《物理學(xué)基礎(chǔ)教程》課件-第1章

第1篇力學(xué)

第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)

第1篇力學(xué)第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)1本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)、參考系、坐標(biāo)系和單位制描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的物理量運(yùn)動方程平面曲線運(yùn)動相對運(yùn)動本章小結(jié)本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)、參考系、坐標(biāo)系和單位制21.1質(zhì)點(diǎn)、參考系、坐標(biāo)系和單位制1.1.1質(zhì)點(diǎn)當(dāng)物體的大小和形狀在所研究的問題中的作用可以忽略不計時，可把物體的全部質(zhì)量放在其重心上，將其當(dāng)作一個具有一定質(zhì)量、而沒有大小和形狀的幾何點(diǎn)來處理。這個幾何點(diǎn)稱為質(zhì)點(diǎn)，它是力學(xué)中非常重要的理想模型之一。把物體當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)是有條件的，一般來說，（1）平動的物體可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)，因為平動時，物體上各點(diǎn)具有相同的運(yùn)動軌道和運(yùn)動狀態(tài)，只要研究其中一點(diǎn)的運(yùn)動情況，就能代表整個物體；（2）當(dāng)物體運(yùn)動的觀察范圍比物體的幾何尺寸大得多時，可把物體當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)，因為此時物體的大小和形狀均可忽略不計。

1.1質(zhì)點(diǎn)、參考系、坐標(biāo)系和單位制1.1.1質(zhì)點(diǎn)3但應(yīng)注意，同一物體在不同條件下，有時可視為質(zhì)點(diǎn)，有時不能視為質(zhì)點(diǎn)。例如，研究地球繞太陽公轉(zhuǎn)時，由于地球至太陽的平均距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于地球半徑，故此時可把地球當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)；但當(dāng)研究地球自轉(zhuǎn)時，就不能把地球當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)了。

在物理學(xué)中，把物體當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行研究，可使所研究的問題大大簡化，這在理論和實(shí)踐中都具有非常重要的意義。而當(dāng)所研究的運(yùn)動物體不能當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)時，可把整個物體看作是由許多質(zhì)點(diǎn)組成的。這樣，以對質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的研究為基礎(chǔ)，就可以研究任意物體的運(yùn)動了。

但應(yīng)注意，同一物體在不同條件下，有時可視為質(zhì)41.1.2參考系我們在觀察一個物體的位置及位置變化時，總要選取其他物體作為標(biāo)準(zhǔn)。這個被選作標(biāo)準(zhǔn)的物體稱為參考系。參考系的選擇是任意的，選擇不同的參考系，對同一物體運(yùn)動情況的描述是不同的，這稱為運(yùn)動描述的相對性。例如，豎直落下的雨滴，站在地面上的觀察者看到雨滴豎直落下，而在行駛的車中，乘客卻看到雨滴向后傾斜。研究物體的運(yùn)動時，一般要根據(jù)問題的性質(zhì)和研究的方便性來選擇參考系。例如，研究地面上物體的運(yùn)動時，通常選取地面作為參考系；研究地球等行星繞太陽的運(yùn)動時，一般選取太陽為參考系。在本書中，討論地面及其附近的物體運(yùn)動時，如無特別說明，都以地面為參考系。

1.1.2參考系我們在觀察一個物體的位51.1.3坐標(biāo)系選定參考系后，為了定量地描述物體的運(yùn)動狀態(tài)，還需要在參考系中建立一個坐標(biāo)系。最常用的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、平面極坐標(biāo)系和平面自然坐標(biāo)系。

1．直角坐標(biāo)系如右圖所示，在參考系中任選一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，并選定Ox、Oy、Oz三個互相垂直的軸為坐標(biāo)軸，單位矢量i、j、k的方向分別沿坐標(biāo)軸Ox、Oy、Oz的正方向。質(zhì)點(diǎn)的位置由x、y、z三個坐標(biāo)量唯一確定。

1.1.3坐標(biāo)系選定參考系后，為了定量62．平面極坐標(biāo)系如左圖所示，在平面上取一點(diǎn)O為極點(diǎn)，從點(diǎn)O出發(fā)的一根射線Ox為極軸。對于平面上任意一點(diǎn)A，線段OA的長度ρ稱為點(diǎn)A的極徑或矢徑；從Ox到OA的角度θ稱為點(diǎn)A的極角；（ρ，θ）稱為點(diǎn)A的極坐標(biāo)。

3．平面自然坐標(biāo)系如右圖所示，平面自然坐標(biāo)系是沿質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌道建立的坐標(biāo)系，在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌道上任取一點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在任意時刻的位置都可以用它到點(diǎn)O的軌道長度s（即自然坐標(biāo)）來表示。2．平面極坐標(biāo)系如左圖所示，在平面上取一點(diǎn)71.1.4單位制基本單位和導(dǎo)出單位組成一套單位制。由于基本單位的選取不同，組成的單位制也就不同。1960年國際計量大會通過了國際單位制（SI）。由于國際單位制具有先進(jìn)、實(shí)用、簡單、科學(xué)等優(yōu)點(diǎn)，故已被世界各國及國際組織廣泛采用。下表所示為國際單位制的基本單位。1.1.4單位制基本單位和導(dǎo)出單位組成81.2描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的物理量1.2.1位矢如下圖所示，在直角坐標(biāo)系中，運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)某時刻t到達(dá)空間P點(diǎn)，其位置可由坐標(biāo)原點(diǎn)O指向P點(diǎn)的矢量r表示。r稱為質(zhì)點(diǎn)P在該時刻的位置矢量，簡稱位矢，它是確定質(zhì)點(diǎn)空間位置的物理量。P點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)（x，y，z）為該點(diǎn)位矢r沿各坐標(biāo)軸的分量，即

r＝xi＋yj＋zk

位矢r的大小為：位矢r的方向余弦為：在國際單位制中，位矢的單位為米（m）。1.2描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的物理量1.2.1位矢91.2.2位移如下圖所示，質(zhì)點(diǎn)在平面上做曲線運(yùn)動，t1時刻位于A點(diǎn)，t2時刻到達(dá)B點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)相對于原點(diǎn)O的位矢由r1變?yōu)閞2。顯然，在時間間隔Δt＝t2－t1內(nèi)，位矢的長度和方向都發(fā)生了變化。我們將由質(zhì)點(diǎn)的初位置A指向末位置B的有向線段稱為質(zhì)點(diǎn)在Δt時間內(nèi)的位移，用Δr表示，即Δr＝r2－r1，它是描述質(zhì)點(diǎn)空間位置變化的物理量。

