八年級(jí)數(shù)學(xué)上角平分線的作法

.教學(xué)內(nèi)容：.角平分線的作法..角平分線的性質(zhì)及判定..角平分線的性質(zhì)及判定的應(yīng)用.二.知識(shí)要點(diǎn)：1.角平分線的作法（尺規(guī)作圖）①以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA、OB于C、D兩點(diǎn);1②分別以C、D為圓心，大于］CD長(zhǎng)為半徑回弧，兩弧交于點(diǎn)③過點(diǎn)P作射線OP,射線OP即為所求.P；AOOMCAPONB1.2BOPAXOM,PBXON角平分線的性質(zhì)及判定（1）角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等①推導(dǎo)BDBDCA——BODcap已知：OC平分/MON垂足分別為點(diǎn)A、點(diǎn)B求證：PA=PB.cap2.證明：???PAXOM,PBXON?./PAO=ZPBO=90°?.OC平分/MON=/2VPAO=ZPBO在APAO和^PBO中，彳/1=/2[OP=OP?.△PAO^APBOPA=PB②幾何表達(dá)：（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）AOBAOB如圖所示，???OP平分/MON(/1=/2),PAXOM,PBXON,PA=PB.(2)角平分線的判定：到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.①推導(dǎo)已知：點(diǎn)P是/MON內(nèi)一點(diǎn)，PAXOM于A,PBXON于B,且PA=PB.求證：點(diǎn)P在/MON的平分線上.證明：連結(jié)OP一PA=PB在Rt^PAO和Rt^PBO中，｛OP=OP???RtAPAO^RtAPBO(HL)=/2OP平分/MON即點(diǎn)P在/MON的平分線上.②幾何表達(dá)：(到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.)如圖所示，???PAXOM,PBXON,PA=PB??/1=/2(OP平分/MON).角平分線性質(zhì)及判定的應(yīng)用①為推導(dǎo)線段相等、角相等提供依據(jù)和思路；②實(shí)際生活中的應(yīng)用.

