《隨機事件與概率》課件(三課時)

第10章概率10.1.1

有限樣本空間與隨機事件10.1.2

事件的關(guān)系和運算ABΩ第10章概率10.1.1有限樣本空間與隨機事件ABΩ有限樣本空間1隨機現(xiàn)象與確定性現(xiàn)象一般地，把在一定條件下能預(yù)知結(jié)果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.比如把石頭拋向空中，它會掉到地面上來；我們生活的地球每天都在繞太陽轉(zhuǎn)動；一個人隨著歲月的消逝，一定會衰老死亡……這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.這里的確定性有兩層含義：一是在一定條件下必然發(fā)生，二是可以預(yù)知結(jié)果.隨機現(xiàn)象是在一定條件下(試驗或觀察)不能事先預(yù)知結(jié)果，且個個結(jié)果發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性的現(xiàn)象，如射擊命中的環(huán)數(shù)；拋擲一枚骰子所出現(xiàn)的點數(shù)等等.有限樣本空間1隨機現(xiàn)象與確定性現(xiàn)象一般地，把在有限樣本空間1隨機現(xiàn)象與確定性現(xiàn)象判斷下列現(xiàn)象是確定性現(xiàn)象還是隨機現(xiàn)象，并指出隨機現(xiàn)象的試驗結(jié)果：(1)物體做自由落體運動時下落的高度;(2)在十個同類產(chǎn)品中有八個正品和二個次品，從中任意抽取三個檢驗抽到

正品的個數(shù)；(3)對任意實數(shù)t都有t2≥0(1)確定性現(xiàn)象(2)隨機現(xiàn)象；實驗結(jié)果——(1正品2次品，2正品1次品，3正品)(3)因為t2≥0，所以是確定性現(xiàn)象有限樣本空間1隨機現(xiàn)象與確定性現(xiàn)象判斷下列現(xiàn)象有限樣本空間1隨機現(xiàn)象與確定性現(xiàn)象隨機現(xiàn)象和確定性現(xiàn)象在自然界和社會中經(jīng)常遇到區(qū)別，這兩者的關(guān)鍵是在一定條件下，這種現(xiàn)象是否必然發(fā)生？若事先很難預(yù)料某一現(xiàn)象發(fā)生與否，那么這種現(xiàn)象就是隨機現(xiàn)象有限樣本空間1隨機現(xiàn)象與確定性現(xiàn)象隨機現(xiàn)象和有限樣本空間1隨機試驗我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對他的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗.常用字母E表示.我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：試驗的所有可能，結(jié)果是明確可知的，并且不止一個試驗可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些，可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪個結(jié)果.對于隨機試驗而言，每次試驗的結(jié)果如何是無法預(yù)料的，但隨著試驗的重復(fù)進(jìn)行，其結(jié)果的出現(xiàn)會呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，我們稱之為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.有限樣本空間1隨機試驗我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和有限樣本空間1隨機試驗把一個試驗所有可能的結(jié)果一一列舉出來的方法叫做窮舉法，又叫列舉法，列舉法是技術(shù)問題中最基本的方法把握住隨機試驗的實質(zhì)，要明確一次試驗就是將設(shè)定的條件實現(xiàn)一次準(zhǔn)確理解隨機試驗的條件、結(jié)果等有關(guān)定義，并能使用他們判斷一些事件，指出試驗結(jié)果.在寫試驗結(jié)果時，一般采取列舉法，按一定次序逐一列出，保證所列結(jié)果不重不漏有限樣本空間1隨機試驗把一個試驗所有可能的結(jié)果一一列舉出來的有限樣本空間1樣本空間

有限樣本空間1樣本空間

事件與基本事件2隨機事件與基本事件一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示。為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件。隨機事件用大寫字母A，B，C，…表示。在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生。例如，“某人打靶射擊一次，不中靶”“擲一枚硬幣出現(xiàn)反面”“某體操運動員在某次運動會上獲得冠軍”等都是隨機事件，且都是基本事件。事件與基本事件2隨機事件與基本事件一般地，隨機事件與基本事件2必然事件Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中，總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生。我們稱Ω為必然事件。定義舉例例如，“導(dǎo)體通電時發(fā)熱”“在底面上向上拋起一個石塊，石塊下落”“三角形的內(nèi)角和為180°”等都是必然事件。事件與基本事件2必然事件Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本事件與基本事件2不可能事件空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件。定義舉例例如，“在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓且溫度低于0℃時，冰塊熔化”“在常溫常壓下，鐵熔化”“沒有水分，種子能發(fā)芽”等都是不可能事件。小結(jié)必然事件與不可能事件不具備隨機性。為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形，這樣，每個事件都是樣本空間Ω的一個子集。事件與基本事件2不可能事件空集?不包含任何樣本點，在每次試驗事件與基本事件2