由于A、B兩點(diǎn)的位矢r1、r2可分別表示為：r1＝x1i＋y1j，r2＝x2i＋y2j

于是，位移Δr可表示為：Δr＝r2－r1＝（x2－x1）i＋（y2－y1）j

＝Δxi＋Δyj

1.2.2位移如下圖所示，質(zhì)點(diǎn)在平面上10若質(zhì)點(diǎn)在三維空間內(nèi)運(yùn)動，則在直角坐標(biāo)系Oxyz中，質(zhì)點(diǎn)的位移Δr為：Δr＝r2－r1＝（x2－x1）i＋（y2－y1）j＋（z2－z1）k

＝Δxi＋Δyj＋Δzk

位移不同于位矢。在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動過程中，位矢表示某個時刻質(zhì)點(diǎn)的位置，是描述運(yùn)動狀態(tài)的物理量（狀態(tài)量）；而位移則表示某段時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位置的變化，是描述運(yùn)動過程的物理量（過程量）。

位移也不同于路程。路程是指在某段時間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動軌道上所經(jīng)過的路徑的長度，它是一個標(biāo)量，其大小不僅與質(zhì)點(diǎn)的初位置和末位置有關(guān)，還與質(zhì)點(diǎn)在初、末位置之間的運(yùn)動路徑有關(guān)。而位移是一個矢量，它只與質(zhì)點(diǎn)的初、末位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)在初、末位置之間的運(yùn)動路徑無關(guān)。若質(zhì)點(diǎn)在三維空間內(nèi)運(yùn)動，則在直角坐標(biāo)系Oxy11一般情況下，路程Δs與位移的大小|Δr|并不相等，只有當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做單方向直線運(yùn)動時，才有|Δr|＝Δs。此外，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動且Δt→0時，有|dr|＝ds。在國際單位制中，位移和路程的單位都是米（m）。

1.2.3速度速度是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動快慢和方向的物理量。

1．平均速度如右圖所示，質(zhì)點(diǎn)在平面上做曲線運(yùn)動。在t時刻，質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)，其位矢為r1（t）；在t＋Δt時刻，質(zhì)點(diǎn)位于B點(diǎn)，其位矢為r2（t＋Δt）。則質(zhì)點(diǎn)在時間間隔Δt內(nèi)的位移Δr與Δt的比值稱為質(zhì)點(diǎn)在Δt時間內(nèi)的平均速度，即

一般情況下，路程Δs與位移的大小|Δr|并不12平均速度是矢量，其方向與Δr相同。平均速度也可表示為：

在三維直角坐標(biāo)系中，平均速度可表示為：

此外，我們將質(zhì)點(diǎn)在Δt時間內(nèi)通過的路程Δs與Δt的比值稱為質(zhì)點(diǎn)在Δt內(nèi)的平均速率，即

平均速率是標(biāo)量，恒為正值。

平均速度是矢量，其方向與Δr相同。在三維直角坐標(biāo)系中，平均速132．瞬時速度為了精確地描述質(zhì)點(diǎn)在某一時刻t的運(yùn)動快慢，應(yīng)使Δt無限小，即Δt→0，此時，Δr也趨近于零，平均速度Δr/Δt就趨近于某一極限值，此極限值稱為質(zhì)點(diǎn)在t時刻的瞬時速度v，簡稱速度，即

速度v為矢量，其方向與dr相同，為沿質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌道的切線、并指向質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)的方向。同時，我們把Δt→0時平均速率的極限值稱為質(zhì)點(diǎn)在t時刻的瞬時速率v，簡稱速率，即

2．瞬時速度為了精確地描述質(zhì)點(diǎn)在某一時刻t14速度v的大?。ㄋ俾剩椋?/p>

速度v的方向（用速度v與x軸正方向的夾角α表示）為：

在三維直角坐標(biāo)系中，速度v可表示為：

在國際單位制中，速度和速率的單位都是米每秒（m/s）。

速度v的大?。ㄋ俾剩椋核俣葀的方向（用速度v與x軸正方向151.2.4加速度加速度是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度的大小和方向隨時間變化快慢的物理量。1．平均加速度如下圖所示，質(zhì)點(diǎn)在平面上做曲線運(yùn)動。在t時刻，質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)，其速度為v1；在t＋Δt時刻，質(zhì)點(diǎn)位于B點(diǎn)，其速度為v2。則質(zhì)點(diǎn)在Δt時間內(nèi)的速度增量為Δv＝v2－v1。Δv與對應(yīng)時間Δt的比值稱為質(zhì)點(diǎn)在Δt時間內(nèi)的平均加速度，即1.2.4加速度加速度是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速16平均加速度為矢量，其方向沿速度增量Δv的方向。平均加速度也可表示為：

在三維直角坐標(biāo)系中，平均加速度表示為：

平均加速度為矢量，其方向沿速度增量Δv的方向。在三維直角坐標(biāo)172．瞬時加速度平均加速度與Δt的取值有關(guān)，它只能粗略地描述在Δt時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度的平均變化率。為了精確地描述質(zhì)點(diǎn)在某時刻t的速度變化，應(yīng)使Δt無限小，即Δt→0，此時，Δv也趨近于零，平均加速度Δv/Δt就趨近于某一極限值，此極限值稱為質(zhì)點(diǎn)在t時刻的瞬時加速度a，簡稱加速度，即

加速度a是矢量，它既反映了速度大小的變化，又反映了速度方向的變化。加速度a的大小是Δv/Δt的極限值，方向是Δt→0時的Δv極限方向。質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動時，a與v同向（加速運(yùn)動）或反向（減速運(yùn)動）；質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動時，任一時刻質(zhì)點(diǎn)的加速度方向并不與速度方向相同，即不沿曲線的切線方向，而是指向曲線的凹側(cè)。