例：一個(gè)工廠，在公路西側(cè)，到公路的距離與到河岸的距離相等，并且到河上公路橋頭的距離為300米.在下圖中標(biāo)出工廠的位置，并說明理由..畫一個(gè)任意三角形并作出兩個(gè)角（內(nèi)角、外角）的平分線，觀察交點(diǎn)到這個(gè)三角形三條邊所在直線的距離的關(guān)系.⑴兩個(gè)內(nèi)角的角平分線（2）一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的角平分線（3）兩個(gè)外角的角平分線.重點(diǎn)難點(diǎn)：.重點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)及判定.難點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)及判定的應(yīng)用【考點(diǎn)分析】本講內(nèi)容作為基礎(chǔ)內(nèi)容來講，它在中考題中偶爾以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，但角平分線的性質(zhì)及判定有時(shí)出現(xiàn)在綜合題題目當(dāng)中，因此還是比較重要的.【典型例題】例1.已知：如圖所示，/C=/C'=90°,AC=AC'求證：（1）/ABC=ZABC';BC=BC'（要求：不用三角形全等判定）.分析：由條件/C=/C'=90°,AC=AC',可以把點(diǎn)A看作是/CBC'平分線上的點(diǎn)，由此可打開思路.證明：（1）.??/C=/C'=90°（已知），AC±BC,AC'LBC'（垂直的定義）.又AC=AC'（已知），???點(diǎn)A在/CBC'的角平分線上（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）?./ABC=/ABC1./C=ZC；ZABC=ZABC?.180°—（/C+ZABC）=180°—（/C'+/ABC）（三角形內(nèi)角和定理）.即/BAC=/BACAC±BC,AC±BC；BC=BC'（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等）評(píng)析：利用三角形全等進(jìn)行問題證明對(duì)平面幾何的學(xué)習(xí)有一定的積極作用，但也會(huì)產(chǎn)生消極作用，在解題時(shí)，要能打破思維定勢(shì)，尋求解題方法的多樣性.例2.如圖所示，已知△ABC中，PE//AB交BC于E,PF//AC交BC于F,P是AD上一點(diǎn)，且D點(diǎn)到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分/BAC,并說明理由.分析：判定一條射線是不是一個(gè)角的平分線，可用角平分線的定義和角平分線的判定定理.根據(jù)題意，首先由角平分線的判定定理推導(dǎo)出/1=/2,再利用平行線推得/3=74,最后用角平分線的定義得證.解：AD平分/BAC.D至1JPE的距離與到PF的距離相等，??點(diǎn)D在ZEPF的平分線上.1=72.又「PE//AB,.1=/3.同理，/2=74.?/3=/4,AD平分/BAC.評(píng)析：由角平分線的判定判斷出PD平分/EPF是解決本例的關(guān)鍵.“同理”是當(dāng)推理過程相同，只是字母不同時(shí)為書寫簡(jiǎn)便可以使用“同理”例3.如圖所示，已知△ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,那么AP能否平分/BAC?請(qǐng)說明理由.由此題你能得到一個(gè)什么結(jié)論？分析：由題中條件可知，本題可以采用角的平分線的性質(zhì)及判定來解答，因此要作出點(diǎn)P到三邊的垂線段.解：AP平分/BAC.結(jié)論：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.理由：過點(diǎn)P分別作BC,AC,AB的垂線，垂足分別是E、F、D.BM是/ABC的角平分線且點(diǎn)P在BM上，PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等)同理PF=PE,.1.PD=PF..AP平分ZBAC(到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上)例4.如圖所示的是互相垂直的一條公路與鐵路，學(xué)校位于公路與鐵路所夾角的平分線上的P點(diǎn)處，距公路400m,現(xiàn)分別以公路、鐵路所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)學(xué)校距鐵路的距離是多少？(2)請(qǐng)寫出學(xué)校所在位置的坐標(biāo).P鐵路公路OP鐵路公路O分析：因?yàn)榻瞧椒志€上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，所以點(diǎn)P到鐵路的距離與到公路的距離相等，也是400m；點(diǎn)P在第四象P求點(diǎn)P的坐標(biāo)時(shí)要注意符號(hào).解：(1)二?點(diǎn)P在公路與鐵路所夾角的平分線上，??點(diǎn)P到公路的距離與它到鐵路的距離相等，又???點(diǎn)P到公路的距離是400m,??點(diǎn)P(學(xué)校)至ij鐵路的距離是400m.(2)學(xué)校所在位置的坐標(biāo)是(400,—400).評(píng)析：角平分線的性質(zhì)的作用是通過角相等再結(jié)合垂直證明線段相等.例5.如圖所示，在^ABC中，/0=90°,AC=BC,DA平分/CAB交BC于D,問能否在AB上確定一點(diǎn)E,使^BDE的周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)？若能，請(qǐng)作出點(diǎn)E,并給出證明；若不能，請(qǐng)說明理由.分析：由于點(diǎn)D在/CAB的平分線上，若過點(diǎn)D作DEXAB于E,則DE=DC.于是有BD+DE=BD+DC=BC=AC,只要知道AC與AE的關(guān)系即可得出結(jié)論.解：能.過點(diǎn)D作DELAB于E,則^BDE的周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng).理由如下：??AD平分/CAB,DCXAC,DEXAB,DC=DE.dc=de在RtAACD和RtAAED中，fAD=AD'??RtAACD^RtAAED(HL).AC=AE.又「AC=BC,AE=BC..△BDE的周長(zhǎng)=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AE+BE=AB.評(píng)析：本題是一道探索題，要善于利用已知條件獲得新結(jié)論，尋找與要解決的問題之間的聯(lián)系.本題利用角平分線的性質(zhì)將要探究的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化.這是初中幾何中常用的一種數(shù)學(xué)思想.【方法總結(jié)】學(xué)過“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”與“到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”這兩個(gè)結(jié)論后，許多涉及角的平分線的問題用這兩個(gè)結(jié)論解決很方便，需要注意的是有許多同學(xué)對(duì)證明兩個(gè)三角形全等的問題已經(jīng)很熟悉了，所以證題時(shí)，不習(xí)慣直接應(yīng)用這兩個(gè)結(jié)論，仍然去找全等三角形，結(jié)果相當(dāng)于重新證明了一次這兩個(gè)結(jié)論.所以特別提醒大家，能用簡(jiǎn)單方法的，就不要繞遠(yuǎn)路.

【模擬試題】（答題時(shí)間：90分鐘）.選擇題1.如圖所示,）A.PC>PDB.PC=PDD.不能確定C.PCvPD2.在RtAABCAB的距離是（4.在△ABC中,

A.BC>AE.如圖所示，點(diǎn)到AB的距離是（中,

)/C=90B.6C=90°,,AD是角事般fe,若.選擇題1.如圖所示,）A.PC>PDB.PC=PDD.不能確定C.PCvPD2.在RtAABCAB的距離是（4.在△ABC中,

