隨機過程-1預(yù)備知識課件

隨機過程隨機過程第一章概率論基礎(chǔ)1.1概率空間1.2隨機變量及其分布1.3隨機變量的數(shù)字特征1.4特征函數(shù)、母函數(shù)1.5n維正態(tài)分布1.6條件期望第一章概率論基礎(chǔ)1.1概率空間31.1概率空間隨機試驗事件A事件B事件AB概率樣本空間（可能結(jié)果的集合）隨機試驗：可重復(fù)、可預(yù)見、不確定樣本點：基本事件e;樣本空間：隨機試驗所有可能結(jié)果的集合;事件：A;必然事件：;不可能事件：;事件運算：并、交、差、(上、下)極限31.1概率空間隨機試驗事件A事件B事件AB概率樣本空間4實例1：拋擲一枚硬幣，觀察正面向上還是反面向上。Ω={正面，反面}實例2：連續(xù)拋擲兩次硬幣的實驗。Ω={(正面,正面)，(正面,反面)，(反面,正面)，(反面,反面)}注意:兩次拋擲硬幣的實驗只能作為一次試驗。若事件A表示“第一次出現(xiàn)正面”，則A={(正面,正面),(正面,反面)}事件B表示“兩次出現(xiàn)同一面”，B={(正面,正面),(反面,反面)}4實例1：拋擲一枚硬幣，觀察正面向上還是反面向上。5實例3：拋擲一枚硬幣，若出現(xiàn)反面，可以再拋擲一次。實驗過程可以用樹狀圖表示：于是樣本空間為：Ω={正面，(反面,反面)，(反面,正面)}正面反面正面反面5實例3：拋擲一枚硬幣，若出現(xiàn)反面，可以再拋擲一次。正面反面6實驗4：連續(xù)投擲一枚硬幣，直到出現(xiàn)正面為止。若用“0”表示出現(xiàn)反面，“1”表示出現(xiàn)正面來記錄每次投擲的結(jié)果，則這個試驗的可能結(jié)果有：

(第一次出現(xiàn)正面)

(第一次出現(xiàn)反面,第二次正面)

……………

(前n-1次出現(xiàn)反面,第n次正面)……………這個試驗有無窮多個可能結(jié)果,樣本空間:

6實驗4：連續(xù)投擲一枚硬幣，直到出現(xiàn)正面為止。7實驗5：若檢查燈泡的使用壽命(小時),那么[0,+∞)中的每一個實數(shù)都有可能是某一個燈泡的壽命，因而如果事件A=[1500,+∞),則事件A表示：“使用壽命超過1500小時”。7實驗5：若檢查燈泡的使用壽命(小時),那么[0,+∞)中的1.1概率空間定義1.1-代數(shù)(事件域)集合的某些子集組成集合族F（1）F（必然事件）（2）若AF,則\AF

（對立事件）（3）若AiF,i=1,2…，則F

（可列并事件）

稱F為-代數(shù)，（，F(xiàn)）為可測空間1.1概率空間定義1.1-代數(shù)(事件域)例投擲一次骰子試驗，ei表示出現(xiàn)i點，={e1,e2,e3,e4,e5,e6}F

={，{e1,e2,e3}，{e4,e5,e6}，}F為-代數(shù)，（，F(xiàn)）為可測空間例投擲一次骰子試驗，ei表示出現(xiàn)i點，={e1,e21.1概率空間

例：連續(xù)投擲兩次硬幣試驗={正正，正反，反正，反反}1.1概率空間例：連續(xù)投擲兩次硬幣試驗1.1概率空間F1={，{正正}，{正反，反正，反反}，

}

F2={，{正正}，{正反}，{正正，正反}，{反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}F3={，{反正}，{反反}，{反正，反反}，{正正，正反}，{正正，正反，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反正，反反}}F4={，{正反}，{正正，反正，反反}，

}Fi為-代數(shù)，（，F(xiàn)i）為可測空間1.1概率空間F1={，{正正}，{正反，反正，反F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，正反}，{正正，反正}，{正正，反反}，{正反，反正}，{正反，反反}，{反正，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反反}，{正正，反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}

為可測空間，（，F(xiàn)）為-代數(shù)F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，1.1概率空間可測空間的性質(zhì)設(shè)（，F(xiàn)）為可測空間,則（4）F（不可能事件）（5）若A,BF,則A\BF

（差事件）（6）若AiF,則F（有限并，有限交，可列交事件）1.1概率空間可測空間的性質(zhì)定義1.2概率空間：設(shè)(,F)為可測空間,映射P：F

R，A|P(A)滿足(1)任意AF，0

P(A)1(2)P()=1(3)稱P是(,F)上的概率,(,F,P)為概率空間，P(A)為事件A的概率。定義1.2概率空間：設(shè)(,F)為可測空間,映射P：FR概率空間的性質(zhì)設(shè)(,F,P)為概率空間，則(4)P()=0(5)P(B\A)=P(B)-P(A),(AB)(6)概率空間的性質(zhì)16例1給擲一枚硬幣的試驗建立概率模型。解：擲一枚硬幣，有兩個可能的結(jié)果：正面和反面。若用表示正面，表示反面，則樣本空間為：事件為：根據(jù)定義和性質(zhì)，得到概率實例：16例1給擲一枚硬幣的試驗建立概率模型。概率實例：17如果硬幣是均勻的，正面和反面出現(xiàn)的機會相同，于是由可加性和歸一性知由此可得：于是概率為顯然，這樣建立的概率滿足三條公理。17如果硬幣是均勻的，正面和反面出現(xiàn)的機會相同，于是18例2為依次拋擲三枚硬幣的試驗建立概率模型。解用“1”表示正面向上，“0”表示反面向上，樣本空間為：

W={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}如果上述8種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，根據(jù)可加性和歸一性，每個結(jié)果的概率為1/8.現(xiàn)利用三條公理建立概率：例如事件A表示“只有一次正面向上”，則A={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}，18例2為依次拋擲三枚硬幣的試驗建立概率模型。19于是

P(A)=P({(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)})=P({(1,0,0)})+P({(0,1,0)})+P({(0,0,1)}相似的，任何事件的概率等于1/8乘上該事件中包含的結(jié)果的個數(shù)。19于是20例3有一枚骰子，偶數(shù)點出現(xiàn)的概率比奇數(shù)點出現(xiàn)的概率大一倍，而不同偶數(shù)點出現(xiàn)的概率相同，不同奇數(shù)點出現(xiàn)的的概率也相同。將這枚骰子投擲一次，為這個試驗建立概率模型，并求點數(shù)小于4的概率。解設(shè)Ai表示“出現(xiàn)i點”,i=1,2，...，6，則樣本空間為

