《數(shù)學建?！氛n程設(shè)計報告常染色體遺傳模型

《數(shù)學建模》課程設(shè)計報告課題名稱：—常染色體遺傳模型―系（院）：理學院專業(yè)：數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學班級：學生姓名：巫榮學號：指導教師：陳宏宇開課時間：2011-2012學年二學期常染色體遺傳模型摘要為了揭示生命的奧秘，遺傳特征的逐代傳播，愈來愈受到人們更多的注意。我們通過問題分析，模型的建立，去解決生物學的問題。為了去研究理想狀態(tài)下常染色體遺傳的情況，我們通過建立隨機組合時常染色體的遺傳模型，可以計算出各種情況隨機出現(xiàn)的百分率，并且可以通過常染色體遺傳模型，算出各個情況的概率分布，并且通過模型，分析情況出現(xiàn)的穩(wěn)定性。揭示了常染色體遺傳的分布規(guī)律，揭示了下一代各情形變化的規(guī)律性和穩(wěn)定性。關(guān)鍵詞：遺傳；隨機；百分率；概率分布；穩(wěn)定一、問題重述1.1問題產(chǎn)生背景常染色體遺傳中，后代從每個親體的基因?qū)χ懈骼^承一個基因，形成自己的基因?qū)Γ驅(qū)σ卜Q為基因型。如果我們所考慮的遺傳特征是由兩個基因所口a控制的，那么就有三種基因?qū)Γ洖锳AAa,aa。例如，金魚草由兩個遺傳基因決定花的顏色，基因型是AA勺金魚草開紅花，Aa型的開粉紅色花，而a型的開白花。又如人類眼睛的顏色也是通過常染色體遺傳控制的?；蛐褪茿MAa的人，眼睛為棕色，基因型是aa的人，眼睛為藍色。這里因為AA口Aa都表示了同一外部特征，我們認為基因被配基因a,也可以認為基因a對于林說是隱性的。當一個親體的基因型為Aa,而另一個親體的基因型是aa時，那么后代可以從a型中得到基因a,從Aa型中或得到基因A,或得到基因a。這樣，后代基因型為Aangaa的可能性相等。下面給出雙親體基因型的所有可能的結(jié)合，以及其后代形成每種基因型的概率，如下表所示。父體—母體的基因型AAAAAAAaAAaaAaAaAaaaaaaa后代AA11/201/400基因Aa01/211/21/20型aa0001/41/211.2問題描述題目：農(nóng)場的植物園中某種植物的基因型為AAA琲口aa。農(nóng)場計劃采用AAS的植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。那么經(jīng)過若干年后，這種植物的任一代的三種基因型分布如何？二、問題分析在本問題中要知道每一代的基因分布，首先要知道上一代的基因型分布，在自由組合后的所有子代可能出現(xiàn)的基因型（上面已經(jīng)給出）。為了求出每一代的基因型分布，第一步寫出第一代的基因型分布；第二步推出第n+1代的基因型分布與第n代的基因型分布的關(guān)系；第三步利用差分方程求出每一代的每種基因型分布通項從而求得任一子代三種基因型的概率分布?，F(xiàn)該農(nóng)場的植物園中某種植物的基因型為AA,Aa和aa.采用AA型基因的植物相結(jié)合培育后代，求若干年后這種植物的任一代的三種基因型分布，首先分析出初始里，AA,Aa,aa這三種基因型植物的大致分布，首先必須分析出初

始里AA,Aa,aa這三種基因型植物的大致分布，即它們的數(shù)量比例。根據(jù)生物學上的知識，假設(shè)初始時這三種基因結(jié)合原則可得出：AA基因在與AA結(jié)合時后彳t保持AA不變；Aa基因在與AA結(jié)合時后代有1/2的基因為AA,1/2的基因為Aa;aa基因在與AA結(jié)合時后代基因全部為Aa。由此可逐步推斷出每年該植物后代的分布，建立一個差分模型。三、模型假設(shè)假設(shè)：（1）令n0,1,2,。設(shè)%h和冊分別表示第n代植物中，基因型為AA,Aa和aa的植物占植物總數(shù)的百分率。令x（n）為第n代植物的基因型分布：當n=0時表示植物基因型的初始分布（即培育開始時的分布），顯然有2）第n代的分布與第n-1代的分布之間的關(guān)系是通過上表確定的。四、變量說明a-第0代中AA所占比例a(n)-第a-第0代中AA所占比例a(n)-第n代中 AA所占比例b-第0代中Aa所占比例b(n)-第n代中 Aa所占比例c-第0代中aa所占比例c(n)-第n代中Aa所占比例五、模型的建立與求解根據(jù)假設(shè)（2）,先考慮第n代中的AA型。由于第n-1代的AA型與AA型結(jié)合，后代全部是AA型；第n-1代的Aa型與AA型結(jié)合，后代是AA型的可能性為1/2,第n-1代的aa型與AA型結(jié)合，后代不可能是AA型。因此，當n0，1，2，時即anan1bn1/2類似可推出將式相加，得根據(jù)假設(shè)（1），有對于式、式和式，我們采用矩陣形式簡記為其中

