2函數的表示法

3.1.2函數的表示法課標要求素養(yǎng)要求.掌握函數的三種表示法：解析法、列表法、圖象法以及各自的優(yōu)缺點..在實際情境中，會根據/、同的需要選擇恰當的方法表示函數..通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用..會求函數的解析式..結合實例，經歷函數三種表示法的抽象過程，體會三種表示法的作用，發(fā)展學生的數學抽象素養(yǎng)..結合實例，加深對分段函數概念的理解及應用，提升邏輯推理、數學運算素養(yǎng).課前預習婦訝探究教材知識探究?憎境引入(1)已建成的京滬高速鐵路總長約1318千米，設計速度目標值380千米/時，若京滬高速鐵路時速按300千米/時計算，火車行駛x小時后，路程為y千米，則y是x的函數，可以用y=300x來表示，其中y=300x叫做該函數的解析式.(2)如圖是我國人口出生率變化曲線：神JQ55神JQ551，加I期3IQ751附119BS1990年歷(3)下表是大氣中氟化物濃度與污染源距離的關系表污染源跑離50100200300500氟化物濃度0.6780.3980.1210.050.01問題根據初中所學知識，請判斷問題(1)、(2)、(3)分別是用什么法表示函數的?提示解析法、圖象法和列表法.2新知梗理.函數的三種表示方法注意三種表示方法的優(yōu)缺點

解析法用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系圖象法用圖象表小兩個變量之間的對應關系列表法列出表格來表示兩個變量之間的對應關系表示法定義.分段函數分段函數的定義域、值域分別是各段函數的定義域、值域的并集分段函數在書寫時要用大括號，把各段函數合并寫成一個函數的形式，并寫出各段的定義域.(1)一般地，分段函數就是在函數定義域內，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應關系的函數.(2)分段函數是一個函數，其定義域、值域分別是各段函數的定義域、值域的并_集；各段函數的定義域的交集是空集.⑶作分段函數圖象時，應分別作出每一段的圖象.教材拓展補遺［微判斷］.任何一個函數都可以用列表法表示.(X)提示如果函數的定義域是連續(xù)的數集，則該函數就不能用列表法表示..任何一個函數都可以用圖象法表示.(X)提示有些函數是不能畫出圖象的，如f(x)如f(x)=1x€Q,—1,x€?RQ..函數的圖象一定是其定義域上的一條連續(xù)不斷的曲線.(X)1一提小反例：f(x)=-的圖象就不是連續(xù)的曲線.x.分段函數是一個函數，且其圖象一定是間斷的.(X)提示圖象可問斷，也可連續(xù)..函數f(x)=x+1與g(x)=x+1(xCN)的圖象相同.(X)提示兩函數的定義域不同，則圖象不同..若f(x+1)=3x+2,則f(x)=3x—1.(，)［微訓練］.函數f(x)=3x—1,x€［1,5］的圖象是()

A.直線B.射線C.線段D.離散的點解析?「f(x)=3x—1為一次函數，圖象為一條直線，而xC[1,5],則此時圖象為線段.故選C.答案C1x<1且xw—1,.已知函數f(x)=x+1Mf(2)=.x—1,x>1,解析f(2)=，2』=1.答案1.已知f(x)的圖象如圖，則f(x)的值域為解析由f(x)的圖象知，f(x)的值域為[—4,3].答案[—4,3][微思考]函數圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等，那么判斷一個圖形是不是函數圖象的依據是什么？提示要檢驗一個圖形是否為函數的圖象，其法則為：在定義域內任取一個x值作垂直于x軸的直線，若此直線與圖形有唯一交點，則圖形為函數圖象；若無交點或多于1個交點，則不是函數圖象.課堂互動!II1111題器剖析課堂互動題型一三種表示法的應用無論用哪種方式表示的函數，都必須滿足函數的概念【例1】某商場新進了10臺彩電，每臺售價3000元，試求售出臺數x與收款數y之間的函數關系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來.解(1)列表法：

x/臺12345y/元3000600090001200015000x/臺678910y/元1800021000240002700030000仍元*I”1?(2)圖象法：*

