江西省南昌二中初中物理競(jìng)賽教程光學(xué)中的成像問(wèn)題

南昌二中物理競(jìng)賽教程淺談光學(xué)中的成像問(wèn)題光在同一種均勻介質(zhì)中傳播時(shí)遵循光的直線傳播規(guī)律， 若從一種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)，在其介面上要同時(shí)發(fā)生反射與折射現(xiàn)象，其光線分別遵循光的反射定律與光的折射定律，這就是幾何光學(xué)的三大傳播規(guī)律。在高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到有關(guān)物體成像問(wèn)題。光學(xué)中的成像問(wèn)題可歸結(jié)為兩類：一類是反射成像，也就是反射光直接相交成像（實(shí)像），或反射光延長(zhǎng)線相交成像（虛像）；另一類是折射成像，也就是折射光直接相交成像（實(shí)像） ，或折射光延長(zhǎng)線相交成像（虛像）0現(xiàn)將光學(xué)競(jìng)賽中涉及的成像問(wèn)題作一歸類分析.一、反射鏡與反射成像反射鏡遵循光的反射定律，如果反射面是平的我們就稱是平面鏡，如果反射面是球面的一部分，這種鏡叫球面鏡。反射面如果是凹面的叫凹面鏡，簡(jiǎn)稱凹鏡;反射面是凸面的叫凸面鏡，簡(jiǎn)稱凸鏡。它們有共同的成像規(guī)律：成像公式：-11=2（R為球面鏡的曲率半徑）uvfR像的長(zhǎng)度放大率:ABiAB像的長(zhǎng)度放大率:ABiABvu這些公式只適用于近軸光線成像。u、V的符號(hào)法則與透鏡類似，即實(shí)物u為正值，虛物u為負(fù)值；實(shí)像V為正值，虛像V為負(fù)值；凹鏡的焦距f>0,凸鏡的焦距f<0。而對(duì)于平面鏡可看作是球面鏡的一個(gè)特例，即曲率半徑Rro。這樣，我們可得到平面鏡成像的簡(jiǎn)單公式：Vu,m1二、折射鏡與折射成像棱鏡與透鏡的成像規(guī)律遵循光的折射定律，屬于折射鏡。這里只談薄透鏡成像的規(guī)律。薄透鏡是一種理想化的物理模型，它們兩表面的曲率中心之間的距離大于它兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離。對(duì)近軸光線，其成像規(guī)律與球面鏡相似。成像公式：工工工uVfTOC\o"1-5"\h\z成像公式：工工工uVf其中透鏡的焦距一（n1）（ ）f 「1 「2

（r1、r2是二球面的半徑，n是透鏡的折射率）像的長(zhǎng)度放大率：m3BAB虛物u為負(fù)值；實(shí)像v為正值，虛像v為負(fù)值;f<0。u、v虛物u為負(fù)值；實(shí)像v為正值，虛像v為負(fù)值;f<0。各個(gè)光學(xué)元件組成的光光系統(tǒng)稱為光具組。解物體通過(guò)光具組成像這類問(wèn)題的總原則是：物體通過(guò)前一光學(xué)元件所成的像就是后一光學(xué)元件的物，遇到平面鏡、球面鏡等反射鏡，就考慮光線折回后再成像這一點(diǎn)。具體地說(shuō)，可有以下幾個(gè)結(jié)論:1、后一次成像的物距（有正負(fù)）等于前后兩光具的距離（總為正）與前一次成像的像距（有正負(fù)）之差，即un1dnvn2、最終成像位置由最后一個(gè)光具所成像的位置決定。vn0表示最終成像在最后光具沿主軸的正向側(cè)，vn0表示最終成像在最后光具的反向側(cè)。3、最終成像的虛實(shí)，由最后一次成像決定， vn0為實(shí)像，vn0為虛像。4、總放大系數(shù)等于各次放大系數(shù)的乘積，即mm1m2m35、最后成像正倒的確定：先根據(jù)單次成像時(shí)，實(shí)物成實(shí)像與虛物成虛像為倒立，實(shí)物成虛像與虛物成實(shí)像為正立的原則確定正、倒立的總次數(shù)，再根據(jù)倒立了偶數(shù)次則最終成像正立、倒立了奇數(shù)次則最終成像倒立確定最終成像的正倒情況。如果各光學(xué)元件之間的距離d0,那么整個(gè)光具組的總焦距f與各個(gè)光學(xué)1 1 1 1 元件的焦距f1、f2、f3之間存在如下的關(guān)系：-——— 。我們就可應(yīng)ff1f2f3用整個(gè)光具組成像法解決成像問(wèn)題。四、應(yīng)用舉例例1:一平行光沿薄平凸透鏡的主光軸入射，經(jīng)透鏡折射會(huì)聚于透鏡后 f=48cm