根據(jù)可加性和歸一性，有又根據(jù)題意，20例3有一枚骰子，偶數(shù)點出現(xiàn)的概率比奇數(shù)點出現(xiàn)的概率大一21得出點數(shù)小于4的概率為：2122例4若A發(fā)生的概率為0.6,A與B都發(fā)生的概率為0.1,A與B都不發(fā)生的概率為0.15，求(1)A發(fā)生但B不發(fā)生的概率;(2)B發(fā)生但A不發(fā)生的概率;(3)A與B至少有一個發(fā)生的概率。解：樣本空間可以用下面四個結(jié)果表示22例4若A發(fā)生的概率為0.6,A與B都發(fā)生的概率為0.123由A發(fā)生的概率為0.6，得：A與B都發(fā)生的概率為0.1，得：A與B都不發(fā)生的概率為0.15，得：結(jié)合歸一化公式：得到：23由A發(fā)生的概率為0.6，得：24于是：（1）A發(fā)生B不發(fā)生的概率為：（2）B發(fā)生A不發(fā)生的概率為：（3）A與B至少有一個發(fā)生的概率為：24于是：條件概率、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式條件概率：條件概率滿足概率三條公理，所以概率的一切性質(zhì)條件概率都適用。乘法公式:

全概率公式：其中是完備事件族貝葉斯公式：條件概率、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式條件概率：26例1

十個人中有4個女生，從中任挑兩名，若已知兩人中有一人是女生，求另一人也是女生的概率。解：所求概率為：故：26例1十個人中有4個女生，從中任挑兩名，若已知兩人中有一27例2

有兩個設(shè)計團隊，一個比較穩(wěn)重，記做C,另一個具有創(chuàng)新性,記做N。要求他們在一個月內(nèi)做一個新設(shè)計，從過去經(jīng)驗知:a)C成功的概率為2/3;b)N成功的概率為1/2;c)兩個團隊中至少有一個成功的概率為3/4.已知兩個團隊中只有一個團隊完成了任務(wù)。問這個任務(wù)是N完成的概率有多大？解：共有四種可能的結(jié)果:SS：雙方成功FF：雙方失敗SF：C成功，N失敗FS：N成功，C失敗27例2有兩個設(shè)計團隊，一個比較穩(wěn)重，記做C,另一個具有創(chuàng)28將a),b),c)寫成概率等式:P(SS)+P(SF)=2/3,

P(SS)+P(FS)=1/2,P(SS)+P(SF)+P(FS)=3/4結(jié)合歸一化公理：P(SS)+P(SF)+P(FS)+P(FF)=1得：P(SS)=5/12;P(SF)=1/4;P(FS)=1/12;故所求條件概率為28將a),b),c)寫成概率等式:29例3

假設(shè)在空戰(zhàn)中，若甲機先向乙機開火，則擊落乙機的概率為0.2，若乙機未被擊落，就進行還擊，擊落甲機的概率為0.3；若甲機亦未被擊落，再次進攻乙機，擊落乙機的概率為0.4，在這幾個回合中，分別計算甲、乙被擊落的概率。解：樣本空間用樹狀圖表示：擊落乙0.2未擊落乙0.8擊落甲0.3未擊落甲0.7未擊落乙0.6擊落乙0.429例3假設(shè)在空戰(zhàn)中，若甲機先向乙機開火，則擊落乙機的概率30設(shè)則設(shè)A={甲擊落乙}，B={乙擊落甲}，顯然擊落乙0.2未擊落乙0.8擊落甲0.3未擊落甲0.7未擊落乙0.6擊落乙0.430設(shè)擊落乙未擊落乙擊落甲未擊落甲未擊落乙擊落乙練習：袋中有2個紅球，3個白球，從中不放回的接連取出兩個球。求第二次取出紅球的概率。解：設(shè)A1表示第一次取出紅球，A2表示第一次取出白球，B表示第二次取出紅球。那么P（B）=P（BA1）+P（BA2）=P（B|A1）P(A1)+P（B|A2）P(A2)

=1/4*2/5+2/4*3/5

=2/52/51/42/43/5練習：袋中有2個紅球，3個白球，從中不放回的接連取出兩個球。32例一個袋內(nèi)裝有10個球，其中有4個白球，6個黑球，采取不放回抽樣，每次任取一個，若已知第二次取到白球，求第一次取到白球的概率。解：設(shè)A=“第一次取到白球”，B=“第二次取到白球”，求P(A|B)則A與構(gòu)成完備事件組32例一個袋內(nèi)裝有10個球，其中有4個白球，6個黑球，采取不獨立事件設(shè)(,F,P)為概率空間，F(xiàn)1F，若對任意A1,A2,,AnF1，n=2,3,，有則稱F1為獨立事件族,或稱F1中的事件相互獨立。事件A,B獨立，有P(AB)=P(A)P(B)獨立事件設(shè)(,F,P)為概率空間，F(xiàn)1F，若對任意A事件A,B,C相互獨立，有P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)事件A,B,C相互獨立，有35例：某班50名學生，女生20名。第一組10名，其中4名女生。從中任選一名，A=“學生是第一組”，B=“女學生”，問事件A、B是否獨立？分析：顯然故A，B獨立。注：若第一組的女生數(shù)量發(fā)生改變，比如有5名女生，則A，B不獨立。35例：某班50名學生，女生20名。第一組10名，其中4名女361.2隨機變量及其分布定義1.4設(shè)(,F,P)為概率空間，映射X：

R，eX(e)滿足

任意xR，{e:X(e)x}F，則稱X(e)是F上的隨機變量，簡記X。對xR，稱F(x)=P{e:X(e)x}為隨機變量X的分布函數(shù)。361.2隨機變量及其分布定義1.4設(shè)(,F,P)37例投擲兩枚硬幣試驗，={正正，正反，反正，反反}F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，正反}，{正正，反正}，{正正，反反}，{正反，反正}，{正反，反反}，{反正，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反反}，{正正，反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}

為可測空間，(，F(xiàn)

)為-代數(shù)P{}=0，P{正正}=P{正反}=P{反正}=P{反反}=1/4…，P{}=1，(,F,P)為概率空間37例投擲兩枚硬幣試驗，={正正，正反，反正，反反}38映射X：