(2)圖象法：V3IIHI'*F-ift―i臺(3)解析法：y=3000x,x€{1,2,3,…，10).規(guī)律方法理解函數表示法的三個關注點(1)列表法、圖象法、解析法均是函數的表示法，無論是哪種方式表示函數，都必須滿足函數的概念.(2)列表法更直觀形象，圖象法從形的角度描述函數，解析法從數的角度描述函數.(3)函數的三種表示法互相兼容或補充，許多函數是可以用三種方法表示的，但在實際操作中，仍以解析法為主.【訓練11將一條長為10cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長

各做一個正方形.試用多種方法表示兩個正方形的面積之和S與其中一段鐵絲長x(xCN*)的函數關系.解這個函數的定義域為{x|1&x<10,xCN*}.x210—x2①解析法：s=4+電廣.將上式整理得S=1x2—5x+25,x€{x|1<x<10,x€N*}.②列表法:一段鐵絲長x(cm)123456789兩個正力形的面積之和S(cm2)418174298134258134298174418③圖象法:S,*4*消題型二求函數解析式已知f(x)與f1或f(—x)之間的關系式，常采用先換元，再消元求f(x)的解析式x方向1換元法(配湊法)、方程組法求函數解析式【例2—1】求下列函數的解析式：(1)已知f(\/x+1)=x+2限求f(x);(2)已知f(x+2)=2x+3,求f(x);(3)已知f(x)+2f(—x)=x2+2x,求f(x).解(1)法一(換元法)：令t=Vx+1,則x=(t—1)2,t>1,所以f⑴=(t—1)2+2(t-1)=t2-1(t>1),所以f(x)的解析式為f(x)=x2-1(x>1).法二(配湊法)：f(以+1)=x+24=x+2^x+1—1=(Vx+1)2—1.因為近+1>1,所以f(x)的解析式為f(x)=x2-1(x>1).(2)f(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,；f(x)=2x—1.(3)「f(x)+2f(—x)=x2+2x,①???將x換成一x,得f(—x)+2f(x)=x2—2x.②「?由①一2X②得3f(x)=x2—6x,,f(x)=3x2-2x.

規(guī)律方法1.已知f(g(x))=h(x)求f(x),常用的有兩種方法：(1)換元法，即令t=g(x)解出x,代入h(x)中得到一個含t的解析式，即為函數解析式，注意換元后新元的范圍.(2)配湊法，即從f(g(x))的解析式中配湊出g(x)”，即用g(x)來表示h(x),然后將解析式中的g(x)用x代替即可.2.方程組法：當同一個對應關系中的含有自變量的兩個表達式之間有互為相反數或互為倒數關系時，可構造方程組求解.方向2用待定系數法求函數解析式【例2—2](1)已知f(x)是一次函數，且f(f(x))=16x—25,求f(x);(2)已知f(x)為二次函數,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解(1)設f(x)=kx+b(kw0),則f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=16x-25,k2=16,kb+b=—25,k2=16,kb+b=—25,k=4,,廠或b=-5k=-4,-25b=W3?.f(x)=4x—5或f(x)=—4x+25.⑵設f(x)=ax2+bx+c(a豐0),則f(x+1)+f(x—1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,2a=2,a=1,2b=—4,；b=—2,2a+2c=0,c=—1,,f(x)=x2-2x-1.規(guī)律方法待定系數法求函數解析式已知函數的類型，如是一次函數、二次函數等，即可設出f(x)的解析式，再根據條件列方程(或方程組)，通過解方程(組)求出待定系數，進而求出函數解析式.方向3根據函數圖象求解析式【例2—3】根據函數f(x)的圖象寫出它的解析式.111——o123解當0&x&1時，圖象為經過原點的直線，設f(x)=kx.將點(1,2)代入得k=2,所以此時解析式為y=2x.當xC[1,2)時f(x)=2,當x€[2,+8)時f(x)=3,2x,0<x<1,?.f(x)=2,1<x<2,x>2.規(guī)律方法解決此類問題的關鍵.觀察圖象：(1)確定函數圖象對應的函數類型；(2)確定圖象上關鍵點的坐標..由函數類型設出函數解析式，利用待定系數法求解.【訓練2】(1)已知函數f(x+1)=3x+2,求f(x);(2)已知fx-1=x2+N,求f(x);xx1(3)已知f(x)+2f1=x(xw0),求f(x).x解(1)法一(換元法)令x+1=t,「.x=t—1,??.f(t)=3(t-1)+2=3t-1,??.f(x)=3x—1.法二(配湊法)f(x+1)=3x+2=3(x+1)-1,?.f(x)=3x—1.(2).fx—x=x2+3=x-x2+2,.1令t=x_—,x?.f(t)=t2+2,..f(x)=x2+2.⑶.f(x)+2f1=x,x用1代替x得f1+2f(x)=-,xx\/x.1-2x消去f￡得f(x)=3-—3(xw0),x3x3

