最新湘教版八年級上冊數(shù)學(xué)課件24線段的垂直平分線

2.4線段的垂直平分線2022/12/2512.4線段的2022/12/201

如圖，人字形屋頂?shù)目蚣苤?，點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于線段CD所在的直線l對稱，問線段CD所在的直線l與線段AA′有什么關(guān)系？新知探究2022/12/252如圖，人字形屋頂?shù)目蚣苤校c(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于線段CD所

我們可以把人字形屋頂框架圖進(jìn)行簡化得到下圖.

已知點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線l對稱，如果沿直線l折疊，則點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直線l既平分線段AA′，又垂直線段AA′.●●lAA′D21(A)2022/12/253我們可以把人字形屋頂框架圖進(jìn)行簡化得到下圖.

我們把垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.

由上可知：線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸.新知?dú)w納2022/12/254我們把垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分

如圖，在線段AB的垂直平分線l上任取一點(diǎn)P，連接PA，PB，線段PA，PB之間有什么關(guān)系？新知探究2022/12/255如圖，在線段AB的垂直平分線l上任取一點(diǎn)P，連接P

作關(guān)于直線l的軸反射（即沿直線l對折），由于l是線段AB的垂直平分線，因此點(diǎn)A與點(diǎn)B重合.從而線段PA與線段PB重合，于是PA=PB.(A)(B)BAPl2022/12/256作關(guān)于直線l的軸反射（即沿直線l對折），由于l是

線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.由此得出線段垂直平分線的性質(zhì)定理：新知?dú)w納2022/12/257線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.由此得出線

我們知道線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，反過來，如果已知一點(diǎn)P到線段AB兩端的距離PA與PB相等，那么點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上嗎？疑問升級（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，因?yàn)镻A=PB，所以點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，顯然此時點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.2022/12/258我們知道線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，反（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時，如下圖所示.因?yàn)镻A=PB，所以△PAB是等腰三角形.過頂點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，從而底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線.即PC⊥AB，且AC=BC.因此直線PC是線段AB的垂直平分線，此時點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上.2022/12/259（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時，如下圖所示.因?yàn)镻A=PB，所以

到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.由此得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：新知?dú)w納2022/12/2510到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.由此得到例

已知：如圖，在△ABC中，AB，BC的垂直平

分線相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC.求證：點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.證明∵點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，∴

OA=OB.同理OB=OC.∴

OA=OC.∴

點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.例題講解2022/12/2511例已知：如圖，在△ABC中，AB，BC的垂直平證明∵1.

如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交

AB，BC于點(diǎn)D，E，∠B=30°，∠BAC=80°，求∠CAE的度數(shù).答：∠CAE=50°.隨堂練習(xí)2022/12/25121.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交答：∠CAE隨堂練習(xí)2.已知：如圖，點(diǎn)C，D是線段AB外的兩點(diǎn)，且AC=BC，AD=BD，AB與CD相交于點(diǎn)O.求證：AO=BO.證明：∵

AC=BC，AD=BD，∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，∴CD為線段AB的垂直平分線.又

AB與CD相交于點(diǎn)O∴AO=BO.2022/12/2513隨堂練習(xí)2.已知：如圖，點(diǎn)C，D是線段AB外的兩點(diǎn)，且證明：如圖，已知線段AB，作線段AB的垂直平分線.

根據(jù)“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”，要作線段AB的垂直平分線，關(guān)鍵是找出到線段AB兩端距離相等的兩點(diǎn).新知探究2022/12/2514如圖，已知線段AB，作線段AB的垂直平分線.根據(jù)“到

因?yàn)榫€段AB的垂直平分線CD與線段AB的交點(diǎn)就是線段AB的中點(diǎn)，所以可以用這種方法作出線段的中點(diǎn).2022/12/2515因?yàn)榫€段AB的垂直平分線CD與線段AB的交點(diǎn)就是線段如何過一點(diǎn)P作已知直線l的垂線呢？

由于兩點(diǎn)確定一條直線，因此我們可以通過在已知直線上作線段的垂直平分線來找出垂線上的另一點(diǎn)，從而確定已知直線的垂線.新知探究2022/12/2516如何過一點(diǎn)P作已知直線l的垂線呢？由于兩點(diǎn)確定一條直用尺規(guī)完成下列作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）.1.如圖，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA=PB.隨堂練習(xí)2022/12/2517用尺規(guī)完成下列作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）隨堂練習(xí)2.如圖，作出△ABC的BC邊上的高.2022/12/2518隨堂練習(xí)2.如圖，作出△ABC的BC邊上的高.2022/1