R，X(正正)=2，X(正反)=X(反正)=1，X(反反)=0(1)x<0，{e:X(e)x}=F(2)0

x<1，{e:X(e)x}={反反}F(3)1

x<2，{e:X(e)x}={正反,反正,反反}F(4)x≥2，{e:X(e)x}={正正，正反,反正,反反}FX為隨機變量38映射X：R，X(正正)=2，X(正反)=X(反分布函數(shù)為即分布函數(shù)為分布函數(shù)的性質(zhì)：(1)單調(diào)性：若x1<x2，則F(x1)F(x2)(2)，(3)F(x)右連續(xù)，F(xiàn)(x+0)=F(x)

這三個性質(zhì)完全刻劃了分布函數(shù)分布函數(shù)的性質(zhì)：414)當X為離散型隨機變量時，F(xiàn)(x)是階梯函數(shù)當X為連續(xù)型隨機變量是，F(xiàn)(x)為連續(xù)函數(shù)5)當X是離散型隨機變量且取整數(shù)時，分布函數(shù)和分布列可以利用求和或差分互求6)當X為連續(xù)型隨機變量時，分布函數(shù)和概率密度函數(shù)可以通過積分或微分互求。密度函數(shù)表示“概率的變化率”：414)當X為離散型隨機變量時，F(xiàn)(x)是階梯函數(shù)隨機變量：離散型，連續(xù)型離散型隨機變量X的概率分布用分布律(列)描述：P(X=xk)=pk，k=1,2,分布函數(shù)常見離散型隨機變量X及其分布律(1)0-1分布P(X=1)=p，P(X=0)=q，0<p<1，p+q=1隨機變量：離散型，連續(xù)型(2)二項分布

P(X=k)=，0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,,n(3)泊松分布P(X=k)=

，>0，k=0,1,2,(4)幾何分布P(X=k)=，0<p<1,p+q=1,k=1,2,(2)二項分布連續(xù)型隨機變量X的概率分布用概率密度函數(shù)f(x)描述分布函數(shù)

常見連續(xù)型隨機變量X及其概率密度(1)均勻分布連續(xù)型隨機變量X的概率分布用概率密度函數(shù)f(x)描述(2)正態(tài)分布(3)指數(shù)分布(2)正態(tài)分布46例1設(shè)X是[a,b]上的幾何概型，則X的分布函數(shù)為：如果x<a,顯然F(x)=P(X≤x)=0;如果a≤x≤b,F(x)=P(X≤x)=(x-a)/(b-a);如果x>b,F(x)=P(X≤x)=1.于是，分布函數(shù)為：密度函數(shù)為：46例1設(shè)X是[a,b]上的幾何概型，則X的分布函數(shù)為：47例假設(shè)X和Y都服從區(qū)間[0,1]上的均勻分布，并且彼此相互獨立，問隨機變量Z=Y/X的概率密度函數(shù)是什么？解根據(jù)下圖，時，當時，當47例假設(shè)X和Y都服從區(qū)間[0,1]上的均勻分布，并且彼此48例設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，Y的概率密度為記Z=X+Y,（1）求（2）求Z的概率密度。X的分布列為解（1）48例設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，Y的概率密度為記Z=X+Y49（2）先求Z的分布函數(shù)：故Y的密度函數(shù)為49（2）先求Z的分布函數(shù)：故Y的密度函數(shù)為50n維隨機變量及其概率分布(1)n維隨機變量及其分布的定義(2)n維離散型隨機變量和連續(xù)性隨機變量

----聯(lián)合分布列和聯(lián)合分布密度(3)邊緣分布----邊緣分布函數(shù)，邊緣分布列，邊緣分布密度(4)獨立性50n維隨機變量及其概率分布(1)n維隨機變量及其分布的定n維隨機變量及其概率分布定義1.5設(shè)(,F,P)為概率空間，X=X(e)=(X1(e),X2(e),,Xn(e))是定義在上的n維空間Rn中取值的向量函數(shù),如果對任意的x=(x1,x2,,xn)Rn，{e:X1(e)x1,X2(e)x2,,Xn(e)xn}F，則稱X(e)是F上的n維隨機變量，簡記為X=(X1,X2,,Xn)。n維隨機變量及其概率分布例投擲兩枚硬幣試驗，={正正，正反，反正，反反}F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，正反}，{正正，反正}，{正正，反反}，{正反，反正}，{正反，反反}，{反正，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反反}，{正正，反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}

為可測空間，(，F(xiàn)

)為-代數(shù)P{}=0，P{正正}=P{正反}=P{反正}=P{反反}=1/4…，P{}=1，(,F,P)為概率空間例投擲兩枚硬幣試驗，={正正，正反，反正，反反}映射X1：

R，X1(正正)=1,X1(正反)=1,X1(反正)=0,X1(反反)=0;映射X2：

R，X2(正正)=0,X2(正反)=0,X2(反正)=1,X2(反反)=1;X1,X2為隨機變量,(X1,X2)為隨機向量。對x=(x1,x2,,xn)

Rn，稱F(x)=F(x1,x2,,xn)=P{e:X1(e)x1,X2(e)x2,,Xn(e)xn}為n維隨機變量X=(X1,X2,,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)映射X1：R，54n維聯(lián)合分布函數(shù)F(x1,x2,,xn)的性質(zhì)對于每個變元xi

(i=1,2,,n)，F(xiàn)(x1,x2,,xn)是非降函數(shù)(2)對于每個變元xi

(i=1,2,,n)，F(xiàn)(x1,x2,,xn)是右連續(xù)的(3)對于Rn的區(qū)域(a1,b1;a2,b2;;an,bn)，其中aibi(i=1,2,,n),F(b1,b2,

,bn)-+++(-1)n

F(a1,a2,

,an)054n維聯(lián)合分布函數(shù)F(x1,x2,,xn)的性質(zhì)對于n=2F(b1,b2)-F(a1,b2)-F(b1,a2)+F(a1,a2)0

yb2a2

xa1b1對于n=2對于n=3F(b1,b2,b3)-F(a1,b2,b3)-F(b1,a2,b3)-F(b1,b2,a3)+F(a1,a2,b3)+F(a1,b2,a3)+F(b1,a2,a3)-F(a1,a2,a3)0(4)對于n=3(1)n維隨機變量及其分布的定義(2)n維離散型隨機變量和連續(xù)性隨機變量

