重積分知識(shí)點(diǎn)

word文檔可自由復(fù)制編輯第九章

重積分教學(xué)內(nèi)容

二重積分、三重積分的概念和性質(zhì)，二重積分、三重積分的計(jì)算和應(yīng)用。教學(xué)目的、要求

1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分中值定理。

2.熟練掌握二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算方法。

3.掌握二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法，掌握三重積分在直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系下的計(jì)算方法。4.會(huì)用重積分來(lái)表達(dá)一些幾何量（如平面圖形的面積、體積、曲面面積）和物理量（如質(zhì)量、質(zhì)心坐標(biāo)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）。重點(diǎn)與難點(diǎn)

1重點(diǎn)：二重積分的概念與計(jì)算。

2難點(diǎn)：三重積分的計(jì)算，重積分的應(yīng)用。第一節(jié)

二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念1、曲頂柱體的體積設(shè)有一空間立體,它的底是面上的有界區(qū)域,它的側(cè)面是以的邊界曲線為準(zhǔn)線,而母線平行于軸的柱面,它的頂是曲面(在上連續(xù))且,這種立體稱為曲頂柱體。曲頂柱體的體積可以這樣來(lái)計(jì)算:用任意一組曲線網(wǎng)將區(qū)域分成個(gè)小區(qū)域

,以這些小區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線,作母線平行于軸的柱面,這些柱面將原來(lái)的曲頂柱體分劃成個(gè)小曲頂柱體

。（假設(shè)所對(duì)應(yīng)的小曲頂柱體為,這里既代表第個(gè)小區(qū)域,又表示它的面積值,既代表第個(gè)小曲頂柱體,又代表它的體積值。）從而。

由于連續(xù),對(duì)于同一個(gè)小區(qū)域來(lái)說(shuō),函數(shù)值的變化不大。因此,可以將小曲頂柱體近似地看作小平頂柱體,于是。整個(gè)曲頂柱體的體積近似值為

。為得到的精確值,只需讓這個(gè)小區(qū)域越來(lái)越小,即讓每個(gè)小區(qū)域向某點(diǎn)收縮。為此,我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念:一個(gè)閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點(diǎn)距離的最大者。所謂讓區(qū)域向一點(diǎn)收縮性地變小,意指讓區(qū)域的直徑趨向于零。設(shè)個(gè)小區(qū)域直徑中的最大者為,則2、平面薄片的質(zhì)量設(shè)有一平面薄片占有

面上的區(qū)域,它在處的面密度為,這里,而且在上連續(xù),現(xiàn)計(jì)算該平面薄片的質(zhì)量。將分成個(gè)小區(qū)域

用記的直徑,

既代表第個(gè)小區(qū)域又代表它的面積。當(dāng)很小時(shí),由于連續(xù),每小片區(qū)域的質(zhì)量可近似地看作是均勻的,那么第小塊區(qū)域的近似質(zhì)量可取為，于是

，

兩種實(shí)際意義完全不同的問(wèn)題,最終都?xì)w結(jié)同一形式的極限問(wèn)題。因此,有必要撇開這類極限問(wèn)題的實(shí)際背景,給出一個(gè)更廣泛、更抽象的數(shù)學(xué)概念---二重積分。3、二重積分的定義[定義]設(shè)是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù),將區(qū)域任意分成個(gè)小閉區(qū)域：,其中:

既表示第個(gè)小閉區(qū)域,也表示它的面積。在每個(gè)上任取一點(diǎn)，作乘積，并作和。如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨于零時(shí)，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)在閉區(qū)域上的二重積分，記作，即其中:

叫做被積函數(shù)；叫做被積表達(dá)式；叫做面積元素；與叫做積分變量；叫做積分區(qū)域；叫做積分和。若在閉區(qū)域上連續(xù),則在上的二重積分存在。由于二重積分的定義中對(duì)區(qū)域的劃分是任意的,若用一組平行于坐標(biāo)軸的直線來(lái)劃分區(qū)域,那么除了靠近邊界曲線的一些小區(qū)域之外,絕大多數(shù)的小區(qū)域都是矩形,因此,可以將記作

(并稱為直角坐標(biāo)系下的面積元素),二重積分也可表示成為

。若,二重積分表示以為頂,以為底的曲頂柱體的體積。如果是負(fù)的，柱體就在面的下方，二重積分的絕對(duì)值仍等于柱體的體積，但二重積分的值是負(fù)的。如果在的若干部分區(qū)域上是正的，而在其他的部分區(qū)域上是負(fù)的，我們可以把面上方的柱體體積取成正，下方的柱體體積取成負(fù)，則在上的二重積分就等于這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和。二、二重積分的性質(zhì)二重積分與定積分有相類似的性質(zhì)1、【線性性】