2x「?函數f(x)的解析式為f(x)=---(x^0).3X3題型三分段函數求值問題解決此問題的關鍵是抓住定義域，判斷在哪一區(qū)間上求解x+1,x<-2,5【例3】已知函數f(x)=3x+5,-2<x<2,求f(—5),f(1),ff—22x-1,x>2,5,解由一5C(—8,—2],1C(—2,2),—^^(―8,—2],知f(—5)=—5+155331=—4,f(1)=3X1+5=8,ff—2=f—,+1=f—5=3X--+5=,【遷移11(變換所求)例3條件不變，若f(a)=3,求實數a的值.解當a0—2時，f(a)=a+1=3,即a=2>—2,不合題意，舍去；當一2<a<22一時，f(a)=3a+5=3,即a=—,C(—2,2),符合題意；當a>2時，f(a)=2a—132,、=3,即a=2C[2,+00),符合題意.綜上可得，當f(a)=3時，a的值為一4或32.【遷移2】(變換所求)例3的條件不變，若f(x)>2x,求x的取值范圍.解當x0-2時，f(x)>2x可化為x+1>2x,即x<1,所以x0—2;當一2<x<2時，f(x)>2x可化為3x+5>2x,即x>—5,所以一2<x<2;當x》2時，f(x)>2x可化為2x—1>2x,貝UxC.綜上可得，x的取值范圍是{xx<2}.規(guī)律方法1.求分段函數函數值的方法⑴先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.⑵然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當出現f(f(x。))的形式時，應從內到外依次求值.可分段利用函數解析式求得自變也可先判斷每一段上的函數值的2.已知分段函數的函數值求對應的自變量的值，量的值，但應注意檢驗函數解析式的適用范圍,范圍，確定解析式再求解.可分段利用函數解析式求得自變也可先判斷每一段上的函數值的【訓練3】⑴【訓練3】⑴f(x)=x+3,x>10,f(f(x+5)),x<10,則f(5)的值是(B.21A.24B.21D.16C.18D.16x,xW—2)(2)已知f(x)=x+1,—2<x<4,若f(a)<—3,則a的取值范圍為()3x,x>4,A.(-3,+oo)B.[-3,+oo)C.(一00,一3)D.(一00,一3]解析(1)f(5)=f(f(10)),f(10)=f(f(15))=f(18)=21,..f(5)=f(21)=24.故選A.(2)當a0—2時，a<-3,「av—3;當一2<a<4時，a+1<-3,a<-4,此時不等式無解；當a》4時，3a<-3,a<—1此時不等式無解，故選C.答案(1)A(2)C題型四分段函數的圖象與應用解決問題的關鍵是“分段歸類”堅持定義域優(yōu)先的原則，注意定義域的端點應不重不漏【例4】(1)已知f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式為⑵已知函數f(x)=1+岡⑵已知函數f(x)=1+岡一x2(-2<x<2).①用分段函數的形式表示函數f(x);②畫出函數f(x)的圖象；③寫出函數f(x)的值域.⑴解析當0&x01時，f(x)=—1;當1<x02時，設f(x)=kx+b(kw0),k+b=—1,2k+b=0,解得k=1,b=—2,止匕時f(x)=x—2.f(x)=-1,0<x<1,k+b=—1,2k+b=0,解得k=1,b=—2,止匕時f(x)=x—2.f(x)=-1,0<x<1,x-2,1<x<2.答案f(x)=-1,0<x<1,x-2,1<x<2x-x(2)解①當00x02時，f(x)=1+-2—=1,,一，—x—x當一2<x<0時，f(x)=1+—2=1—x.所以f(x)=所以f(x)=1,0<x<2,1-x,-2<x<0.②函數f(x)的圖象如圖所示.③由(2)知，f(x)在(一2,2］上的值域為［1,3).規(guī)律方法1.由分段函數的圖象確定函數解析式的步驟⑴定類型：根據自變量在不同范圍內圖象的特點，先確定函數的類型⑵設函數式：設出函數的解析式.⑶列方程(組)：根據圖象中的已知點，列出方程或方程組，求出該段內的解析式⑷下結論：最后用!”表示出各段解析式，注意自變量的取值范圍.2.作分段函數圖象的注意點作分段函數的圖象時，定義域內各分界點處的取值情況決定著圖象在分界點處的斷開或連接，特別注意端點處是實心點還是空心點【訓練4】【訓練4】已知f(x)=(―1<x<1),(x>1或x<—1).(1)畫出f(x)的圖象;(2)求f(x)的值域.解(1)利用描點法，作出f(x)的圖象，如圖所示(2)由條件知，函數f(x)的定義域為R.由圖象知，當一1&x01時，f(x)=x2的值域為［0,1］,當x>1或x<—1時，f(x)=1,所以f(x)的值域為[0,1].■■核心素養(yǎng)I.Ill'HiliIIIIIII全面提升||町』||II一、素養(yǎng)落地.通過本節(jié)課的學習，學會有邏輯地思考問題，并增強交流能力，重點提升學生的數學抽象、數學運算、邏輯推理素養(yǎng)..函數三種表示法的優(yōu)缺點.分段函數是一個函數，而不是幾個函數，只是對于x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關系.二、素養(yǎng)訓練TOC\o"1-5"\h\z.已知函數f(x)由下表給出，則f(11)=()x0<x<55<x<1010<x<1515<x<20y2345TOC\o"1-5"\h\zA.2B.3C.4D.5解析由表可知f(11)=4.答案C.已知f(x—1)=x2+4x—5,則f(x)的表達式是()A.f(x)=x2+6xB.f(x)=x2+8x+7C.f(x)=x2+2x-3D.f(x)=x2+6x—10解析法一設1=乂一1,則x=t+1「「f(x—1)=x2+4x—5,；f(t)=(t+1)2+4(t+1)—5=t2+6t,..f(x)的表達式是f(x)=x2+6x.法二vf(x-1)=x2+4x—5=(x-1)2+6(x-1),??.f(x)=x2+6x,；f(x)的表達式是f(x)=x2+6x.故選A.答案A.已知函數f(x)由下表給出，則f(f(3))=.