----聯(lián)合分布列和聯(lián)合分布密度(3)邊緣分布----邊緣分布函數(shù)，邊緣分布列，邊緣分布密度(4)獨立性n維隨機變量及其概率分布(1)n維隨機變量及其分布的定義n維隨機變量及其概率分布n維離散型隨機變量X=(X1,X2,,Xn)Xi都是離散型隨機變量(i=1,2,,n)X=(X1,X2,,Xn)的聯(lián)合分布律為P(X1=x1,X2=x2,,Xn=xn)=其中xiIi是離散集，i=1,2,,nX=(X1,X2,,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為(y1,y2,,yn)

Rnn維離散型隨機變量X=(X1,X2,,Xn)二維隨機變量(X,Y)的分布律也可表示為:二維離散型隨機變量的分布律二維隨機變量(X,Y)的分布律也可表示為:二維離散型離散型隨機變量(X,Y)

的分布函數(shù)為離散型隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為n維連續(xù)型隨機變量X=(X1,X2,,Xn)聯(lián)合概率密度f(x1,x2,,xn)X=(X1,X2,,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為(y1,y2,,yn)

Rnn維連續(xù)型隨機變量X=(X1,X2,,Xn)二維連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)二維連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)n維隨機變量及其概率分布(1)n維隨機變量及其分布的定義(2)n維離散型隨機變量和連續(xù)性隨機變量

----聯(lián)合分布列和聯(lián)合分布密度(3)邊緣分布----邊緣分布函數(shù)，邊緣分布列，邊緣分布密度(4)獨立性n維隨機變量及其概率分布(1)n維隨機變量及其分布的定義二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)為隨機變量

(X,Y)關(guān)于Y

的邊緣分布函數(shù).為隨機變量(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).離散型隨機變量的邊緣分布律離散型隨機變量的邊緣分布律隨機過程-1預(yù)備知識課件因此得離散型隨機變量關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為因此得離散型隨機變量關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為例1

已知下列分布律求其邊緣分布律.例1已知下列分布律求其邊緣分布律.注意聯(lián)合分布邊緣分布解注意聯(lián)合分布邊緣分布解連續(xù)型隨機變量的邊緣分布連續(xù)型隨機變量的邊緣分布同理可得Y的邊緣分布函數(shù)Y的邊緣概率密度.同理可得Y的邊緣分布函數(shù)Y的邊緣概率密度.(1)n維隨機變量及其分布的定義(2)n維離散型隨機變量和連續(xù)性隨機變量

----聯(lián)合分布列和聯(lián)合分布密度(3)邊緣分布----邊緣分布函數(shù)，邊緣分布列，邊緣分布密度(4)獨立性n維隨機變量及其概率分布(1)n維隨機變量及其分布的定義n維隨機變量及其概率分布隨機變量的獨立性定義1.6設(shè){Xt,tT}是一族隨機變量，若對任意n2和t1,t2,,tnT，x1,x2,,xnR，有則稱{Xt,tT}是獨立的。隨機變量的獨立性定義1.6設(shè){Xt,tT}是一族隨若{Xt,tT}是一族離散型隨機變量，則獨立性等價于其中xi是Xti的任意可能值(I=1,2,,n)例如，二維隨機變量獨立性等價于pij=pi.p.j其中pij=p(X=xi,Y=yj),pi.=p(X=xi),p.j=p(Y=yj),若{Xt,tT}是一族離散型隨機變量，則若{Xt,tT}是一族連續(xù)型隨機變量，則獨立性等價于其中是n維隨機變量的聯(lián)合概率密度,

是隨機變量的概率密度(i=1,2,,n)若{Xt,tT}是一族連續(xù)型隨機變量，則2.說明

(1)若離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為2.說明(1)若離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合隨機過程-1預(yù)備知識課件79例1：X和Y是否相互獨立？(X,Y)具有概率密度連續(xù)型隨機變量X,Y相互獨立，其密度函數(shù)有如下特征：

X和Y的邊緣概率密度分別為：79例1：X和Y是否相互獨立？(X,Y)具有概率密度連續(xù)型1.3隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學期望定義1.7設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，若則稱為X的數(shù)學期望(均值)1.3隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學期望對離散型隨機變量X，分布律P(X=xk)=pk，k=1,2,數(shù)學期望對連續(xù)型隨機變量X，概率密度f(x)的數(shù)學期望對離散型隨機變量X，分布律方差定義1.8設(shè)X是隨機變量，若EX2<，則稱DX=E[(X-EX)2]為X的方差協(xié)方差定義1.9設(shè)X,Y是隨機變量，若EX2<,EY2<，則稱BXY=E[(X-EX)(Y-EY)]為X,Y的協(xié)方差BXY=EXY-EXEY方差BXY=EXY-EXEY1.3隨機變量的數(shù)字特征相關(guān)系數(shù)稱為X,Y的相關(guān)系數(shù)

☆若XY=0，則稱X,Y不相關(guān)?！钕嚓P(guān)系數(shù)表示X,Y之間的線性相關(guān)程度的大小1.3隨機變量的數(shù)字特征相關(guān)系數(shù)隨機變量的數(shù)學期望和方差的性質(zhì)(1)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)(2)若X,Y獨立，則E(XY)=E(X)E(Y)(3)若X,Y獨立，則D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)(4)(Schwarz不等式)若EX2<,EY2<，則

(E

XY)2

E(X2)E(Y2)隨機變量的數(shù)學期望和方差的性質(zhì)隨機變量的函數(shù)的期望若n維隨機變量X=(X1,X2,,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1,x2,,xn)，g(X)=g(X1,X2,,Xn),g(x1,x2,,xn)是n維連續(xù)函數(shù)，則例如一維離散型一維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的期望若n維隨機變量X=(X1,X2,,1.4特征函數(shù)、母函數(shù)

常見隨機變量的數(shù)學期望、方差、特征函數(shù)和母函數(shù)分布期望方差特征函數(shù)母函數(shù)0-1分布ppqq+ps二項分布npnpq(q+ps)n泊松分布幾何分布1.4特征函數(shù)、母函數(shù)常見隨機變量的數(shù)學期望、方差、特1.4特征函數(shù)、母函數(shù)常見隨機變量的數(shù)學期望、方差、特征函數(shù)和矩母函數(shù)分布期望方差特征函數(shù)矩母函數(shù)均勻分布指數(shù)分布1.4特征函數(shù)、母函數(shù)常見隨機變量的數(shù)學期望、方差、特征1.4特征函數(shù)、母函數(shù)特征函數(shù)定義1.10設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，稱為X的特征函數(shù)。分布律為P(X=xk)=pk，k=1,2,的離散型隨機變量X，特征函數(shù)為1.4特征函數(shù)、母函數(shù)特征函數(shù)概率密度為f(x)的連續(xù)型隨機變量X，特征函數(shù)為例設(shè)X服從二項分布B(n,p)，求X的特征函數(shù)g(t)

