2022-2023學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)專題《反比例函數(shù)與實際問題》含答案解析

專題反比例函數(shù)優(yōu)選提升題三：實際問題與反比例函數(shù)一、單選題1．（2022·甘肅·甘州中學(xué)九年級期末）如圖，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿A→C→B運動，到達(dá)B點即停止運動，過點P作PD⊥AB于點D，設(shè)運動時間為x（s），△ADP的面積為y（cm2），則能夠反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】過點P作PD⊥AB于點D，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，則AP=2x，當(dāng)點P從A→C的過程中，AD=x，PD=x，如圖1所示，則y=AD?PD==，（0≤x≤2），當(dāng)點P從C→B的過程中，BD=（8﹣2x）×=4﹣x，PD=（4﹣x），PC=2x﹣4，如圖2所示，則△ABC邊上的高是：AC?sin60°=4×=2，∴y=S△ABC﹣S△ACP﹣S△BDP=（2＜x≤4），故選B．點睛：此題空考查了動點問題函數(shù)圖象.幾何圖形中的動點問題,是代數(shù)的方程知識與幾何知識的綜合運用.解題的關(guān)鍵是要求有運動的觀點,搞清點的運動特性,對動態(tài)問題作靜態(tài)分析,解答時要注意以下幾點:(1)將與求解有關(guān)的線段用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出來;(2)明確幾何題與代數(shù)題不是截然分開的,解題時要有數(shù)形結(jié)合的思想;(3)考慮到方程的解應(yīng)符合實際意義,所以在求出方程的解后,要結(jié)合條件進行合理的取舍.對于動點類的題目,解題的關(guān)鍵在于抓住運動圖形的特殊位置,臨界位置及其特殊性質(zhì),解決此類問題的基本方法是從運動與變化的角度來觀察和研究圖形,把握圖形運動與變化的全過程,此類題目常需借助函數(shù)或方程解答.二、解答題2．（2022·河北·保定市清苑區(qū)北王力中學(xué)九年級期末）1896年，挪威生理學(xué)家古德貝發(fā)現(xiàn)，每個人有一條腿邁出的步子比另一條腿邁出的步子長的特點，這就導(dǎo)致每個人在蒙上眼睛行走時，雖然主觀上沿某一方向直線前進，但實際上走出的是一個大圓圈！這就是有趣的“瞎轉(zhuǎn)圈”現(xiàn)象．經(jīng)研究，某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑y(tǒng)/米是其兩腿邁出的步長之差x/厘米()的反比例函數(shù)，其圖象如下圖所示所示．請根據(jù)圖象中的信息解決下列問題：(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)某人兩腿邁出的步長之差為0.5厘米時，他蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑為多少米？(3)若某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑不小于35米，則其兩腿邁出的步長之差最多是多少厘米？【答案】(1)y=；(2)半徑為28米；(3)最多是0.4厘米．【分析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為，解方程即可得到結(jié)論；（2）把x=0.5代入反比例函數(shù)的解析式即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意列不等式即可得到結(jié)論．（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為，∴7=，∴k=14，∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=；（2）當(dāng)x=0.5時，y==28米，∴當(dāng)某人兩腿邁出的步長之差為0.5厘米時，他蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑為28米；（3）當(dāng)y≥35時，即≥35，∴x≤0.4，∴某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑不小于35米，則其兩腿邁出的步長之差最多是0.4厘米．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．3．（2022·安徽六安·九年級期末）東東在網(wǎng)上銷售一種成本為30元/件的T恤衫．銷售過程中的其他各種費用（不再含T恤衫成本）總計50（百元）．若銷售價格為x（元/件）．銷售量為y（百件）．當(dāng)時，y與x之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．且當(dāng)時，，有關(guān)銷售量y（百件）與銷售價格x（元/件）的相關(guān)信息如下：銷售量y（百件）_____________銷售價格x（元/件）(1)求當(dāng)時．y與x的函數(shù)關(guān)系式：(2)①求銷售這種T恤衫的純利潤w（百元）與銷售價格x（元/件）的函數(shù)關(guān)系式；②銷售價格定為每件多少元時．獲得的利潤最大?最大利潤是多少?【答案】(1)(2)①當(dāng)時，；當(dāng)時，；②銷售價格定為80元/件時，獲得的利潤最大，最大利潤是100百元【分析】（1）把把代入得，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b，把x=40，y=6；x=60，y=4，代入解方程組即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)x的范圍分類討論，由“總利潤=單件利潤×銷售量”可得函數(shù)解析式；②結(jié)合①中兩個函數(shù)解析式，分別依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)求其最值即可．(1)解：把代入得．設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：，∵當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，解得：，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：．(2)①當(dāng)時，；當(dāng)時，；②當(dāng)時，，∵隨x的增大而增大．∴當(dāng)（百元）．當(dāng)時，∵，∴w隨x的增大而增大，當(dāng)時，（百元）．答：銷售價格定為80元/件時，獲得的利潤最大，最大利潤是100百元．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)和反比例函數(shù)的應(yīng)用，理解題意依據(jù)相等關(guān)系列出函數(shù)解析式，并熟練掌握二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·廣東陽江·九年級期末）某科技有限公司成功研制出一種市場急需的電子產(chǎn)品，已于當(dāng)年投入生產(chǎn)并進行銷售，已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為4元/件，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：每年的年銷售量y（萬件）與銷售價格x（元/件）的關(guān)系如圖，其中AB段為反比例函數(shù)圖像的一部分，設(shè)公司銷售這種電子產(chǎn)品的年利潤為w（萬元）．(1)請求出y（萬件）與x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；①求出當(dāng)4≤x≤8時的函數(shù)關(guān)系式；②求出當(dāng)8＜x≤28時的函數(shù)關(guān)系式．(2)求出這種電子產(chǎn)品的年利潤w（萬元）與x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)求出年利潤的最大值．【答案】(1)①y＝；②y＝－x+28(2)w=(3)年利潤最大為114元【分析】（1）①當(dāng)4≤x≤8時，設(shè)（k≠0）.將點A（4，40）的坐標(biāo)代入計算即可；②當(dāng)8＜x≤28時，設(shè)y=k′x+b（k′≠0）.分別將點B（8，20），C（28，0）的坐標(biāo)代入y＝k′x+b，計算即可；（2）分4≤x≤8、8＜x≤28兩種情況，利潤w（萬元）與x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）分4≤x≤8、8＜x≤28兩種情況，分別求出w的最大值，進而求解；(1)①當(dāng)4≤x≤8時，設(shè)（k≠0）.將點A（4，40）的坐標(biāo)代入，得k＝4×40＝160，∴y＝②當(dāng)8＜x≤28時，設(shè)y=k′x+b（k′≠0）.分別將點B（8，20），C（28，0）的坐標(biāo)代入y＝k′x+b，得解得∴y＝－x+28(2)當(dāng)4≤x≤8時，w＝當(dāng)8＜x≤28時，w=(x－4)y＝(x－4)(－x+28)＝－x2+32x－112＝－(x－16)2+114綜上可知，w（萬元）與x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式為(3)當(dāng)4≤x≤8時，∵－640＜0，∴w隨x增大而增大，∴當(dāng)x＝8時，w有最大值，為當(dāng)8＜x≤28時，∵－1＜0∴當(dāng)x＝16時，w有最大值，為114∵80＜114∴當(dāng)每件的銷售價格定為16元時，年利潤最大為114元【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題，解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義；解題時注意，依據(jù)函數(shù)圖象可得函數(shù)關(guān)系式為分段函數(shù)，解決問題時需要運用分類思想以及數(shù)形結(jié)合思想進行求解．5．（2022·山東淄博·九年級期末）為了預(yù)防新冠肺炎，某學(xué)校對教室采用藥薰消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（mg）與時間x（min）成正比例，藥物燃燒后，y（mg）與x（min）成反比例，如圖所示，現(xiàn)測得藥物8min燃畢，此時室內(nèi)空氣每立方米的含藥量為6mg，請你根據(jù)題中提供的信息，解答下列問題：（1）分別求出藥物燃燒時和藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3mg且持續(xù)時間不低于10min時，才能殺滅空氣中的毒，那么這次消毒是否有效？為什么？【答案】（1）燃燒時，y=（0≤x≤8）；燃燒后，y=（x＞8）；（2）消毒有效，見解析．【分析】（1）當(dāng)0≤x≤8時，設(shè)正比例函數(shù)的解析式，代入點（8，6）計算；當(dāng)x＞8時，設(shè)反比例函數(shù)的解析式，代入點（8，6）計算；（2）當(dāng)兩個函數(shù)解析式的函數(shù)值為3時，求得對應(yīng)時間，計算兩個時間的時間差，比較即可．【詳解】（1）當(dāng)0≤x≤8時，設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=kx，把點（8，6）代入解析式，得8k=6，解得k=，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=（0≤x≤8）；當(dāng)x＞8時，設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=，把點（8，6）代入解析式，得m=6×8=48，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=（x＞8）；（2）當(dāng)y=3時，=3，解得=4；當(dāng)y=3時，=3，解得=16；∴持續(xù)時間為-=16-4=12＞10，∴本次消毒有效．【點睛】本題考查了一次函數(shù)，反比例函數(shù)的解析式的確定和生活中的實際意義，熟練掌握待定系數(shù)法確定解析式，靈活求自變量值是解題的關(guān)鍵．6．（2020·安徽合肥·九年級期末）小明同學(xué)利用寒假30天時間販賣草莓，了解到某品種草莓成本為10元/千克，在第天的銷售量與銷售單價如下（每天內(nèi)單價和銷售量保持一致）：銷售量