2．瞬時加速度平均加速度與Δt的取值有關(guān)，18加速度a也可表示為：

加速度a的大小和方向（用加速度a與x軸正方向的夾角α表示）可由下式確定：

在三維直角坐標(biāo)系中，加速度a表示為：

在國際單位制中，加速度的單位是米每二次方秒（m/s2）。

加速度a也可表示為：加速度a的大小和方向（191.3運(yùn)動方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，其位矢r是隨時間變化的，因此，位矢r是時間的函數(shù)，即r＝r（t）＝x（t）i＋y（t）j＋z（t）k上式稱為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程。運(yùn)動方程在直角坐標(biāo)系中的三個分量式為：x＝x（t），y＝y(tǒng)（t），z＝z（t）從上式中消去時間參數(shù)t，就可得到質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)x、y、z之間的關(guān)系式，此關(guān)系式稱為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌道方程。運(yùn)動學(xué)的中心問題是求解運(yùn)動方程，它主要包括兩類計算問題：（1）已知運(yùn)動方程，求速度和加速度；（2）已知加速度和初始條件（初始時刻質(zhì)點(diǎn)的位置和速度），求運(yùn)動方程。

1.3運(yùn)動方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，其位矢r是隨20【例1-1】如下圖所示，水中有一小船，岸邊的人用繩子通過離水面高h(yuǎn)的滑輪拉船靠岸，設(shè)繩子的原長為l0，人以勻速v0拉繩，求任意時刻小船的速度和加速度公式?！窘狻拷⑷缟蠄D所示的坐標(biāo)軸Ox。根據(jù)題意，t＝0時，滑輪至小船的繩長為l0；經(jīng)過時間t后，繩長減小至l＝l0－v0t。此時，小船的位置坐標(biāo)為：上式即為小船的運(yùn)動方程，它指出了小船的位置x隨時間t變化的規(guī)律。

【例1-1】如下圖所示，水中有一小船，岸邊的21小船的速度為：

小船的加速度為：

小船的速度為：小船的加速度為：22【例1-2】已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為r＝（－5t＋20t2）i＋（10t－15t2）j。求：（1）t＝2s時，質(zhì)點(diǎn)的速度；（2）任意時刻質(zhì)點(diǎn)的加速度?！窘狻浚?）由式（1–12）可知，質(zhì)點(diǎn)的速度為：t＝2s時，質(zhì)點(diǎn)的速度為：速度的大小為：

速度v與x軸正向的夾角α為：

【例1-2】已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為r＝（－5t23（2）由式（1–20）可知，質(zhì)點(diǎn)的加速度為：

加速度的大小為：

加速度a與x軸正向的夾角θ為：

（2）由式（1–20）可知，質(zhì)點(diǎn)的加速度為：加速度的大小為24【例1-3】一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動，其加速度為a＝4t。已知t＝0時，質(zhì)點(diǎn)位于x0＝10m處，初速度v0＝0，試求其任意時刻的速度和運(yùn)動方程?！窘狻浚?）由加速度定義可知：分離變量，兩邊積分得：

因t＝0時，初速度v0＝0，故C1＝0。于是，質(zhì)點(diǎn)任意時刻的速度為：

【例1-3】一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動，其加速度為a＝25（2）由速度定義可知：

分離變量，兩邊積分得：

因t＝0時，x0＝10m，故C2＝10。于是，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為：

（2）由速度定義可知：分離變量，兩邊積分得：因t＝0時，261.4平面曲線運(yùn)動1.4.1切向加速度和法向加速度如下圖所示，質(zhì)點(diǎn)做變速率圓周運(yùn)動，在t時刻，質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)，其速度為vA；在t＋Δt時刻，質(zhì)點(diǎn)位于B點(diǎn)，其速度為vB。在Δt時間內(nèi)，速度的大小和方向都發(fā)生了變化，速度增量為Δv＝vB－vA。1.4平面曲線運(yùn)動1.4.1切向加速度和法向加速度27將速度vA、vB分別平移，在由矢量vA、vB和Δv組成的三角形O′A′B′中，取O′C的長度等于O′A′，連接A′C，令＝Δvτ，＝Δvn。于是，就可把速度增量Δv分解為Δvτ和Δvn兩個矢量，即Δv＝Δvτ＋Δvn

。根據(jù)加速度定義可知：

將速度vA、vB分別平移，在由矢量vA、vB28aτ和an的方向、大小和物理意義如下。

方向：當(dāng)Δt→0時，B點(diǎn)無限接近A點(diǎn)，vA與vB的夾角Δφ趨近于零，Δvτ的極限方向與vA相同，為A點(diǎn)處圓周的切線方向；Δvn的極限方向垂直于vA，沿圓軌道的半徑指向圓心?？梢?，質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)處加速度a的兩個分量aτ和an恰好指向圓周上A點(diǎn)處的切向和法向。因此，我們將aτ和an分別稱為A點(diǎn)的切向加速度和法向加速度。

大?。河捎讦→0時，Δvτ等于速度增量的大小Δv，故切向加速度aτ的大小為：

aτ和an的方向、大小和物理意義如下。方向29又由幾何關(guān)系可知，ΔO′A′C～ΔOAB，即

故法向加速度an的大小為：

由于A點(diǎn)為圓周上的任意一點(diǎn)，因此，質(zhì)點(diǎn)在圓周上的法向加速度an的大小為：

又由幾何關(guān)系可知，ΔO′A′C～ΔOAB，即故法向加速度a30

物理意義：由上述分析可知，aτ是描述速度大小變化的加速度分量；an是描述速度方向變化的加速度分量。

總加速度a的大小為：

總加速度a與速度v之間的夾角θ為：

物理意義：由上述分析可知，aτ是描述速度大小311.4.2圓周運(yùn)動的角量描述1．角位置如下圖所示，質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動，在某一時刻t位于A點(diǎn)，則在平面極坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的位置由極坐標(biāo)（R，θ）確定。極角θ稱為質(zhì)點(diǎn)的角位置，又稱角坐標(biāo)。通常規(guī)定，以O(shè)x軸正方向為參考方向，沿逆時針測得的極角為正，反之為負(fù)。

在國際單位制中，角位置的單位為弧度（rad）。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動時，角位置不斷地隨時間變化，即θ＝θ（t）上式稱為質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動時的角量運(yùn)動方程。

1.4.2圓周運(yùn)動的角量描述1．角位置322．角位移如上圖所示，在時刻t＋Δt，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，其角位置為θ＋Δθ。在Δt時間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度Δθ稱為質(zhì)點(diǎn)的角位移。一般規(guī)定，質(zhì)點(diǎn)沿逆時針方向轉(zhuǎn)動時，角位移為正，反之為負(fù)。在國際單位制中，角位移的單位為弧度（rad）。