。解X的分布律為P(X=k)=，q=1-p，k=0,1,2,,n概率密度為f(x)的連續(xù)型隨機變量X，特征函數(shù)為

例設(shè)X~N(0,1)，求X的特征函數(shù)。解例設(shè)X~N(0,1)，求X的特征函數(shù)。

常見隨機變量的數(shù)學期望、方差、特征函數(shù)和母函數(shù)分布期望方差特征函數(shù)母函數(shù)0-1分布ppqq+ps二項分布npnpq(q+ps)n泊松分布幾何分布常見隨機變量的數(shù)學期望、方差、特征函數(shù)和母函數(shù)分布期望方差常見隨機變量的數(shù)學期望、方差、特征函數(shù)和矩母函數(shù)分布期望方差特征函數(shù)矩母函數(shù)均勻分布指數(shù)分布常見隨機變量的數(shù)學期望、方差、特征函數(shù)和矩母函數(shù)分布期望方差隨機變量的特征函數(shù)的性質(zhì)(1)(2)g(t)在(-，

)上一致連續(xù)(3)若隨機變量X的n階矩EXn存在，則

g(k)(0)=ikEXk，kn

當k=1時，EX

=

g(1)(0)/i；當k=2時，DX

=-g(2)(0)-(g(1)(0)/i)2。隨機變量的特征函數(shù)的性質(zhì)隨機過程-1預(yù)備知識課件

例設(shè)X服從二項分布B(n,p)，求X的特征函數(shù)g(t)及EX、EX2、DX。解X的分布律為P(X=k)=，q=1-p，k=0,1,2,,n例設(shè)X服從二項分布B(n,p)，求X的特征函數(shù)(4)g(t)是非負定函數(shù)(5)若X1,X2,,Xn是相互獨立的隨機變量，則X=X1+X2++Xn的特征函數(shù)g(t)=g1(t)g2(t)

gn(t)(6)隨機變量的分布函數(shù)由特征函數(shù)唯一確定(4)g(t)是非負定函數(shù)1.4特征函數(shù)、母函數(shù)

例

設(shè)隨機變量X的特征函數(shù)為gX(t)，Y=aX+b，其中a,b為任意實數(shù)，證明Y的特征函數(shù)gY(t)為證1.4特征函數(shù)、母函數(shù)例設(shè)隨機變量X的特征函n維隨機變量的特征函數(shù)定義1.11設(shè)X=(X1,X2,,Xn)是n維隨機變量，t=(t1,t2,,tn)Rn，則稱為X的特征函數(shù)。n維隨機變量的特征函數(shù)1.4特征函數(shù)、母函數(shù)矩母函數(shù)定義1.12設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，稱為X的矩母函數(shù)

☆

m(k)(0)=Exk

，m(it)=g(t)母函數(shù)設(shè)X是非負整數(shù)值隨機變量，分布律P{X=k}=pk，k=0,1,則稱為X的母函數(shù)1.4特征函數(shù)、母函數(shù)矩母函數(shù)母函數(shù)的性質(zhì)(1)非負整數(shù)值隨機變量的分布律pk由其母函數(shù)P(s)唯一確定母函數(shù)的性質(zhì)(1)證(1)證(2)設(shè)P(s)是X的母函數(shù)，若EX存在，則EX=P(1)若DX存在，則DX=P(1)+P(1)-[P(1)]2(2)設(shè)P(s)是X的母函數(shù)，(2)證(2)證(3)獨立隨機變量之和的母函數(shù)等于母函數(shù)之積(4)若X1,X2,是相互獨立同分布的非負整數(shù)值隨機變量，N是與X1,X2,獨立的非負整數(shù)值隨機變量，則的母函數(shù)H(s)=G(P(s)),EY=ENEX1其中G(s),P(s)分別是N,X1的母函數(shù)(3)獨立隨機變量之和的母函數(shù)等于母函數(shù)之積例：某商店一天到達的顧客總數(shù)N服從均值λ的泊松分布，用X1,X2,…,XN表示各顧客購買商品的情況，Xi=1表示第i個顧客購買了商品，Xi=0表示第i個顧客沒有購買商品，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p=q,

i=1,2,…,N。X1,X2,…,XN相互獨立且和N獨立。用Y表示購買商品的顧客數(shù)，求Y的分布，及EY。例：某商店一天到達的顧客總數(shù)N服從均值λ的泊松分布，用X1,隨機過程-1預(yù)備知識課件隨機過程-1預(yù)備知識課件1.4特征函數(shù)、母函數(shù)

1.4特征函數(shù)、母函數(shù)1.4特征函數(shù)、母函數(shù)

1.4特征函數(shù)、母函數(shù)1.4特征函數(shù)、母函數(shù)設(shè)相互獨立離散型非負整數(shù)隨機變量X,Y的分布律分別為P{X=k}=pk，P{Y=k}=qk，k=0,1,，則Z=X+Y的分布律為P{Z=k}=ck,其中ck=p0

qk+p1qk-1

++pkq0

設(shè)X,Y,Z的母函數(shù)分別為PX(s),PY(s),PZ(s)，即有卷積的母函數(shù)：1.4特征函數(shù)、母函數(shù)設(shè)相互獨立離散型非負整數(shù)隨機變量X1.4特征函數(shù)、母函數(shù)1.4特征函數(shù)、母函數(shù)1.5n維正態(tài)分布若n維隨機變量X=(X1,X2,,Xn)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為式中，是常向量是對稱矩陣則稱X為n維正態(tài)隨機變量，X~N(,)特征函數(shù)g(t)=t=(t1,t2,…,tn)1.5n維正態(tài)分布若n維隨機變量X=(X1,X2,,X1.5n維正態(tài)分布二維正態(tài)分布X=(X1,X2)~N(,)

X1~N(1

,

1),X2~N(2

,

2),X1與X2相關(guān)系數(shù)為1.5n維正態(tài)分布二維正態(tài)分布X=(X1,X2)~N(1.5n維正態(tài)分布二維正態(tài)分布聯(lián)合概率密度1.5n維正態(tài)分布二維正態(tài)分布聯(lián)合概率密度1.5n維正態(tài)分布特別地，當ρ=0時，1.5n維正態(tài)分布特別地，當ρ=0時，多維正態(tài)分布的性質(zhì)設(shè)X~N(μ,Σ),Y=XA+b，若A’ΣA正定，則，Y~N(μA+b,A’ΣA),即正態(tài)分布隨機變量的線性變換仍是正態(tài)隨機變量。特別的，對于一維正態(tài)隨機變量X~N(μ,σ2),