其中:是常數(shù)。2、【對(duì)區(qū)域的可加性】若區(qū)域分為兩個(gè)部分區(qū)域與,則3、若在上,

,為區(qū)域的面積,則：幾何意義:高為的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積。4、若在上,,則有不等式：特別地,由于，有：5、【估值不等式】設(shè)與分別是在閉區(qū)域上最大值和最小值,

是的面積,則6、【二重積分的中值定理】設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù),

是的面積,則在上至少存在一點(diǎn),使得

【例1】估計(jì)二重積分

的值,

是圓域。解:求被積函數(shù)f(x,y)=x2+4y2+9在區(qū)域上的最值：,,于是有

【例2】比較積分與的大小,

其中D是三角形閉區(qū)域,三頂點(diǎn)各為(1,0),(1,1),(2,0)。解：三角形斜邊方程，在D內(nèi)有,故,

于是,因此

。

第二節(jié)

二重積分的計(jì)算法利用二重積分的定義來(lái)計(jì)算二重積分顯然是不實(shí)際的,二重積分的計(jì)算是通過(guò)兩個(gè)定積分的計(jì)算(即二次積分)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分如果積分區(qū)域D為X－型：，，、在區(qū)間上連續(xù)。的值等于以D為底，以曲面為頂?shù)那斨w的體積應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得：

如果積分區(qū)域D為Y－型：，、在區(qū)間上連續(xù)。

。X型區(qū)域的特點(diǎn)：

穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).如果積分區(qū)域既不是X型區(qū)域，又不是Y型區(qū)域，則可把D分成幾部分，使每個(gè)部分是X型區(qū)域或是Y型區(qū)域，每部分上的二重積分求得后，根據(jù)二重積分對(duì)于積分區(qū)域具有可加性，它們的和就是在D上的二重積分。

【例1】改變積分

的次序.解：原式.【例2】改變積分的次序.解：原式.

【例3】計(jì)算,其中是由拋物線及直線所圍成的區(qū)域。解：(法一)

,

(法二)

,

【例4】求，其中D是以為頂點(diǎn)的三角形.解:

無(wú)法用初等函數(shù)表示，

積分時(shí)必須考慮次序。注意：在化二重積分為二次積分時(shí)，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，需要選擇恰當(dāng)?shù)亩畏e分的次序。這時(shí)，即要考慮積分區(qū)域D的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性。

【例5】求由曲面及所圍成的立體的體積。解:立體在面的投影區(qū)域?yàn)椋?/p>

二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

極坐標(biāo)系中的二重積分,同樣可以化歸為二次積分來(lái)計(jì)算。【情形一】，其中函數(shù),

在上連續(xù)。

【情形二】，極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界曲線上。【情形三】，極點(diǎn)O在區(qū)域D的內(nèi)部。

【例6】將下列區(qū)域用極坐標(biāo)變量表示1、解：2、解：【例7】計(jì)算，其中D

是由中心在原點(diǎn)，半徑為的圓周所圍成的閉區(qū)域.解：在級(jí)坐標(biāo)系下，注意：本題如果用直角坐標(biāo)計(jì)算，由于積分不能用初等函數(shù)表示，所以算不出來(lái)。我們可以利用上面的結(jié)果來(lái)計(jì)算工程上常用的反常積分

。設(shè)

，

，顯然，而被積函數(shù)滿足

,故

再利用例7的結(jié)果有

,

,故不等式改寫成：

所以當(dāng)時(shí)有

,即

。注意：使用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分的原則：(1)、積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示(含圓弧,直線段)；(2)、被積函數(shù)表示式用極坐標(biāo)變量表示較簡(jiǎn)單(含,

為實(shí)數(shù))。

第三節(jié)

三重積分一、三重積分的概念[定義]設(shè)是空間有界閉區(qū)域上的有界函數(shù),將任意地分劃成個(gè)小區(qū)域

,其中表示第個(gè)小區(qū)域,也表示它的體積。在每個(gè)小區(qū)域上任取一點(diǎn),作乘積，，并作和式。如果當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值趨于零時(shí)這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)在閉區(qū)域上的三重積分。記作，即