處，透鏡的折射率為n=1.5。若將此透鏡的凸面鍍銀，物置于平面前12cm處，求最后所成像的位置。1 1 1分析與求解：根據(jù)透鏡的焦距公式 -(n 1)(- -),f 「1 「2處，透鏡的折射率為n=1.5。若將此透鏡的凸面鍍銀，物置于平面前12cm處，求最后所成像的位置。1 1 1分析與求解：根據(jù)透鏡的焦距公式 -(n 1)(- -),f 「1 「2一1 1而r1=oo，一(n1)一解得凸球面的半徑「2=24cm.f 「2凸面鍍銀后，相當(dāng)于有三個(gè)光學(xué)元件組合成像，即先通過(guò)透鏡折射成像，再經(jīng)球面鏡反射成像，最后再經(jīng)透鏡折射成像。先經(jīng)透鏡成像」-△，得V1 16cmf1U1V1再經(jīng)凹面鏡成像U216cm,———U2V2 f2得V2 48cm1 1 1取后又經(jīng)透鏡成像u3 48cm,一——,v324cm。f1 U3V3即最后成像在透鏡前24cm處此題還有另外一種解法。由于三個(gè)光學(xué)元件之間的間距為0,設(shè)整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的總焦距為f,則有1--f f1 f21,，得光具的總焦距為f=8cm.再由成像公式f3例2:在焦距為11,得v24cmv815cm的會(huì)聚透鏡左方30cm處放一物體，在透鏡右側(cè)放一垂直于主軸的平面鏡，試求平面鏡在什么位置，才能使物體通過(guò)此系統(tǒng)所成的像距離透鏡30cm?分析與求解:設(shè)平面鏡與透鏡的距離為d,物距330cm,焦距。15cm111f111f1 u1 V1得V130cmo由平面鏡成像時(shí)U2(d30)cm,v2(30d)cm最后又經(jīng)透鏡成像，u3dv2(2d30)cm工工工解得V3 1m.f1u3v3 2d45若成實(shí)像v330cm,此時(shí)d=30cm若成虛像V3 30cm,此時(shí)d=20cm例3:設(shè)有兩個(gè)薄凸透鏡oi和。2,其焦距分別為fi=20cm]f2=30cnrj兩者共軸，相距d=35cm]在主光軸上透鏡oi左方100cm處垂直于主軸放一長(zhǎng)為4cm的物體，求最終成像的位置、大小和虛實(shí)情況。分析與求解：物體先經(jīng)透鏡oi成像，物距u1 100cm，焦距f120cm由——---,得v125cmo放大率m1--0.25TOC\o"1-5"\h\zf〔 U1V1 U2再經(jīng)透鏡Q成像，u2(d25)cm10cm,焦距f230cm由」- - 工，得V2 15cm。放大率m2 —2 1.5f2 U2 V2 U2最終成像的總放大率mm1m2 0.375,像長(zhǎng)為1.5cm倒立的虛像，像在透鏡Q最終成像的總放大率m方15cm處。例4、一平凸透鏡焦距為f,其平面上鍍了銀，現(xiàn)在其凸面一側(cè)距它2f處，垂直于主軸放置一高為H的物，其下端在透鏡的主軸上。1、用作圖法畫出物經(jīng)鍍銀透鏡所成的像,并標(biāo)明該像是虛、是實(shí)。2、用計(jì)算法求出此像的位置和大小。分析與求解：

1.用作圖法求得物AP,的像A'P'及所用各條光線的光路如圖預(yù)解16-5所示說(shuō)明：平凸薄透鏡平面上鍍銀后構(gòu)成一個(gè)由會(huì)聚透鏡L和與它密接的平面鏡M的組合LM,如圖所示.圖中O為L(zhǎng)的光心，AOF'為主軸，F(xiàn)和F'為L(zhǎng)的兩個(gè)焦點(diǎn)，AP為物，作圖時(shí)利用了下列三條特征光線：(1)由P射向O的入射光線，它通過(guò)O后方向不變，沿原方向射向平面鏡M,然后被M反射，反射光線與主軸的夾角等于入射角，均為。反射線射入透鏡時(shí)通過(guò)光心O,故由透鏡射出時(shí)方向與上述反射線相同，即圖中的OP'.(2)由P發(fā)出已通過(guò)L左方焦點(diǎn)F的入射光線PFR,它經(jīng)過(guò)L折射后的出射線與主軸平行，垂直射向平面鏡M,然后被M反射，反射光線平行于L的主軸，并向左射入L,經(jīng)L折射后的出射線通過(guò)焦點(diǎn)F,即為圖中的RFP.(3)由P發(fā)出的平行于主軸的入射光線PQ,它經(jīng)過(guò)L折射后的出射線將射向L的焦點(diǎn)F',即沿圖中的QF'方向射向平面鏡，然后被M反射，反射線指向與F'對(duì)稱的F點(diǎn)，即沿QF方向。