工程力學(xué)12-彎曲變形課件

工程力學(xué)彎曲變形第十二章問題1、近似撓曲線微分方程表達(dá)？如何求解？2、撓度是否發(fā)生在彎矩最大的位置？3、剛度條件？4、靜定基，變形比較法。工程背景（一）建筑結(jié)構(gòu)浦江兩岸工程背景（一）建筑結(jié)構(gòu)金茂大廈樓高420.5m

共88層工程背景（一）建筑結(jié)構(gòu)金茂大廈榮獲2001年“美國建筑師學(xué)會(huì)室內(nèi)建筑獎(jiǎng)”工程背景（二）大型橋梁工程背景（二）大型橋梁橋面結(jié)構(gòu)工程與工程力學(xué)高層建筑與大型橋梁工程背景（三）航天航空我國的長征火箭家族工程背景（三）航天航空太陽能電池帆板梁在載荷作用下，要有足夠的強(qiáng)度，它必須滿足強(qiáng)度條件，但是，是否梁滿足了強(qiáng)度條件之后，它就能夠正常地工作呢？往往并非如此。橋式起重機(jī)的大梁齒輪傳動(dòng)軸

梁還必須有足夠的剛度，即在受載后不至于發(fā)生過大的彎曲變形，否則構(gòu)件將無法正常工作。例如軋鋼機(jī)的軋輥，若彎曲變形過大，軋出的鋼板將薄厚不均勻，產(chǎn)品不合格；如果是機(jī)床的主軸，則將嚴(yán)重影響機(jī)床的加工精度?！?2-1引言彎曲變形的描述梁對(duì)稱面梁軸線變形變形特點(diǎn)：變形前為直線的梁軸線，變形后為曲線。這根曲線稱為撓曲線。q一、撓度及轉(zhuǎn)角的概念1．梁的撓曲線軸線變形后形成的光滑連續(xù)曲線1)轉(zhuǎn)角：2．梁變形的度量梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，符號(hào)：q，正負(fù)：逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)；2)撓度：梁橫截面形心的豎向位移，符號(hào)：w，正負(fù)：向上為正，反之為負(fù)。撓度隨軸線變化的關(guān)系3)撓曲線方程：——

；4)轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系：vxBAqwxB1§12-2撓曲線近似微分方程1.撓曲線近似微分方程的推導(dǎo)高等數(shù)學(xué)：對(duì)曲線v=f(x)其曲率為§12-2撓曲線近似微分方程1．力學(xué)關(guān)系：2．?dāng)?shù)學(xué)關(guān)系：3．撓曲線近似微分方程：在圖示坐標(biāo)下：vxBAwxB1qq小變形，撓曲線很平坦。與1相比可略去EIz為常數(shù)，撓曲線近似微分方程為§12-3計(jì)算梁位移的積分法C、D為積分常數(shù)，可由梁上某些點(diǎn)的位移的已知條件來確定?！D(zhuǎn)角方程——撓曲線方程邊界條件在約束處的轉(zhuǎn)角或撓度可以確定中間鉸支座A中間鉸A繪制撓曲線的方法：1.繪制M圖2.由M圖的正負(fù)、零點(diǎn)或零值區(qū)，確定撓曲線的凹凸或拐點(diǎn)或直線區(qū)，3.由位移邊界條件確定撓曲線的位置。例4-5如圖等直懸臂梁自由端受集中力作用，建立該梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并求自由端的轉(zhuǎn)角和撓度。