其中叫體積元素。自然地,體積元素在直角坐標(biāo)系下也可記作成。若函數(shù)在區(qū)域上連續(xù),則三重積分存在。特別指出:二重積分的一些術(shù)語(yǔ)、性質(zhì)可相應(yīng)地移植到三重積分。如果表示某物體在處的質(zhì)量密度,是該物體所占有的空間區(qū)域,且在上連續(xù),則和式

就是物體質(zhì)量M的近似值,該和式當(dāng)時(shí)的極限值就是該物體的質(zhì)量M，故。特別地,當(dāng)時(shí),

。二、三重積分的計(jì)算1、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分在面上的投影區(qū)域?yàn)?過(guò)上任意一點(diǎn),作平行于軸的直線穿過(guò)內(nèi)部,與邊界曲面相交不多于兩點(diǎn)。亦即,

的邊界曲面可分為上、下兩片部分曲面。

,，其中,

在上連續(xù),并且

。，若，則三重積分可化為如下三次積分：這就是三重積分的計(jì)算公式,它將三重積分化成先對(duì)積分變量,次對(duì),最后對(duì)的三次積分。如果平行于x軸或y軸且穿過(guò)閉區(qū)域內(nèi)部的直線與的邊界曲面S相交不多于兩點(diǎn)，也可把閉區(qū)域投影到y(tǒng)oz面上或xoz面上，這樣便可把三重積分化為按其他順序的三次積分。如果平行于坐標(biāo)軸且穿過(guò)閉區(qū)域內(nèi)部的直線與邊界曲面S的交點(diǎn)多于兩個(gè),可仿照二重積分計(jì)算中所采用的方法,將分成若干個(gè)部分,(如),使在上的三重積分化為各部分區(qū)域(

)上的三重積分之和,當(dāng)然各部分區(qū)域()應(yīng)適合對(duì)區(qū)域的要求。【例1】計(jì)算,其中為球面及三坐標(biāo)面所圍成的位于第一卦限的立體。解:

計(jì)算三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分，即所謂截面法。有下述計(jì)算公式。設(shè)空間閉區(qū)域其中是豎標(biāo)為z的平面截閉區(qū)域所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域，則有：

【例2】計(jì)算三重積分，其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面所圍成的閉區(qū)域.解（一）

原式.解（二）

。

【例3】

計(jì)算三重積分，其中

是由橢球面所成的空間閉區(qū)域.解：，

原式

2、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分設(shè)為空間內(nèi)一點(diǎn),該點(diǎn)在面上的投影為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,則三個(gè)數(shù)稱作點(diǎn)的柱面坐標(biāo)。規(guī)定的取值范圍是：，，。柱面坐標(biāo)系的三組坐標(biāo)面分別為：,即以軸為軸的圓柱面；,即過(guò)軸的半平面；,即與面平行的平面。點(diǎn)的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)之間有關(guān)系式為：

用三組坐標(biāo)面,,,將分割成許多小區(qū)域,除了含的邊界點(diǎn)的一些不規(guī)則小區(qū)域外,這種小閉區(qū)域都是柱體?？疾煊筛魅〉梦⑿≡隽克傻闹w,該柱體是底面積為,高為的柱體,其體積為：，這便是柱面坐標(biāo)系下的體積元素,且有這就是三重積分由直角坐標(biāo)變量變換成柱面坐標(biāo)變量的計(jì)算公式。至于變量變換為柱面坐標(biāo)后的三重積分的計(jì)算，則可化為三次積分來(lái)進(jìn)行，其積分限要由在中的變化范圍來(lái)確定。具體說(shuō)來(lái)，用柱面坐標(biāo)表示積分區(qū)域的方法如下：(1)、找出在面上的投影區(qū)域,并用極坐標(biāo)變量表示之；(2)、在內(nèi)任取一點(diǎn),過(guò)此點(diǎn)作平行于軸的直線穿過(guò)區(qū)域,此直線與邊界曲面的兩交點(diǎn)之豎坐標(biāo)(將此豎坐標(biāo)表示成的函數(shù))即為的變化范圍?！纠?】求下述立體在柱面坐標(biāo)下的表示形式

球面與三坐標(biāo)面所圍成的立體且位于第一卦限內(nèi)的部分。解：

由錐面與平面所圍成的立體。解：【例5】利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分,其中是由曲面與平面所圍成的閉區(qū)域。解:

，2、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分這里，的變化范圍為：,三組坐標(biāo)面分別為：，即以原點(diǎn)為心的球面；，即以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、軸為軸的圓錐面；，即過(guò)軸的半平面。不難看出,點(diǎn)的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)間的關(guān)系為

