“核心素養(yǎng)”視角下的數(shù)學教育(中小學)課件

“核心素養(yǎng)”視角下的數(shù)學教育（2018，11）

“核心素養(yǎng)”視角下的數(shù)學教育1報告的主要內(nèi)容一、“核心素養(yǎng)”之慎思（背景）；二、“數(shù)學核心素養(yǎng)”之我見（理論分析）；三、理論的實踐性解讀（具體的教學建議）。報告的主要內(nèi)容一、“核心素養(yǎng)”之慎思（背景）；2一、“核心素養(yǎng)”之慎思“當今世界各國教育都在聚焦對于人的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)?！保櫭鬟h）“今天，這個概念體系（指“核心素養(yǎng)”——注）正在成為新一輪課程改革深化的方向?！保ā度嗣窠逃?，2015年第7期，“社評”）一、“核心素養(yǎng)”之慎思“當今世界各國教育都在聚焦對于人的核心3相關(guān)事實：教師培訓(xùn)的熱門主題第六屆中國小學數(shù)學教育峰會：“聚焦數(shù)學核心素養(yǎng)”（2015，10，杭州）“核心素養(yǎng)在課堂”（2016，11，南京）“核心素養(yǎng)下的小學數(shù)學‘發(fā)展課堂”研會觀摩會”（2016，11，杭州）“經(jīng)典與超越：核心素養(yǎng)下的課堂教學方式轉(zhuǎn)型”（2016，11，南昌）相關(guān)事實：教師培訓(xùn)的熱門主題第六屆中國小學數(shù)學教育峰會：“聚4應(yīng)當堅持的基本立場我們既應(yīng)高度關(guān)注教育的最新發(fā)展，但又不應(yīng)盲目地去追隨潮流，而應(yīng)始終堅持自己的獨立思考。應(yīng)當堅持的基本立場我們既應(yīng)高度關(guān)注教育的最新發(fā)展，但又不應(yīng)盲5更為具體的建議面對任一新的理論思想或主張，我們都應(yīng)認真地去思考這樣三個問題：（1）這一理論或主張的實質(zhì)是什么？（2）這一理論或主張對于我們改進教學有哪些新的啟示和意義？（3）這一理論或主張又有什么局限性或不足之處？更為具體的建議面對任一新的理論思想或主張，我們都應(yīng)認真地去思6當前的應(yīng)有思考問題1：現(xiàn)今對于“核心素養(yǎng)”的提倡與先前所說的“素質(zhì)教育”有什么聯(lián)系和區(qū)別？問題2：數(shù)學教育界又應(yīng)如何去落實“核心素養(yǎng)”，特別是，我們是否也應(yīng)積極地去提倡“數(shù)學核心素養(yǎng)”什么又是后者的具體涵義？當前的應(yīng)有思考問題1：現(xiàn)今對于“核心素養(yǎng)”的提倡與先前所說的7有益的比較“2014年3月，教育部印發(fā)了《關(guān)于全面深化課程改革、落實立德樹人根本任務(wù)的意見》，提出了‘核心素養(yǎng)’概念，為進一步深化課程改革指明了方向。”有益的比較“2014年3月，教育部印發(fā)了《關(guān)于全面深化課程改8“1997年國家教委印發(fā)《關(guān)于當前積極推進中小學實施素質(zhì)教育的若干意見》，提出應(yīng)‘著眼于受教育者長遠發(fā)展的要求，以面向全體學生，全面提高學生的基本素質(zhì)為根本宗旨?！渲羞€特別提到，要建立一整套‘素質(zhì)教育運行體系’，包括‘以全面提高學生素質(zhì)為目標的課程體系?！薄?997年國家教委印發(fā)《關(guān)于當前積極推進中小學實施素質(zhì)教育9“1999年6月，一份關(guān)于素質(zhì)教育的標志性文件——《中共中央國務(wù)院關(guān)于深化教育改革，全面推進素質(zhì)教育的決定》發(fā)布，其中明確素質(zhì)教育‘以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力為重點’，指出‘全面推進素質(zhì)教育，是我國教育事業(yè)的一場深刻變革?！薄?999年6月，一份關(guān)于素質(zhì)教育的標志性文件——《中共中央10應(yīng)有的思考（1）問題1：現(xiàn)今對于“核心素養(yǎng)”的提倡與一般所謂的“素質(zhì)教育”究竟有什么聯(lián)系和區(qū)別，特別是，“以素養(yǎng)發(fā)展為核心的教育”與新一輪課程改革中對于“三維目標”的提倡又有什么不同？應(yīng)有的思考（1）問題1：現(xiàn)今對于“核心素養(yǎng)”的提倡與一般所謂11進一步的思考究竟什么是這里所說的“素養(yǎng)”或“核心素養(yǎng)”？現(xiàn)狀：盡管存在不少論述，但在這方面應(yīng)當說還有很長的路要走！

進一步的思考究竟什么是這里所說的“素養(yǎng)”或“核心素養(yǎng)”？12一個更深的憂慮在積極提倡“核心素養(yǎng)”的同時，我們又應(yīng)防止純粹的“口號操作”與“文字游戲”，因為，這正是教育領(lǐng)域的一個常見弊病，即是口號的頻繁更替，以至一線教育工作者忙于應(yīng)付，甚至感到無可適從。一個更深的憂慮在積極提倡“核心素養(yǎng)”的同時，我們又應(yīng)防止純粹13相關(guān)的論述“從20世紀80年代……的‘素質(zhì)教育’，到2014年以來大熱的‘核心素養(yǎng)’；從德智體美勞‘五育’并舉到‘兩全、一主動’，再到‘一個靈魂、兩個重點’，后來又有‘德育為先’‘能力為重’‘全面發(fā)展’‘因材施教’等?？梢钥闯?，教育內(nèi)涵發(fā)展的邏輯軌跡基本上是：教育實踐中存在什么問題，時代發(fā)展提出了什么新要求，在改革中就會增加相應(yīng)的新內(nèi)容。”（黎雪原，“在探索中回歸’，《小學教學》，2016年第9期）相關(guān)的論述“從20世紀80年代……的‘素質(zhì)教育’，到201414正面的建議：“教育貴在堅持”。一個實例：“從來沒想到，在北京一所不起眼的小區(qū)配套學校里，居然有一群人，對‘三維’目標的研究如此執(zhí)著達8年之久；他們從學科知識走到了知識樹，從知識樹走到了能力，從能力走到了高位目標，并解決了一系列教學困惑和問題。無論課改形勢發(fā)生什么變化，都沒有動搖他們的研究精神。10年過去了，這所普通學校迅速成長為海淀區(qū)第一方陣的佼佼者……進校附校是這里面的‘勝利者’，勝在了‘執(zhí)著’二字。”（《人民教育》，2011年第6期）

正面的建議：“教育貴在堅持”。一個實例：“從來沒想到，在北15應(yīng)有的思考（2）問題2：數(shù)學教育界應(yīng)當如何去落實“核心素養(yǎng)”？另一應(yīng)當防止的傾向：認識的極端化與做法上的片面性。應(yīng)有的思考（2）問題2：數(shù)學教育界應(yīng)當如何去落實“核心素養(yǎng)”16兩個相關(guān)的論點（1）應(yīng)當特別重視傳統(tǒng)課程的改變與整合，“基礎(chǔ)教育要去學科化”。（2）在數(shù)學教育領(lǐng)域中，“核心素養(yǎng)”就可被等同于“核心概念”，從而我們對此也就無須予以特別的重視.

兩個相關(guān)的論點（1）應(yīng)當特別重視傳統(tǒng)課程的改變與整合，“基礎(chǔ)17第一種觀點：“基礎(chǔ)教育要去學科化”“只從學科的角度出發(fā)，不利于學生素養(yǎng)的發(fā)展?！保櫭鬟h）“基礎(chǔ)教育要去學科化，強調(diào)綜合”。我們不僅應(yīng)當積極提倡各個傳統(tǒng)學科的綜合，也應(yīng)以“整體性思維”完全取代“學科性思維”。顯然，按照這樣一種觀點，我們在當前就完全沒有必要、甚至根本就不應(yīng)去提及所謂的“數(shù)學核心素養(yǎng)”。

第一種觀點：“基礎(chǔ)教育要去學科化”“只從學科的角度出發(fā)，不利18一個相關(guān)的實踐“清華附小……通過核心素養(yǎng)的‘打底’、‘1+X課程’的整合和直接完整性的教學，照亮了孩子人生發(fā)展的道路和未來的遠景?！保ā度嗣窠逃?015年第13期，特約評論員）“基于學生發(fā)展核心素養(yǎng)的‘1+X課程’改革對于當下的基礎(chǔ)教育課程改革具有價值引領(lǐng)的意義?！保櫭鬟h，《人民教育》，2015年第13期）一個相關(guān)的實踐“清華附小……通過核心素養(yǎng)的‘打底’、‘1+X19筆者的思考（1）我們事實上即可由數(shù)學與數(shù)學教育領(lǐng)域中的相關(guān)研究獲得這方面的直接啟示，包括數(shù)學中對于“統(tǒng)一性”的追求，以及數(shù)學教育中關(guān)于“整合數(shù)學”的研究。筆者的思考（1）我們事實上即可由數(shù)學與數(shù)學教育領(lǐng)域中的相關(guān)研20相關(guān)的啟示由相關(guān)研究可以看出：數(shù)學中不同學科分支的整合決非易事，我們更不應(yīng)將此簡單地等同于相關(guān)內(nèi)容在形式上的簡單組合；進而，與唯一強調(diào)統(tǒng)一性相比較，我們又應(yīng)更為清楚地認識多元化與統(tǒng)一性之間的辯證關(guān)系，并應(yīng)注意防止這樣一種現(xiàn)象，即是人為地制造某種“統(tǒng)一”。相關(guān)的啟示由相關(guān)研究可以看出：數(shù)學中不同學科分支的整合決非易21相關(guān)的結(jié)論總之，與唯一強調(diào)不同學科的整合相比較，這是課程改革更為重要的一個指導(dǎo)思想，即是我們?nèi)绾文軐ⅰ昂诵乃仞B(yǎng)的培養(yǎng)”這一總體性教育目標落實到各個學科的教學之中，從而既能充分體現(xiàn)各個學科的特點，也能在總體上真正做到各有其長，各盡其職，相互配合，互相促進。

