高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】空間向量基本定理2-課件

年級(jí)：高二學(xué)科：數(shù)學(xué)（人教A版）空間向量基本定理（2）年級(jí)：高二1問(wèn)題1

你能用自己的語(yǔ)言復(fù)述空間向量基本定理嗎？問(wèn)題1你能用自己的語(yǔ)言復(fù)述空間向量基本定理嗎？2空間向量基本定理

我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底(base)，a，b，c都叫做基向量(basevectors).

如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.空間向量基本定理我們把{a，b，c}叫做空間3

特別地，如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．特別地，如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛?例1

如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN

上，且，，用向量表示問(wèn)：是否一定能做到？答：不共面，空間向量基本定理保證了可行性．可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．OABCMNP例1如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，5答：可以利用向量線性運(yùn)算的

運(yùn)算法則，如三角形法則、

平行四邊形法則等．問(wèn)：如何進(jìn)行表示？OABCMNP例1

如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN

上，且，，用向量表示答：可以利用向量線性運(yùn)算的問(wèn)：如何進(jìn)行表示？OABCMNP例6解：OABCMNPQ解：OABCMNPQ7問(wèn)題2

通過(guò)這道例題的解題過(guò)程，同學(xué)們能否總結(jié)出用基向量表示空間向量的方法呢？問(wèn)題2通過(guò)這道例題的解題過(guò)程，同學(xué)們能否總結(jié)出用基向量表8

結(jié)合圖形特征，利用三角形法則、平行四邊形法則、向量數(shù)乘等線性運(yùn)算法則，將待求向量逐步轉(zhuǎn)化為基向量，將未知化歸為已知.用基向量表示空間向量的方法結(jié)合圖形特征，利用三角形法則、平行四邊形法則9答：綜合幾何方法：?jiǎn)枺鹤C明異面直線垂直，你能想到

哪些方法？向量方法．證明異面直線所成角為直角；線面垂直的定義和性質(zhì)等．例2

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)．

求證MN⊥AC1．ABCDA1B1C1D1MN454答：綜合幾何方法：?jiǎn)枺鹤C明異面直線垂直，你能想到向量方法．證10答：可以轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題問(wèn)：如何使用向量方法解決立體幾何

問(wèn)題？例2

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)．

求證MN⊥AC1．ABCDA1B1C1D1MN454答：可以轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題問(wèn)：如何使用向量方法解決立體幾何例211答：可以轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題問(wèn)：如何使用向量方法解決立體幾何

問(wèn)題？例2

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)．

求證MN⊥AC1．求證只需證ABCDA1B1C1D1MN454答：可以轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題問(wèn)：如何使用向量方法解決立體幾何例212例2

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)．

求證MN⊥AC1．問(wèn)：如何計(jì)算？向已知條件轉(zhuǎn)化．ABCDA1B1C1D1MN454例2如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，A13證明：設(shè)這三個(gè)向量不共面，{a，b，c}是空間的一個(gè)基底．則所以所以

所以選取基底(不共面且已知長(zhǎng)度夾角)4ABCDA1B1C1D1MN45證明：設(shè)14用基向量表示相關(guān)向量還原為幾何問(wèn)題的解把相關(guān)向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為基向量的運(yùn)算向量問(wèn)題的解選取基底(不共面且已知長(zhǎng)度夾角)證明：設(shè)這三個(gè)向量不共面，{a，b，c}是空間的一個(gè)基底．則所以所以

所以選取基底(不共面且已知長(zhǎng)度夾角)用基向量表示相關(guān)向量還原為幾何問(wèn)題的解把相關(guān)向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為15立體幾何問(wèn)題用向量方法解決立體幾何問(wèn)題的路徑①適當(dāng)選取基底向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化②用基向量表示相關(guān)向量③將相關(guān)向量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基向量的問(wèn)題向量問(wèn)題向量問(wèn)題的解立體幾何問(wèn)題的解轉(zhuǎn)化向量方法理論基礎(chǔ)：空間向量基本定理立體幾何問(wèn)題用向量方法解決立體幾何問(wèn)題的路徑①適當(dāng)選取基底向16答：可以取單位正交基底．例3

如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥AC;問(wèn)：?jiǎn)挝徽襟w這個(gè)條件對(duì)解題有什么作用？單位：基向量長(zhǎng)度為1．正交：基向量?jī)蓛纱怪?，ABCDA'B'C'D'EFG任意兩不同基向量數(shù)量積為0．答：可以取單位正交基底．例3如圖，正方體ABCD－A'17問(wèn)：如何用向量方法證明EF//AC？答：只需證，只需證存在實(shí)數(shù)λ，使得．例3

如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥AC;ABCDA'B'C'D'EFG問(wèn)：如何用向量方法證明EF//AC？答：只需證18證明：設(shè)則{i，j，k}構(gòu)成空間的一個(gè)單位正交基底．所以所以所以所以ABCDA'B'C'D'EFGijk證明：設(shè)19問(wèn)：如何用向量表示

CE與

AG所成角的余弦值？答：求與所成角的余弦值．例3

如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥AC;（2）求

CE與

AG所成角

的余弦值．ABCDA'B'C'D'EFGijk問(wèn)：如何用向量表示CE與AG所20解：因?yàn)樗訟BCDA'B'C'D'EFGijk解：因?yàn)?1所以

CE與

AG所成角的余弦值為1

0

0

0

選取單位正交基底有利于運(yùn)算解：因?yàn)樗运訡E與AG所成角的余弦值為122思考：是否可以用與所成角的余弦值來(lái)求解第2小問(wèn)？例3

如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥AC;（2）求

CE與

AG所成角

的余弦值．ABCDA'B'C'D'EFG思考：是否可以用與所例3如圖，正23

應(yīng)用一個(gè)定理：空間向量基本定理

學(xué)習(xí)一種方法：向量方法

體會(huì)一種思想：轉(zhuǎn)化與化歸思想課堂小結(jié)應(yīng)用一個(gè)定理：空間向量基本定理課堂小結(jié)24課后作業(yè)1.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在CD上，且