（1）按照?qǐng)D示坐標(biāo)系建立彎矩方程

請(qǐng)同學(xué)們自己做一下（時(shí)間:1分鐘）（2）撓曲線近似微分方程（3）積分（4）確定積分常數(shù)由邊界條件代入上面兩式（5）列出轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，將C、D的值代入方程（6）求B點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角在自由端，x=l例4-6如圖所示，簡支梁受集中力F作用，已知EI為常量。試求B端轉(zhuǎn)角和跨中撓度。（1）求約束反力FAFB（2）列出彎矩方程AC段CB段（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點(diǎn)處分段，故應(yīng)對(duì)AC和CB分別計(jì)算FAFB（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點(diǎn)處分段，故應(yīng)對(duì)AC和CB分別計(jì)算AC段CB段FAFB利用邊界條件和連續(xù)條件確定四個(gè)積分常數(shù)AC段CB段邊界條件:連續(xù)條件:由于撓曲線在C點(diǎn)處是連續(xù)光滑的，因此其左右兩側(cè)轉(zhuǎn)角和撓度應(yīng)相等。即代入上面的式子FAFB得到轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段CB段（5）求指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角若積分法求梁的變形關(guān)鍵點(diǎn)：分段列彎距方程尋找邊界條件分段AB、BC、CD三段，六個(gè)積分常數(shù)邊界條件PDABC邊界條件：分段原則：集中力作用點(diǎn)，集中力偶作用點(diǎn)，分布力的起、終點(diǎn)為分段點(diǎn)。邊界條件：支承條件、連續(xù)條件、光滑條件。有多少積分常數(shù)就有且僅有多少個(gè)邊界條件。ABC§12-4計(jì)算梁位移的疊加法積分法優(yōu)點(diǎn)：得到撓度方程w(x)和轉(zhuǎn)角方程(x)。因而可求出任意截面的撓度和轉(zhuǎn)角。積分法缺點(diǎn)：繁、荷載復(fù)雜時(shí)分段多，因而積分常數(shù)多。依據(jù)積分法的結(jié)果發(fā)展的疊加法效率更高。一、疊加法和疊力原理BAPPBAMBAMM單獨(dú)作用時(shí)的撓度與轉(zhuǎn)角P單獨(dú)作用時(shí)的撓度與轉(zhuǎn)角==某梁對(duì)應(yīng)某種荷載情況的撓度為w1該梁對(duì)應(yīng)另一種荷載情況的撓度為w2當(dāng)這兩種荷載同時(shí)作用在梁上時(shí)撓度為w則同樣地，=1+2彎曲變形很小材料服從胡克定律彎矩與載荷呈線性關(guān)系撓曲線的微分方程而且在工程實(shí)際中，我們往往關(guān)心的是一些指定點(diǎn)的撓度和一些指定截面的轉(zhuǎn)角。若干類荷載所引起的變形(撓度或轉(zhuǎn)角)

各單一類荷載引起的變形(查表)之和當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，可分別求出每個(gè)載荷單獨(dú)引起的變形，把所得變形疊加(代數(shù)和)即為這些載荷共同作用時(shí)的變形。---疊加法疊加法依據(jù)力作用的獨(dú)立性原則,分為：載荷疊加法和幾何疊加法,其中載荷疊加法較常用載荷疊加法:將結(jié)構(gòu)上共同作用的不同載荷分解為各種簡單載荷單獨(dú)作用的情況,然后利用預(yù)先計(jì)算好的簡單載荷作用下的結(jié)果(位移、應(yīng)力等）進(jìn)行疊加后得到載荷共同作用的結(jié)果。位移疊加法:將結(jié)構(gòu)上的位移理解為結(jié)構(gòu)各部分累積的結(jié)果，為求某點(diǎn)位移，許找到結(jié)構(gòu)各部分變形與所求點(diǎn)位移間的關(guān)系。然后將各部分對(duì)該點(diǎn)的位求和，得到計(jì)算結(jié)果。位移疊加法通常需要將結(jié)構(gòu)的一部分在想象中理解為剛體，即剛化過程。疊加法成立前提，線彈性、小變形例4-7求圖中所示梁跨中點(diǎn)的撓度及A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。已知，梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。=+例4-8

如圖，梁的左半段受到均布載荷q的作用，求B端的撓度和轉(zhuǎn)角。梁的抗彎剛度EI為常數(shù)?？紤]其變形:

由于CB段梁上沒有載荷，各截面的彎矩均為零，說明在彎曲過程中此段并不產(chǎn)生變形，即C’B’仍為直線。根據(jù)幾何關(guān)系可知：由于在小變形的假設(shè)前提下查表:代入上面的計(jì)算式在使用疊加法求解梁的變形時(shí)，我們通常需要參考教材表4-2中列出的各種基本形式梁的撓曲線方程和特定點(diǎn)的位移。類似于外伸梁和其它一些較為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的梁的問題中，有些梁是不能直接查表進(jìn)行位移的疊加計(jì)算，需要經(jīng)過分析和處理才能查表計(jì)算。一般的處理方式是把梁分段，并把每段按照受力與變形等效的原則變成表中形式的梁，然后查表按照疊加法求解梁的變形。也可將復(fù)雜梁的各段逐段剛化求解位移，最后進(jìn)行疊加來處理（逐段剛化法）。例4-9求圖11-4所示外伸梁的C截面的撓度轉(zhuǎn)角EI為常數(shù)。怎樣應(yīng)用表4-2中已有的結(jié)果？