相關(guān)的結(jié)論總之，與唯一強調(diào)不同學科的整合相比較，這是課程改革22必要的澄清上面的論述并非是指我們不應(yīng)對傳統(tǒng)的學科教育作出任何改變；恰恰相反，我們應(yīng)以整體性教育目標為指導(dǎo)積極地去從事學科教育的改革；但同時也應(yīng)注意防止各種簡單化的認識與片面性的觀點，即如對于“去學科化”的盲目提倡，乃至將各個學科的教學簡單地納入某個單一的模式。必要的澄清上面的論述并非是指我們不應(yīng)對傳統(tǒng)的學科教育作出任何23相關(guān)的論述“課程的整體優(yōu)化與建設(shè)并不一定要取消現(xiàn)在的課程分類和已經(jīng)有的學科，它的著力點是打破那些已經(jīng)固定的不同學科之間界線分明的邊界，是要穿越那些的近乎僵化的學科與知識界限，使課程內(nèi)容更加豐富多彩?！保ㄖx維和）

相關(guān)的論述“課程的整體優(yōu)化與建設(shè)并不一定要取消現(xiàn)在的課程分類24第二種觀點：“數(shù)學核心素養(yǎng)”=“核心概念”相關(guān)的論點（1）：“《課程標準（2011年版）》明確提出了10個核心素養(yǎng)，……曾把這些稱之為核心概念，但嚴格意義上講，稱這些詞為‘概念’并不合適……本文把這10個詞稱之為‘數(shù)學的核心素養(yǎng)?！保R云鵬）第二種觀點：“數(shù)學核心素養(yǎng)”=“核心概念”相關(guān)的論點（1）：25相關(guān)的論點（2）

按照《高中數(shù)學課程標準》，“數(shù)學核心素養(yǎng)”就是指以下六個概念：數(shù)學抽象，直觀想象（用數(shù)學眼光觀察現(xiàn)實世界）；邏輯推理，數(shù)學運算（用數(shù)學思維思考現(xiàn)實世界）；數(shù)學模型，數(shù)據(jù)分析（用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界）。相關(guān)的論點（2）按照《高中數(shù)學課程標準》，“數(shù)學核心素養(yǎng)”26筆者的思考與各種簡單化的論點相對照，我們應(yīng)當更為深入地去思考：“走向核心素養(yǎng)”究竟為我們更好地認識與把握數(shù)學教育的基本目標、并由此而進一步改進數(shù)學教育教學工作提供了哪些新的啟示？筆者的思考與各種簡單化的論點相對照，我們應(yīng)當更為深入地去思考27二、“數(shù)學核心素養(yǎng)”之我見基本認識：這是“走向核心素養(yǎng)”給予我們的主要啟示：我們應(yīng)當跳出數(shù)學、并從更大的角度去分析思考問題，特別是，究竟什么是數(shù)學對于個人發(fā)展和社會進步所應(yīng)發(fā)揮的重要作用？二、“數(shù)學核心素養(yǎng)”之我見基本認識：這是“走向核心素養(yǎng)”給予28相關(guān)的論述“這次制定課程方案時，學科專家做的第一件事情就是思考：這門學科在孩子身上能夠產(chǎn)生哪些變化？對孩子的素養(yǎng)有哪些貢獻？”（張緒培）這也應(yīng)當成為我們具體界定“數(shù)學核心素養(yǎng)”的基本途徑。相關(guān)的論述“這次制定課程方案時，學科專家做的第一件事情就是思29具體的分析（1）什么是不同學科、特別是數(shù)學課與語文課對于學生成長的主要作用？相關(guān)的論述：“今天比昨天慈悲，今天比昨天智慧，今天比昨天快樂，這就是成功?！薄耙ㄟ^生命不斷的轉(zhuǎn)彎，發(fā)現(xiàn)多元的樣貌，而不要生活在一元的狀態(tài)下?！保智逍┚唧w的分析（1）什么是不同學科、特別是數(shù)學課與語文課對于學生30語文教育的主要作用：“什么是生命里重要的事情：一是愛，能愛，能表達愛；二是美，懂美，追求美。三是情，四是義，人要有情有義。五是感動，美好的情感能被激發(fā)。”數(shù)學教育的主要使命：我們應(yīng)當通過數(shù)學教學讓學生一天比一天更加智慧，一天比一天更加聰明，也即應(yīng)當努力促進學生思維的發(fā)展與理性精神的養(yǎng)成。語文教育的主要作用：“什么是生命里重要的事情：一是愛，能愛，31具體的分析（2）盡管目前國內(nèi)所看到的主要是由“核心素養(yǎng)”到“數(shù)學核心素養(yǎng)”的發(fā)展，但后者不應(yīng)被看成全新的概念，因為，只要將視野擴展到國際數(shù)學教育界，就可看到不少相關(guān)的研究：其中都明確提出了“數(shù)學素養(yǎng)”這樣一個概念。具體的分析（2）盡管目前國內(nèi)所看到的主要是由“核心素養(yǎng)”到“32研究的共同點對于社會進步與個人發(fā)展的高度關(guān)注?！耙环矫媸巧鐣囊暯牵簲?shù)學素養(yǎng)主要涉及到了社會—經(jīng)濟的變化與社會的技術(shù)進步，它應(yīng)當與此相適應(yīng)并促進社會的整體發(fā)展；另一方面，數(shù)學素養(yǎng)又與個人的生活密切相關(guān)，也即應(yīng)當聚焦于個人?！保℅.Fitzsimons等，“AdultandMathematics”）研究的共同點對于社會進步與個人發(fā)展的高度關(guān)注。33研究的不同點對一部分學者而言，提倡“數(shù)學素養(yǎng)”就意味著對于數(shù)學教育的更高要求，特別是，我們不僅應(yīng)當積極提倡所謂的“大眾數(shù)學”，也應(yīng)努力實現(xiàn)“數(shù)學上普遍的高標準”。但也有一部分學者認為，“數(shù)學素養(yǎng)”即是為數(shù)學教育提供了“最低標準”。研究的不同點對一部分學者而言，提倡“數(shù)學素養(yǎng)”就意味著對于數(shù)34筆者的觀點基本立場：應(yīng)當堅持“數(shù)學上普遍的高標準”，并應(yīng)努力做到“少而精”?！皵?shù)學核心素養(yǎng)”的基本涵義：我們應(yīng)當通過數(shù)學教學幫助學生學會思維，并能逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理，包括由“理性思維”逐步走向“理性精神”。這也應(yīng)當成為數(shù)學教育的基本目標。

筆者的觀點基本立場：應(yīng)當堅持“數(shù)學上普遍的高標準”，并應(yīng)努力35關(guān)鍵（1）：“三維目標”之間的辯證關(guān)系第一，所謂的“情感、態(tài)度與價值觀”主要體現(xiàn)了文化的視角，而“文化”的主要特征就在于：這是一種潛移默化的影響，也即是通過人們的日常生活與工作不知不覺地形成的。也正因此，與數(shù)學直接相關(guān)的情感、態(tài)度與價值觀的養(yǎng)成，就離不開具體數(shù)學知識與數(shù)學思維的學習，特別是，人們主要地就是經(jīng)由“理性思維”的學習與應(yīng)用逐步發(fā)展起了“理性精神”，也即由“思維方法”逐步地過渡到了“情感、態(tài)度與價值觀”。關(guān)鍵（1）：“三維目標”之間的辯證關(guān)系第一，所謂的“情感、態(tài)36第二，知識應(yīng)當被看成思維的實際“載體”，從而，“為講方法而講方法就不是講方法的好方法”；但是，又只有以思維方法的分析帶動具體知識內(nèi)容的教學，我們才能將數(shù)學課真正“教活”、“教懂”、“教深”。第二，知識應(yīng)當被看成思維的實際“載體”，從而，“為講方法而講37綜上可見，在上述的“三維目標”之中，“思維”應(yīng)當被看成具有特別的重要性；這也就是指，我們即應(yīng)將“幫助學生學會思維”看成數(shù)學教育的基本目標，或者說，即是將“促進學生思維的發(fā)展”看成“數(shù)學核心素養(yǎng)”最為基本的一個涵義。綜上可見，在上述的“三維目標”之中，“思維”應(yīng)當被看成具有特38關(guān)鍵（2）：“數(shù)學地思維”與“通過數(shù)學學會思維”一個基本事實：數(shù)學思維并非思維的唯一可能形式，各種不同的思維形式（如文學思維、藝術(shù)思維、哲學思維、科學思維等）也都有其一定的合理性和局限性，從而，我們就不應(yīng)唯一地強調(diào)“幫助學生學會數(shù)學地思維”，毋寧說，后者事實上即可被看成清楚地表明了“學科性思維”的局限性。關(guān)鍵（2）：“數(shù)學地思維”與“通過數(shù)學學會思維”一個基本事實39當然，我們并不應(yīng)因此而完全否定數(shù)學思維的研究和學習，毋寧說，這即是對數(shù)學教育工作者如何做好這一方面工作提出了更高的要求：我們即應(yīng)通過數(shù)學教學幫助學生學會思維！當然，我們并不應(yīng)因此而完全否定數(shù)學思維的研究和學習，毋寧說，40相關(guān)的建議：切實做好兩個方面的研究（1）立足“數(shù)學思維”（數(shù)學家的思維方式），并以此作為發(fā)展學生思維的必要規(guī)范，包括通過與日常思維的比較幫助人們更為深入地認識后者的局限性，并能逐步形成一些新的思維方式等；相關(guān)的建議：切實做好兩個方面的研究（1）立足“數(shù)學思維”（數(shù)41（2）立足日常思維：我們并應(yīng)跳出數(shù)學、從更為一般的角度去認識各種數(shù)學思想與數(shù)學思想方法的普遍意義（和局限性），從而就可對于促進學生思維的發(fā)展發(fā)揮更為積極的作用。（2）立足日常思維：我們并應(yīng)跳出數(shù)學、從更為一般的角度去認識42關(guān)鍵（3）“通過數(shù)學學會思維”，并非是指如何能夠想得更快、又如何能夠“與眾不同”，而主要是指幫助學生逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理。關(guān)鍵（3）“通過數(shù)學學會思維”，并非是指如何能夠想得更快、又43一個相關(guān)的調(diào)查學生眼中的“聰明”？教師的必要引導(dǎo)：“聰明”不只是快，而且要巧，更不應(yīng)出錯，還要能清楚地講出道理，……一個相關(guān)的調(diào)查學生眼中的“聰明”？44結(jié)語我們應(yīng)當將“幫助學生學會思維”看成數(shù)學教育的基本目標，特別是，即應(yīng)通過數(shù)學教學促進學生更為積極地去思考，并能逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理，包括由“理性思維”逐步走向“理性精神”。結(jié)語我們應(yīng)當將“幫助學生學會思維”看成數(shù)學教育的基本目標，特45三、理論的實踐性解讀（若干具體的教學建議）1.正確處理“動手”與“動腦”之間的關(guān)系；2．努力養(yǎng)成學生“長時間思考”的習慣與能力；3．幫助學生學會“反思”；4．努力提升學生的思維品質(zhì)。