（1）求證：EF⊥B1C;

（2）求EF與C1G所成角的余弦值．(思考題)用綜合幾何方法證明或求解例題，體會(huì)綜合幾何方法與向量方法的特點(diǎn)．課后作業(yè)1.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B125年級(jí)：高二學(xué)科：數(shù)學(xué)（人教A版）空間向量基本定理（2）年級(jí)：高二26問(wèn)題1

你能用自己的語(yǔ)言復(fù)述空間向量基本定理嗎？問(wèn)題1你能用自己的語(yǔ)言復(fù)述空間向量基本定理嗎？27空間向量基本定理

我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底(base)，a，b，c都叫做基向量(basevectors).

如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.空間向量基本定理我們把{a，b，c}叫做空間28

特別地，如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．特別地，如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛?9例1

如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN

上，且，，用向量表示問(wèn)：是否一定能做到？答：不共面，空間向量基本定理保證了可行性．可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．OABCMNP例1如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，30答：可以利用向量線性運(yùn)算的

運(yùn)算法則，如三角形法則、

平行四邊形法則等．問(wèn)：如何進(jìn)行表示？OABCMNP例1

如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN

上，且，，用向量表示答：可以利用向量線性運(yùn)算的問(wèn)：如何進(jìn)行表示？OABCMNP例31解：OABCMNPQ解：OABCMNPQ32問(wèn)題2

通過(guò)這道例題的解題過(guò)程，同學(xué)們能否總結(jié)出用基向量表示空間向量的方法呢？問(wèn)題2通過(guò)這道例題的解題過(guò)程，同學(xué)們能否總結(jié)出用基向量表33

結(jié)合圖形特征，利用三角形法則、平行四邊形法則、向量數(shù)乘等線性運(yùn)算法則，將待求向量逐步轉(zhuǎn)化為基向量，將未知化歸為已知.用基向量表示空間向量的方法結(jié)合圖形特征，利用三角形法則、平行四邊形法則34答：綜合幾何方法：?jiǎn)枺鹤C明異面直線垂直，你能想到

哪些方法？向量方法．證明異面直線所成角為直角；線面垂直的定義和性質(zhì)等．例2

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)．

求證MN⊥AC1．ABCDA1B1C1D1MN454答：綜合幾何方法：?jiǎn)枺鹤C明異面直線垂直，你能想到向量方法．證35答：可以轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題問(wèn)：如何使用向量方法解決立體幾何

問(wèn)題？例2

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)．

求證MN⊥AC1．ABCDA1B1C1D1MN454答：可以轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題問(wèn)：如何使用向量方法解決立體幾何例236答：可以轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題問(wèn)：如何使用向量方法解決立體幾何

問(wèn)題？例2

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)．

求證MN⊥AC1．求證只需證ABCDA1B1C1D1MN454答：可以轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題問(wèn)：如何使用向量方法解決立體幾何例237例2

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)．

求證MN⊥AC1．問(wèn)：如何計(jì)算？向已知條件轉(zhuǎn)化．ABCDA1B1C1D1MN454例2如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，A38證明：設(shè)這三個(gè)向量不共面，{a，b，c}是空間的一個(gè)基底．則所以所以

所以選取基底(不共面且已知長(zhǎng)度夾角)4ABCDA1B1C1D1MN45證明：設(shè)39用基向量表示相關(guān)向量還原為幾何問(wèn)題的解把相關(guān)向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為基向量的運(yùn)算向量問(wèn)題的解選取基底(不共面且已知長(zhǎng)度夾角)證明：設(shè)這三個(gè)向量不共面，{a，b，c}是空間的一個(gè)基底．則所以所以

所以選取基底(不共面且已知長(zhǎng)度夾角)用基向量表示相關(guān)向量還原為幾何問(wèn)題的解把相關(guān)向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為40立體幾何問(wèn)題用向量方法解決立體幾何問(wèn)題的路徑①適當(dāng)選取基底向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化②用基向量表示相關(guān)向量③將相關(guān)向量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基向量的問(wèn)題向量問(wèn)題向量問(wèn)題的解立體幾何問(wèn)題的解轉(zhuǎn)化向量方法理論基礎(chǔ)：空間向量基本定理立體幾何問(wèn)題用向量方法解決立體幾何問(wèn)題的路徑①適當(dāng)選取基底向41答：可以取單位正交基底．例3

如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥AC;問(wèn)：?jiǎn)挝徽襟w這個(gè)條件對(duì)解題有什么作用？單位：基向量長(zhǎng)度為1．正交：基向量?jī)蓛纱怪?，ABCDA'B'C'D'EFG任意兩不同基向量數(shù)量積為0．答：可以取單位正交基底．例3如圖，正方體ABCD－A'42問(wèn)：如何用向量方法證明EF//AC？答：只需證，只需證存在實(shí)數(shù)λ，使得．例3

如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥AC;ABCDA'B'C'D'EFG問(wèn)：如何用向量方法證明EF//AC？答：只需證43證明：設(shè)則{i，j，k}構(gòu)成空間的一個(gè)單位正交基底．所以所以所以所以ABCDA'B'C'D'EFGijk證明：設(shè)44問(wèn)：如何用向量表示

CE與

AG所成角的余弦值？答：求與所成角的余弦值．例3

如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥AC;（2）求

CE與

AG所成角

的余弦值．ABCDA'B'C'D'EFGijk問(wèn)：如何用向量表示CE與AG所