魯棒控制系統(tǒng)課件

魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)1魯棒控制系統(tǒng)課件2在前面各章中，我們總是假設(shè)已經(jīng)知道了受控對(duì)象的模型，但由于實(shí)際中存在種種不確定因素，如：參數(shù)變化；未建模動(dòng)態(tài)特性；平衡點(diǎn)的變化；傳感器噪聲；不可預(yù)測(cè)的干擾輸入；等等，所以我們所建立的對(duì)象模型只能是實(shí)際物理系統(tǒng)的不精確的表示。魯棒系統(tǒng)設(shè)計(jì)的目標(biāo)就是要在模型不精確和存在其他變化因素的條件下，使系統(tǒng)仍能保持預(yù)期的性能。如果模型的變化和模型的不精確不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和其它動(dòng)態(tài)性能，這樣的系統(tǒng)我們稱它為魯棒控制系統(tǒng)。在前面各章中，我們總是假設(shè)已經(jīng)知道了受控對(duì)象的模型，但由于實(shí)3魯棒性(Robustness)

所謂魯棒性，是指標(biāo)稱系統(tǒng)所具有的某一種性能品質(zhì)對(duì)于具有不確定性的系統(tǒng)集的所有成員均成立，如果所關(guān)心的是系統(tǒng)的穩(wěn)定性，那么就稱該系統(tǒng)具有魯棒穩(wěn)定性；如果所關(guān)心的是用干擾抑制性能或用其他性能準(zhǔn)則來描述的品質(zhì)，那么就稱該系統(tǒng)具有魯棒性能。魯棒性(Robustness)所謂4系統(tǒng)的不確定性

參數(shù)不確定性，如二階系統(tǒng)：可以代表帶阻尼的彈簧裝置，RLC電路等。這種不確定性通常不會(huì)改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和階次。動(dòng)態(tài)不確定性

也稱未建模動(dòng)態(tài)，我們通常并不知道它的結(jié)構(gòu)、階次，但可以通過頻響實(shí)驗(yàn)測(cè)出其幅值界限：加性不確定性：乘性不確定性：系統(tǒng)的不確定性參數(shù)不確定性，如二階系統(tǒng)：加性不確定性：5一個(gè)例子

設(shè)汽車質(zhì)量為M,路面摩擦系數(shù)為，汽車的力學(xué)模型如下圖所示：

其運(yùn)動(dòng)方程為：如果考慮到汽車的質(zhì)量M隨車載負(fù)荷發(fā)生變化，且也隨路面狀況不同而變化，則方程的系數(shù)就具有一定的不確定性，即，無法得到M和的精確值。假設(shè)M和的取值范圍給定如下：

Mvfv一個(gè)例子設(shè)汽車質(zhì)量為M,路面摩擦系數(shù)為，汽車的力學(xué)模型6那么實(shí)際的被控對(duì)象就可以描述為如果用f到v的傳遞函數(shù)來描述，則有其中可以找到適當(dāng)?shù)慕绾瘮?shù)

那么實(shí)際的被控對(duì)象就可以描述為7魯棒控制理論是分析和處理具有不確定性系統(tǒng)的控制理論，包括兩大類問題：魯棒性分析及魯棒性綜合問題。魯棒性分析是根據(jù)給定的標(biāo)稱系統(tǒng)和不確定性集合，找出保證系統(tǒng)魯棒性所需的條件；而魯棒性綜合（魯棒控制器設(shè)計(jì)問題）就是根據(jù)給定的標(biāo)稱模型和不確定性集合，基于魯棒性分析得到的結(jié)果來設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足期望的性能要求。主要的魯棒控制理論有：Kharitonov區(qū)間理論；

H控制理論；結(jié)構(gòu)奇異值理論(理論)；等。魯棒控制理論是分析和處理具有不確定性系統(tǒng)的控8Kharitonov定理Kharitonov定理9具有不確定參數(shù)的系統(tǒng)

假設(shè)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為其系數(shù)滿足我們稱(1)為區(qū)間多項(xiàng)式，為了判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，應(yīng)該研究所有可能的參數(shù)組合，這是個(gè)無窮檢驗(yàn)問題。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Kharitonov于1978年給出了關(guān)于判斷區(qū)間多項(xiàng)式族魯棒穩(wěn)定性的四多項(xiàng)式定理，為研究參數(shù)不確定系統(tǒng)的魯棒性分析奠定了基礎(chǔ)。具有不確定參數(shù)的系統(tǒng)假設(shè)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為10Kharitonov定理：