A.BC>AE.如圖所示，點(diǎn)到AB的距離是（中,

)/C=90B.6C=90°,,AD是角事般fe,若BC=10,BD:CD=3：2,則點(diǎn)D到E是ABC.8D.10邊的中點(diǎn)，BD是角平分線，且口￡，人8,則（）BC=AEP是/BAC的平分線)BCVAEAD上一點(diǎn)，PEXACD.以上都有可能于點(diǎn)E,已知PE=3,則點(diǎn)PA.35.如圖所示，在4)DC=DEB.4D.6ABC中，/C=90°,AD平分/BAC,AE=AC,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是ZAED=90°C./ADE=/ADCD.DB=DC）第5題B.三條中線的交點(diǎn)D.不能確定.到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是（A.三條高的交點(diǎn)C.三條角平分線的交點(diǎn).如圖所示，△ABC中，/C=90°,AC=BC,AD平分/CAB交BC于D,DEXAB于E,且AB=6cm,則^DEB的周長(zhǎng)為（）4cm6cm8.如圖所示，三條公路兩兩相交,公路的距離相等，可供選擇的地址有A.一處B.二處交點(diǎn)分別為A、B4cm6cm8.如圖所示，三條公路兩兩相交,公路的距離相等，可供選擇的地址有A.一處B.二處交點(diǎn)分別為A、B、C,D.以上都不對(duì)現(xiàn)計(jì)劃修一個(gè)油庫，要求到三條D.四處二.填空題.如圖所示，點(diǎn)P是/CAB的平分線上一點(diǎn)，PFXAB于點(diǎn)F,PEXAC于點(diǎn)E,如果PF=3cm,那么PE=..如圖所示，DB^AB,DCXAC,BD鄒覘ZBAC=80°,則/BAD=ZCDA=..如圖所示，P在/AOB的平分線上，確小醺！平分線性質(zhì)推證PD=PE時(shí)，必須滿足的條件是.AO占E.如圖所示，/B=/C,AB=AC,BD=^C1頻要通過來證明.如果在已知條件中增加/來證明.因?yàn)榇藭r(shí)BD與DC已經(jīng)分別是A比D.如圖所示，C為/DAB內(nèi)一點(diǎn)，CD@AD^f在.:X二J要證明AD是/BAC的線.需B與/C互補(bǔ)后，就可以通過_的距離.、CD,CBXAB于B,且CD=CB,則點(diǎn)CDA14.如圖所示，在RtAACB(1)若BC=8,BD=5,(2)若BD:DC=3：2,點(diǎn)D到AB的距離為6,則BC的長(zhǎng)為B中，/C=90第13Ad平分/BAC交BC于點(diǎn)D.15.(1)「OP平分/AOB，點(diǎn)P在射線OC上，PDXOA于D,PEXOB于E,(依據(jù)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等)(2)???PDXOA,PEXOB,PD=PE,?.OP平分/AOB(依據(jù)：三.解答題16.已知：如圖，在RtAABC中，/C=90°,D是AC上一點(diǎn)，DELAB于E,且DE=DC.(1)求證：BD平分/ABC;(2)若/A=36°,求/DBC的度數(shù)..如圖：△ABC中，AD是/BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且/EDF+ZBAF=180°.(1)求證：DE=DF;(2)若把最后一個(gè)條件改為：AE>AF,且/AED+/AFD=180°,那么結(jié)論還成立嗎？18.如圖，/18.如圖，/1=Z2,AELOB于E,BDLOA于D,BC.AE與BD相交于點(diǎn)C.求證：AC=.如圖所示，某鐵路MN與公路PQ相交于點(diǎn)O,且夾角為90°,其倉(cāng)庫G在A區(qū)，到公路和鐵路距離相等，且到鐵路圖上距離為1cm.(1)在圖上標(biāo)出倉(cāng)庫G的位置.(比例尺為1：10000,用尺規(guī)作圖)(2)求出倉(cāng)庫G到鐵路的實(shí)際距離.N

POM、四.探究題.有位同學(xué)發(fā)現(xiàn)了“角平分線”的另一種尺規(guī)作法，其方法為：(1)如圖所示，以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧交OM、ON于點(diǎn)A、B;(2)以O(shè)為圓心，不等于(1)中的半徑長(zhǎng)為半徑畫弧交OM、ON于點(diǎn)C、D;(3)連接AD、BC相交于點(diǎn)E;(4)作射線OE,則OE為/MON的平分線.你認(rèn)為他這種作法對(duì)嗎？試說明理由.OABCDMNOABCDMN試題答案1.B2.A3.B4.A5.D6.C7.B8.D二.填空題9.3cm10.40°,50°11.PDXOA,PEXOB角平分，全等，角平分線的性質(zhì)，點(diǎn)D到AB、AC兩邊/DAB的角平分線上(1)3(2)15(1)PD=PE(2)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上三.解答題(1)證明：---DC±BC,DEXAB,DE=DC,.??點(diǎn)D在/ABC的平分線上，二.BD平分/ABC./C=90°,/A=36°,ABC=54°,一.，_1_。??BD平分/ABC,DBC=]/ABC=27.(1)證明：作DM±AB于M,DN^AC于N,又「AD平分/BAC,DM=DN,.ZEAF+ZEDF=180°,../AED+/AFD=360°—180°=180°,./AFD+/CFD=180°,AED=/CFD,?.△DME^ADNF,DE=D