f(x)3241解析由題設給出的表知f(3)=4,則f(f(3))=f(4)=1,故填1.答案1.已知f(x)是一次函數，若f(f(x))=4x+8,則f(x)的解析式為解析設f(x)=ax+b(aw0),則f(f(x))=f(ax+b)=a2x+ab+b.a2=4,ab+b=8,a2=4,ab+b=8,解得a=2,8b=3a=-2,b=—8.8?.f(x)=2x+a或f(x)=—2x-8.3,,、8答案f(x)=2x+.或f(x)=—2x—835.已知函數f(x)=x2—2x(—1<x<2).(1)畫出f(x)圖象的簡圖；⑵根據圖象寫出f(x)的值域.解(1)f(x)圖象的簡圖如圖所示.⑵觀察f(x)的圖象可知，f(x)圖象上所有點的縱坐標的取值范圍是[―1,3],則f(x)的值域是[―1,3].課后作業(yè)鞏古坦嘉基礎達標、選擇題1.已知f(x)是一次函數,2f(2)—3f(1)=5,2f(0)—f(—1)=1,則f(x)等于()B.3x-2A.3x+2B.3x-2C.2x+3D.2x-3C.2x+3解析設f(x)=kx+b(kw0),V2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,k—b=5,k=3,k+b=1,b=—2,?.f(x)=3x—2.答案B1—x2(x<1),1.設函數f(x)=x2+x-2(x>1),則fE的值為()5-6-1-18-95-6-1-18-9Ac7-62-1-18BDTOC\o"1-5"\h\z11解析當x>1時，f(x)=x2+x—2,則f(2)=22+2—2=4,=4,當x01.一O-1-1115..時，f(x)=1—x2,，ff⑵=f4=1—記=行故選A.答案A.已知f(1-2x)=，,則f2的值為()x41A.4B.41C.16D.—解析根據題意知1—2x=J解得x=1,故｝=16.答案C.已知f(x—1)=x2,則f(x)的解析式為()一22A.f(x)=x2+2x+1B.f(x)=x2—2x+1C.f(x)=x2+2x-1D.f(x)=x2—2x—1解析令x—1=t,則乂0+1,??.f(t)=f(x—1)=(t+1)2=t2+2t+1,?.f(x)=x2+2x+1.答案A.已知函數y=f(x)的對應關系如下表，函數y=g(x)的圖象是如圖所示的曲線ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),則f(g(2))=()