判斷下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機事件：①某地8月15日下雨；②同時擲兩枚骰子，向上一面的兩個點數(shù)之和是13；③函數(shù)y=kx在其定義域內(nèi)是增函數(shù)；④如果a＞b，那么a-b＞0；⑤擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面；⑥若t為實數(shù)，則|t|≥0；⑦從分別標(biāo)有1，2，3，4，5的五張標(biāo)簽中任取一張，得到4號簽；⑧某電話機在一分鐘內(nèi)收到2次呼叫；⑨某人購買彩票10注，都沒有中獎；⑩一個三角形中大邊所對的角小，小邊所對的角大。根據(jù)定義，事件④⑥是必然事件；事件②⑩是不可能事件；事件①③⑤⑦⑧⑨是隨機事件。事件與基本事件2判斷下列事件哪些是必然事件，哪事件與基本事件2事件類型的判斷當(dāng)條件改變時，時間的性質(zhì)也可能發(fā)生變化，因此在判斷事件的類型時，一定要明確條件，它決定著事件的屬性。例如：“常溫常壓下，水沸騰”是不可能事件；但“100℃常壓下，水沸騰”就成為必然事件了.隨機事件就是在一定條件下，不能實現(xiàn)預(yù)知結(jié)果的事件；事件與基本事件2事件類型的判斷當(dāng)條件改變時，時間的性質(zhì)也可能事件與基本事件2事件類型的判斷看它是一定發(fā)生，還是不一定發(fā)生，還是一定不發(fā)生；要看清條件，因為三種事件都是相對于一定條件而言的；事件類型的判斷方法作出判斷——一定發(fā)生的是必然是事件；不一定發(fā)生(有可能發(fā)生)的是隨機事件；一定不發(fā)生的是不可能事件事件與基本事件2事件類型的判斷看它是一定發(fā)生，還是不一定發(fā)生事件的關(guān)系3包含關(guān)系【概念及表示方法】

【圖示】ABΩ

事件的關(guān)系3包含關(guān)系【概念及表示方法】

【圖示】ABΩ

事件的關(guān)系3包含關(guān)系同時拋擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件M，“至少有一枚向上的面是正面”為事件N，則M和N的關(guān)系如何？

事件的關(guān)系3包含關(guān)系同時拋擲兩枚硬幣，“向上的事件的關(guān)系3相等關(guān)系

兩個相等事件總是同時發(fā)生或同時不發(fā)生，所謂事件A=B，就是說事件A，B是同一事件.事件B包含事件A，其含義就是事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，而事件B發(fā)生，事件A不一定發(fā)生.事件的關(guān)系3相等關(guān)系

兩個相等事件總是同時發(fā)生或同時不發(fā)生，事件的運算4并事件(和事件)【概念及表示方法】

一般地，事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A和事件B的并事件(或者叫和事件)，記作A∪B(或A+B)。【圖示】ABΩ

事件的運算4并事件(和事件)【概念及表示方法】事件的運算4交事件(積事件)【概念及表示方法】

一般地，事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A和事件B的交事件(也叫做積事件)，記作A∩B(或AB).【圖示】ABΩ

事件的運算4交事件(積事件)【概念及表示方法】互斥事件與對立事件5互斥事件【概念及表示方法】

一般地，如果事件A和事件B不能同時發(fā)生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B=?，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容).【圖示】BΩ

A互斥事件與對立事件5互斥事件【概念及表示方法】互斥事件與對立事件5對立事件【概念及表示方法】

【圖示】Ω

A

互斥事件與對立事件5對立事件【概念及表示方法】

【圖示】Ω

互斥事件與對立事件5事件的關(guān)系或運算的含義以及相應(yīng)的符號事件的關(guān)系或運算含義符號表示包含并事件(和事件)交事件(積事件)互斥(互不相容)互為對立A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A與B至少一個發(fā)生A與B同時發(fā)生A與B不能同時發(fā)生A與B有且僅有一個發(fā)生

互斥事件與對立事件5事件的關(guān)系或運算的含義以及相應(yīng)的符號事件事件與集合的對應(yīng)關(guān)系6符號概率論集合論必然事件全集不可能事件空集實驗的可能結(jié)果事件事件A與事件B的并事件集合A與集合B的并集事件A與事件B的交事件集合A與集合B的交集事件A與事件B互斥集合A與集合B的交集為空集事件A與事件B對立集合A與集合B互為補集事件與集合的對應(yīng)關(guān)系6符號概率論集合論必然事件全集不可能事件第10章

概率10.1.3古典概型第10章概率10.1.3古典概型古典概型1古典概型的定義一般地，若實驗E具有如下特征：①有限性——樣本空間的樣本點只有有限個②等可能性——每個樣本點發(fā)生的可能性相等

我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型定義古典概型1古典概型的定義一般地，若實驗E具有如下特征：定義古典概型1古典概型的定義在古典概型中，每個基本事件發(fā)生的可能性都相等，稱這些基本事件為等可能基本事件由古典概型的定義可得，古典概型滿足基本事件的有限性和等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不用通過大量的重復(fù)試驗，只要對一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計算即可古典概型1古典概型的定義在古典概型中，每個基本事件發(fā)生的可能古典概型1古典概型的判斷判斷一個概率模型是否為古典概型，依據(jù)在于——每個樣本點發(fā)生的可能性相等樣本空間的樣本點，只有有限個判斷一個試驗是否滿足這兩個特征，應(yīng)根據(jù)具體的問題情境仔細(xì)分析，并不是所有的試驗都是古典概型.以下試驗不是古典概型①樣本點的個數(shù)有限，

但出現(xiàn)的可能性并不相等②樣本點的個數(shù)無限，

但是出現(xiàn)的可能性相等③樣本點的個數(shù)無限，

出現(xiàn)的可能性也不相等古典概型1古典概型的判斷判斷一個概率模型是否為古典概型1古典概型的判斷并不是所有的試驗都是古典概型.

