積極參與“關愛貧困母親”的活動，他們購進一批單價為20元的“孝文化衫”在課余時間進行義賣，并將所得利潤捐給貧困母親。經試驗發(fā)現，若每件按24元的價格銷售時，每天能賣出36件；若每件按29元的價格銷售時，每天能賣出21件．假定每天銷售件數y（件）與銷售價格x（元/件）滿足一個以x為自變量的一次函數。（1）求y與x滿足的函數關系式（不要求寫出x的取值范圍）；（2）在不積壓且不考慮其他因素的情況下，銷售價格定為多少元時，才能使每天獲得的利潤最大？【例2】（2010，孝感）如圖，已知二次函數圖象的頂點坐標為（2，0），直線與二次函數的圖象交于兩點，其中點在軸上．（1）二次函數的解析式為=；（2）證明點不在（1）中所求的二次函數的圖象上；（3）若為線段的中點，過點作軸于點，與二次函數的圖象交于點．①軸上存在點，使以為頂點的四邊形是平行四邊形，則K點的坐標是；②二次函數的圖象上是否存在點，使得？求出點坐標；若不存在，請說明理由．【考點】考察函數的圖像與性質，與平面圖形綜合為主，一般涉及存在性問題和動點問題?！窘馕觥浚?）由二次函數圖象的頂點坐標為，故根據拋物線的頂點式寫出拋物線解析式．（2）把該點代入拋物線上，得到的一元二次方程，求根的判別式．（3）由直線與二次函數的圖象交于兩點，解得兩點坐標，求出點坐標，①設點坐標，使為頂點的四邊形是平行四邊形，則，且，進而求出點的坐標．②過點作軸于，則，又為中點，求得點坐標，可得到，設，由題意可以解出．（1）解：（2）證明：設點在二次函數的圖象上，則有：，整理得，∵∴原方程無解，∴點不在二次函數的圖象上．（3）解：①或②二次函數的圖象上存在點，使得，如圖，過點作軸于，則，又為中點，∴，由于和可求得點∴∴軸，∴．設，由題意得：∵∴解得或，當時，，當時，，∴存在點和，使得【答案】（1）；（2）見上述解答過程；（3）存在，點和【例3】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點和點，與軸的另一個交點為。求拋物線的函數表達式；點在對稱軸的右側、軸上方的拋物線上，且，求點的坐標；在（2）的條件下，連接，交拋物線對稱軸于點，連接。=1\*GB3①判斷四邊形的形狀，并說明理由；=2\*GB3②點是的中點，點是直線上的一個動點，且點和點不重合，當時，請直接寫出線段的長【答案】（1）（2）（3）平行四邊形；或【針對訓練】1、（2012，泉州）如圖，為坐標原點，直線l繞著點旋轉，與經過點的二次函數的圖象交于不同的兩點．（1）求的值；（2）通過操作、觀察，算出的面積的最小值（不必說理）；（3）過點作直線，與軸交于點，試問：在直線l的旋轉過程中，四邊形是否為梯形？若是，請說明理由；若不是，請指出四邊形的形狀．【基礎闖關】1、已知二次函數的圖象如圖所示，那么這個函數的解析式為。2、已知二次函數，則函數的最小值是。3、把拋物線向上平移5個單位，所得拋物線的解析式為。4、（2011，濟寧）將二次函數化成的形式，則。5、（2006，陜西）如圖，拋物線的函數表達式是（）6、已知函數的圖象如圖所示，則函數的圖象是（）7、（2013，蘭州）二次函數的圖象的頂點坐標是（）（1，3） （，3） （1，） （，）8、（2013，泰安）對于拋物線，下列結論：①拋物線的開口向下；②對稱軸為直線；③頂點坐標為（﹣1，3）；④時，隨的增大而減小，其中正確結論的個數為（）1 23 49、（2013，貴陽）已知：直線過拋物線的頂點，如圖所示．（1）頂點的坐標是____________________________（2）若直線經過另一點（0，11），求出該直線的表達式；

（3）在（2）的條件下，若有一條直線與直線關于軸成軸對稱，求直線與拋物線的交點坐標．10、（2010，虹口區(qū)一模）已知二次函數，解答下列問題：

（1）用配方法將該函數解析式化為的形式；

（2）指出該函數圖象的開口方向、頂點坐標、對稱軸，以及它的變化情況．【拓展提高】1、將二次函數的圖象沿軸向上平移3個單位，那么平移后的二次函數圖象的頂點坐標是。2、若拋物線的最低點的縱坐標為，則的值是。3、拋物線的頂點坐標是，且過點，那么二次函數的解析式為（）4、（2010，蘭州）拋物線圖象向右平移2個單位再向下平移3個單位，所得圖象的解析式為，則、的值為（），，，，5、（2010，蘭州）拋物線圖象如圖所示，則一次函數與反比例函數在同一坐標系內的圖象大致為（）6、（2012，南寧）如圖，在平面直角坐標系中，有兩條位置確定的拋物線，它們的對稱軸相同，則下列關系不正確的是（）k=nh=mk＜nh＜0，k＜07、（2010，北京）將二次函數化為的形式，結果為（） 8、（2012，重慶）企業(yè)的污水處理有兩種方式，一種是輸送到污水廠進行集中處理，另一種是通過企業(yè)的自身設備進行處理．某企業(yè)去年每月的污水量均為12000噸，由于污水廠處于調試階段，污水處理能力有限，該企業(yè)投資自建設備處理污水，兩種處理方式同時進行．1至6月，該企業(yè)向污水廠輸送的污水量y1（噸）與月份（1≤≤6，且取整數）之間滿足的函數關系如下表：月份x（月）12