（千克）

銷售單價

（元/千克）

當(dāng)

時，當(dāng)

時，設(shè)第天的利潤元．（1）請計算第幾天該品種草莓的銷售單價為25元/千克？（2）這30天中，該同學(xué)第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？注：利潤＝（售價－成本）×銷售量【答案】（1）第10、20天該品種草莓的銷售單價為25元/千克；（2）第10天或16天時獲得的利潤最大，最大利潤為450元【分析】（1）分兩種情形分別代入解方程即可；（2）分兩種情形寫出所獲利潤y（元）關(guān)于x（天）的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答即可.【詳解】（1）當(dāng)時，把n=25代入得，，解得；當(dāng)時，把代入得，，解得x=20；答：第10、20天該品種草莓的銷售單價為25元/千克（2）當(dāng)時，=；∵，當(dāng)x=10時，w有最大值為450，當(dāng)時，w=，∵，當(dāng)時，w隨x的增大而減小，∴當(dāng)時，w有最大值為450．∴第10天或16天時獲得的利潤最大，最大利潤為450元?！军c睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.7．（2020·河北邢臺·九年級期末）超越公司將某品牌農(nóng)副產(chǎn)品運往新時代市場進行銷售，記汽車行駛時為t小時，平均速度為v千米/小時（汽車行駛速度不超過100千米/小時）．根據(jù)經(jīng)驗，v，t的一組對應(yīng)值如下表：v（千米/小時）7580859095t（小時）4.003.753.533.333.16（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出平均速度v（千米/小時）關(guān)于行駛時間t（小時）的函數(shù)表達(dá)式；（2）汽車上午7：30從超越公司出發(fā)，能否在上午10：00之前到達(dá)新時代市場？請說明理由．【答案】（1），（2）不能在上午10：00之前到達(dá)新時代市場，見