例如在適宜的條件下,種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽，這個試驗的基本事件空間為｛發(fā)芽，不發(fā)芽｝，發(fā)芽與不發(fā)芽的這兩種結(jié)果出現(xiàn)的機會一般是不均等的.又比如從直徑規(guī)格為300mm±0.6mm的一些鋼管產(chǎn)品中，任意抽一根，測量其直徑，測量值可能是從299.4mm~300.6mm之間的任何一個值，所有可能的結(jié)果有無限多個.古典概型1古典概型的判斷并不是所有的試驗都是古古典概型1古典概型的判斷【多選】下列試驗中是古典概型的是()A.拋一枚硬幣，觀察其正面或反面出現(xiàn)的情況B.口袋里有2個白球和2個黑球，這四個球出顏色外完全相同，從中任取一個球C.向一個圓面內(nèi)隨機的投一個點，該點落在圓內(nèi)任意一點D.射擊運動員，向一靶心進(jìn)行射擊，觀察其環(huán)數(shù)選項A，正面和反面出現(xiàn)的概率相同，是古典概型；選項B，每個球被抽到的概率相等，是古典概型；選項C，基本事件有無限個，不是古典概型；選項D，命中10環(huán),9環(huán),…,0環(huán)的概率不等，不是古典概型古典概型1古典概型的判斷【多選】下列試驗中是古典概型的是(古典概型的概率計算公式2古典概型的概率計算公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率——

其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù).如果從集合的角度來理解古典概型，則——

AU古典概型的概率計算公式2古典概型的概率計算公式古典概型的概率計算公式2古典概型的解題步驟求出樣本點總數(shù)n和事件A包含的樣本點個數(shù)k判斷試驗的事件是否是古典概型，并用字母表示所求的事件(如事件A)

古典概型的概率計算公式2古典概型的解題步驟求出樣本點總數(shù)n和古典概型的概率計算公式2古典概型的解題步驟利用古典概型的概率公式求有關(guān)事件的概率，關(guān)鍵在于求樣本點的個數(shù)n和所求事件包含的樣本點數(shù)k.求樣本點的總數(shù)的基本方法是列舉法，為了列舉出所有的基本事件，常常需要借助有序數(shù)對，圖表，樹狀圖等.利用古典概型的概率公式求隨機事件的概率，首先要判斷所求概率的事件是否為古典概型，只有古典概型才能運用其概率公式求概率；其次，在確定基本事件時，應(yīng)注意它是否需要考慮順序，這是利用概率公式求其概率的關(guān)鍵之處，應(yīng)重視以下試驗不是古典概型古典概型的概率計算公式2古典概型的解題步驟利用古典概型的概率古典概型的概率計算公式2古典概型的解題步驟從1，2，3，4，5五個數(shù)字中，任取兩數(shù)，求兩數(shù)都是奇數(shù)的概率.從1，2，3，4，5五個數(shù)字中，任取兩數(shù)，所有基本事件如下:(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個，∴n=10.

古典概型的概率計算公式2古典概型的解題步驟從1，2，3，4，建立古典概率模型一般來說，在建立概率模型時，把什么看作一個基本事件(即一個試驗結(jié)果)是人為規(guī)定的，我們只要求每次試驗有且只有一個基本事件出現(xiàn).對于同一個隨機試驗，可以根據(jù)需要建立滿足我們要求的概率模型一個隨機試驗，連同它的所有基本事件就構(gòu)成了一個概率模型一方面，對于同一個實際問題，有時可以建立不同的模型來解決，即一題多解，在多解的方法中，在尋求較為簡潔的解法；另一方面，又可以用同一種模型去解決很多不同的問題，即多題一解建立古典概率模型一般來說，在建立概率模型時，把什么看作一個基建立古典概率模型從1,2,3,4,5,6這6個數(shù)字中，任取兩數(shù)，組成一個兩位數(shù)，求組成的兩位數(shù)大于50的概率.由于50的個位數(shù)字是0，因此大于50的兩位數(shù)，只要十位上的數(shù)字不小于5即可.所有基本事件是1，2，3，4，5，6，共6個.設(shè)十位上的數(shù)字不小于5為事件A，則事件A所包含的基本事件是5，6，共2個.

建立古典概率模型從1,2,3,4,5,6這6建立古典概率模型方法二：把十位數(shù)字的取值看成一個基本事件，巧妙建立古典概型，使基本事件數(shù)較少，理解，運算都比較簡便方法一：將每一個兩位數(shù)看成一個基本事件，列舉出所有符合條件的兩位數(shù)是傳統(tǒng)解法，基本事件較多從不同的角度把握實際問題，轉(zhuǎn)化為不同的古典概型來解決，這是我們進(jìn)行概率計算的重要思想.概率模型的所有可能結(jié)果數(shù)越少，問題的解決就變得越簡單，但并不是基本概率模型中的任何事件的概率都可以在轉(zhuǎn)化后求得.建立古典概率模型方法二：把十位數(shù)字的取值看成一個基本事件，巧