三、理論的實踐性解讀（若干具體的教學建議）1.正確處理“動46實踐性解讀（一）：動手與動腦？這是當前應(yīng)當特別注意糾正的一個現(xiàn)象，即是我們在教學中往往只是重視了學生的“動手”，卻忽視了如何能夠促使他們積極地去“動腦”。實踐性解讀（一）：動手與動腦？這是當前應(yīng)當特別注意糾正的一個47[例1]“圓的認識”的教學基本認識：要想認識圓，必先畫圓。教學實錄：（1）要求學生用圓規(guī)畫圓；（2）展示另一種畫圓方法（體育老師在操場上畫圓），并要求學生對畫圓的具體步驟做出總結(jié)：第一，定圓心；第二，確定半徑。（3）進一步的要求：在先前的圖上畫半徑（半徑在哪里？）；畫直徑（畫得對不對？）[例1]“圓的認識”的教學基本認識：要想認識圓，必先畫圓。48（4）男女生比賽：用繩子畫圓。由此引出結(jié)論：圓半徑的長度不能變。（5）學習單：請你看一看、量一量、折一折，想想圓有哪些特征？（6）想一想：生活中有哪些圓？用到了圓的哪些性質(zhì)？（4）男女生比賽：用繩子畫圓。由此引出結(jié)論：圓半徑的長度不能49分析與思考（1）在學生用圓規(guī)畫圓以后，我們是否就應(yīng)通過適當?shù)奶釂柵c討論引發(fā)學生的思考，即如“畫圓時容易出現(xiàn)什么問題？”“什么又是畫好圓的關(guān)鍵？”等等。進而，通過聚焦“圓不圓”這樣一個問題，我們又可引發(fā)學生做出如下的思考：“究竟什么樣的圖形是圓？”分析與思考（1）在學生用圓規(guī)畫圓以后，我們是否就應(yīng)通過適當?shù)?0分析與思考（2）我們又為什么要布置這樣一個任務(wù)，即是讓學生“看一看、量一量、折一折，想想圓有哪些特征？”這也就是指，圓的基本性質(zhì)（半徑相等、直徑相等）真的是量（比）出來的嗎？總之，我們在此即應(yīng)特別重視動手與動腦之間的關(guān)系！分析與思考（2）我們又為什么要布置這樣一個任務(wù)，即是讓學生“51更多的實例在“度量”的教學中，人們往往只是重視了實際操作，包括各種方法與工具的應(yīng)用，卻未能引導(dǎo)學生認真地去思考：“如何量才能更準、更快、更省事？”包括各種度量工具與度量方法是如何得以發(fā)現(xiàn)的？更多的實例在“度量”的教學中，人們往往只是重視了實際操作，52在學生實際從事計算前我們往往也未能引導(dǎo)他們認真地去思考為什么要進行這些計算，從而就容易出現(xiàn)以下的現(xiàn)象：盡管相關(guān)的計算或推理導(dǎo)致了某些結(jié)果，但其對于解決所面臨的問題卻沒有任何作用；另外，在獲得了結(jié)果以后，我們顯然又應(yīng)引導(dǎo)他們進一步去思考：如何進行檢驗？是否存在更快的計算方法？……在學生實際從事計算前我們往往也未能引導(dǎo)他們認真地去思考為什么53幾何教學中一旦引入了某個概念，如“等腰三角形”、“正方形”等，我們又往往會急于讓學生通過實際度量去發(fā)現(xiàn)它們的特征性質(zhì)，卻沒有認識到其中的很大一部分正是相關(guān)“定義”的直接推論，從而真正重要的也就是如何能夠引導(dǎo)學生積極地去進行思考，如“什么是等腰三角形？”，“什么是正方形？”，等等。幾何教學中一旦引入了某個概念，如“等腰三角形”、“正方形”等54總之，這正是我們在當前應(yīng)當注意糾正的一個現(xiàn)象：我們的學生一直在做，一直在算，一直在動手，但就是不想！總之，這正是我們在當前應(yīng)當注意糾正的一個現(xiàn)象：我們的學生一直55[例2]“角的初步認識”教學中的“三次動手”與“三次提問”（高雅）教材中的處理方式（人教版，二年級上冊）：（1）由生活實例引出角的概念；（2）通過若干“正例”與“反例”幫助學生更好地掌握角的概念。[例2]“角的初步認識”教學中的“三次動手”與“三次提問”56“核心素養(yǎng)”視角下的數(shù)學教育(中小學)課件57相關(guān)的思考我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^自己的教學促使學生更為積極地去進行思考，特別是，即能由單純的“動手”轉(zhuǎn)向積極的“動腦”？

相關(guān)的思考我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^自己的教學促使學生更為積極地去進行58具體的教學設(shè)計（1）相關(guān)教師在教學中同樣采取了“由生活實例引出‘角’的概念”這一作法，但在學生們具體地列舉了所曾見過的各種各樣的“角”以后，教師又提出了這樣一個任務(wù)：把你頭腦中所想的“角”畫出來？進一步的問題（問題1）：“其中有哪些可以被看成真正的角，也即是數(shù)學中所說的‘角’”？

具體的教學設(shè)計（1）相關(guān)教師在教學中同樣采取了“由生活實例引59具體的教學設(shè)計（2）在實際組織學生對上述問題進行討論以后，教師又要求學生第二次動手去畫角。第二個問題：你們所畫的“角”有什么不同？

具體的教學設(shè)計（2）在實際組織學生對上述問題進行討論以后，教60“核心素養(yǎng)”視角下的數(shù)學教育(中小學)課件61具體的教學設(shè)計（3）第三次動手：“如何能夠畫出一個與已知角同樣大小的角？”必要的聚焦（問題3）：角的大小是由什么決定的，或者說，什么是相關(guān)的因素，什么又與角的大小完全無關(guān)？具體的教學設(shè)計（3）第三次動手：“如何能夠畫出一個與已知角同62相關(guān)的啟示盡管我們在此不能直接引入“角”的嚴格定義，但是，只須很好地加以引導(dǎo)，我們?nèi)钥蓭椭鷮W生較好地掌握“角”這樣一個概念，特別是這樣一個事實：“角的大小與邊的長度無關(guān)，而是取決于‘開口’的大小”，從而就為將來的進一步學習、包括引入“角”的嚴格定義打下了良好基礎(chǔ)。相關(guān)的啟示盡管我們在此不能直接引入“角”的嚴格定義，但是，只63更為一般的結(jié)論：判斷數(shù)學課成功與否的主要標準無論教學中采取了什么樣的教學方法或模式，我們都應(yīng)更加關(guān)注自己的教學是否真正促進了學生積極地去進行思考，并能逐步學會想得更清晰、更全面、更深入、更合理。更為一般的結(jié)論：判斷數(shù)學課成功與否的主要標準無論教學中采取了64實踐性解讀（二）：長時間思考的習慣與能力的養(yǎng)成數(shù)學家的一項共識：數(shù)學學習十分有益于人們養(yǎng)成“長時間思考”的習慣與能力。但是，我們在現(xiàn)實中又是否過分地突出了學生“即興思維”能力的培養(yǎng)，以至完全忽視了“長時間思考”的習慣與能力的養(yǎng)成？實踐性解讀（二）：長時間思考的習慣與能力的養(yǎng)成數(shù)學家的一項共65相關(guān)的論述（1）：長時間思考的重要性“我認為思考問題的態(tài)度有兩種：一種是花費較短時間的即席思考型；一種是較長時間的長期思考型。所謂的思考能人，大概就是指能夠根據(jù)思考的對象自由自在地分別使用這兩種類型的思考態(tài)度的人。但是，現(xiàn)在的……教育環(huán)境不是一個充分培養(yǎng)長期思考型的環(huán)境。……沒有長期思考型訓(xùn)練的人，是不會深刻地思考問題的。……無論怎樣訓(xùn)練即席型思考，也不會掌握前面談過的智慧深度?！保◤V中平佑）相關(guān)的論述（1）：長時間思考的重要性“我認為思考問題的態(tài)度有66相關(guān)的論述（2）：應(yīng)試教育的一個后果臺灣學生在歷年國際評比的數(shù)學表現(xiàn)，成就表現(xiàn)始終名列前茅，然而……學生對于數(shù)學的功用、喜愛和自信心的表現(xiàn)卻始終是倒數(shù)前幾名，……呈現(xiàn)出‘高成就、低信心’的特征，……猜測造成此現(xiàn)象的主要原因來自于考試制度下的數(shù)學學習特性，學生為獲取較高分數(shù)，必須使用適當?shù)牡难菟惴焖偾蟮么鸢浮瓕W生少有時間與機會發(fā)展自己的思想，學習多為被動、背誦及反復(fù)練習的方式。（林福來）相關(guān)的論述（2）：應(yīng)試教育的一個后果臺灣學生在歷年國際評比的67一部相關(guān)的名著康納利（D.Kahneman）：《快思慢想（Thinking，F(xiàn)astandSlow）》，PenguinBooks，2011主要結(jié)論：這是“日常思維”的一個重要特點，即是“快思”占據(jù)主導(dǎo)的地位；然而，盡管其對于人類具有十分重要的作用，在現(xiàn)實中卻又常常會導(dǎo)致一些系統(tǒng)性的錯誤。一部相關(guān)的名著康納利（D.Kahneman）：《快思慢想（68進一步的思考我們?nèi)绾尾拍軒椭鷮W生養(yǎng)成“長時間的思考”的習慣與能力？一些特別重要的環(huán)節(jié)：我們在教學中應(yīng)當很好地去處理“快與慢”、“多與少”、“熱鬧與安靜”、以及學生獨立思考與合作學習、積極交流之間的關(guān)系。進一步的思考我們?nèi)绾尾拍軒椭鷮W生養(yǎng)成“長時間的思考”的習慣與69相關(guān)的論述（3）“如果一節(jié)課的內(nèi)容太多，承載的任務(wù)太重，學生上課時候很忙碌，思考力就很難得到提升，學習力會越來越弱。若課堂只聚焦幾個核心問題，讓學生深入思考，看上去學得少、學得慢，但思考的方式、方法豐富了，思考力便能提高，思考力就會越來越強?！保助L）