此反射線經(jīng)L折射后的出射線可用下法畫出：通過(guò)O作平行于QF的輔助線S'OS,S'OS通過(guò)光心，具方向保持不變，與焦面相交于T點(diǎn)，由于入射平行光線經(jīng)透鏡后相交于焦面上的同一點(diǎn)，故QF經(jīng)L折射后的出射線也通過(guò)T點(diǎn)，圖中的QT即為QF經(jīng)L折射后的出射光線。上列三條出射光線的交點(diǎn)P'即為L(zhǎng)M組合所成的P點(diǎn)的像，對(duì)應(yīng)的A′即A的像點(diǎn).由圖可判明，像A'P'是倒立實(shí)像，只要采取此三條光線中任意兩條即可得A'P',即為正確的解答。2.計(jì)算物AP經(jīng)LM組合所成像的位置、大小。解法一：按光具組整個(gè)系統(tǒng)成像計(jì)算像的位置和大小。由于三個(gè)光學(xué)元件之間的問(wèn)距為0,設(shè)整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的總焦距為f總o這三個(gè)光學(xué)元件分別是兩個(gè)透鏡和一個(gè)平面鏡。TOC\o"1-5"\h\z,一1 1 1 1根據(jù)———一一，其中flf3f,f2 8f總f1f2f3解得光具組的總焦距匕-心21 1 1 2再由成像公式-1 ,，得v 2fu V f總 3總的放大率mv1,像高為物高的1。u3 3解法二：按陸續(xù)成像計(jì)算物AP經(jīng)LM組合所成像的位置、大小。物AP經(jīng)透鏡L成的像為第一像，取U12f,由成像公式可得像距V12f,即像在平向鏡后距離2f處，像的大小H’與原物相同，H'H。第一像作為物經(jīng)反射鏡M成的像為第二像。第一像在反射鏡M后2f處，又tM來(lái)說(shuō)是虛物，成實(shí)像于M前2f處。像的大小H也與原物相同，HHH。第二像作為物，而經(jīng)透鏡L而成的像為第三像，這時(shí)因?yàn)楣饩€由L右方入射，且物（第二像）位于L左方，故為虛物，取物U32f,由透鏡公式工」」可得U3V3f像距 V3q2f0U3f3上述結(jié)果表明，第三像，即本題所求的像的位置在透鏡左方距離-f處，像的大小H3可由-—-1求得，即H-H1H,像高為物高的-oH u33 3 3 3例5、兩個(gè)薄透鏡L1和L2共軸放置，如圖所示。已知L的焦距3=f,L2的焦距f2=—f,兩透鏡間距離也是f。小物體位于物面P上，物距U1=3f。（1）小物體經(jīng)這兩個(gè)透鏡所成的像在L2的邊，到L2的距離為,是像（虛或?qū)崳?、像（正或倒?放大率為。（2）現(xiàn)在把兩透鏡位置調(diào)換，若還要給定的原物體在原像處成像，兩透鏡作為整體EJ1EJ1應(yīng)沿光軸向邊移動(dòng)距離,像（正或倒）,應(yīng)沿光軸向邊移動(dòng)距離,像（正或倒）,放大率為分析與求解：（1）由題意知： Ui3f,fi=f這個(gè)新的像是像（虛或?qū)崳i」L左TOC\o"1-5"\h\z1 1 1———4寸Vi 1.5ff u1 v1而u2d v1 f1.5f 0.5fU2 V2f放大率mmU2 V2f放大率mm1m21.5ff3f0.5f所以像成在L2的右邊，到L2的距離為f,像的放大率為1,是倒立的實(shí)像。（2）根據(jù)光路可逆原理及共腕成像的規(guī)律，物距3應(yīng)為f,最終的像距為3fo整個(gè)光具組應(yīng)向左移動(dòng)2f,成倒立等大的實(shí)像。一道光學(xué)競(jìng)賽試題的解法探析2020年第21屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽題試卷第6題，此題涉及有關(guān)單球面折射成像問(wèn)題。而原試卷評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)中的分析與解答顯得非常繁瑣，計(jì)算任務(wù)艱巨，學(xué)生在應(yīng)試時(shí)很難解答完整。筆者參加了這次預(yù)賽試題的評(píng)卷工作，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對(duì)該題沒(méi)有解答，有的同學(xué)只是亂畫了一些光路圖，沒(méi)有形成正確的解題的思維程序。