3．角速度角位移Δθ與對應(yīng)時間Δt的比值稱為質(zhì)點(diǎn)在Δt時間內(nèi)對O點(diǎn)的平均角速度，即

2．角位移如上圖所示，在時刻t＋Δt，質(zhì)33當(dāng)Δt→0時，平均角速度的極限值稱為質(zhì)點(diǎn)在t時刻對O點(diǎn)的瞬時角速度ω，簡稱角速度，即

在國際單位制中，角速度的單位為弧度每秒（rad/s）。

4．角加速度設(shè)質(zhì)點(diǎn)在t時刻的角速度為ω，t＋Δt時刻的角速度為ω′。則Δt時間內(nèi)角速度的增量為Δω＝ω′－ω。Δω與對應(yīng)時間Δt的比值稱為質(zhì)點(diǎn)在Δt時間內(nèi)對O點(diǎn)的平均角加速度，即

當(dāng)Δt→0時，平均角速度的極限值稱為質(zhì)點(diǎn)在t34當(dāng)Δt→0時，平均角加速度的極限值稱為質(zhì)點(diǎn)在t時刻對O點(diǎn)的瞬時角加速度β，簡稱角加速度，即

在國際單位制中，角加速度的單位為弧度每二次方秒（rad/s2）。對于勻速圓周運(yùn)動，角加速度β等于零；對于勻變速圓周運(yùn)動，角加速度β為常量，可以參照研究勻變速直線運(yùn)動的方法得出以下公式：

當(dāng)Δt→0時，平均角加速度的極限值稱為質(zhì)點(diǎn)在351.4.3線量和角量的關(guān)系如右圖所示，質(zhì)點(diǎn)在Δt時間內(nèi)從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)，所經(jīng)歷的路程即弧長為Δs＝RΔθ，則線量和角量的關(guān)系如下：

1.4.3線量和角量的關(guān)系如右圖所示，36【例1-4】在Oxy坐標(biāo)平面內(nèi)，有一質(zhì)點(diǎn)沿著圓心為O、半徑為R的圓周運(yùn)動，其運(yùn)動方程為θ＝5＋3t3。求：（1）角速度ω、角加速度β、速率v、切向加速度大小aτ、法向加速度大小an等對時間t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)圓周半徑為R′時，再次求出上述幾個物理量對時間t的函數(shù)關(guān)系式?！窘狻浚?）因質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為θ＝5＋3t3，根據(jù)式（1–36）和式（1–38）可得：【例1-4】在Oxy坐標(biāo)平面內(nèi)，有一質(zhì)點(diǎn)沿著37根據(jù)線量和角量的關(guān)系可得：v＝Rω＝9Rt2aτ＝Rβ＝18Rtan＝Rω2＝81Rt4（2）當(dāng)圓周半徑R′為時，上述各物理量分別為：ω＝9t2β＝18tv＝R′ω＝9R′t2aτ＝R′β＝18R′tan＝R′ω2＝81R′t4

根據(jù)線量和角量的關(guān)系可得：38【例1-5】有一質(zhì)點(diǎn)，沿半徑R＝的圓周運(yùn)動，其角量運(yùn)動方程為θ＝3＋2t3。求：（1）當(dāng)t＝2s時，質(zhì)點(diǎn)切向和法向加速度的大??；（2）當(dāng)θ角多大時，質(zhì)點(diǎn)加速度與半徑成45°？【解】（1）因質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為θ＝3＋2t3，根據(jù)式（1–36）和式（1–38）可得：

當(dāng)t＝2s時，根據(jù)線量和角量的關(guān)系可得切向和法向加速度的大小為：aτ＝Rβ＝12Rt＝12×0.2×2＝4.8（m/s2）an＝Rω2＝36Rt4＝36×0.2×24＝115.2（m/s2）【例1-5】有一質(zhì)點(diǎn)，沿半徑R＝的圓周運(yùn)動，39（2）若質(zhì)點(diǎn)加速度與半徑成45°，則加速度a與速度v（沿切線方向）也成45°，有

故aτ＝an。根據(jù)線量和角量的關(guān)系可得Rβ＝Rω2，則

12t＝（6t2）2

所以

（2）若質(zhì)點(diǎn)加速度與半徑成45°，則加速度a與401.5相對運(yùn)動如下圖所示，有兩個參考系：S系（Oxy坐標(biāo)系）和S′系（O′xy坐標(biāo)系）。S′系坐標(biāo)原點(diǎn)O′相對于S系坐標(biāo)原點(diǎn)O的位矢為R，S′系相對于S系以速度u平動。有一質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動，某時刻，質(zhì)點(diǎn)在S系中的位矢為r，在S′系中的位矢為r′。則根據(jù)矢量合成的三角形法則可知：

r＝r′＋R

將上式中各項對時間求導(dǎo)得：

即

v＝v′＋u

1.5相對運(yùn)動如下圖所示，有兩個參考系41若再將上式中各項對時間求導(dǎo)，可得：

即

a＝a′＋a0

通常，把S系稱為靜止參考系，S′系稱為運(yùn)動參考系。這樣，質(zhì)點(diǎn)相對于S系的速度v稱為絕對速度，加速度a稱為絕對加速度；質(zhì)點(diǎn)相對于S′系的速度v′稱為相對速度，加速度a′稱為相對加速度；而運(yùn)動參考系S′相對于靜止參考系S的速度u稱為牽連速度，加速度a0稱為牽連加速度。