相關(guān)的論述（3）“如果一節(jié)課的內(nèi)容太多，承載的任務(wù)太重，學生70相關(guān)的論述（4）“傳統(tǒng)教學強調(diào)激發(fā)學生興趣、學習激情，培養(yǎng)學生參與學習的積極性與主動性，課堂往往呈現(xiàn)熱鬧氛圍……而我們倡導(dǎo)安靜，是不是會因靜而冷，冷卻了學生的學習興趣，影響學生的注意力甚至學習成效呢？對此，我們在反思中從心理學角度幫助教師消解困惑，認識到人的思維專注進入心無旁騖的境界，便走向了潛心靜思，而安靜的氛圍就會保證這種靜思不受干擾?！保州罚?/p>

相關(guān)的論述（4）“傳統(tǒng)教學強調(diào)激發(fā)學生興趣、學習激情，培養(yǎng)學71關(guān)于數(shù)學教學的具體啟示（1）由此可見，數(shù)學教學中就不應(yīng)以思維速度的快慢作為評價學生學習情況的主要標準，而是應(yīng)當更加重視如何能為學生“長時間思考”創(chuàng)設(shè)必要的外部環(huán)境或氛圍。關(guān)于數(shù)學教學的具體啟示（1）由此可見，數(shù)學教學中就不應(yīng)以思維72例如，按照上述立場，教師在課堂上提出問題后，就不應(yīng)一味地去鼓勵學生盡快做出反應(yīng)：“看誰先舉起手來？”“看誰最積極？”而是應(yīng)當同樣重視引導(dǎo)學生更仔細、更深入地去進行思考，特別是，我們決不應(yīng)在不知不覺中對那些仍在進行思考的學生施加較大的壓力。而是應(yīng)當表現(xiàn)出更大的耐心：“孩子，不要急，慢慢想！”例如，按照上述立場，教師在課堂上提出問題后，就不應(yīng)一味地去鼓73我們并應(yīng)努力幫助學生進入這樣一種狀態(tài)，即是完全沉浸于相應(yīng)的數(shù)學學習活動，包括內(nèi)容的理解、具體的解題活動，等等；另外，這無疑也應(yīng)被看成為幫助學生學會“長時間思考”的一個必要條件，即是教學中的“引領(lǐng)性問題”不應(yīng)太多，而應(yīng)努力做到“少而精”，更應(yīng)有足夠的思維含金量。我們并應(yīng)努力幫助學生進入這樣一種狀態(tài)，即是完全沉浸于相應(yīng)的數(shù)74另外，這無疑也應(yīng)被看成為幫助學生學會“長時間思考”的一個必要條件，即是教學中的“引領(lǐng)性問題”不應(yīng)太多，而應(yīng)努力做到“少而精”，更應(yīng)有足夠的思維含金量，因為，不然的話，學生就會一直處于忙于應(yīng)付的狀態(tài)，而不可能真正靜下心來進行長時間的思考，甚至都不可能找到深入思考的很好切入點。另外，這無疑也應(yīng)被看成為幫助學生學會“長時間思考”的一個必要75另一相關(guān)的問題數(shù)學教學中究竟應(yīng)當如何去處理“學生獨立思考”與“合作學習、積極交流”之間的關(guān)系？特別是，我們不僅應(yīng)當防止這樣一種現(xiàn)象，即是“表面上的熱熱鬧鬧，實質(zhì)上卻沒有什么收獲”，而且也應(yīng)注意分析其可能的消極影響，即是因為“合作學習”而對學生的獨立思考造成一定的干擾。

另一相關(guān)的問題數(shù)學教學中究竟應(yīng)當如何去處理“學生獨立思考”與76相關(guān)的論述（5）“數(shù)學教學可以如此組織以使學生參與到了積極的互動之中但卻沒有實現(xiàn)任何有意義的數(shù)學學習——無論這是指概念式的學習或是程序性的學習，也會有這樣的學生他認為在別人看來是很有成效的課堂討論對其而言只是分散了他對于數(shù)學概念與所傾向的方法的注意?！保↗.Boaler&J.Greeno）相關(guān)的論述（5）“數(shù)學教學可以如此組織以使學生參與到了積極的77相關(guān)的論述（6）“數(shù)學是自己思考的產(chǎn)物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和另人的見解交換，會有很好的效果。但是，思考數(shù)學問題需要很長時間。我不知道中小學數(shù)學課堂是否能夠提供很多的思考時間?！保愂∩恚┫嚓P(guān)的論述（6）“數(shù)學是自己思考的產(chǎn)物。首先要能夠思考起來，78關(guān)于數(shù)學教學的具體啟示（2）“認真地想，靜靜地聽，輕輕地說！”當然，我們又應(yīng)針對學生的不同情況提出不同的要求或不同的工作重點，也即應(yīng)當依據(jù)學生的具體情況很好地去掌握相關(guān)的“度”。關(guān)于數(shù)學教學的具體啟示（2）“認真地想，靜靜地聽，輕輕地說！79相關(guān)的論述（7）“不同學段的小學生應(yīng)有不同的重點：低年級的認知活動以啟動兒童的認知機制為主。鼓勵兒童發(fā)表自己的想法，并傾聽別人的意見而得與同儕互動學習。中年級的教學活動以發(fā)展數(shù)學課室中的社會性互動為主。使兒童能以澄清的方式和做法是否合理之檢查來進行討論和辯證。高年級之教學活動則進一步要求學生在解題活動中提升效率，進行比較科學性的解題思考,讓學生回歸文化傳承的解題方式，以及熟練一些技巧和知識，后者也應(yīng)成為討論的重點。（黃敏晃）相關(guān)的論述（7）“不同學段的小學生應(yīng)有不同的重點：低年級的認80必要的提醒以上我們主要是從“快思”與“慢想”的對立這一角度指明了培養(yǎng)學生“長時間思考”的習慣與能力的重要性；但是，對于后者我們顯然又不應(yīng)單純地歸結(jié)為時間的“長短”，而是應(yīng)當更加注重其內(nèi)涵的分析，也即我們應(yīng)當更加注重如何能夠引導(dǎo)學生更清晰、更深入、更全面、更合理地去進行思考。關(guān)鍵：教師的教學應(yīng)給學生的獨立思考提供足夠的時間與空間。必要的提醒以上我們主要是從“快思”與“慢想”的對立這一角度指81[例3]“圖形的放大與縮小”的教學教材中的處理方式（蘇教版，六年級下冊）： 核心問題：“放大前后，照片的長有什么關(guān)系，寬呢？”常見的教學設(shè)計：圍繞上述問題放手讓學生去進行探究。 相關(guān)的論述：“讓學生自己發(fā)現(xiàn)圖形放大和縮小的本質(zhì)與規(guī)律”。[例3]“圖形的放大與縮小”的教學教材中的處理方式（蘇教版，82“核心素養(yǎng)”視角下的數(shù)學教育(中小學)課件83教學中的常見現(xiàn)象學生只是忙于動手，卻看不到積極的思維活動！特別是，我們在此究竟為什么要研究“放大前后，照片的長有什么關(guān)系，寬呢？”這樣一個問題？這也就是指，這一問題究竟是從哪里來的？教學中的常見現(xiàn)象學生只是忙于動手，卻看不到積極的思維活動！84相關(guān)的分析（1）一個明顯的事實：“放大”與“縮小”并非專門的數(shù)學概念，而是在日常生活中也具有十分廣泛的應(yīng)用。挑戰(zhàn)與機遇：這很容易導(dǎo)致一定的思維混亂，但也為我們在教學中有意識地去滲透“數(shù)學化的思想”提供了很好的契機。相關(guān)的分析（1）一個明顯的事實：“放大”與“縮小”并非專門的85相關(guān)的論述對學生而言，與其說學數(shù)學，不如說學習數(shù)學化。（弗賴登特爾）所謂“數(shù)學化”，就是“用數(shù)學的眼光去看待世界、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題”。