(1)中的每一個(gè)多項(xiàng)式均穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)下面的四個(gè)多項(xiàng)式穩(wěn)定注：定理中的四個(gè)多項(xiàng)式通常被稱作Kharitonov頂點(diǎn)多項(xiàng)式。Kharitonov定理的意義在于它將區(qū)間多項(xiàng)式中無窮多個(gè)多項(xiàng)式的穩(wěn)定性與四個(gè)定點(diǎn)的穩(wěn)定性等價(jià)起來，將無窮檢驗(yàn)變?yōu)橛邢迿z驗(yàn)（頂點(diǎn)檢驗(yàn)）。Kharitonov定理：(1)中的每一個(gè)多項(xiàng)式均穩(wěn)定當(dāng)11考慮下圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)其中

閉環(huán)傳遞函數(shù)為Gcl(s)的分母為-G(s)kuy考慮下圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)其中閉環(huán)傳遞函數(shù)為Gcl(s)的分12例：取k＝1，此時(shí)閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母為其中此時(shí)上面的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)下面的四個(gè)多項(xiàng)式穩(wěn)定例：取k＝1，此時(shí)閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母為其中此時(shí)上面的閉環(huán)系13H控制理論

H控制理論14H控制理論提出的背景現(xiàn)代控制理論的許多成果在理論上很漂亮，但實(shí)際應(yīng)用并不成功。主要原因是忽略了對(duì)象的不確定性，并對(duì)系統(tǒng)所存在的干擾信號(hào)作了苛刻的要求。加拿大學(xué)者Zames在1981年提出了著名的H控制思想，考慮如下一個(gè)單輸入單輸出系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題：對(duì)于屬于一個(gè)有限能量的干擾信號(hào)，設(shè)計(jì)一個(gè)控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且干擾對(duì)系統(tǒng)期望輸出影響最小。由于傳遞函數(shù)的H范數(shù)可描述有限輸入能量到輸出能量的最大增益，所以用表示上述影響的傳遞函數(shù)的H范數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，就可使具有有限功率譜的干擾對(duì)系統(tǒng)期望輸出的影響最小。H控制理論提出的背景現(xiàn)代控制理論的許多成果15對(duì)于反饋系統(tǒng)如果P(s)具有誤差，那么相應(yīng)地開環(huán)和閉環(huán)頻率特性也具有誤差其中K(s)為控制器，w為干擾信號(hào)，r為參考輸入，u為控制輸入，e為控制誤差信號(hào)，y為輸出信號(hào)。系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)頻率特性為-ryP(s)kK(s)ewu對(duì)于反饋系統(tǒng)如果P(s)具有誤差16其中體現(xiàn)了開環(huán)特性的相對(duì)偏差到閉環(huán)頻率特性的增益，因此，如果我們?cè)谠O(shè)計(jì)控制器K時(shí)，能夠使S的增益足夠小，即分別為開環(huán)和閉環(huán)頻率特性的標(biāo)稱函數(shù)，簡(jiǎn)單的推導(dǎo)可得而傳遞函數(shù)其中體現(xiàn)了開環(huán)特性的相對(duì)偏差17那么閉環(huán)特性的偏差將會(huì)抑制在工程允許的范圍內(nèi)。傳遞函數(shù)S(s)稱為系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)。實(shí)際上S(s)還等于干擾w到輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)，因此減小S(s)的增益就等價(jià)于減小干擾對(duì)控制誤差的影響。引入定義其中表示最大奇異值，即H控制問題即為對(duì)于給定的>0，設(shè)計(jì)控制器K使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足那么閉環(huán)特性的偏差將會(huì)抑制在工程允許的范圍內(nèi)。其中18H理論中考慮干擾信號(hào)是不確定的，而是屬于一個(gè)可描述集L2中包含的是能量有限的信號(hào)。考慮抑制干擾wL2對(duì)系統(tǒng)性能的影響，為此引入表示干擾抑制水準(zhǔn)的標(biāo)量，求控制器K使得滿足z為輸出信號(hào)。定義其中Tzw(s)為由w至z的閉環(huán)傳遞函數(shù)，則(1)等價(jià)于求使最小的控制器K就是H最優(yōu)設(shè)計(jì)問題。H理論中考慮干擾信號(hào)是不確定的，而是屬于一個(gè)L219傳遞函數(shù)的H范數(shù)對(duì)于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s),若其在右半平面無極點(diǎn)，定義下面的范數(shù)為H范數(shù)定理：

其中

傳遞函數(shù)的H范數(shù)定理：20閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性分析其中(s)為任意穩(wěn)定的真有理分式且滿足||(s)||1定理：上圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)任意的(s)均穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)-uyG(s)kK(s)G(s)(s)加性不確定性考慮下圖所示系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性分析其中(s)為任意穩(wěn)定的真有理分式且滿21閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性分析其中(s)為任意穩(wěn)定的真有理分式且滿足||(s)||1定理：上圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)任意的(s)均穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)-uyG(s)kK(s)G(s)(s)乘性不確定性考慮下圖所示系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性分析其中(s)為任意穩(wěn)定的真有理分式且滿22時(shí)域模型的魯棒性考慮系統(tǒng)