若再將上式中各項對時間求導(dǎo)，可得：即a＝a′＋a042【例1-6】一人向東前進(jìn)，其速率為5m/s，覺得風(fēng)從正南方吹來；若他把速率增大為10m/s，覺得風(fēng)從正東南吹來。求風(fēng)的速度?！窘狻吭O(shè)風(fēng)的絕對速度為v，風(fēng)對人的相對速度為v′，而人對地的牽連速度為u，則增速前后的速度關(guān)系為：v＝v1′＋u1，v＝v2′＋u2如下圖所示為各速度在坐標(biāo)系中的示意圖?！纠?-6】一人向東前進(jìn)，其速率為5m/s，43根據(jù)矢量合成的解析法可知：將相關(guān)數(shù)值代入上式：聯(lián)立求解可得：vx＝5，vy＝5，v1′＝5，v2′＝則風(fēng)速的大小為：風(fēng)的方向為西偏南，偏角為：根據(jù)矢量合成的解析法可知：將相關(guān)數(shù)值代入上式：聯(lián)立求解可44本章小結(jié)1．質(zhì)點(diǎn)、參考系、坐標(biāo)系和單位制（1）當(dāng)物體的大小和形狀在所研究的問題中的作用可以忽略不計時，可把物體的全部質(zhì)量放在其重心上，將其當(dāng)作一個具有一定質(zhì)量、而沒有大小和形狀的幾何點(diǎn)來處理。這個幾何點(diǎn)稱為質(zhì)點(diǎn)，它是力學(xué)中非常重要的理想模型之一。（2）在觀察一個物體的位置及位置變化時，總要選取其他物體作為標(biāo)準(zhǔn)，被選作標(biāo)準(zhǔn)的物體稱為參考系。參考系的選擇是任意的，選擇不同的參考系，對同一物體運(yùn)動情況的描述是不同的，這稱為運(yùn)動描述的相對性。（3）最常用的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、平面極坐標(biāo)系和平面自然坐標(biāo)系。本章小結(jié)1．質(zhì)點(diǎn)、參考系、坐標(biāo)系和單位制（45（4）本書中，除特別說明外，物理量的單位均采用國際單位制。

2．描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的物理量描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的物理量主要包括位矢、位移、速度和加速度。其中，位矢是確定質(zhì)點(diǎn)空間位置的物理量；位移是描述質(zhì)點(diǎn)空間位置變化的物理量；速度是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動快慢和方向的物理量；加速度是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度的大小和方向隨時間變化快慢的物理量。

3．運(yùn)動方程質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為r＝r（t）＝x（t）i＋y（t）j＋z（t）k。運(yùn)動學(xué)的中心問題是求解運(yùn)動方程，它主要包括兩類計算問題：（1）已知運(yùn)動方程，求速度和加速度；（2）已知加速度和初始條件（初始時刻質(zhì)點(diǎn)的位置和速度），求運(yùn)動方程。

（4）本書中，除特別說明外，物理量的單位均采用464．平面曲線運(yùn)動（1）切向加速度aτ是描述速度大小變化的加速度分量；法向加速度an是描述速度方向變化的加速度分量。（2）描述圓周運(yùn)動的角量主要有角位置、角位移、角速度和角加速度等。（3）線量和角量的關(guān)系：v＝Rω，aτ＝Rβ，an＝Rω2。5．相對運(yùn)動靜止參考系與運(yùn)動參考系中各物理量的換算關(guān)系為：r＝r′＋R，v＝v′＋u，a＝a′＋a0

4．平面曲線運(yùn)動（1）切向加速度aτ是描述速47第1篇力學(xué)

第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)

第1篇力學(xué)第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)48本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)、參考系、坐標(biāo)系和單位制描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的物理量運(yùn)動方程平面曲線運(yùn)動相對運(yùn)動本章小結(jié)本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)、參考系、坐標(biāo)系和單位制491.1質(zhì)點(diǎn)、參考系、坐標(biāo)系和單位制1.1.1質(zhì)點(diǎn)當(dāng)物體的大小和形狀在所研究的問題中的作用可以忽略不計時，可把物體的全部質(zhì)量放在其重心上，將其當(dāng)作一個具有一定質(zhì)量、而沒有大小和形狀的幾何點(diǎn)來處理。這個幾何點(diǎn)稱為質(zhì)點(diǎn)，它是力學(xué)中非常重要的理想模型之一。把物體當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)是有條件的，一般來說，（1）平動的物體可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)，因為平動時，物體上各點(diǎn)具有相同的運(yùn)動軌道和運(yùn)動狀態(tài)，只要研究其中一點(diǎn)的運(yùn)動情況，就能代表整個物體；（2）當(dāng)物體運(yùn)動的觀察范圍比物體的幾何尺寸大得多時，可把物體當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)，因為此時物體的大小和形狀均可忽略不計。

1.1質(zhì)點(diǎn)、參考系、坐標(biāo)系和單位制1.1.1質(zhì)點(diǎn)50但應(yīng)注意，同一物體在不同條件下，有時可視為質(zhì)點(diǎn)，有時不能視為質(zhì)點(diǎn)。例如，研究地球繞太陽公轉(zhuǎn)時，由于地球至太陽的平均距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于地球半徑，故此時可把地球當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)；但當(dāng)研究地球自轉(zhuǎn)時，就不能把地球當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)了。

在物理學(xué)中，把物體當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行研究，可使所研究的問題大大簡化，這在理論和實(shí)踐中都具有非常重要的意義。而當(dāng)所研究的運(yùn)動物體不能當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)時，可把整個物體看作是由許多質(zhì)點(diǎn)組成的。這樣，以對質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的研究為基礎(chǔ)，就可以研究任意物體的運(yùn)動了。

但應(yīng)注意，同一物體在不同條件下，有時可視為質(zhì)511.1.2參考系我們在觀察一個物體的位置及位置變化時，總要選取其他物體作為標(biāo)準(zhǔn)。這個被選作標(biāo)準(zhǔn)的物體稱為參考系。參考系的選擇是任意的，選擇不同的參考系，對同一物體運(yùn)動情況的描述是不同的，這稱為運(yùn)動描述的相對性。例如，豎直落下的雨滴，站在地面上的觀察者看到雨滴豎直落下，而在行駛的車中，乘客卻看到雨滴向后傾斜。研究物體的運(yùn)動時，一般要根據(jù)問題的性質(zhì)和研究的方便性來選擇參考系。例如，研究地面上物體的運(yùn)動時，通常選取地面作為參考系；研究地球等行星繞太陽的運(yùn)動時，一般選取太陽為參考系。在本書中，討論地面及其附近的物體運(yùn)動時，如無特別說明，都以地面為參考系。

1.1.2參考系我們在觀察一個物體的位521.1.3坐標(biāo)系選定參考系后，為了定量地描述物體的運(yùn)動狀態(tài)，還需要在參考系中建立一個坐標(biāo)系。最常用的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、平面極坐標(biāo)系和平面自然坐標(biāo)系。