相關(guān)的論述對學生而言，與其說學數(shù)學，不如說學習數(shù)學化。（弗賴86具體的教學建議（1）教學中應(yīng)當清楚地指明“日常視角”與“數(shù)學視角”的聯(lián)系與區(qū)別。在日常生活中，所謂“放大”或“縮小”主要是指圖形大小的變化，人們在此所關(guān)注的又主要是各種現(xiàn)實的考慮，包括美學的思考，等等。具體的教學建議（1）教學中應(yīng)當清楚地指明“日常視角”與“數(shù)學87與此相對照，數(shù)學中所說的“放大”或“縮小”，則是指這樣一種變化：盡管圖形的大小有所變化，但其形狀卻保持不變。與此相對照，數(shù)學中所說的“放大”或“縮小”，則是指這樣一種變88相關(guān)的分析（2）如果缺乏積極的思維活動，所謂的“探究”事實上就只是一種假探究?；仡櫍何覀冊诖司烤篂槭裁匆パ芯窟@樣一個問題：“放大前后，照片的長有什么關(guān)系，寬呢？”相關(guān)的分析（2）如果缺乏積極的思維活動，所謂的“探究”事實上89具體的教學建議（2）加強思維的引導(dǎo)：（1）我們應(yīng)當如何去判斷兩個圖形的形狀是否一致？或者說，什么可以被看成圖形相似與否的主要特征？（2）就圖形的“放大”和“縮小”而言，有哪些因素發(fā)生了變化？又有哪些因素保持不變？具體的教學建議（2）加強思維的引導(dǎo)：90更為一般的思考什么可以被看成平面圖形的主要成分，或者說，我們主要地即應(yīng)圍繞哪些因素去從事平面圖形的研究？“數(shù)學化”的又一重要涵義：由定性的描述到定量的研究！更為一般的思考什么可以被看成平面圖形的主要成分，或者說，我們91相關(guān)的教學建議（3）：必要的追問就“圖形的放大與縮小”在現(xiàn)實中的應(yīng)用而言，什么是最重要的因素？數(shù)學中又是如何對此進行表述的？“放大與縮小”的具體區(qū)分（由“定量”向“定性”的復(fù)歸），以及更高層次上的“統(tǒng)一”。相關(guān)的教學建議（3）：必要的追問就“圖形的放大與縮小”在現(xiàn)實92小結(jié)這是我們應(yīng)當努力創(chuàng)造的一種“數(shù)學課堂文化”：“思考的課堂，安靜的課堂，開放的課堂！”小結(jié)這是我們應(yīng)當努力創(chuàng)造的一種“數(shù)學課堂文化”：93另一相關(guān)的思考我們或許也可從同一角度更好地去理解“先學后教”、“翻轉(zhuǎn)課堂”等新的教學方法或模式的意義：相關(guān)的要求（如“學習單”與“微視頻”的制作等）顯然要求相關(guān)教師努力做到“少而精”，不同的教學組織方式也為學生的獨立思考提供了更大的空間和更多的時間，包括更加安靜的學習環(huán)境。另一相關(guān)的思考我們或許也可從同一角度更好地去理解“先學后教”94實踐性解讀（三）：幫助學生學會“反思”應(yīng)有的思考：我們在此所強調(diào)的是“數(shù)學教育應(yīng)當幫助學生學會思維”這樣一個基本任務(wù)，那么，為什么又要專門地去提及“反思”（反省、內(nèi)省）這樣一種思維形式？進而，什么又是數(shù)學中所說的“反思”的具體涵義？實踐性解讀（三）：幫助學生學會“反思”應(yīng)有的思考：我們在此所95相關(guān)的論述（1）“真正的數(shù)學頭腦是思維的頭腦，是內(nèi)省的頭腦，這也是學校應(yīng)當教學生的東西。”（H.Ginsaberg）“只要兒童沒能對自己的活動進行反思，他就達不到高一級的層次?！保ǜベ嚨翘貭枺┫嚓P(guān)的論述（1）“真正的數(shù)學頭腦是思維的頭腦，是內(nèi)省的頭腦，96“對學生而言，與其說學數(shù)學，不如說學習數(shù)學化。”“數(shù)學化和反思是互相緊密聯(lián)系的。事實上我認為反思存在于數(shù)學化的各個方面?！薄皵?shù)學化一個重要的方面就是反思自己的活動。從而促使改變看問題的角度。”（弗賴登特爾）“對學生而言，與其說學數(shù)學，不如說學習數(shù)學化。”97具體的分析（1）正如“吾日三省吾身”這一格言所表明的，這是“反思”這一思維形式、包括數(shù)學中的“反思”最為重要的一個特征：不同于由于外部的促進或壓力所進行的思考，“反思”更加強調(diào)主體的自我意識，也即是指相關(guān)主體的一種自覺行為。具體的分析（1）正如“吾日三省吾身”這一格言所表明的，這是“98具體的分析（2）相對于一般意義上的“反思”而言，數(shù)學中的“反思”當然也有其一定的特殊性：我們在此所希望的就是借助這種思維形式即能更有效地去促進學生思維的發(fā)展，特別是，即能逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理。具體的分析（2）相對于一般意義上的“反思”而言，數(shù)學中的“反99更為具體地說，主體在此時已不再集中于原先所從事的活動（包括實際操作與思維活動），而是“停下來”進行一些新的、更高層次的思考，即如自己正在做什么？是如何去做的？為什么要這樣做？是不是有什么錯誤？又如何能夠做到更好一些？……總之，這就正是對于“只是埋頭去做，既不問，也不想”這樣一種狀態(tài)的重要超越。更為具體地說，主體在此時已不再集中于原先所從事的活動（包括實100具體的分析（3）與一般所謂的“自我糾錯”相比較，這里所說的“反思”顯然具有更為廣泛的涵義；再者，數(shù)學中的“反思”也不只是指“事后的反省”，而應(yīng)貫穿、落實于全部的數(shù)學活動之中，也即應(yīng)當真正成為主體思維活動十分重要的一個組成成分或基本特性。具體的分析（3）與一般所謂的“自我糾錯”相比較，這里所說的“101[例4]“主體性反思：小學數(shù)學教學應(yīng)有的價值追求”（翟長麗）基本認識：“當前，在課改理念的影響下，數(shù)學課堂發(fā)生了很大變化。數(shù)學教學中的學習形式越來越多樣化，自主探索、合作交流、實踐操作等學習方式逐漸成為數(shù)學課堂的主流?？墒?，這些看似豐富的外在形式所生成的學習成果是否與學生主體內(nèi)在的內(nèi)在反思、感情體味相結(jié)合，以實現(xiàn)數(shù)學知識的意義建構(gòu)呢？[例4]“主體性反思：小學數(shù)學教學應(yīng)有的價值追求”（翟長麗）102我們看到在很多形式化的教學背后，主體性反思是非常缺失的：學生不善于建尋找自己的認知錯誤，不善于或不愿意檢驗自己的思維過程，不善于反思自己的學習策略和情感體驗，自主建構(gòu)成了教師牽制下的被動參與。”我們看到在很多形式化的教學背后，主體性反思是非常缺失的：學生103正因為此，“我們必須要把‘學會反思’納入到‘學會學習’的實質(zhì)性范疇，讓‘學會反思’成為新時期‘學會學習’的新視點，成為理想課堂的新追求。”正因為此，“我們必須要把‘學會反思’納入到‘學會學習’的實質(zhì)104具體建議（1）創(chuàng)設(shè)反思情境，培養(yǎng)反思意識。首先，教師要創(chuàng)設(shè)和諧、民主、寬松的環(huán)境氛圍，幫助學生看到學習中的問題所在，使反思性學習活動得以和諧開展。其次，教師可以從學生的實際和認知水平出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)反思性問題情境，引發(fā)學生對學習過程中的基礎(chǔ)知識、學習方法、解題策略、情感體驗等做自覺的回顧反思，使不同個體和群體在思維碰撞中，把學生活躍的思維推向深刻，也讓學生體驗到適時的反思是深化思維的一副催化劑。具體建議（1）創(chuàng)設(shè)反思情境，培養(yǎng)反思意識。105（2）追溯學習過程，提高反思能力。當某個新知教學告一段落，或探究活動已經(jīng)完畢，或全課教學即將結(jié)束，此時更需靜靜回望反思，追溯探究過程，梳理新生信息，完善認知結(jié)構(gòu)。 第一，課始反思，鏈接經(jīng)驗。 第二，過程反思，深化思維。 第三，課尾反思，省思得失。（3）探尋出錯根源，提升思維品質(zhì)。（2）追溯學習過程，提高反思能力。106相關(guān)的總結(jié)“數(shù)學知識不易終身鉻記，但數(shù)學精神會激勵終生；解題技能很難終身掌握，但反思的方法會受用終身?！贾畡t活，思活則深，思深則透，思透則明，思明則新，思新則進?！薄胺此紤?yīng)當是一項持之以恒、日積月累的系統(tǒng)工程，需要教師遵循‘循序漸進’的原則和‘一以貫之’的耐心扎實踐行，最終讓學生進入‘學會學習’的至高境界?！毕嚓P(guān)的總結(jié)“數(shù)學知識不易終身鉻記，但數(shù)學精神會激勵終生；解題107幾個特別重要的環(huán)節(jié)（1）：“清楚地表述，有效的互動”為了清楚地說出自己的想法，必然要求主體對自己頭腦中的已有想法作出梳理與檢查；我們顯然也只有更清晰、更深入、更全面、更合理地去進行思考，才能對其他人所已表達的意見做出適當?shù)脑u論和批評，乃至實質(zhì)性的補充或改進。幾個特別重要的環(huán)節(jié)（1）：“清楚地表述，有效的互動”為了清楚108相關(guān)的建議教學中應(yīng)給學生更多的表達機會，包括兩人對話與小組交流等；我們又不應(yīng)滿足于對于“交流”、“傾聽”的簡單提倡，而是應(yīng)當更加重視引導(dǎo)學生對于不同觀點進行比較與分析，包括對于自身原有觀點的總結(jié)與反思。例如，在全班交流的環(huán)節(jié)，教師就不應(yīng)唯一地集中于學生對于所面臨問題的具體解答，而也應(yīng)當進一步去追問：你現(xiàn)在的看法與先前的想法有什么不同？你又是如何得出這一看法的：是由別人的發(fā)言得到了啟示，還是對幾種不同的看法進行了綜合？……相關(guān)的建議教學中應(yīng)給學生更多的表達機會，包括兩人對話與小組交109[例5]關(guān)于知識表述與交流的要求（深圳市育才四?。啊當?shù)學知識表述’……是個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，決定了課堂交流的深度?！币舱虼?，他們就對學生的“課前預(yù)習”提出了如下要求：“假設(shè)每一個知識都讓你自己去講演，你會怎么講？”[例5]關(guān)于知識表述與交流的要求（深圳市育才四?。啊當?shù)學110以下則是他們關(guān)于“交流”、“傾聽”與“互動”的具體要求：“如果能讓全班同學在最短時間內(nèi)理解自己的想法，那么他就是最棒的。如果能夠給他人提出補充，提出一針見血的思路，也是成功的?！币韵聞t是他們關(guān)于“交流”、“傾聽”與“互動”的具體要求：“如111幾個特別重要的環(huán)節(jié)（2）：切實做好“化錯教學”盡管數(shù)學中的“反思”并非只是指“自我糾錯”，但后者顯然也應(yīng)被看成“幫助學生學會反思”十分重要的一個方面。進而，盡管與一般所謂的“化錯教學”相比較是，我們在此即應(yīng)更加注重如何能夠切實提高學生在這一方面的自覺性，但我們又仍然可以由前一方面的相關(guān)經(jīng)驗獲得直接的啟示。幾個特別重要的環(huán)節(jié)（2）：切實做好“化錯教學”盡管數(shù)學中的“112[例6]“化錯教學”的若干經(jīng)驗（1）“‘講述‘錯’的故事”（劉海玲）“當我們能夠坦然地講出錯的故事時，是不是就意味著我們‘容納’錯誤了；當我們把錯誤的故事講得精彩時，是不是意味著我們會‘融化’錯誤了；當我們講完故事后釋懷甚至驕傲地一笑時，是不是意味著我們能以‘化錯’為榮了?！眴⑹荆何覀円矐?yīng)鼓勵學生講述自己如何能夠通過進一步的思考獲得更清晰、更深入、更全面、更合理認識的各種“故事”。[例6]“化錯教學”的若干經(jīng)驗（1）“‘講述‘錯’的故事”113（2）“用心聆聽，先品后化”（崔蕾）“用‘品錯、融錯’的心態(tài)來放大學生思維的閃光點，引領(lǐng)學生從錯誤中求知，在錯誤中探究，這就是我一直以來在追求的目標！”啟示：我們并應(yīng)將關(guān)注的對象由單純的“差錯”擴展到更多的方面，包括表述、評價等等。（2）“用心聆聽，先品后化”（崔蕾）114（3）“慢下來，才能化得開”（譚青秀）“此時此刻，我真正地感受到了課堂慢下來的精彩。”啟示：這顯然也可被看成十分清楚地指明了“幫助學生學會反思”十分重要的一環(huán)。（3）“慢下來，才能化得開”（譚青秀）115幾個特別重要的環(huán)節(jié)（3）：用“聯(lián)系的觀點”指導(dǎo)教學就只有采取更為廣闊的視角，我們才能達到更大的認識深度，也正因此，我們就應(yīng)當特別重視如何能用“聯(lián)系的觀點”去指導(dǎo)教學，即是應(yīng)當努力揭示不同知識內(nèi)容之間的重要聯(lián)系，從而幫助學生達到更大的認識深度。幾個特別重要的環(huán)節(jié)（3）：用“聯(lián)系的觀點”指導(dǎo)教學就只有采取116[例7]“小數(shù)的意義”的教學從“聯(lián)系的觀點”去分析，小數(shù)的教學顯然就應(yīng)特別重視這樣一點，即是我們應(yīng)當將小數(shù)的認識與自然數(shù)的認識聯(lián)系起來：如果說自然數(shù)的認識主要涉及到了各個更大的計數(shù)單位（十、百、千等）的引入，那么，小數(shù)的認識則就體現(xiàn)了相反方向上的發(fā)展，也即引入了若干更小的計數(shù)單位（0.1、0.01、0.001等）。[例7]“小數(shù)的意義”的教學從“聯(lián)系的觀點”去分析，小數(shù)的117進而，就相關(guān)的認識活動而言，這又可以被看成它們的共同關(guān)鍵，即是我們?nèi)绾文軌驇椭鷮W生很好地實現(xiàn)由“單一性概念結(jié)構(gòu)”向“多單位概念結(jié)構(gòu)”的必要過渡，特別是，即能清楚地建立起這樣三個認識：（1）只有同一數(shù)位上的數(shù)才能直接進行加減；（2）同一數(shù)位上的數(shù)的加減與個位數(shù)的加減完全相同；（3）“進位”與“退位”的概念。（更為一般地說，就是“位值制”的概念。）進而，就相關(guān)的認識活動而言，這又可以被看成它們的共同關(guān)鍵，即118[例8]“分數(shù)的初步認識”的教學應(yīng)當清楚地看到在“分數(shù)”與“倍數(shù)”這兩個概念之間所存在的重要聯(lián)系，特別是這樣一個認識：除去單位“1”，我們也可用其他的數(shù)作為比較的基本單位。就“倍數(shù)”而言，我們就是將兩個數(shù)之中的較小的數(shù)用做了新的“計量單位”；分數(shù)的引入則代表了相反方向上的運作，也即將較大的數(shù)看成了新的“計量單位”。[例8]“分數(shù)的初步認識”的教學應(yīng)當清楚地看到在“分數(shù)”與119特殊地，后者顯然也就直接關(guān)系到了關(guān)于分數(shù)意義的如下解釋，即是“整體與部分之間的關(guān)系”“一個物體、一個計量單位或是一些物體等都可以看作一個整體。把這個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數(shù)來表示?！碧厥獾兀笳唢@然也就直接關(guān)系到了關(guān)于分數(shù)意義的如下解釋，即是120必要的提醒：分數(shù)教學的真正難點由于分數(shù)具有多個不同的意義，因此，作為“分數(shù)的初步認識”，我們就既應(yīng)幫助學生很好地掌握“部分與整體之間的關(guān)系”這樣一個具體的解釋，同時也應(yīng)幫助他們清楚地認識到以下的事實：我們在此是在自然數(shù)以外引進了一種新的數(shù)，這也就是指，這即可被看成“數(shù)的不斷擴展”這一數(shù)學思想的又一體現(xiàn)。必要的提醒：分數(shù)教學的真正難點由于分數(shù)具有多個不同的意義，因121關(guān)鍵：教師的引領(lǐng)作用