忽視事件發(fā)生是否等可能而做錯坑①任意擲兩枚骰子，計算：(1)出現(xiàn)的點數(shù)相同的概率；(2)出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率；(3)出現(xiàn)點數(shù)之和為偶數(shù)的概率.(1)列表可知基本事件有6×6=36個，其中點數(shù)相同的紅色部分有6個，點數(shù)1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

忽視事件發(fā)生是否等可能而做錯坑①任意擲兩枚骰子，計算：

對“有序”和“無序”判斷不準(zhǔn)而做錯坑②甲乙兩人參加普法知識競賽，共有5道不同的題目，其中選擇題3道，填空題2道.甲乙兩人依次抽取1道題，求甲抽到選擇題，乙抽到填空題的概率.列舉可得甲抽到選擇題，乙抽到填空題的可能結(jié)果有6種，甲乙兩人依次抽取1道題的結(jié)果有10種，所以

忽略了甲乙依次抽取與順序有關(guān)，甲從5道題中抽取1道題目有5中抽法，乙從剩下的4道題中抽取一道有4種抽法，一共5×4=20種抽法.對“有序”和“無序”判斷不準(zhǔn)而做錯坑②甲乙兩人參加普法第10章

概率10.1.4

概率的基本性質(zhì)第10章概率10.1.4概率的基本性質(zhì)概率的基本性質(zhì)(1)(2)(5)1性質(zhì)(1)(2)(5)一般地，概率有如下性質(zhì)：性質(zhì)1對任意的事件A，都有P(A)≥0性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)=1，P(?)=0性質(zhì)5

概率是[0,1]之間的一個常數(shù)，不隨事件結(jié)果的改變而改變，它是頻率的科學(xué)抽象..概率的基本性質(zhì)(1)(2)(5)1性質(zhì)(1)(2)(5)一般概率的基本性質(zhì)(1)(2)(5)1

概率的基本性質(zhì)(1)(2)(5)1

概率的基本性質(zhì)(1)(2)(5)1

若隨機事件A和B互斥，A，B發(fā)生的概率均不是0，且P(A)=2-t，P(B)=4t-5，則實數(shù)t的取值范圍是多少？因為隨機事件A和B互斥，A，B發(fā)生的概率均不是0，且P(A)=2-t，P(B)=4t-5，所以有以下結(jié)論成立：

概率的基本性質(zhì)(1)(2)(5)1若隨機事件A互斥事件的概率加法公式(性質(zhì)3)2性質(zhì)3如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)

互斥事件的概率加法公式應(yīng)用的前提是“事件A和事件B互斥”，否則不可以用這個公式.實際上，對于事件A，B，有P(A∪B)≤P(A)+P(B)，只有當(dāng)事件A和事件B互斥時，等號才成立.

互斥事件的概率加法公式可以推廣到多個事件的情況，如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am)互斥事件的概率加法公式(性質(zhì)3)2性質(zhì)3如果事件A和事件B互互斥事件的概率加法公式(性質(zhì)3)2

下列四種說法：①對立事件一定是互斥事件②若A，B為兩個事件，則P(A∪B)=P(A)+P(B)③若事件A,B,C兩兩互斥，則P(A)+P(B)+P(C)=1④若事件A，B滿足P(A)+P(B)=1，則A，B是對立事件其中錯誤的是_________.對立事件一定是互斥事件，且對立的兩個事件概率之和為1，但互斥事件的概率之和不一定是1，所以錯誤的是②③④②③④互斥事件的概率加法公式(性質(zhì)3)2下列四種說法對立事件的概率(性質(zhì)4)3性質(zhì)4

因為事件A和事件B互為對立事件，所以它們的和事件A∪B為必然事件，即P(A∪B)=1.由性質(zhì)3，得P(A)+P(B)=P(A∪B)=1.如果事件A和事件B為對立事件，那么它們的概率之和為1性質(zhì)4性質(zhì)4適用于一個事件的概率不容易求出，但其對立事件的概率易于求出的情況.性質(zhì)4的前提是“事件A和事件B為對立事件”對立事件的概率(性質(zhì)4)3性質(zhì)4因為事件A和事概率的一般加法公式(性質(zhì)6)4性質(zhì)6

設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有概率的一般加法公式與互斥事件的概率加法公式在限制條件上有區(qū)別：在公式P(A)+P(B)=P(A∪B)中，事件A，B是互斥事件；在公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中，事件A，B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)概率的一般加法公式(性質(zhì)6)4性質(zhì)6設(shè)A，B是概率的一般加法公式(性質(zhì)6)4用集合知識理解概率的加法公式：在集合中可知，Card(A∪B)=Card(B)+Card(B)-Card(A∩B).而互斥是這個公式的特殊情況.一般事件的概率加法公式，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).當(dāng)A與B互斥時，A∩B=?，P(?)=0，可見互斥事件的概率加法公式滿足一般事件的概率加法公式.