1．直角坐標(biāo)系如右圖所示，在參考系中任選一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，并選定Ox、Oy、Oz三個互相垂直的軸為坐標(biāo)軸，單位矢量i、j、k的方向分別沿坐標(biāo)軸Ox、Oy、Oz的正方向。質(zhì)點(diǎn)的位置由x、y、z三個坐標(biāo)量唯一確定。

1.1.3坐標(biāo)系選定參考系后，為了定量532．平面極坐標(biāo)系如左圖所示，在平面上取一點(diǎn)O為極點(diǎn)，從點(diǎn)O出發(fā)的一根射線Ox為極軸。對于平面上任意一點(diǎn)A，線段OA的長度ρ稱為點(diǎn)A的極徑或矢徑；從Ox到OA的角度θ稱為點(diǎn)A的極角；（ρ，θ）稱為點(diǎn)A的極坐標(biāo)。

3．平面自然坐標(biāo)系如右圖所示，平面自然坐標(biāo)系是沿質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌道建立的坐標(biāo)系，在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌道上任取一點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在任意時刻的位置都可以用它到點(diǎn)O的軌道長度s（即自然坐標(biāo)）來表示。2．平面極坐標(biāo)系如左圖所示，在平面上取一點(diǎn)541.1.4單位制基本單位和導(dǎo)出單位組成一套單位制。由于基本單位的選取不同，組成的單位制也就不同。1960年國際計量大會通過了國際單位制（SI）。由于國際單位制具有先進(jìn)、實(shí)用、簡單、科學(xué)等優(yōu)點(diǎn)，故已被世界各國及國際組織廣泛采用。下表所示為國際單位制的基本單位。1.1.4單位制基本單位和導(dǎo)出單位組成551.2描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的物理量1.2.1位矢如下圖所示，在直角坐標(biāo)系中，運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)某時刻t到達(dá)空間P點(diǎn)，其位置可由坐標(biāo)原點(diǎn)O指向P點(diǎn)的矢量r表示。r稱為質(zhì)點(diǎn)P在該時刻的位置矢量，簡稱位矢，它是確定質(zhì)點(diǎn)空間位置的物理量。P點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)（x，y，z）為該點(diǎn)位矢r沿各坐標(biāo)軸的分量，即

r＝xi＋yj＋zk

位矢r的大小為：位矢r的方向余弦為：在國際單位制中，位矢的單位為米（m）。1.2描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的物理量1.2.1位矢561.2.2位移如下圖所示，質(zhì)點(diǎn)在平面上做曲線運(yùn)動，t1時刻位于A點(diǎn)，t2時刻到達(dá)B點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)相對于原點(diǎn)O的位矢由r1變?yōu)閞2。顯然，在時間間隔Δt＝t2－t1內(nèi)，位矢的長度和方向都發(fā)生了變化。我們將由質(zhì)點(diǎn)的初位置A指向末位置B的有向線段稱為質(zhì)點(diǎn)在Δt時間內(nèi)的位移，用Δr表示，即Δr＝r2－r1，它是描述質(zhì)點(diǎn)空間位置變化的物理量。

由于A、B兩點(diǎn)的位矢r1、r2可分別表示為：r1＝x1i＋y1j，r2＝x2i＋y2j

于是，位移Δr可表示為：Δr＝r2－r1＝（x2－x1）i＋（y2－y1）j

＝Δxi＋Δyj

1.2.2位移如下圖所示，質(zhì)點(diǎn)在平面上57若質(zhì)點(diǎn)在三維空間內(nèi)運(yùn)動，則在直角坐標(biāo)系Oxyz中，質(zhì)點(diǎn)的位移Δr為：Δr＝r2－r1＝（x2－x1）i＋（y2－y1）j＋（z2－z1）k

＝Δxi＋Δyj＋Δzk

位移不同于位矢。在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動過程中，位矢表示某個時刻質(zhì)點(diǎn)的位置，是描述運(yùn)動狀態(tài)的物理量（狀態(tài)量）；而位移則表示某段時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位置的變化，是描述運(yùn)動過程的物理量（過程量）。

位移也不同于路程。路程是指在某段時間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動軌道上所經(jīng)過的路徑的長度，它是一個標(biāo)量，其大小不僅與質(zhì)點(diǎn)的初位置和末位置有關(guān)，還與質(zhì)點(diǎn)在初、末位置之間的運(yùn)動路徑有關(guān)。而位移是一個矢量，它只與質(zhì)點(diǎn)的初、末位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)在初、末位置之間的運(yùn)動路徑無關(guān)。若質(zhì)點(diǎn)在三維空間內(nèi)運(yùn)動，則在直角坐標(biāo)系Oxy58一般情況下，路程Δs與位移的大小|Δr|并不相等，只有當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做單方向直線運(yùn)動時，才有|Δr|＝Δs。此外，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動且Δt→0時，有|dr|＝ds。在國際單位制中，位移和路程的單位都是米（m）。

1.2.3速度速度是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動快慢和方向的物理量。

1．平均速度如右圖所示，質(zhì)點(diǎn)在平面上做曲線運(yùn)動。在t時刻，質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)，其位矢為r1（t）；在t＋Δt時刻，質(zhì)點(diǎn)位于B點(diǎn)，其位矢為r2（t＋Δt）。則質(zhì)點(diǎn)在時間間隔Δt內(nèi)的位移Δr與Δt的比值稱為質(zhì)點(diǎn)在Δt時間內(nèi)的平均速度，即

一般情況下，路程Δs與位移的大小|Δr|并不59平均速度是矢量，其方向與Δr相同。平均速度也可表示為：

在三維直角坐標(biāo)系中，平均速度可表示為：

此外，我們將質(zhì)點(diǎn)在Δt時間內(nèi)通過的路程Δs與Δt的比值稱為質(zhì)點(diǎn)在Δt內(nèi)的平均速率，即

平均速率是標(biāo)量，恒為正值。

平均速度是矢量，其方向與Δr相同。在三維直角坐標(biāo)系中，平均速602．瞬時速度為了精確地描述質(zhì)點(diǎn)在某一時刻t的運(yùn)動快慢，應(yīng)使Δt無限小，即Δt→0，此時，Δr也趨近于零，平均速度Δr/Δt就趨近于某一極限值，此極限值稱為質(zhì)點(diǎn)在t時刻的瞬時速度v，簡稱速度，即