相關(guān)的論述：“促進學生主動思考是教師的成長任務(wù)，教師自身也必須‘主動思考’。”（林福來）關(guān)鍵：教師的引領(lǐng)作用相關(guān)的論述：122實踐性解讀（四）：努力提升學生的思維品質(zhì)相對于各種具體的數(shù)學思想和數(shù)學思想方法的學習而言，我們應(yīng)當更加重視學生思維品質(zhì)的提高，特別是，即應(yīng)不斷提升學生思維的清晰性與嚴密性（合理性）、思維的深刻性與全面性、思維的綜合性與靈活性、以及思維的自覺性與創(chuàng)造性。實踐性解讀（四）：努力提升學生的思維品質(zhì)相對于各種具體的數(shù)學1231.現(xiàn)實意義：中國人的時髦?。?）“中國人，趕時間。最愛‘快進’，狂點‘刷新’。評論，要搶‘秒發(fā)’。寄信，最好是特快專遞。拍照，最好是立等可取。坐車，最好是高速公路、高速鐵路、磁懸浮。坐飛機，最好是直航。做事，最好是名利雙收。創(chuàng)業(yè)，最好是一夜暴富。結(jié)婚，最好有現(xiàn)房現(xiàn)車。排隊，最好能插隊，若不能，就會琢磨：為什么別人排的隊總比我的快呢？”1.現(xiàn)實意義：中國人的時髦?。?）“中國人，趕時間。最愛‘124進一步的思考“靜心思量，在教育行業(yè)內(nèi)部，我們不是也存在著諸多的急躁行為嗎？學校要辦最大的，教學樓要最新的，設(shè)備要最現(xiàn)代化的，教育思想要最前沿的，教學實驗最好馬上出成果……。”（白宏太）進一步的思考“靜心思量，在教育行業(yè)內(nèi)部，我們不是也存在著諸多125顯然，由此我們即可更好地理解數(shù)學中明確提倡“長時間思考”的積極意義。即如我們在課堂中不應(yīng)過多地去宣揚“看看誰已經(jīng)做出來了”，而是應(yīng)當表現(xiàn)出更大的耐心：“孩子，不要急，慢慢想！”教育是慢的藝術(shù)?。◤埼馁|(zhì)）顯然，由此我們即可更好地理解數(shù)學中明確提倡“長時間思考”的積126中國人的時髦?。?）這也是現(xiàn)代人的普遍性弊病，即是過于任性；思想又往往過于膚淺、過于片面……“現(xiàn)代人將浮淺當作時尚，把信息當做知識，把知識當做智慧。許多人日夜在網(wǎng)上泡著，四處收集新聞熱點，仿佛天下大事盡在心頭?？墒悄阕屑毬犅?，卻發(fā)現(xiàn)他嘴里沒有一句是他的話?！保ㄐ敛雌剑┲袊说臅r髦病（2）這也是現(xiàn)代人的普遍性弊病，即是過于任性；127由此我們顯然也可更為清楚地認識明確強調(diào)思維的清晰性、深刻性、全面性和合理性的重要性。由此我們顯然也可更為清楚地認識明確強調(diào)思維的清晰性、深刻性、1282.思維的綜合性與靈活性除去清晰性、深刻性、全面性與合理性以外，我們還應(yīng)高度重視學生思維的綜合（整體）性與靈活性，以及思維的自覺性與創(chuàng)造性，這也就是指，這些不僅同樣應(yīng)當被看成通過數(shù)學教育提升學生思維品質(zhì)十分重要的一些方面，甚至還可說代表了更高層次的努力方向。2.思維的綜合性與靈活性除去清晰性、深刻性、全面性與合理性129具體的分析（1）相對于“全面性”而言，思維的“綜合性”顯然代表了更高的要求：我們不僅應(yīng)當無一遺漏地考慮到各種可能的情況，而且也應(yīng)通過這些方面的綜合分析與適當整合獲得更深層次的認識。具體的分析（1）相對于“全面性”而言，思維的“綜合性”顯然代130由于這也是現(xiàn)代社會的一個常見現(xiàn)象，即是人們往往只是注意了細節(jié)的考察，卻忽視了對象的整體性把握，因此，我們在教學中也就應(yīng)當對后者予以特別的重視。例如，就只有這樣，我們才可能真正解決現(xiàn)實中所普遍存在的“知識的碎片化”的現(xiàn)象。由于這也是現(xiàn)代社會的一個常見現(xiàn)象，即是人們往往只是注意了細節(jié)131具體的分析（2）一個基本的事實：世界上的各種事物和現(xiàn)象往往具有多個不同的方面或成分。也正因此，我們就不僅應(yīng)當注意防止各種可能的片面性，即是不應(yīng)唯一地去強調(diào)其中的某一（些）側(cè)面，而應(yīng)高度重視它們的相互關(guān)系與必要互補，而且也應(yīng)注意培養(yǎng)學生思維的“靈活性”，這也就是指，我們不僅應(yīng)當采取多元的視角，高度重視事物或現(xiàn)象不同方面或成分的必要互補與適當整合，也應(yīng)針對不同的情況與需要在這些方面與成分之間做出靈活的轉(zhuǎn)換，從而就能更有效地去解決問題。具體的分析（2）一個基本的事實：世界上的各種事物和現(xiàn)象往往具132相關(guān)的論述“數(shù)學知識深刻理解”的三個要素：“深度”、“廣度”，與“靈活度”（“完整度”）?！吧疃群蛯挾纫蕾囉谕暾取灤┠骋活I(lǐng)域的所有部分的能力——把它們編織起來?！保R立平?！缎W數(shù)學的掌握和教學》）由此可見，即使就數(shù)學知識本身的學習而言，我們也應(yīng)高度重視“思維的靈活性”。相關(guān)的論述“數(shù)學知識深刻理解”的三個要素：“深度”、“廣度”133具體的分析（3）基本認識：相對于關(guān)于“創(chuàng)新性”的種種泛泛而談，我們顯然應(yīng)當更為深入地去研究什么是實現(xiàn)創(chuàng)新的必要條件和有效途徑；我們并應(yīng)清楚地認識到這樣一點：“創(chuàng)新”決不應(yīng)簡單地被等同于“與眾不同”；恰恰相反，這主要表現(xiàn)為已有工作的必要優(yōu)化、包括不同意見的適當整合。優(yōu)化事實上也可被看成數(shù)學學習的本質(zhì)！具體的分析（3）基本認識：相對于關(guān)于“創(chuàng)新性”的種種泛泛而談134具體的分析（4）上面的論述顯然也可被看成十分清楚地表明了所已提到的各個思維品質(zhì)不應(yīng)被看成互相孤立的；恰恰相反，我們應(yīng)當高度重視它們之間的重要聯(lián)系，后者并就可以被看成“理性思維”最為重要的內(nèi)涵之一。具體的分析（4）上面的論述顯然也可被看成十分清楚地表明了所已135再者，這又是我們應(yīng)當努力追求的一個更高目標，即是我們不僅應(yīng)當幫助學生學會理性地思維，而且也應(yīng)促成他們由理性思維逐步走向理性精神，從而真正成為一個高度自覺的理性人。再者，這又是我們應(yīng)當努力追求的一個更高目標，即是我們不僅應(yīng)當136結(jié)語一：必要的對照關(guān)于“數(shù)學核心素養(yǎng)”的如下解讀：“我們應(yīng)當學會用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表述世界?！惫P者的建議：我們必須超出數(shù)學、并從更為一般的去進行分析思考：對于大多數(shù)學生而言，數(shù)學學習到底有什么用？結(jié)語一：必要的對照關(guān)于“數(shù)學核心素養(yǎng)”的如下解讀：“我們應(yīng)當137結(jié)語二：數(shù)學核心素養(yǎng)之我見我們應(yīng)當通過數(shù)學教學幫助學生學會思維，并能逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理，包括由“理性思維”逐步走向“理性精神”。這也應(yīng)當成為數(shù)學教育的基本目標。結(jié)語二：數(shù)學核心素養(yǎng)之我見我們應(yīng)當通過數(shù)學教學幫助學生學會思138結(jié)語三：當前應(yīng)當特別注意的一些方面1.正確處理“動手”與“動腦”之間的關(guān)系；2．努力養(yǎng)成學生“長時間思考”的習慣與能力；3．幫助學生學會“反思”；4．努力提升學生的思維品質(zhì)。