對(duì)梁進(jìn)行分段剛化，利用受力與變形等效的原則來處理

首先剛化AB段，這樣BC段就可以作為一個(gè)懸臂梁來研究，

再剛化BC段，由于BC段被剛化，可將作用于BC段的均布載荷簡化到B支座，得到一個(gè)力和一個(gè)力偶

力F直接作用于支座，對(duì)梁的變形沒有影響，力偶M引起簡支梁AB的變形，同樣，段上的均布載荷也將引起AB段變形，

例3圖示懸臂梁EIz為常數(shù)，荷載情況如圖所示，試求B截面的撓度和轉(zhuǎn)角。解：先將作用在梁上的荷載分為分布荷載q和集中力P單獨(dú)作用這兩種情況。(圖1、2)ABLqPABLqLAPB(2)(1)然后由附錄IV查得均布荷載單獨(dú)作用時(shí)集中力單獨(dú)作用時(shí)應(yīng)用疊加法LAPBABLqAPB撓度：3、8、48、584轉(zhuǎn)角：2、6、16、24ABqPL/2L/2CL/2L/2C例4

求圖示梁截面B的撓度解：為了利用表中的結(jié)果，可將原荷載視為圖(1)和圖(2)兩種情況的疊加ABCaLqEIzABcLqABcLqa(1)(2)ABCaLqEIzABcLq(1)圖(2)CB段M=0，所以CB為直線ABcLqa2cf2c(2)B由疊加原理解法2dxaABxLqABxp=qdx距離A端為x的dx梁段上的荷載可視為集中力P對(duì)于懸臂梁和簡支梁任何荷載都可用此法處理。其引起的撓度查附錄IV為ABxp=qdx梁上同一點(diǎn)，同種變形，才能加。如何畫撓曲線的大致形狀（1）根據(jù)彎矩圖中各段M的正負(fù)號(hào)，來確定相應(yīng)各段撓曲線的凹凸性；彎矩圖中M出現(xiàn)正負(fù)號(hào)變化的點(diǎn)（0點(diǎn)）為撓曲線的拐點(diǎn)；若彎矩圖中有一段M=0，則此段撓曲線為直線。（2）然后，根據(jù)邊界條件和連續(xù)光滑條件，就可以將撓曲線的大致形狀畫出來。DBqa0.125qa2+_M舉例ABCP1C′分析圖示梁各截面的撓度和轉(zhuǎn)角P1P2ABCDABCP2C′Q=P2BCAC′C′BP2CM例5

求圖示荷載作用下，C截面的撓度。LaABCP為了求AB梁某點(diǎn)的變形可考慮將外力P向B點(diǎn)簡化,圖a和圖b,AB梁段中任一截面的彎矩均相同,即彎矩方程不變,A點(diǎn)、B點(diǎn)的支承條件也相同,因此,圖a和圖b在梁段AB上任一點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角均相同。解：我們分別考慮AB和BC梁段的情況。LaABCPLaABCP(a)(b)而圖b即為簡支梁在B端受載，可查表圖(a)中BC梁段與圖C的區(qū)別在于圖(a)中BC段的B截面有轉(zhuǎn)動(dòng),而圖C中B截面無轉(zhuǎn)動(dòng).我們可先視B截疊加,即可得到圖(a)中C面無轉(zhuǎn)動(dòng),求出C截面的撓度轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)C點(diǎn)撓度的影響與,然后求出B截面的截面的撓度。LaABCPBCP(a)(c)LaABCPBCPBaB(b)(c)§6-5簡單超靜定梁的解法一、超靜定梁的概念和解法1．多余約束：相對(duì)于平衡而言，不需要的約束。2．靜定基：超靜定結(jié)構(gòu)除去多余約束，代以相應(yīng)約束反力所得到的靜定結(jié)構(gòu)。3．變形協(xié)調(diào)條件：為與原超靜定結(jié)構(gòu)等效，靜定基在除去多余約束處應(yīng)滿足的變形條件。4．超靜定梁的解法：過程：判斷超靜定次數(shù)，除去多余約束，代以約束反力形成靜定基，利用變形協(xié)調(diào)條件求解約束反力。比較變形法二、例題例求下圖所示超靜定梁的支座反力。lABqABqFByMAFAyABqMA解：1)判斷超靜定次數(shù)：2)取靜定基：1次除去B點(diǎn)垂直位移約束(可動(dòng)鉸支座)，代以約束反力FBy3)變形協(xié)調(diào)條件4)利用平衡條件求其余反力5)靜定基的選取不是唯一的變形協(xié)調(diào)條件：例6求圖示梁的約束反力。ABCqll解：三個(gè)反力二個(gè)平衡方程所以為超靜定問題ACqRB§12-6梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)1.剛度條件對(duì)于梁的撓度，其容許值通常用許用的撓度與梁跨長的比值作為標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)于轉(zhuǎn)角，一般用容許轉(zhuǎn)角[]作為標(biāo)準(zhǔn)。即梁的剛度條件可寫為例已知:q=10kN/m，L=3m，試設(shè)計(jì)截面。ABLqhb解：(1)按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)最大彎矩發(fā)生在A截面，A截面為