其中，為任意滿足的實(shí)矩陣，E,F為已知矩陣。定理：對(duì)任意的，，A+EF穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)控制系統(tǒng)的魯棒控制問題即為設(shè)計(jì)K使得A+BK＋EF穩(wěn)定，也即時(shí)域模型的魯棒性考慮系統(tǒng)

控制系統(tǒng)的魯棒控制問題23實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)24Furuta擺實(shí)驗(yàn)Furuta擺實(shí)驗(yàn)25三自由度直升機(jī)系統(tǒng)三自由度直升機(jī)系統(tǒng)26魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)27魯棒控制系統(tǒng)課件28在前面各章中，我們總是假設(shè)已經(jīng)知道了受控對(duì)象的模型，但由于實(shí)際中存在種種不確定因素，如：參數(shù)變化；未建模動(dòng)態(tài)特性；平衡點(diǎn)的變化；傳感器噪聲；不可預(yù)測(cè)的干擾輸入；等等，所以我們所建立的對(duì)象模型只能是實(shí)際物理系統(tǒng)的不精確的表示。魯棒系統(tǒng)設(shè)計(jì)的目標(biāo)就是要在模型不精確和存在其他變化因素的條件下，使系統(tǒng)仍能保持預(yù)期的性能。如果模型的變化和模型的不精確不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和其它動(dòng)態(tài)性能，這樣的系統(tǒng)我們稱它為魯棒控制系統(tǒng)。在前面各章中，我們總是假設(shè)已經(jīng)知道了受控對(duì)象的模型，但由于實(shí)29魯棒性(Robustness)

所謂魯棒性，是指標(biāo)稱系統(tǒng)所具有的某一種性能品質(zhì)對(duì)于具有不確定性的系統(tǒng)集的所有成員均成立，如果所關(guān)心的是系統(tǒng)的穩(wěn)定性，那么就稱該系統(tǒng)具有魯棒穩(wěn)定性；如果所關(guān)心的是用干擾抑制性能或用其他性能準(zhǔn)則來描述的品質(zhì)，那么就稱該系統(tǒng)具有魯棒性能。魯棒性(Robustness)所謂30系統(tǒng)的不確定性

參數(shù)不確定性，如二階系統(tǒng)：可以代表帶阻尼的彈簧裝置，RLC電路等。這種不確定性通常不會(huì)改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和階次。動(dòng)態(tài)不確定性

也稱未建模動(dòng)態(tài)，我們通常并不知道它的結(jié)構(gòu)、階次，但可以通過頻響實(shí)驗(yàn)測(cè)出其幅值界限：加性不確定性：乘性不確定性：系統(tǒng)的不確定性參數(shù)不確定性，如二階系統(tǒng)：加性不確定性：31一個(gè)例子

設(shè)汽車質(zhì)量為M,路面摩擦系數(shù)為，汽車的力學(xué)模型如下圖所示：

其運(yùn)動(dòng)方程為：如果考慮到汽車的質(zhì)量M隨車載負(fù)荷發(fā)生變化，且也隨路面狀況不同而變化，則方程的系數(shù)就具有一定的不確定性，即，無法得到M和的精確值。假設(shè)M和的取值范圍給定如下：

Mvfv一個(gè)例子設(shè)汽車質(zhì)量為M,路面摩擦系數(shù)為，汽車的力學(xué)模型32那么實(shí)際的被控對(duì)象就可以描述為如果用f到v的傳遞函數(shù)來描述，則有其中可以找到適當(dāng)?shù)慕绾瘮?shù)

那么實(shí)際的被控對(duì)象就可以描述為33魯棒控制理論是分析和處理具有不確定性系統(tǒng)的控制理論，包括兩大類問題：魯棒性分析及魯棒性綜合問題。魯棒性分析是根據(jù)給定的標(biāo)稱系統(tǒng)和不確定性集合，找出保證系統(tǒng)魯棒性所需的條件；而魯棒性綜合（魯棒控制器設(shè)計(jì)問題）就是根據(jù)給定的標(biāo)稱模型和不確定性集合，基于魯棒性分析得到的結(jié)果來設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足期望的性能要求。主要的魯棒控制理論有：Kharitonov區(qū)間理論；

H控制理論；結(jié)構(gòu)奇異值理論(理論)；等。魯棒控制理論是分析和處理具有不確定性系統(tǒng)的控34Kharitonov定理Kharitonov定理35具有不確定參數(shù)的系統(tǒng)