結(jié)語三：當前應(yīng)當特別注意的一些方面1.正確處理“動手”與“139結(jié)語四：學生的成長過程這或許也可被看成通過學校教育幫助學生成長的必然途徑，即是由籠統(tǒng)地提倡整體性“核心素養(yǎng)”，逐步過渡到各門學科的專業(yè)學習；然后，在這一基礎(chǔ)上，我們又應(yīng)幫助他們逐步實現(xiàn)“對于專業(yè)化的必要超越”、包括不同學科的整合這樣一個更高層面的發(fā)展。結(jié)語四：學生的成長過程這或許也可被看成通過學校教育幫助學生成140“核心素養(yǎng)”視角下的數(shù)學教育（2018，11）

“核心素養(yǎng)”視角下的數(shù)學教育141報告的主要內(nèi)容一、“核心素養(yǎng)”之慎思（背景）；二、“數(shù)學核心素養(yǎng)”之我見（理論分析）；三、理論的實踐性解讀（具體的教學建議）。報告的主要內(nèi)容一、“核心素養(yǎng)”之慎思（背景）；142一、“核心素養(yǎng)”之慎思“當今世界各國教育都在聚焦對于人的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)?！保櫭鬟h）“今天，這個概念體系（指“核心素養(yǎng)”——注）正在成為新一輪課程改革深化的方向。”（《人民教育》，2015年第7期，“社評”）一、“核心素養(yǎng)”之慎思“當今世界各國教育都在聚焦對于人的核心143相關(guān)事實：教師培訓(xùn)的熱門主題第六屆中國小學數(shù)學教育峰會：“聚焦數(shù)學核心素養(yǎng)”（2015，10，杭州）“核心素養(yǎng)在課堂”（2016，11，南京）“核心素養(yǎng)下的小學數(shù)學‘發(fā)展課堂”研會觀摩會”（2016，11，杭州）“經(jīng)典與超越：核心素養(yǎng)下的課堂教學方式轉(zhuǎn)型”（2016，11，南昌）相關(guān)事實：教師培訓(xùn)的熱門主題第六屆中國小學數(shù)學教育峰會：“聚144應(yīng)當堅持的基本立場我們既應(yīng)高度關(guān)注教育的最新發(fā)展，但又不應(yīng)盲目地去追隨潮流，而應(yīng)始終堅持自己的獨立思考。應(yīng)當堅持的基本立場我們既應(yīng)高度關(guān)注教育的最新發(fā)展，但又不應(yīng)盲145更為具體的建議面對任一新的理論思想或主張，我們都應(yīng)認真地去思考這樣三個問題：（1）這一理論或主張的實質(zhì)是什么？（2）這一理論或主張對于我們改進教學有哪些新的啟示和意義？（3）這一理論或主張又有什么局限性或不足之處？更為具體的建議面對任一新的理論思想或主張，我們都應(yīng)認真地去思146當前的應(yīng)有思考問題1：現(xiàn)今對于“核心素養(yǎng)”的提倡與先前所說的“素質(zhì)教育”有什么聯(lián)系和區(qū)別？問題2：數(shù)學教育界又應(yīng)如何去落實“核心素養(yǎng)”，特別是，我們是否也應(yīng)積極地去提倡“數(shù)學核心素養(yǎng)”什么又是后者的具體涵義？當前的應(yīng)有思考問題1：現(xiàn)今對于“核心素養(yǎng)”的提倡與先前所說的147有益的比較“2014年3月，教育部印發(fā)了《關(guān)于全面深化課程改革、落實立德樹人根本任務(wù)的意見》，提出了‘核心素養(yǎng)’概念，為進一步深化課程改革指明了方向。”有益的比較“2014年3月，教育部印發(fā)了《關(guān)于全面深化課程改148“1997年國家教委印發(fā)《關(guān)于當前積極推進中小學實施素質(zhì)教育的若干意見》，提出應(yīng)‘著眼于受教育者長遠發(fā)展的要求，以面向全體學生，全面提高學生的基本素質(zhì)為根本宗旨?！渲羞€特別提到，要建立一整套‘素質(zhì)教育運行體系’，包括‘以全面提高學生素質(zhì)為目標的課程體系?！薄?997年國家教委印發(fā)《關(guān)于當前積極推進中小學實施素質(zhì)教育149“1999年6月，一份關(guān)于素質(zhì)教育的標志性文件——《中共中央國務(wù)院關(guān)于深化教育改革，全面推進素質(zhì)教育的決定》發(fā)布，其中明確素質(zhì)教育‘以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力為重點’，指出‘全面推進素質(zhì)教育，是我國教育事業(yè)的一場深刻變革?！薄?999年6月，一份關(guān)于素質(zhì)教育的標志性文件——《中共中央150應(yīng)有的思考（1）問題1：現(xiàn)今對于“核心素養(yǎng)”的提倡與一般所謂的“素質(zhì)教育”究竟有什么聯(lián)系和區(qū)別，特別是，“以素養(yǎng)發(fā)展為核心的教育”與新一輪課程改革中對于“三維目標”的提倡又有什么不同？應(yīng)有的思考（1）問題1：現(xiàn)今對于“核心素養(yǎng)”的提倡與一般所謂151進一步的思考究竟什么是這里所說的“素養(yǎng)”或“核心素養(yǎng)”？現(xiàn)狀：盡管存在不少論述，但在這方面應(yīng)當說還有很長的路要走！

進一步的思考究竟什么是這里所說的“素養(yǎng)”或“核心素養(yǎng)”？152一個更深的憂慮在積極提倡“核心素養(yǎng)”的同時，我們又應(yīng)防止純粹的“口號操作”與“文字游戲”，因為，這正是教育領(lǐng)域的一個常見弊病，即是口號的頻繁更替，以至一線教育工作者忙于應(yīng)付，甚至感到無可適從。一個更深的憂慮在積極提倡“核心素養(yǎng)”的同時，我們又應(yīng)防止純粹153相關(guān)的論述“從20世紀80年代……的‘素質(zhì)教育’，到2014年以來大熱的‘核心素養(yǎng)’；從德智體美勞‘五育’并舉到‘兩全、一主動’，再到‘一個靈魂、兩個重點’，后來又有‘德育為先’‘能力為重’‘全面發(fā)展’‘因材施教’等。可以看出，教育內(nèi)涵發(fā)展的邏輯軌跡基本上是：教育實踐中存在什么問題，時代發(fā)展提出了什么新要求，在改革中就會增加相應(yīng)的新內(nèi)容?！保ɡ柩┰?，“在探索中回歸’，《小學教學》，2016年第9期）相關(guān)的論述“從20世紀80年代……的‘素質(zhì)教育’，到2014154正面的建議：“教育貴在堅持”。一個實例：“從來沒想到，在北京一所不起眼的小區(qū)配套學校里，居然有一群人，對‘三維’目標的研究如此執(zhí)著達8年之久；他們從學科知識走到了知識樹，從知識樹走到了能力，從能力走到了高位目標，并解決了一系列教學困惑和問題。無論課改形勢發(fā)生什么變化，都沒有動搖他們的研究精神。10年過去了，這所普通學校迅速成長為海淀區(qū)第一方陣的佼佼者……進校附校是這里面的‘勝利者’，勝在了‘執(zhí)著’二字?！保ā度嗣窠逃?，2011年第6期）

正面的建議：“教育貴在堅持”。一個實例：“從來沒想到，在北155應(yīng)有的思考（2）問題2：數(shù)學教育界應(yīng)當如何去落實“核心素養(yǎng)”？另一應(yīng)當防止的傾向：認識的極端化與做法上的片面性。應(yīng)有的思考（2）問題2：數(shù)學教育界應(yīng)當如何去落實“核心素養(yǎng)”156兩個相關(guān)的論點（1）應(yīng)當特別重視傳統(tǒng)課程的改變與整合，“基礎(chǔ)教育要去學科化”。（2）在數(shù)學教育領(lǐng)域中，“核心素養(yǎng)”就可被等同于“核心概念”，從而我們對此也就無須予以特別的重視.