Y=aX+b,則Y~N(aμ+b,a2σ2)多維正態(tài)分布的性質(zhì)設(shè)X~N(μ,Σ),Y=XA+b，若A’1.4特征函數(shù)、母函數(shù)例

X~N(μ,σ2),Y=aX+b,則Y~N(aμ+b,a2σ2)

證：1.4特征函數(shù)、母函數(shù)例X~N(μ,σ2),Y=a1.6條件期望設(shè)X,Y是離散型隨機變量，對一切使P{Y=y}>0的y，定義Y=y時X的條件概率Y=y時X的條件分布Y=y時X的條件期望1.6條件期望設(shè)X,Y是離散型隨機變量，對一切使P{Y例：袋中有2個紅球，3個白球，從中不放回的接連取出兩個球。設(shè)X表示第一次取到的紅球數(shù)，Y表示第二次取到的紅球數(shù)。求E(Y|X=1)和E(Y|X=0)例：袋中有2個紅球，3個白球，從中不放回的接連取出兩個球。設(shè)1.6條件期望條件期望的性質(zhì)：若隨機變量X,Y的期望存在，則如果Y是離散型隨機變量，則如果Y是連續(xù)型隨機變量，則1.6條件期望條件期望的性質(zhì)：1.6條件期望證明：設(shè)X,Y都是離散型隨機變量1.6條件期望證明：設(shè)X,Y都是離散型隨機變量1.6條件期望若X,Y是連續(xù)型隨機變量，其聯(lián)合概率密度為f(x，y)，則對一切使fY(y)0的y，給定Y=y時，X的條件概率密度為給定Y=y時，X的條件分布為給定Y=y時，X的條件期望為1.6條件期望若X,Y是連續(xù)型隨機變量，其聯(lián)合概率密度為1.6條件期望應(yīng)用條件期望求事件的概率事件A的示性函數(shù)IA：

R，是二值隨機變量P{IA=1}=P(A)，P{IA=0}=

1-P(A)EIA=1P(A)+0[1-P(A)]=P(A)1.6條件期望應(yīng)用條件期望求事件的概率1.6條件期望例設(shè)X,Y為隨機變量，證明公式

證1.6條件期望例設(shè)X,Y為隨機變量，證明公式1.6條件期望

證1.6條件期望證1.6條件期望E(X|Y=y)是y的函數(shù)，y是Y的一個可能值,在已知Y的條件下，考慮X的均值，需要以Y代替y，E(X|Y)是隨機變量Y的函數(shù)，也是隨機變量，稱為X在Y下的條件期望1.6條件期望E(X|Y=y)是y的函數(shù)，y是Y的一個可1.6條件期望P(A)=EIA=E[E(IA|Y)]

=若Y為離散型隨機變量，則若Y為連續(xù)型隨機變量，則E(IA|Y=y)=1P(A|Y=y)+0[1-P(A|Y=y)]=P(A|Y=y)

1.6條件期望P(A)=EIA=E[E(IA|Y)1.6條件期望

例設(shè)X與Y是相互獨立的隨機變量，其分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y)，記(X+Y)的分布函數(shù)為FX*FY，則1.6條件期望例設(shè)X與Y是相互獨立的隨機變量1.6條件期望

☆X與Y是相互獨立的隨機變量，分別服從狀態(tài)分布N(μ1，σ12)，N(μ2，σ22)則X+Y～N(μ1+μ2

，σ12+σ22)其中1.6條件期望☆X與Y是相互獨立的隨機變量，分別服其一維隨機變量隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)分布律密度函數(shù)均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布兩點分布二項分布泊松分布隨機變量的數(shù)字特征定義數(shù)學期望差方一維隨機變量隨機變量離散型連續(xù)型隨機變量分布一維隨機變量隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)分布律密度函數(shù)均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布兩點分布二項分布泊松分布隨機變量的函數(shù)的分布定義一維隨機變量隨機變量離散型連續(xù)型隨機變量分布定義聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布律聯(lián)合概率密度邊緣分布條件分布兩個隨機變量的函數(shù)的分布隨機變量的相互獨立性定義性質(zhì)二維隨機變量推廣二維隨機變量定義聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布律聯(lián)合概隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學期望方差離散型連續(xù)型性質(zhì)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望定義計算性質(zhì)二維隨機變量的數(shù)學期望定義協(xié)方差的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)定理隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學期望方差離散型連續(xù)型性質(zhì)協(xié)隨機過程隨機過程第一章概率論基礎(chǔ)1.1概率空間1.2隨機變量及其分布1.3隨機變量的數(shù)字特征1.4特征函數(shù)、母函數(shù)1.5n維正態(tài)分布1.6條件期望第一章概率論基礎(chǔ)1.1概率空間1361.1概率空間隨機試驗事件A事件B事件AB概率樣本空間（可能結(jié)果的集合）隨機試驗：可重復(fù)、可預(yù)見、不確定樣本點：基本事件e;樣本空間：隨機試驗所有可能結(jié)果的集合;事件：A;必然事件：;不可能事件：;事件運算：并、交、差、(上、下)極限31.1概率空間隨機試驗事件A事件B事件AB概率樣本空間137實例1：拋擲一枚硬幣，觀察正面向上還是反面向上。Ω={正面，反面}實例2：連續(xù)拋擲兩次硬幣的實驗。Ω={(正面,正面)，(正面,反面)，(反面,正面)，(反面,反面)}注意:兩次拋擲硬幣的實驗只能作為一次試驗。若事件A表示“第一次出現(xiàn)正面”，則A={(正面,正面),(正面,反面)}事件B表示“兩次出現(xiàn)同一面”，B={(正面,正面),(反面,反面)}4實例1：拋擲一枚硬幣，觀察正面向上還是反面向上。138實例3：拋擲一枚硬幣，若出現(xiàn)反面，可以再拋擲一次。實驗過程可以用樹狀圖表示：于是樣本空間為：Ω={正面，(反面,反面)，(反面,正面)}正面反面正面反面5實例3：拋擲一枚硬幣，若出現(xiàn)反面，可以再拋擲一次。正面反面139實驗4：連續(xù)投擲一枚硬幣，直到出現(xiàn)正面為止。若用“0”表示出現(xiàn)反面，“1”表示出現(xiàn)正面來記錄每次投擲的結(jié)果，則這個試驗的可能結(jié)果有：