速度v為矢量，其方向與dr相同，為沿質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌道的切線、并指向質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)的方向。同時，我們把Δt→0時平均速率的極限值稱為質(zhì)點(diǎn)在t時刻的瞬時速率v，簡稱速率，即

2．瞬時速度為了精確地描述質(zhì)點(diǎn)在某一時刻t61速度v的大?。ㄋ俾剩椋?/p>

速度v的方向（用速度v與x軸正方向的夾角α表示）為：

在三維直角坐標(biāo)系中，速度v可表示為：

在國際單位制中，速度和速率的單位都是米每秒（m/s）。

速度v的大?。ㄋ俾剩椋核俣葀的方向（用速度v與x軸正方向621.2.4加速度加速度是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度的大小和方向隨時間變化快慢的物理量。1．平均加速度如下圖所示，質(zhì)點(diǎn)在平面上做曲線運(yùn)動。在t時刻，質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)，其速度為v1；在t＋Δt時刻，質(zhì)點(diǎn)位于B點(diǎn)，其速度為v2。則質(zhì)點(diǎn)在Δt時間內(nèi)的速度增量為Δv＝v2－v1。Δv與對應(yīng)時間Δt的比值稱為質(zhì)點(diǎn)在Δt時間內(nèi)的平均加速度，即1.2.4加速度加速度是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速63平均加速度為矢量，其方向沿速度增量Δv的方向。平均加速度也可表示為：

在三維直角坐標(biāo)系中，平均加速度表示為：

平均加速度為矢量，其方向沿速度增量Δv的方向。在三維直角坐標(biāo)642．瞬時加速度平均加速度與Δt的取值有關(guān)，它只能粗略地描述在Δt時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度的平均變化率。為了精確地描述質(zhì)點(diǎn)在某時刻t的速度變化，應(yīng)使Δt無限小，即Δt→0，此時，Δv也趨近于零，平均加速度Δv/Δt就趨近于某一極限值，此極限值稱為質(zhì)點(diǎn)在t時刻的瞬時加速度a，簡稱加速度，即

加速度a是矢量，它既反映了速度大小的變化，又反映了速度方向的變化。加速度a的大小是Δv/Δt的極限值，方向是Δt→0時的Δv極限方向。質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動時，a與v同向（加速運(yùn)動）或反向（減速運(yùn)動）；質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動時，任一時刻質(zhì)點(diǎn)的加速度方向并不與速度方向相同，即不沿曲線的切線方向，而是指向曲線的凹側(cè)。

2．瞬時加速度平均加速度與Δt的取值有關(guān)，65加速度a也可表示為：

加速度a的大小和方向（用加速度a與x軸正方向的夾角α表示）可由下式確定：

在三維直角坐標(biāo)系中，加速度a表示為：

在國際單位制中，加速度的單位是米每二次方秒（m/s2）。

加速度a也可表示為：加速度a的大小和方向（661.3運(yùn)動方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，其位矢r是隨時間變化的，因此，位矢r是時間的函數(shù)，即r＝r（t）＝x（t）i＋y（t）j＋z（t）k上式稱為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程。運(yùn)動方程在直角坐標(biāo)系中的三個分量式為：x＝x（t），y＝y(tǒng)（t），z＝z（t）從上式中消去時間參數(shù)t，就可得到質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)x、y、z之間的關(guān)系式，此關(guān)系式稱為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌道方程。運(yùn)動學(xué)的中心問題是求解運(yùn)動方程，它主要包括兩類計算問題：（1）已知運(yùn)動方程，求速度和加速度；（2）已知加速度和初始條件（初始時刻質(zhì)點(diǎn)的位置和速度），求運(yùn)動方程。

1.3運(yùn)動方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，其位矢r是隨67【例1-1】如下圖所示，水中有一小船，岸邊的人用繩子通過離水面高h(yuǎn)的滑輪拉船靠岸，設(shè)繩子的原長為l0，人以勻速v0拉繩，求任意時刻小船的速度和加速度公式?！窘狻拷⑷缟蠄D所示的坐標(biāo)軸Ox。根據(jù)題意，t＝0時，滑輪至小船的繩長為l0；經(jīng)過時間t后，繩長減小至l＝l0－v0t。此時，小船的位置坐標(biāo)為：上式即為小船的運(yùn)動方程，它指出了小船的位置x隨時間t變化的規(guī)律。

【例1-1】如下圖所示，水中有一小船，岸邊的68小船的速度為：

小船的加速度為：

小船的速度為：小船的加速度為：69【例1-2】已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為r＝（－5t＋20t2）i＋（10t－15t2）j。求：（1）t＝2s時，質(zhì)點(diǎn)的速度；（2）任意時刻質(zhì)點(diǎn)的加速度?！窘狻浚?）由式（1–12）可知，質(zhì)點(diǎn)的速度為：t＝2s時，質(zhì)點(diǎn)的速度為：速度的大小為：

速度v與x軸正向的夾角α為：

【例1-2】已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為r＝（－5t70（2）由式（1–20）可知，質(zhì)點(diǎn)的加速度為：

加速度的大小為：

加速度a與x軸正向的夾角θ為：

（2）由式（1–20）可知，質(zhì)點(diǎn)的加速度為：加速度的大小為71【例1-3】一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動，其加速度為a＝4t。已知t＝0時，質(zhì)點(diǎn)位于x0＝10m處，初速度v0＝0，試求其任意時刻的速度和運(yùn)動方程?！窘狻浚?）由加速度定義可知：分離變量，兩邊積分得：

因t＝0時，初速度v0＝0，故C1＝0。于是，質(zhì)點(diǎn)任意時刻的速度為：

【例1-3】一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動，其加速度為a＝72（2）由速度定義可知：

分離變量，兩邊積分得：

因t＝0時，x0＝10m，故C2＝10。于是，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為：

（2）由速度定義可知：分離變量，兩邊積分得：因t＝0時，731.4平面曲線運(yùn)動1.4.1切向加速度和法向加速度如下圖所示，質(zhì)點(diǎn)做變速率圓周運(yùn)動，在t時刻，質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)，其速度為vA；在t＋Δt時刻，質(zhì)點(diǎn)位于B點(diǎn)，其速度為vB。在Δt時間內(nèi)，速度的大小和方向都發(fā)生了變化，速度增量為Δv＝vB－vA。1.4平面曲線運(yùn)動1.4.1切向加速度和法向加速度74將速度vA、vB分別平移，在由矢量vA、vB和Δv組成的三角形O′A′B′中，取O′C的長度等于O′A′，連接A′C，令＝Δvτ，＝Δvn。于是，就可把速度增量Δv分解為Δvτ和Δvn兩個矢量，即Δv＝Δvτ＋Δvn