式遞推，得式給出第代基因型的分布與初始分布的關(guān)系為了計算出Mn,我們將M對角化，即求出可逆矩陣P和對角陣D,使因而有其中這里1這里1，2，3是矩陣M的三個特征值。對于式中的M易求得它的特征值和特征向量:100D 量:100D 01/20 1因此 000 ,1P 123 0所以0通過計算 P P 1，因此有an 11(1/2)nx(n) bn 0 (1/2)n即 cn 0 0所以有當n(1/2)n 0，所以從式得到11 10 21 3200 11112011(1/2)n1a0(1/2)n1b00 c0an1,bn。和cn=0因此，得出結(jié)論：在極限的情況下，培育的植物都是AA型六、模型的進一步分析在上述問題中，我們都選用了基因型AA的植物來授粉，但是實際情況中無法保證每次授粉的母體均是基因型AA,可以是完全隨即的狀態(tài)，所以在進行模型的進一步分析中，我們選擇了另一種比較有代表性的結(jié)合方式來研究。這時我們不選用基因AA型的植物與每一植物結(jié)合，而是將具有相同基因型植物相結(jié)合。即基

因型為AA和基因型為AA的植物作為母體和父體，基因型為Aa基因型為Aa的植物作為母體和父體，基因型為aa和基因型為aa的植物作為母體和父體，那么后代具有三代基因型的概率如下表：并且x(n)M并且x(n)Mnx⑼，其中M的特征值為11，21,11/401/201/41/2通過計算，可以解出與2相對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特征向量 1通過計算，可以解出與2相對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特征向量 1和2,及與3相對應(yīng)的特征向量因此所以有ana0時ana0時(1/2)(1/2)b0,bn0,所以從式得到0和Cn C0(1/2)b0父體-一母體基因型AA-AAAa-Aaaa-aa后AA11/40代Aa01/20基aa01/41因型因此，得出結(jié)論：如果用基因型相同的植物培育后代，在極限情況下，后代僅具有基因AA和aa。七、模型的評價與推廣數(shù)學模型是建立在日常的生產(chǎn)和生活中，對于本次關(guān)于常染色遺傳的模型的建立過程和意義，對于人類的生活有重大意義?？萍既找孢M步，人類的求知欲望日益強烈，對于大自然和人類生命科學中的一些知識都在進行深一步的挖掘和探索。在常染色體遺傳的問題上，對于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和人類生存都是很重要的科學探究。當這一課題被攻破后，對于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)來說將是很有歷史意義的一個里程碑。它標志著人類對于常染色體的遺傳問題已完全掌握，可以根據(jù)需求來生產(chǎn)相關(guān)產(chǎn)品，對于國家來說也是一項重大的進步。以上呈現(xiàn)給大家的模型我們必須承認有一定的局限性，因為沒有做到最全面的可能性的預(yù)測，在已知的基礎(chǔ)上，因為有限的知識了解和時間的限制，我們只討論了另外一種情況，其他情況的分布我們并沒有做完全深入的處理。是本模型的缺陷之一。但是就以上的模型而言，它是很有代表性的兩種情況。對于它的評價在今后的生產(chǎn)工作中，我們可以根據(jù)自身的需要，用科學的方式進行選擇，就本題而言，如果我們需要的是基因型AA的植物，我們可以根據(jù)母體和父體的選擇，在最短時間內(nèi)獲得所需基因型的植物。不同的配比，經(jīng)過數(shù)學模型建立的過程可以完善農(nóng)業(yè)生產(chǎn)過程中的不完備性。將各種情況綜合分析、比較之后可以在找到最有效率的方法。以上呈現(xiàn)給大家的模型可以在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中可以廣泛推廣，對于一些名貴花卉的培育，優(yōu)良品種的留存，社會的需求等方面都有重大意義。根據(jù)國家和社會的廣大消費者的需求培育出要求的農(nóng)產(chǎn)品，保證了營養(yǎng)和健康。在一些珍貴花卉的品種培育上，我們可以通過建立數(shù)學模型，分析之后融入到實際生產(chǎn)中，培育出新品種，帶來視覺欣賞和經(jīng)濟效益的雙重豐收。對于一些瀕臨滅絕的動植物，我們也可以通過建立相應(yīng)的數(shù)學模型來選擇培育和配種方案，保證這些珍貴基因的繁衍，保護生物多樣性，基因多樣性，亦是保護我們賴以生存的地球環(huán)境。對于數(shù)學模型的建立可以體現(xiàn)在生產(chǎn)