f(x)230‘IAL；H:OI23xA.3B.2C.1D.0解析由題圖知g(2)=1,；f(g(2))=f(1)=2.故選B.答案B二、填空題x2+1(x>0),.若函數f(x)=兀(x=0),則f(f(f(—2019)))=0(x<0),解析f(-2019)=0,..f(f(—2019))=f(0)=兀，?.f(f(f(—2019)))=f(冗手兀2+1.答案，+1x2+2,x<2,.已知f(x)=若f(xO)=8,則x0=.2x,x>2,解析x002時，f(x0)=x0+2=8,即x0=6,「?x0=一乖或x0=46(舍).當x0>2時，f(x0)=2x0=8,x0=4.綜上，乂0=—。6或4.答案一乖或4

.已知函數f(x),g(x)分別由下表給出:當x=1時，f(g(1))=1,g(f(1))=g(1)=3,不滿足條件；則f(g(1))則f(g(1))的值為;解析解析由表中對應值，知f(g(1))=f(3)=1.當x=2時，f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,滿足條件；當x=3時，f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,不滿足條件;所以?f足f(g(x))>g(f(x))的x的值是2.答案12三、解答題.求下列函數的解析式：(1)已知f(x+1)=x2—3x+2,求f(x);(2)已知f(1+炳=x—2,—1,求f(x);(3)已知fx+1=x2+5，求f(x);―一一1八1，、一⑷若2f(x)+f[=2x+-(x^0),求f(x);x2(5)已知函數f(x)=x2—bx+c且f(1)=0,f(2)=—3,求f(x).解(1)設x+1=t,則乂=~1,.f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,.f(x)=x2—5x+6,(2)設1+m=t(t>1),則>/x=t—1,.f(t)=(t-1)2-2(t-1)-1=t2-4t+2,,f(x)=x2-4x+2(x>1).(3)fx+x=x