兩個相關(guān)的論點（1）應(yīng)當特別重視傳統(tǒng)課程的改變與整合，“基礎(chǔ)157第一種觀點：“基礎(chǔ)教育要去學科化”“只從學科的角度出發(fā)，不利于學生素養(yǎng)的發(fā)展?！保櫭鬟h）“基礎(chǔ)教育要去學科化，強調(diào)綜合”。我們不僅應(yīng)當積極提倡各個傳統(tǒng)學科的綜合，也應(yīng)以“整體性思維”完全取代“學科性思維”。顯然，按照這樣一種觀點，我們在當前就完全沒有必要、甚至根本就不應(yīng)去提及所謂的“數(shù)學核心素養(yǎng)”。

第一種觀點：“基礎(chǔ)教育要去學科化”“只從學科的角度出發(fā)，不利158一個相關(guān)的實踐“清華附小……通過核心素養(yǎng)的‘打底’、‘1+X課程’的整合和直接完整性的教學，照亮了孩子人生發(fā)展的道路和未來的遠景?！保ā度嗣窠逃?015年第13期，特約評論員）“基于學生發(fā)展核心素養(yǎng)的‘1+X課程’改革對于當下的基礎(chǔ)教育課程改革具有價值引領(lǐng)的意義?！保櫭鬟h，《人民教育》，2015年第13期）一個相關(guān)的實踐“清華附小……通過核心素養(yǎng)的‘打底’、‘1+X159筆者的思考（1）我們事實上即可由數(shù)學與數(shù)學教育領(lǐng)域中的相關(guān)研究獲得這方面的直接啟示，包括數(shù)學中對于“統(tǒng)一性”的追求，以及數(shù)學教育中關(guān)于“整合數(shù)學”的研究。筆者的思考（1）我們事實上即可由數(shù)學與數(shù)學教育領(lǐng)域中的相關(guān)研160相關(guān)的啟示由相關(guān)研究可以看出：數(shù)學中不同學科分支的整合決非易事，我們更不應(yīng)將此簡單地等同于相關(guān)內(nèi)容在形式上的簡單組合；進而，與唯一強調(diào)統(tǒng)一性相比較，我們又應(yīng)更為清楚地認識多元化與統(tǒng)一性之間的辯證關(guān)系，并應(yīng)注意防止這樣一種現(xiàn)象，即是人為地制造某種“統(tǒng)一”。相關(guān)的啟示由相關(guān)研究可以看出：數(shù)學中不同學科分支的整合決非易161相關(guān)的結(jié)論總之，與唯一強調(diào)不同學科的整合相比較，這是課程改革更為重要的一個指導(dǎo)思想，即是我們?nèi)绾文軐ⅰ昂诵乃仞B(yǎng)的培養(yǎng)”這一總體性教育目標落實到各個學科的教學之中，從而既能充分體現(xiàn)各個學科的特點，也能在總體上真正做到各有其長，各盡其職，相互配合，互相促進。

相關(guān)的結(jié)論總之，與唯一強調(diào)不同學科的整合相比較，這是課程改革162必要的澄清上面的論述并非是指我們不應(yīng)對傳統(tǒng)的學科教育作出任何改變；恰恰相反，我們應(yīng)以整體性教育目標為指導(dǎo)積極地去從事學科教育的改革；但同時也應(yīng)注意防止各種簡單化的認識與片面性的觀點，即如對于“去學科化”的盲目提倡，乃至將各個學科的教學簡單地納入某個單一的模式。必要的澄清上面的論述并非是指我們不應(yīng)對傳統(tǒng)的學科教育作出任何163相關(guān)的論述“課程的整體優(yōu)化與建設(shè)并不一定要取消現(xiàn)在的課程分類和已經(jīng)有的學科，它的著力點是打破那些已經(jīng)固定的不同學科之間界線分明的邊界，是要穿越那些的近乎僵化的學科與知識界限，使課程內(nèi)容更加豐富多彩。”（謝維和）

相關(guān)的論述“課程的整體優(yōu)化與建設(shè)并不一定要取消現(xiàn)在的課程分類164第二種觀點：“數(shù)學核心素養(yǎng)”=“核心概念”相關(guān)的論點（1）：“《課程標準（2011年版）》明確提出了10個核心素養(yǎng)，……曾把這些稱之為核心概念，但嚴格意義上講，稱這些詞為‘概念’并不合適……本文把這10個詞稱之為‘數(shù)學的核心素養(yǎng)?！保R云鵬）第二種觀點：“數(shù)學核心素養(yǎng)”=“核心概念”相關(guān)的論點（1）：165相關(guān)的論點（2）

按照《高中數(shù)學課程標準》，“數(shù)學核心素養(yǎng)”就是指以下六個概念：數(shù)學抽象，直觀想象（用數(shù)學眼光觀察現(xiàn)實世界）；邏輯推理，數(shù)學運算（用數(shù)學思維思考現(xiàn)實世界）；數(shù)學模型，數(shù)據(jù)分析（用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界）。相關(guān)的論點（2）按照《高中數(shù)學課程標準》，“數(shù)學核心素養(yǎng)”166筆者的思考與各種簡單化的論點相對照，我們應(yīng)當更為深入地去思考：“走向核心素養(yǎng)”究竟為我們更好地認識與把握數(shù)學教育的基本目標、并由此而進一步改進數(shù)學教育教學工作提供了哪些新的啟示？筆者的思考與各種簡單化的論點相對照，我們應(yīng)當更為深入地去思考167二、“數(shù)學核心素養(yǎng)”之我見基本認識：這是“走向核心素養(yǎng)”給予我們的主要啟示：我們應(yīng)當跳出數(shù)學、并從更大的角度去分析思考問題，特別是，究竟什么是數(shù)學對于個人發(fā)展和社會進步所應(yīng)發(fā)揮的重要作用？二、“數(shù)學核心素養(yǎng)”之我見基本認識：這是“走向核心素養(yǎng)”給予168相關(guān)的論述“這次制定課程方案時，學科專家做的第一件事情就是思考：這門學科在孩子身上能夠產(chǎn)生哪些變化？對孩子的素養(yǎng)有哪些貢獻？”（張緒培）這也應(yīng)當成為我們具體界定“數(shù)學核心素養(yǎng)”的基本途徑。相關(guān)的論述“這次制定課程方案時，學科專家做的第一件事情就是思169具體的分析（1）什么是不同學科、特別是數(shù)學課與語文課對于學生成長的主要作用？相關(guān)的論述：“今天比昨天慈悲，今天比昨天智慧，今天比昨天快樂，這就是成功。”“要通過生命不斷的轉(zhuǎn)彎，發(fā)現(xiàn)多元的樣貌，而不要生活在一元的狀態(tài)下。”（林清玄）具體的分析（1）什么是不同學科、特別是數(shù)學課與語文課對于學生170語文教育的主要作用：“什么是生命里重要的事情：一是愛，能愛，能表達愛；二是美，懂美，追求美。三是情，四是義，人要有情有義。五是感動，美好的情感能被激發(fā)?！睌?shù)學教育的主要使命：我們應(yīng)當通過數(shù)學教學讓學生一天比一天更加智慧，一天比一天更加聰明，也即應(yīng)當努力促進學生思維的發(fā)展與理性精神的養(yǎng)成。語文教育的主要作用：“什么是生命里重要的事情：一是愛，能愛，171具體的分析（2）盡管目前國內(nèi)所看到的主要是由“核心素養(yǎng)”到“數(shù)學核心素養(yǎng)”的發(fā)展，但后者不應(yīng)被看成全新的概念，因為，只要將視野擴展到國際數(shù)學教育界，就可看到不少相關(guān)的研究：其中都明確提出了“數(shù)學素養(yǎng)”這樣一個概念。具體的分析（2）盡管目前國內(nèi)所看到的主要是由“核心素養(yǎng)”到“172研究的共同點對于社會進步與個人發(fā)展的高度關(guān)注?！耙环矫媸巧鐣囊暯牵簲?shù)學素養(yǎng)主要涉及到了社會—經(jīng)濟的變化與社會的技術(shù)進步，它應(yīng)當與此相適應(yīng)并促進社會的整體發(fā)展；另一方面，數(shù)學素養(yǎng)又與個人的生活密切相關(guān)，也即應(yīng)當聚焦于個人?！保℅.Fitzsimons等，“AdultandMathematics”）研究的共同點對于社會進步與個人發(fā)展的高度關(guān)注。173研究的不同點對一部分學者而言，提倡“數(shù)學素養(yǎng)”就意味著對于數(shù)學教育的更高要求，特別是，我們不僅應(yīng)當積極提倡所謂的“大眾數(shù)學”，也應(yīng)努力實現(xiàn)“數(shù)學上普遍的高標準”。但也有一部分學者認為，“數(shù)學素養(yǎng)”即是為數(shù)學教育提供了“最低標準”。研究的不同點對一部分學者而言，提倡“數(shù)學素養(yǎng)”就意味著對于數(shù)174筆者的觀點基本立場：應(yīng)當堅持“數(shù)學上普遍的高標準”，并應(yīng)努力做到“少而精”?！皵?shù)學核心素養(yǎng)”的基本涵義：我們應(yīng)當通過數(shù)學教學幫助學生學會思維，并能逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理，包括由“理性思維”逐步走向“理性精神”。這也應(yīng)當成為數(shù)學教育的基本目標。

筆者的觀點基本立場：應(yīng)當堅持“數(shù)學上普遍的高標準”，并應(yīng)努力175關(guān)鍵（1）：“三維目標”之間的辯證關(guān)系第一，所謂的“情感、態(tài)度與價值觀”主要體現(xiàn)了文化的視角，而“文化”的主要特征就在于：這是一種潛移默化的影響，也即是通過人們的日常生活與工作不知不覺地形成的。也正因此，與數(shù)學直接相關(guān)的情感、態(tài)度與價值觀的養(yǎng)成，就離不開具體數(shù)學知識與數(shù)學思維的學習，特別是，人們主要地就是經(jīng)由“理性思維”的學習與應(yīng)用逐步發(fā)展起了“理性精神”，也即由“思維方法”逐步地過渡到了“情感、態(tài)度與價值觀”。關(guān)鍵（1）：“三維目標”之間的辯證關(guān)系第一，所謂的“情感、態(tài)176第二，知識應(yīng)當被看成思維的實際“載體”，