本文就從不同的角度談?wù)勗擃}的一些解法。原題（2020年第21屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽題試卷第6題）一種高腳酒杯,如圖1所示.杯內(nèi)底面為一凸起的球面，球心在頂點(diǎn) 。下方玻璃中的C點(diǎn)，球面的半徑R=1.50cm,O到杯口平面的距離為8.0cm.在杯腳底中心處P點(diǎn)緊貼一張畫片，P點(diǎn)距。點(diǎn)6.3cm.這種酒杯未斟酒時(shí)，若在杯口處向杯底方向觀看，看不出畫片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口處向杯底方向觀看，將看到畫片上的景物.已知玻璃的折射率ni1.56,酒的折射率n21.34.試通過(guò)分析計(jì)算與論證解釋這一現(xiàn)象.一、利用單球面折射成像公式直接求解。光在單球面上從一種介質(zhì)折射進(jìn)入另一種介質(zhì)時(shí)，具成像公式可表示為：' 'LJ—n。式中L和L分別為物距和像距，n和n'分別是物方和像方的介質(zhì)LLr的折射率，r為球面的半徑，其中L、L和r都含有符號(hào)。如圖2所示，并且我們這樣來(lái)規(guī)定它的符號(hào)法則： -\--.①以球面頂點(diǎn)（O）為參考點(diǎn) 『?'j --；②都以實(shí)際光線進(jìn)行方向做為參考方向, 「一"lm井 ￡＞；如果該距離與實(shí)際光線方向一致，那么該距 ' ?離為“+”，反之為“負(fù)”。在圖2中，C為球面的球心，根據(jù)符號(hào)法則以球面頂點(diǎn) O為參考原點(diǎn)，因?yàn)镾點(diǎn)在球面的左方，故實(shí)際光線方向應(yīng)該是由左到右為距離的正方向。 物距L為OS與實(shí)際光線參考方向相反，取負(fù)號(hào)；像距L為OSt實(shí)際光線參考方向相同，取正號(hào)；而球面半徑r為OC方向與實(shí)際光線參考方向相反，取負(fù)號(hào)。.未斟酒時(shí)的成像規(guī)律杯底凸球面的兩側(cè)介質(zhì)分別為玻璃和空氣，其折射率分別為：n1.56n1 物距L6.3cmr1.50cm。TOC\o"1-5"\h\z由單球面成像公式——-——^得： 1 L 響1 ?；LLr ' '?「r115611.56 2圖-L' 6.3 1.50.一，一'....?..解得L7.9cm，像距為“正”的7.9說(shuō)明像在符號(hào)法則的正方向。如圖3所

示，由此可見(jiàn)，未斟酒時(shí)，畫片上景物所成實(shí)像在杯口距 。點(diǎn)7.9cm處.已知O到杯口平面的距離為8.0cm,當(dāng)人眼在杯口處向杯底方向觀看時(shí)，該實(shí)像離人眼太近，所以看不出畫片上的景物..斟酒后的成像規(guī)律杯底凸球面兩側(cè)介質(zhì)分別為玻璃和酒，其折射率分別為：n1.56n1.34物距L6.3cmr1.50cm由單球面成像公式1.34 1.56L6.3解得Ln1.56n1.34物距L6.3cmr1.50cm由單球面成像公式1.34 1.56L6.3解得L' 13cm1.341.561.50'nL像距為“負(fù)”的13cm說(shuō)明像在符號(hào)法則的負(fù)方向。如圖4所示。由此可見(jiàn)，斟酒后畫片上景物成虛像于S，處，距O點(diǎn)13cm即距杯口21cmt雖然該虛像還要因酒液平表面的折射而向杯口處拉近一定距離，但仍然離杯口處足夠遠(yuǎn)，所以人眼在杯口處向杯底方向觀看時(shí)，可以看到畫片上景物的虛像.、利用近軸光線成像規(guī)律求解.未斟酒時(shí)的成像規(guī)律杯底凸球面的兩側(cè)介質(zhì)的折射率分別為ni和no=1.在圖5中，P為畫片中心,由P發(fā)出經(jīng)過(guò)球心C的光線PO經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)不變方向進(jìn)入空氣中；由P發(fā)出的與PO成角的另一光線PA在A處折射.設(shè)A處入射角為i,折射角為r,半徑CA與PO的夾角為 ，由折射定律和幾何關(guān)系可得:n1sini n0n1sini n0sinr在A