如圖，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，△BCE的周長等于18cm，則AC的長等于（）.A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm例∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等).又∵在△BCE中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，∴BE+CE=10cm.∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm.故應(yīng)選擇C.C例題講解解析：2022/12/2519如圖，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直

2.4線段的垂直平分線2022/12/25202.4線段的2022/12/201

如圖，人字形屋頂?shù)目蚣苤校c(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于線段CD所在的直線l對稱，問線段CD所在的直線l與線段AA′有什么關(guān)系？新知探究2022/12/2521如圖，人字形屋頂?shù)目蚣苤?，點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于線段CD所

我們可以把人字形屋頂框架圖進(jìn)行簡化得到下圖.

已知點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線l對稱，如果沿直線l折疊，則點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直線l既平分線段AA′，又垂直線段AA′.●●lAA′D21(A)2022/12/2522我們可以把人字形屋頂框架圖進(jìn)行簡化得到下圖.

我們把垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.

由上可知：線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸.新知?dú)w納2022/12/2523我們把垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分

如圖，在線段AB的垂直平分線l上任取一點(diǎn)P，連接PA，PB，線段PA，PB之間有什么關(guān)系？新知探究2022/12/2524如圖，在線段AB的垂直平分線l上任取一點(diǎn)P，連接P

作關(guān)于直線l的軸反射（即沿直線l對折），由于l是線段AB的垂直平分線，因此點(diǎn)A與點(diǎn)B重合.從而線段PA與線段PB重合，于是PA=PB.(A)(B)BAPl2022/12/2525作關(guān)于直線l的軸反射（即沿直線l對折），由于l是

線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.由此得出線段垂直平分線的性質(zhì)定理：新知?dú)w納2022/12/2526線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.由此得出線

我們知道線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，反過來，如果已知一點(diǎn)P到線段AB兩端的距離PA與PB相等，那么點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上嗎？疑問升級（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，因?yàn)镻A=PB，所以點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，顯然此時點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.2022/12/2527我們知道線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，反（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時，如下圖所示.因?yàn)镻A=PB，所以△PAB是等腰三角形.過頂點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，從而底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線.即PC⊥AB，且AC=BC.因此直線PC是線段AB的垂直平分線，此時點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上.2022/12/2528（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時，如下圖所示.因?yàn)镻A=PB，所以

到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.由此得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：新知?dú)w納2022/12/2529到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.由此得到例

已知：如圖，在△ABC中，AB，BC的垂直平

分線相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC.求證：點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.證明∵點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，∴

OA=OB.同理OB=OC.∴

OA=OC.∴

點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.例題講解2022/12/2530例已知：如圖，在△ABC中，AB，BC的垂直平證明∵1.

如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交

AB，BC于點(diǎn)D，E，∠B=30°，∠BAC=80°，求∠CAE的度數(shù).答：∠CAE=50°.隨堂練習(xí)2022/12/25311.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交答：∠CAE隨堂練習(xí)2.已知：如圖，點(diǎn)C，D是線段AB外的兩點(diǎn)，且AC=BC，AD=BD，AB與CD相交于點(diǎn)O.求證：AO=BO.證明：∵

AC=BC，AD=BD，∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，∴CD為線段AB的垂直平分線.又

AB與CD相交于點(diǎn)O∴AO=BO.2022/12/2532隨堂練習(xí)2.已知：如圖，點(diǎn)C，D是線段AB外的兩點(diǎn)，且證明：如圖，已知線段AB，作線段AB的垂直平分線.

根據(jù)“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”，要作線段AB的垂直平分線，關(guān)鍵是找出到線段AB兩端距離相等的兩點(diǎn).新知探究2022/12/2533如圖，已知線段AB，作線段AB的垂直平分線.根據(jù)“到

因?yàn)榫€段AB的垂直平分線CD與線段AB的交點(diǎn)就是線段AB的中點(diǎn)，所以可以用這種方法作出線段的中點(diǎn).2022/12/2534因?yàn)榫€段AB的垂直平分線CD與線段AB的交點(diǎn)就是線段如何過一點(diǎn)P作已知直線l的垂線呢？

由于兩點(diǎn)確定一條直線，因此我們可以通過在已知直線上作線段的垂直平分線來找出垂線上的另一點(diǎn)，從而確定已知直線的垂線