概率的一般加法公式(性質(zhì)6)4用集合知識理解概率的加法公式：

不能區(qū)分事件是否互斥而做錯坑①拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上一面出現(xiàn)1，2，3，4，5，6的概率都是六分之一，記事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B為“向上的點數(shù)不超過3”，求P(A∪B)

記事件“出現(xiàn)1點”“出現(xiàn)2點”“出現(xiàn)3點”“出現(xiàn)5點”分別為M,N,P,Q，由題意可知這4個事件彼此互斥.錯解中認(rèn)為事件A和事件B是互斥事件，所以得出P(A∪B)=1

不能區(qū)分事件是否互斥而做錯坑①拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，

某戰(zhàn)士射擊一次，擊中環(huán)數(shù)大于7的概率是0.6，擊中環(huán)數(shù)是6或7或8的概率相等，且和為0.3，求該戰(zhàn)士射擊一次擊中環(huán)數(shù)大于5的概率.記“擊中6環(huán)”為事件A，“擊中7環(huán)”為事件B，“擊中7環(huán)以上”位事件C，事件A，B，C彼此互斥，且易知P(A)=P(B)=0.3÷3=0.1，P(C)=0.6，記“擊中5環(huán)以上”為事件D，故P(D)=P(A∪B∪C)=0.1+0.1+0.6=0.8某戰(zhàn)士射擊一次，擊中環(huán)數(shù)大于7的概率是0.6，

對立事件的概率公式使用錯誤坑②某商店月收入(單位：元)在下列范圍內(nèi)的概率如表所示：記這個商店月收入在[1000,1500),[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000)元范圍內(nèi)的事件分別為A,B,C,D，因為A,B,C,D互斥，且P(A)+P(B)+P(C)+P(D),所以P(B∪C∪D)=0.67-P(A)=0.55月收入[1000,1500)[1500,2000)[2000,2500)[2500,3000)概率0.120.14已知月收入在[1000,3000)元范圍內(nèi)的概率為0.67，求月收入在[1500,3000)元范圍內(nèi)的概率對立事件的概率公式使用錯誤坑②某商店月收入(單位：元)

盧老師和小黃豆下棋，和棋的概率是0.5，小黃豆獲勝的概率是0.3，求：(1)盧老師獲勝的概率(2)盧老師不輸?shù)母怕?1)“盧老師獲勝”可看做是“和棋”或“小黃豆獲勝”的對立事

件，所以盧老師獲勝的概率為1-0.5-0.3=0.2(2)“盧老師不輸”可看做是“和棋”或“小老師獲勝”這兩個互

斥事件的和事件，所以盧老師獲勝的概率為0.5+0.2=0.7盧老師和小黃豆下棋，和棋的概率是0.5，小黃第10章概率10.1.1

有限樣本空間與隨機事件10.1.2

事件的關(guān)系和運算ABΩ第10章概率10.1.1有限樣本空間與隨機事件ABΩ有限樣本空間1隨機現(xiàn)象與確定性現(xiàn)象一般地，把在一定條件下能預(yù)知結(jié)果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.比如把石頭拋向空中，它會掉到地面上來；我們生活的地球每天都在繞太陽轉(zhuǎn)動；一個人隨著歲月的消逝，一定會衰老死亡……這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.這里的確定性有兩層含義：一是在一定條件下必然發(fā)生，二是可以預(yù)知結(jié)果.隨機現(xiàn)象是在一定條件下(試驗或觀察)不能事先預(yù)知結(jié)果，且個個結(jié)果發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性的現(xiàn)象，如射擊命中的環(huán)數(shù)；拋擲一枚骰子所出現(xiàn)的點數(shù)等等.有限樣本空間1隨機現(xiàn)象與確定性現(xiàn)象一般地，把在有限樣本空間1隨機現(xiàn)象與確定性現(xiàn)象判斷下列現(xiàn)象是確定性現(xiàn)象還是隨機現(xiàn)象，并指出隨機現(xiàn)象的試驗結(jié)果：(1)物體做自由落體運動時下落的高度;(2)在十個同類產(chǎn)品中有八個正品和二個次品，從中任意抽取三個檢驗抽到

正品的個數(shù)；(3)對任意實數(shù)t都有t2≥0(1)確定性現(xiàn)象(2)隨機現(xiàn)象；實驗結(jié)果——(1正品2次品，2正品1次品，3正品)(3)因為t2≥0，所以是確定性現(xiàn)象有限樣本空間1隨機現(xiàn)象與確定性現(xiàn)象判斷下列現(xiàn)象有限樣本空間1隨機現(xiàn)象與確定性現(xiàn)象隨機現(xiàn)象和確定性現(xiàn)象在自然界和社會中經(jīng)常遇到區(qū)別，這兩者的關(guān)鍵是在一定條件下，這種現(xiàn)象是否必然發(fā)生？若事先很難預(yù)料某一現(xiàn)象發(fā)生與否，那么這種現(xiàn)象就是隨機現(xiàn)象有限樣本空間1隨機現(xiàn)象與確定性現(xiàn)象隨機現(xiàn)象和有限樣本空間1隨機試驗我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對他的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗.常用字母E表示.我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：試驗的所有可能，結(jié)果是明確可知的，并且不止一個試驗可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些，可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪個結(jié)果.對于隨機試驗而言，每次試驗的結(jié)果如何是無法預(yù)料的，但隨著試驗的重復(fù)進(jìn)行，其結(jié)果的出現(xiàn)會呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，我們稱之為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.有限樣本空間1隨機試驗我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和有限樣本空間1隨機試驗把一個試驗所有可能的結(jié)果一一列舉出來的方法叫做窮舉法，又叫列舉法，列舉法是技術(shù)問題中最基本的方法把握住隨機試驗的實質(zhì)，要明確一次試驗就是將設(shè)定的條件實現(xiàn)一次準(zhǔn)確理解隨機試驗的條件、結(jié)果等有關(guān)定義，并能使用他們判斷一些事件，指出試驗結(jié)果.在寫試驗結(jié)果時，一般采取列舉法，按一定次序逐一列出，保證所列結(jié)果不重不漏有限樣本空間1隨機試驗把一個試驗所有可能的結(jié)果一一列舉出來的有限樣本空間1樣本空間