(第一次出現(xiàn)正面)

(第一次出現(xiàn)反面,第二次正面)

……………

(前n-1次出現(xiàn)反面,第n次正面)……………這個試驗有無窮多個可能結(jié)果,樣本空間:

6實驗4：連續(xù)投擲一枚硬幣，直到出現(xiàn)正面為止。140實驗5：若檢查燈泡的使用壽命(小時),那么[0,+∞)中的每一個實數(shù)都有可能是某一個燈泡的壽命，因而如果事件A=[1500,+∞),則事件A表示：“使用壽命超過1500小時”。7實驗5：若檢查燈泡的使用壽命(小時),那么[0,+∞)中的1.1概率空間定義1.1-代數(shù)(事件域)集合的某些子集組成集合族F（1）F（必然事件）（2）若AF,則\AF

（對立事件）（3）若AiF,i=1,2…，則F

（可列并事件）

稱F為-代數(shù)，（，F(xiàn)）為可測空間1.1概率空間定義1.1-代數(shù)(事件域)例投擲一次骰子試驗，ei表示出現(xiàn)i點，={e1,e2,e3,e4,e5,e6}F

={，{e1,e2,e3}，{e4,e5,e6}，}F為-代數(shù)，（，F(xiàn)）為可測空間例投擲一次骰子試驗，ei表示出現(xiàn)i點，={e1,e21.1概率空間

例：連續(xù)投擲兩次硬幣試驗={正正，正反，反正，反反}1.1概率空間例：連續(xù)投擲兩次硬幣試驗1.1概率空間F1={，{正正}，{正反，反正，反反}，

}

F2={，{正正}，{正反}，{正正，正反}，{反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}F3={，{反正}，{反反}，{反正，反反}，{正正，正反}，{正正，正反，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反正，反反}}F4={，{正反}，{正正，反正，反反}，

}Fi為-代數(shù)，（，F(xiàn)i）為可測空間1.1概率空間F1={，{正正}，{正反，反正，反F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，正反}，{正正，反正}，{正正，反反}，{正反，反正}，{正反，反反}，{反正，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反反}，{正正，反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}

為可測空間，（，F(xiàn)）為-代數(shù)F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，1.1概率空間可測空間的性質(zhì)設(shè)（，F(xiàn)）為可測空間,則（4）F（不可能事件）（5）若A,BF,則A\BF

（差事件）（6）若AiF,則F（有限并，有限交，可列交事件）1.1概率空間可測空間的性質(zhì)定義1.2概率空間：設(shè)(,F)為可測空間,映射P：F

R，A|P(A)滿足(1)任意AF，0

P(A)1(2)P()=1(3)稱P是(,F)上的概率,(,F,P)為概率空間，P(A)為事件A的概率。定義1.2概率空間：設(shè)(,F)為可測空間,映射P：FR概率空間的性質(zhì)設(shè)(,F,P)為概率空間，則(4)P()=0(5)P(B\A)=P(B)-P(A),(AB)(6)概率空間的性質(zhì)149例1給擲一枚硬幣的試驗建立概率模型。解：擲一枚硬幣，有兩個可能的結(jié)果：正面和反面。若用表示正面，表示反面，則樣本空間為：事件為：根據(jù)定義和性質(zhì)，得到概率實例：16例1給擲一枚硬幣的試驗建立概率模型。概率實例：150如果硬幣是均勻的，正面和反面出現(xiàn)的機會相同，于是由可加性和歸一性知由此可得：于是概率為顯然，這樣建立的概率滿足三條公理。17如果硬幣是均勻的，正面和反面出現(xiàn)的機會相同，于是151例2為依次拋擲三枚硬幣的試驗建立概率模型。解用“1”表示正面向上，“0”表示反面向上，樣本空間為：

W={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}如果上述8種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，根據(jù)可加性和歸一性，每個結(jié)果的概率為1/8.現(xiàn)利用三條公理建立概率：例如事件A表示“只有一次正面向上”，則A={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}，18例2為依次拋擲三枚硬幣的試驗建立概率模型。152于是

P(A)=P({(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)})=P({(1,0,0)})+P({(0,1,0)})+P({(0,0,1)}相似的，任何事件的概率等于1/8乘上該事件中包含的結(jié)果的個數(shù)。19于是153例3有一枚骰子，偶數(shù)點出現(xiàn)的概率比奇數(shù)點出現(xiàn)的概率大一倍，而不同偶數(shù)點出現(xiàn)的概率相同，不同奇數(shù)點出現(xiàn)的的概率也相同。將這枚骰子投擲一次，為這個試驗建立概率模型，并求點數(shù)小于4的概率。解設(shè)Ai表示“出現(xiàn)i點”,i=1,2，...，6，則樣本空間為

根據(jù)可加性和歸一性，有又根據(jù)題意，20例3有一枚骰子，偶數(shù)點出現(xiàn)的概率比奇數(shù)點出現(xiàn)的概率大一154得出點數(shù)小于4的概率為：21155例4若A發(fā)生的概率為0.6,A與B都發(fā)生的概率為0.1,A與B都不發(fā)生的概率為0.15，求(1)A發(fā)生但B不發(fā)生的概率;(2)B發(fā)生但A不發(fā)生的概率;(3)A與B至少有一個發(fā)生的概率。解：樣本空間可以用下面四個結(jié)果表示22例4若A發(fā)生的概率為0.6,A與B都發(fā)生的概率為0.1156由A發(fā)生的概率為0.6，得：A與B都發(fā)生的概率為0.1，得：A與B都不發(fā)生的概率為0.15，得：結(jié)合歸一化公式：得到：23由A發(fā)生的概率為0.6，得：157于是：（1）A發(fā)生B不發(fā)生的概率為：（2）B發(fā)生A不發(fā)生的概率為：（3）A與B至少有一個發(fā)生的概率為：24于是：條件概率、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式條件概率：條件概率滿足概率三條公理，所以概率的一切性質(zhì)條件概率都適用。乘法公式:

全概率公式：其中是完備事件族貝葉斯公式：條件概率、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式條件概率：159例1

十個人中有4個女生，從中任挑兩名，若已知兩人中有一人是女生，求另一人也是女生的概率。解：所求概率為：故：26例1十個人中有4個女生，從中任挑兩名，若已知兩人中有一160例2