用三組坐標(biāo)面,

,

,將分劃成許多小區(qū)域,考慮當(dāng)各取微小增量

所形成的六面體,若忽略高階無(wú)窮小,可將此六面體視為長(zhǎng)方體,其體積近似值為：，這就是球面坐標(biāo)系下的體積元素。由此，有：

這就是三重積分在球面坐標(biāo)系下的計(jì)算公式。其右端的三重積分可化為關(guān)于積分變量的三次積分來(lái)實(shí)現(xiàn)其計(jì)算,當(dāng)然,這需要將積分區(qū)域用球面坐標(biāo)加以表示。實(shí)際中經(jīng)常遇到的積分區(qū)域是這樣的，是一包圍原點(diǎn)的立體,其邊界曲面是包圍原點(diǎn)在內(nèi)的封閉曲面,將其邊界曲面方程化成球坐標(biāo)方程,據(jù)球面坐標(biāo)變量的特點(diǎn)有。例如:若是球體

,

則的球坐標(biāo)表示形式為

【例6】求半徑為的球面與半頂角為餓內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積。解：設(shè)球面通過(guò)原點(diǎn)，球心在軸上，又內(nèi)接錐面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其軸與軸重合，則球面方程為，錐面方程為。

第四節(jié)

重積分的應(yīng)用把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中。

若要計(jì)算的某個(gè)量U對(duì)于閉區(qū)域D具有可加性(即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域時(shí)，相應(yīng)地部分量可近似地表示為的形式，其中在內(nèi)。這個(gè)稱為所求量U的元素，記為，所求量的積分表達(dá)式為

。一、曲面的面積設(shè)曲面由方程給出,為曲面在面上的投影區(qū)域,函數(shù)在上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)和,現(xiàn)計(jì)算曲面的面積。在閉區(qū)域上任取一直徑很小的閉區(qū)域(它的面積也記作),在內(nèi)取一點(diǎn),對(duì)應(yīng)著曲面上一點(diǎn),曲面在點(diǎn)處的切平面設(shè)為。以小區(qū)域的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于軸的柱面,該柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面,由于的直徑很小,那一小片平面面積近似地等于那一小片曲面面積。曲面在點(diǎn)處的法線向量(指向朝上的那個(gè))為，它與軸正向所成夾角的方向余弦為

，，這就是曲面的面積元素,故，即：【例1】求球面含在柱面()內(nèi)部的面積。解:所求曲面在面的投影區(qū)域

曲面方程為

,則據(jù)曲面的對(duì)稱性,有若曲面的方程為或,可分別將曲面投影到面或面,設(shè)所得到的投影區(qū)域分別為或,類似地有或

二、質(zhì)心先討論平面薄片的質(zhì)心。設(shè)平面上有個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別位于，，處，質(zhì)量分別為．則該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心的坐標(biāo)為：

，

。其中為該質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，分別為該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸和軸的靜矩。設(shè)有一平面薄片,占有面上的閉區(qū)域,在點(diǎn)處的面密度為,假定在上連續(xù),如何確定該薄片的質(zhì)心坐標(biāo)。在閉區(qū)域上任取一直徑很小的閉區(qū)域(這小閉區(qū)域的面積也記作)，是這小閉區(qū)域上的一個(gè)點(diǎn)。由于的直徑很小，且在上連續(xù)，所以薄片中相應(yīng)于的部分的質(zhì)量近似等于，這部分質(zhì)量可近似看作集中在點(diǎn)上，于是可寫出靜矩元素及：，，以這些元素為被積表達(dá)式，在閉區(qū)域上積分，便得：，，又由平面薄片的質(zhì)量為：，從而,薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為：，如果薄片是均勻的,即面密度為常量,則十分顯然,這時(shí)薄片的質(zhì)心完全由閉區(qū)域的形狀所決定,因此,習(xí)慣上將均勻薄片的質(zhì)心稱之為該平面薄片所占平面圖形的形心?！纠?】求位于兩圓和之間的均勻薄片的質(zhì)心。解:因?yàn)殚]區(qū)域?qū)ΨQ于軸，所以可知:

，所求質(zhì)心是

。類似地，占有空間有界閉區(qū)域、在點(diǎn)處的密度為(假定在上連續(xù))的物體的質(zhì)心坐標(biāo)是，，其中三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量先討論平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)平面上有個(gè)質(zhì)點(diǎn),它們分別位于點(diǎn)處,質(zhì)量分別為。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于軸以及對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量依次為設(shè)有一薄片,占有面上的閉區(qū)域,在點(diǎn)處的面密度為,假定在上