有限樣本空間1樣本空間

事件與基本事件2隨機事件與基本事件一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示。為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件。隨機事件用大寫字母A，B，C，…表示。在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生。例如，“某人打靶射擊一次，不中靶”“擲一枚硬幣出現(xiàn)反面”“某體操運動員在某次運動會上獲得冠軍”等都是隨機事件，且都是基本事件。事件與基本事件2隨機事件與基本事件一般地，隨機事件與基本事件2必然事件Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中，總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生。我們稱Ω為必然事件。定義舉例例如，“導(dǎo)體通電時發(fā)熱”“在底面上向上拋起一個石塊，石塊下落”“三角形的內(nèi)角和為180°”等都是必然事件。事件與基本事件2必然事件Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本事件與基本事件2不可能事件空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件。定義舉例例如，“在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓且溫度低于0℃時，冰塊熔化”“在常溫常壓下，鐵熔化”“沒有水分，種子能發(fā)芽”等都是不可能事件。小結(jié)必然事件與不可能事件不具備隨機性。為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形，這樣，每個事件都是樣本空間Ω的一個子集。事件與基本事件2不可能事件空集?不包含任何樣本點，在每次試驗事件與基本事件2

判斷下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機事件：①某地8月15日下雨；②同時擲兩枚骰子，向上一面的兩個點數(shù)之和是13；③函數(shù)y=kx在其定義域內(nèi)是增函數(shù)；④如果a＞b，那么a-b＞0；⑤擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面；⑥若t為實數(shù)，則|t|≥0；⑦從分別標(biāo)有1，2，3，4，5的五張標(biāo)簽中任取一張，得到4號簽；⑧某電話機在一分鐘內(nèi)收到2次呼叫；⑨某人購買彩票10注，都沒有中獎；⑩一個三角形中大邊所對的角小，小邊所對的角大。根據(jù)定義，事件④⑥是必然事件；事件②⑩是不可能事件；事件①③⑤⑦⑧⑨是隨機事件。事件與基本事件2判斷下列事件哪些是必然事件，哪事件與基本事件2事件類型的判斷當(dāng)條件改變時，時間的性質(zhì)也可能發(fā)生變化，因此在判斷事件的類型時，一定要明確條件，它決定著事件的屬性。例如：“常溫常壓下，水沸騰”是不可能事件；但“100℃常壓下，水沸騰”就成為必然事件了.隨機事件就是在一定條件下，不能實現(xiàn)預(yù)知結(jié)果的事件；事件與基本事件2事件類型的判斷當(dāng)條件改變時，時間的性質(zhì)也可能事件與基本事件2事件類型的判斷看它是一定發(fā)生，還是不一定發(fā)生，還是一定不發(fā)生；要看清條件，因為三種事件都是相對于一定條件而言的；事件類型的判斷方法作出判斷——一定發(fā)生的是必然是事件；不一定發(fā)生(有可能發(fā)生)的是隨機事件；一定不發(fā)生的是不可能事件事件與基本事件2事件類型的判斷看它是一定發(fā)生，還是不一定發(fā)生事件的關(guān)系3包含關(guān)系【概念及表示方法】

【圖示】ABΩ

事件的關(guān)系3包含關(guān)系【概念及表示方法】

【圖示】ABΩ

事件的關(guān)系3包含關(guān)系同時拋擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件M，“至少有一枚向上的面是正面”為事件N，則M和N的關(guān)系如何？

事件的關(guān)系3包含關(guān)系同時拋擲兩枚硬幣，“向上的事件的關(guān)系3相等關(guān)系

兩個相等事件總是同時發(fā)生或同時不發(fā)生，所謂事件A=B，就是說事件A，B是同一事件.事件B包含事件A，其含義就是事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，而事件B發(fā)生，事件A不一定發(fā)生.事件的關(guān)系3相等關(guān)系

兩個相等事件總是同時發(fā)生或同時不發(fā)生，事件的運算4并事件(和事件)【概念及表示方法】

一般地，事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A和事件B的并事件(或者叫和事件)，記作A∪B(或A+B)?！緢D示】ABΩ

事件的運算4并事件(和事件)【概念及表示方法】事件的運算4交事件(積事件)【概念及表示方法】

一般地，事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A和事件B的交事件(也叫做積事件)，記作A∩B(或AB).【圖示】ABΩ

事件的運算4交事件(積事件)【概念及表示方法】互斥事件與對立事件5互斥事件【概念及表示方法】

一般地，如果事件A和事件B不能同時發(fā)生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B=?，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容).【圖示】BΩ