。根據(jù)加速度定義可知：

將速度vA、vB分別平移，在由矢量vA、vB75aτ和an的方向、大小和物理意義如下。

方向：當(dāng)Δt→0時，B點(diǎn)無限接近A點(diǎn)，vA與vB的夾角Δφ趨近于零，Δvτ的極限方向與vA相同，為A點(diǎn)處圓周的切線方向；Δvn的極限方向垂直于vA，沿圓軌道的半徑指向圓心?？梢?，質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)處加速度a的兩個分量aτ和an恰好指向圓周上A點(diǎn)處的切向和法向。因此，我們將aτ和an分別稱為A點(diǎn)的切向加速度和法向加速度。

大?。河捎讦→0時，Δvτ等于速度增量的大小Δv，故切向加速度aτ的大小為：

aτ和an的方向、大小和物理意義如下。方向76又由幾何關(guān)系可知，ΔO′A′C～ΔOAB，即

故法向加速度an的大小為：

由于A點(diǎn)為圓周上的任意一點(diǎn)，因此，質(zhì)點(diǎn)在圓周上的法向加速度an的大小為：

又由幾何關(guān)系可知，ΔO′A′C～ΔOAB，即故法向加速度a77

物理意義：由上述分析可知，aτ是描述速度大小變化的加速度分量；an是描述速度方向變化的加速度分量。

總加速度a的大小為：

總加速度a與速度v之間的夾角θ為：

物理意義：由上述分析可知，aτ是描述速度大小781.4.2圓周運(yùn)動的角量描述1．角位置如下圖所示，質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動，在某一時刻t位于A點(diǎn)，則在平面極坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的位置由極坐標(biāo)（R，θ）確定。極角θ稱為質(zhì)點(diǎn)的角位置，又稱角坐標(biāo)。通常規(guī)定，以O(shè)x軸正方向為參考方向，沿逆時針測得的極角為正，反之為負(fù)。

在國際單位制中，角位置的單位為弧度（rad）。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動時，角位置不斷地隨時間變化，即θ＝θ（t）上式稱為質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動時的角量運(yùn)動方程。

1.4.2圓周運(yùn)動的角量描述1．角位置792．角位移如上圖所示，在時刻t＋Δt，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，其角位置為θ＋Δθ。在Δt時間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度Δθ稱為質(zhì)點(diǎn)的角位移。一般規(guī)定，質(zhì)點(diǎn)沿逆時針方向轉(zhuǎn)動時，角位移為正，反之為負(fù)。在國際單位制中，角位移的單位為弧度（rad）。

3．角速度角位移Δθ與對應(yīng)時間Δt的比值稱為質(zhì)點(diǎn)在Δt時間內(nèi)對O點(diǎn)的平均角速度，即

2．角位移如上圖所示，在時刻t＋Δt，質(zhì)80當(dāng)Δt→0時，平均角速度的極限值稱為質(zhì)點(diǎn)在t時刻對O點(diǎn)的瞬時角速度ω，簡稱角速度，即

在國際單位制中，角速度的單位為弧度每秒（rad/s）。

4．角加速度設(shè)質(zhì)點(diǎn)在t時刻的角速度為ω，t＋Δt時刻的角速度為ω′。則Δt時間內(nèi)角速度的增量為Δω＝ω′－ω。Δω與對應(yīng)時間Δt的比值稱為質(zhì)點(diǎn)在Δt時間內(nèi)對O點(diǎn)的平均角加速度，即

當(dāng)Δt→0時，平均角速度的極限值稱為質(zhì)點(diǎn)在t81當(dāng)Δt→0時，平均角加速度的極限值稱為質(zhì)點(diǎn)在t時刻對O點(diǎn)的瞬時角加速度β，簡稱角加速度，即

在國際單位制中，角加速度的單位為弧度每二次方秒（rad/s2）。對于勻速圓周運(yùn)動，角加速度β等于零；對于勻變速圓周運(yùn)動，角加速度β為常量，可以參照研究勻變速直線運(yùn)動的方法得出以下公式：

當(dāng)Δt→0時，平均角加速度的極限值稱為質(zhì)點(diǎn)在821.4.3線量和角量的關(guān)系如右圖所示，質(zhì)點(diǎn)在Δt時間內(nèi)從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)，所經(jīng)歷的路程即弧長為Δs＝RΔθ，則線量和角量的關(guān)系如下：

1.4.3線量和角量的關(guān)系如右圖所示，83【例1-4】在Oxy坐標(biāo)平面內(nèi)，有一質(zhì)點(diǎn)沿著圓心為O、半徑為R的圓周運(yùn)動，其運(yùn)動方程為θ＝5＋3t3。求：（1）角速度ω、角加速度β、速率v、切向加速度大小aτ、法向加速度大小an等對時間t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)圓周半徑為R′時，再次求出上述幾個物理量對時間t的函數(shù)關(guān)系式?！窘狻浚?）因質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為θ＝5＋3t3，根據(jù)式（1–36）和式（1–38）可得：【例1-4】在Oxy坐標(biāo)平面內(nèi)，有一質(zhì)點(diǎn)沿著84根據(jù)線量和角量的關(guān)系可得：v＝Rω＝9Rt2aτ＝Rβ＝18Rtan＝Rω2＝81Rt4（2）當(dāng)圓周半徑R′為時，上述各物理量分別為：ω＝9t2β＝18tv＝R′ω＝9R′t2aτ＝R′β＝18R′tan＝R′ω2＝81R′t4

根據(jù)線量和角量的關(guān)系可得：85【例1-5】有一質(zhì)點(diǎn)，沿半徑R＝的圓周運(yùn)動，其角量運(yùn)動方程為θ＝3＋2t3。求：（1）當(dāng)t＝2s時，質(zhì)點(diǎn)切向和法向加速度的大??；（2）當(dāng)θ角多大時，質(zhì)點(diǎn)加速度與半徑成45°？【解】（1）因質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為θ