假設(shè)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為其系數(shù)滿足我們稱(1)為區(qū)間多項(xiàng)式，為了判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，應(yīng)該研究所有可能的參數(shù)組合，這是個(gè)無窮檢驗(yàn)問題。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Kharitonov于1978年給出了關(guān)于判斷區(qū)間多項(xiàng)式族魯棒穩(wěn)定性的四多項(xiàng)式定理，為研究參數(shù)不確定系統(tǒng)的魯棒性分析奠定了基礎(chǔ)。具有不確定參數(shù)的系統(tǒng)假設(shè)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為36Kharitonov定理：

(1)中的每一個(gè)多項(xiàng)式均穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)下面的四個(gè)多項(xiàng)式穩(wěn)定注：定理中的四個(gè)多項(xiàng)式通常被稱作Kharitonov頂點(diǎn)多項(xiàng)式。Kharitonov定理的意義在于它將區(qū)間多項(xiàng)式中無窮多個(gè)多項(xiàng)式的穩(wěn)定性與四個(gè)定點(diǎn)的穩(wěn)定性等價(jià)起來，將無窮檢驗(yàn)變?yōu)橛邢迿z驗(yàn)（頂點(diǎn)檢驗(yàn)）。Kharitonov定理：(1)中的每一個(gè)多項(xiàng)式均穩(wěn)定當(dāng)37考慮下圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)其中

閉環(huán)傳遞函數(shù)為Gcl(s)的分母為-G(s)kuy考慮下圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)其中閉環(huán)傳遞函數(shù)為Gcl(s)的分38例：取k＝1，此時(shí)閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母為其中此時(shí)上面的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)下面的四個(gè)多項(xiàng)式穩(wěn)定例：取k＝1，此時(shí)閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母為其中此時(shí)上面的閉環(huán)系39H控制理論

H控制理論40H控制理論提出的背景現(xiàn)代控制理論的許多成果在理論上很漂亮，但實(shí)際應(yīng)用并不成功。主要原因是忽略了對(duì)象的不確定性，并對(duì)系統(tǒng)所存在的干擾信號(hào)作了苛刻的要求。加拿大學(xué)者Zames在1981年提出了著名的H控制思想，考慮如下一個(gè)單輸入單輸出系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題：對(duì)于屬于一個(gè)有限能量的干擾信號(hào)，設(shè)計(jì)一個(gè)控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且干擾對(duì)系統(tǒng)期望輸出影響最小。由于傳遞函數(shù)的H范數(shù)可描述有限輸入能量到輸出能量的最大增益，所以用表示上述影響的傳遞函數(shù)的H范數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，就可使具有有限功率譜的干擾對(duì)系統(tǒng)期望輸出的影響最小。H控制理論提出的背景現(xiàn)代控制理論的許多成果41對(duì)于反饋系統(tǒng)如果P(s)具有誤差，那么相應(yīng)地開環(huán)和閉環(huán)頻率特性也具有誤差其中K(s)為控制器，w為干擾信號(hào)，r為參考輸入，u為控制輸入，e為控制誤差信號(hào)，y為輸出信號(hào)。系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)頻率特性為-ryP(s)kK(s)ewu對(duì)于反饋系統(tǒng)如果P(s)具有誤差42其中體現(xiàn)了開環(huán)特性的相對(duì)偏差到閉環(huán)頻率特性的增益，因此，如果我們?cè)谠O(shè)計(jì)控制器K時(shí)，能夠使S的增益足夠小，即分別為開環(huán)和閉環(huán)頻率特性的標(biāo)稱函數(shù)，簡(jiǎn)單的推導(dǎo)可得而傳遞函數(shù)其中體現(xiàn)了開環(huán)特性的相對(duì)偏差43那么閉環(huán)特性的偏差將會(huì)抑制在工程允許的范圍內(nèi)。傳遞函數(shù)S(s)稱為系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)。實(shí)際上S(s)還等于干擾w到輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)，因此減小S(s)的增益就等價(jià)于減小干擾對(duì)控制誤差的影響。引入定義其中表示最大奇異值，即H控制問題即為對(duì)于給定的>0，設(shè)計(jì)控制器K使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足那么閉環(huán)特性的偏差將會(huì)抑制在工程允許的范圍內(nèi)。其中44H理論中考慮干擾信號(hào)是不確定的，而是屬于一個(gè)可描述集L2中包含的是能量有限的信號(hào)。考慮抑制干擾wL2對(duì)系統(tǒng)性能的影響，為此引入表示干擾抑制水準(zhǔn)的標(biāo)量，求控制器K使得滿足z為輸出信號(hào)。定義其中Tzw(s)為由w至z的閉環(huán)傳遞函數(shù)，則(1)等價(jià)于求使最小的控制器K就是H最優(yōu)設(shè)計(jì)問題。H理論中考慮干擾信號(hào)是不確定的，而是屬于一個(gè)L245傳遞函數(shù)的H范數(shù)對(duì)于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s),若其在右半平面無極點(diǎn)，定義下面的范