A互斥事件與對立事件5互斥事件【概念及表示方法】互斥事件與對立事件5對立事件【概念及表示方法】

【圖示】Ω

A

互斥事件與對立事件5對立事件【概念及表示方法】

【圖示】Ω

互斥事件與對立事件5事件的關(guān)系或運算的含義以及相應(yīng)的符號事件的關(guān)系或運算含義符號表示包含并事件(和事件)交事件(積事件)互斥(互不相容)互為對立A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A與B至少一個發(fā)生A與B同時發(fā)生A與B不能同時發(fā)生A與B有且僅有一個發(fā)生

互斥事件與對立事件5事件的關(guān)系或運算的含義以及相應(yīng)的符號事件事件與集合的對應(yīng)關(guān)系6符號概率論集合論必然事件全集不可能事件空集實驗的可能結(jié)果事件事件A與事件B的并事件集合A與集合B的并集事件A與事件B的交事件集合A與集合B的交集事件A與事件B互斥集合A與集合B的交集為空集事件A與事件B對立集合A與集合B互為補集事件與集合的對應(yīng)關(guān)系6符號概率論集合論必然事件全集不可能事件第10章

概率10.1.3古典概型第10章概率10.1.3古典概型古典概型1古典概型的定義一般地，若實驗E具有如下特征：①有限性——樣本空間的樣本點只有有限個②等可能性——每個樣本點發(fā)生的可能性相等

我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型定義古典概型1古典概型的定義一般地，若實驗E具有如下特征：定義古典概型1古典概型的定義在古典概型中，每個基本事件發(fā)生的可能性都相等，稱這些基本事件為等可能基本事件由古典概型的定義可得，古典概型滿足基本事件的有限性和等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不用通過大量的重復(fù)試驗，只要對一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計算即可古典概型1古典概型的定義在古典概型中，每個基本事件發(fā)生的可能古典概型1古典概型的判斷判斷一個概率模型是否為古典概型，依據(jù)在于——每個樣本點發(fā)生的可能性相等樣本空間的樣本點，只有有限個判斷一個試驗是否滿足這兩個特征，應(yīng)根據(jù)具體的問題情境仔細(xì)分析，并不是所有的試驗都是古典概型.以下試驗不是古典概型①樣本點的個數(shù)有限，

但出現(xiàn)的可能性并不相等②樣本點的個數(shù)無限，

但是出現(xiàn)的可能性相等③樣本點的個數(shù)無限，

出現(xiàn)的可能性也不相等古典概型1古典概型的判斷判斷一個概率模型是否為古典概型1古典概型的判斷并不是所有的試驗都是古典概型.

例如在適宜的條件下,種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽，這個試驗的基本事件空間為｛發(fā)芽，不發(fā)芽｝，發(fā)芽與不發(fā)芽的這兩種結(jié)果出現(xiàn)的機會一般是不均等的.又比如從直徑規(guī)格為300mm±0.6mm的一些鋼管產(chǎn)品中，任意抽一根，測量其直徑，測量值可能是從299.4mm~300.6mm之間的任何一個值，所有可能的結(jié)果有無限多個.古典概型1古典概型的判斷并不是所有的試驗都是古古典概型1古典概型的判斷【多選】下列試驗中是古典概型的是()A.拋一枚硬幣，觀察其正面或反面出現(xiàn)的情況B.口袋里有2個白球和2個黑球，這四個球出顏色外完全相同，從中任取一個球C.向一個圓面內(nèi)隨機的投一個點，該點落在圓內(nèi)任意一點D.射擊運動員，向一靶心進(jìn)行射擊，觀察其環(huán)數(shù)選項A，正面和反面出現(xiàn)的概率相同，是古典概型；選項B，每個球被抽到的概率相等，是古典概型；選項C，基本事件有無限個，不是古典概型；選項D，命中10環(huán),9環(huán),…,0環(huán)的概率不等，不是古典概型古典概型1古典概型的判斷【多選】下列試驗中是古典概型的是(古典概型的概率計算公式2古典概型的概率計算公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率——

其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù).如果從集合的角度來理解古典概型，則——

AU古典概型的概率計算公式2古典概型的概率計算公式古典概型的概率計算公式2古典概型的解題步驟求出樣本點總數(shù)n和事件A包含的樣本點個數(shù)k判斷試驗的事件是否是古典概型，并用字母表示所求的事件(如事件A)

古典概型的概率計算公式2古典概型的解題步驟求出樣本點總數(shù)n和古典概型的概率計算公式2古典概型的解題步驟利用古典概型的概率公式求有關(guān)事件的概率，關(guān)鍵在于求樣本點的個數(shù)n和所求事件包含的樣本點數(shù)k.求樣本點的總數(shù)的基本方法是列舉法，為了列舉出所有的基本事件，常常需要借助有序數(shù)對，圖表，樹狀圖等.利用古典概型的概率公式求隨機事件的概率，首先要判斷所求概率的事件是否為古典概型，只有古典概型才能運用其概率公式求概率；其次，在確定基本事件時，應(yīng)注意它是否需要考慮順序，這是利用概率公式求其概率的關(guān)鍵之處，應(yīng)重視以下試驗不是古典概型古典概型的概率計算公式2古典概型的解題步驟利用古典概型的概率古典概型的概率計算公式2古典概型的解題步驟從1，2，3，4，5五個數(shù)字中，任取兩數(shù)，求兩數(shù)都是奇數(shù)的概率.從1，2，3，4，5五個數(shù)字中，任取兩數(shù)，所有基本事件如下:(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個，∴n=10.