有兩個設(shè)計團隊，一個比較穩(wěn)重，記做C,另一個具有創(chuàng)新性,記做N。要求他們在一個月內(nèi)做一個新設(shè)計，從過去經(jīng)驗知:a)C成功的概率為2/3;b)N成功的概率為1/2;c)兩個團隊中至少有一個成功的概率為3/4.已知兩個團隊中只有一個團隊完成了任務(wù)。問這個任務(wù)是N完成的概率有多大？解：共有四種可能的結(jié)果:SS：雙方成功FF：雙方失敗SF：C成功，N失敗FS：N成功，C失敗27例2有兩個設(shè)計團隊，一個比較穩(wěn)重，記做C,另一個具有創(chuàng)161將a),b),c)寫成概率等式:P(SS)+P(SF)=2/3,

P(SS)+P(FS)=1/2,P(SS)+P(SF)+P(FS)=3/4結(jié)合歸一化公理：P(SS)+P(SF)+P(FS)+P(FF)=1得：P(SS)=5/12;P(SF)=1/4;P(FS)=1/12;故所求條件概率為28將a),b),c)寫成概率等式:162例3

假設(shè)在空戰(zhàn)中，若甲機先向乙機開火，則擊落乙機的概率為0.2，若乙機未被擊落，就進行還擊，擊落甲機的概率為0.3；若甲機亦未被擊落，再次進攻乙機，擊落乙機的概率為0.4，在這幾個回合中，分別計算甲、乙被擊落的概率。解：樣本空間用樹狀圖表示：擊落乙0.2未擊落乙0.8擊落甲0.3未擊落甲0.7未擊落乙0.6擊落乙0.429例3假設(shè)在空戰(zhàn)中，若甲機先向乙機開火，則擊落乙機的概率163設(shè)則設(shè)A={甲擊落乙}，B={乙擊落甲}，顯然擊落乙0.2未擊落乙0.8擊落甲0.3未擊落甲0.7未擊落乙0.6擊落乙0.430設(shè)擊落乙未擊落乙擊落甲未擊落甲未擊落乙擊落乙練習：袋中有2個紅球，3個白球，從中不放回的接連取出兩個球。求第二次取出紅球的概率。解：設(shè)A1表示第一次取出紅球，A2表示第一次取出白球，B表示第二次取出紅球。那么P（B）=P（BA1）+P（BA2）=P（B|A1）P(A1)+P（B|A2）P(A2)

=1/4*2/5+2/4*3/5

=2/52/51/42/43/5練習：袋中有2個紅球，3個白球，從中不放回的接連取出兩個球。165例一個袋內(nèi)裝有10個球，其中有4個白球，6個黑球，采取不放回抽樣，每次任取一個，若已知第二次取到白球，求第一次取到白球的概率。解：設(shè)A=“第一次取到白球”，B=“第二次取到白球”，求P(A|B)則A與構(gòu)成完備事件組32例一個袋內(nèi)裝有10個球，其中有4個白球，6個黑球，采取不獨立事件設(shè)(,F,P)為概率空間，F(xiàn)1F，若對任意A1,A2,,AnF1，n=2,3,，有則稱F1為獨立事件族,或稱F1中的事件相互獨立。事件A,B獨立，有P(AB)=P(A)P(B)獨立事件設(shè)(,F,P)為概率空間，F(xiàn)1F，若對任意A事件A,B,C相互獨立，有P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)事件A,B,C相互獨立，有168例：某班50名學生，女生20名。第一組10名，其中4名女生。從中任選一名，A=“學生是第一組”，B=“女學生”，問事件A、B是否獨立？分析：顯然故A，B獨立。注：若第一組的女生數(shù)量發(fā)生改變，比如有5名女生，則A，B不獨立。35例：某班50名學生，女生20名。第一組10名，其中4名女1691.2隨機變量及其分布定義1.4設(shè)(,F,P)為概率空間，映射X：

R，eX(e)滿足

任意xR，{e:X(e)x}F，則稱X(e)是F上的隨機變量，簡記X。對xR，稱F(x)=P{e:X(e)x}為隨機變量X的分布函數(shù)。361.2隨機變量及其分布定義1.4設(shè)(,F,P)170例投擲兩枚硬幣試驗，={正正，正反，反正，反反}F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，正反}，{正正，反正}，{正正，反反}，{正反，反正}，{正反，反反}，{反正，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反反}，{正正，反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}

為可測空間，(，F(xiàn)

)為-代數(shù)P{}=0，P{正正}=P{正反}=P{反正}=P{反反}=1/4…，P{}=1，(,F,P)為概率空間37例投擲兩枚硬幣試驗，={正正，正反，反正，反反}171映射X：

R，X(正正)=2，X(正反)=X(反正)=1，X(反反)=0(1)x<0，{e:X(e)x}=F(2)0

x<1，{e:X(e)x}={反反}F(3)1

x<2，{e:X(e)x}={正反,反正,反反}F(4)x≥2，{e:X(e)x}={正正，正反,反正,反反}FX為隨機變量38映射X：R，X(正正)=2，X(正反)=X(反分布函數(shù)為即分布函數(shù)為分布函數(shù)的性質(zhì)：(1)單調(diào)性：若x1<x2，則F(x1)F(x2)(2)，(3)F(x)右連續(xù)，F(xiàn)(x+0)=F(x)

這三個性質(zhì)完全刻劃了分布函數(shù)分布函數(shù)的性質(zhì)：1744)當X為離散型隨機變量時，F(xiàn)(x)是階梯函數(shù)當X為連續(xù)型隨機變量是，F(xiàn)(x)為連續(xù)函數(shù)5)當X是離散型隨機變量且取整數(shù)時，分布函數(shù)和分布列可以利用求和或差分互求6)當X為連續(xù)型隨機變量時，分布函數(shù)和概率密度函數(shù)可以通過積分或微分互求。密度函數(shù)表示“概率的變化率”：414)當X為離散型隨機變量時，F(xiàn)(x)是階梯函數(shù)隨機變量：離散型，連續(xù)型離散型隨機變量X的概率分布用分布律(列)描述：P(X=xk)=pk，k=1,2,分布函數(shù)常見離散型隨機變量X及其分布律(1)0-1分布P(X=1)=p，P(X=0)=q，0<p<1，p+q=1隨機變量：離散型，連續(xù)型(2)二項分布

P(X=k)=，0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,,n(3)泊松分布P(X=k)=

，>0，k=0,1,2,(4)幾何分布P(X=k)=，0<p<1,p+q=1,k=1,2,(2)二項分布連續(xù)型隨機變量X的概率分布用概率密度函數(shù)f(x)描述分布函數(shù)

常見連續(xù)型隨機變量X及其概率密度(1)均