古典概型的概率計算公式2古典概型的解題步驟從1，2，3，4，建立古典概率模型一般來說，在建立概率模型時，把什么看作一個基本事件(即一個試驗結(jié)果)是人為規(guī)定的，我們只要求每次試驗有且只有一個基本事件出現(xiàn).對于同一個隨機試驗，可以根據(jù)需要建立滿足我們要求的概率模型一個隨機試驗，連同它的所有基本事件就構(gòu)成了一個概率模型一方面，對于同一個實際問題，有時可以建立不同的模型來解決，即一題多解，在多解的方法中，在尋求較為簡潔的解法；另一方面，又可以用同一種模型去解決很多不同的問題，即多題一解建立古典概率模型一般來說，在建立概率模型時，把什么看作一個基建立古典概率模型從1,2,3,4,5,6這6個數(shù)字中，任取兩數(shù)，組成一個兩位數(shù)，求組成的兩位數(shù)大于50的概率.由于50的個位數(shù)字是0，因此大于50的兩位數(shù)，只要十位上的數(shù)字不小于5即可.所有基本事件是1，2，3，4，5，6，共6個.設(shè)十位上的數(shù)字不小于5為事件A，則事件A所包含的基本事件是5，6，共2個.

建立古典概率模型從1,2,3,4,5,6這6建立古典概率模型方法二：把十位數(shù)字的取值看成一個基本事件，巧妙建立古典概型，使基本事件數(shù)較少，理解，運算都比較簡便方法一：將每一個兩位數(shù)看成一個基本事件，列舉出所有符合條件的兩位數(shù)是傳統(tǒng)解法，基本事件較多從不同的角度把握實際問題，轉(zhuǎn)化為不同的古典概型來解決，這是我們進(jìn)行概率計算的重要思想.概率模型的所有可能結(jié)果數(shù)越少，問題的解決就變得越簡單，但并不是基本概率模型中的任何事件的概率都可以在轉(zhuǎn)化后求得.建立古典概率模型方法二：把十位數(shù)字的取值看成一個基本事件，巧

忽視事件發(fā)生是否等可能而做錯坑①任意擲兩枚骰子，計算：(1)出現(xiàn)的點數(shù)相同的概率；(2)出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率；(3)出現(xiàn)點數(shù)之和為偶數(shù)的概率.(1)列表可知基本事件有6×6=36個，其中點數(shù)相同的紅色部分有6個，點數(shù)1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

忽視事件發(fā)生是否等可能而做錯坑①任意擲兩枚骰子，計算：

對“有序”和“無序”判斷不準(zhǔn)而做錯坑②甲乙兩人參加普法知識競賽，共有5道不同的題目，其中選擇題3道，填空題2道.甲乙兩人依次抽取1道題，求甲抽到選擇題，乙抽到填空題的概率.列舉可得甲抽到選擇題，乙抽到填空題的可能結(jié)果有6種，甲乙兩人依次抽取1道題的結(jié)果有10種，所以

忽略了甲乙依次抽取與順序有關(guān)，甲從5道題中抽取1道題目有5中抽法，乙從剩下的4道題中抽取一道有4種抽法，一共5×4=20種抽法.對“有序”和“無序”判斷不準(zhǔn)而做錯坑②甲乙兩人參加普法第10章

概率10.1.4

概率的基本性質(zhì)第10章概率10.1.4概率的基本性質(zhì)概率的基本性質(zhì)(1)(2)(5)1性質(zhì)(1)(2)(5)一般地，概率有如下性質(zhì)：性質(zhì)1對任意的事件A，都有P(A)≥0性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)=1，P(?)=0性質(zhì)5

概率是[0,1]之間的一個常數(shù)，不隨事件結(jié)果的改變而改變，它是頻率的科學(xué)抽象..概率的基本性質(zhì)(1)(2)(5)1性質(zhì)(1)(2)(5)一般概率的基本性質(zhì)(1)(2)(5)1

概率的基本性質(zhì)(1)(2)(5)1

概率的基本性質(zhì)(1)(2)(5)1

若隨機事件A和B互斥，A，B發(fā)生的概率均不是0，且P(A)=2-t，P(B)=4t-5，則實數(shù)t的取值范圍是多少？因為隨機事件A和B互斥，A，B發(fā)生的概率均不是0，且P(A)=2-t，P(B)=4t-5，所以有以下結(jié)論成立：

概率的基本性質(zhì)(1)(2)(5)1若隨機事件A互斥事件的概率加法公式(性質(zhì)3)2性質(zhì)3如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)

互斥事件的概率加法公式應(yīng)用的前提是“事件A和事件B互斥”，否則不可以用這個公式.實際上，對于事件A，B，有P(A∪B)≤P(A)+P(B)，只有當(dāng)事件A和事件B互斥時，等號才成立.

互斥事件的概率加法公式可以推廣到多個事件的情況，如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am)互斥事件的概率加法公式(性質(zhì)3)2性質(zhì)3如果事件A和事件B互互斥事件的概率加法公式(性質(zhì)3)2

下列四種說法：①對立事件一定是互斥事件②若