北京市十年高考數(shù)學(xué)真題(2013-2022)與優(yōu)質(zhì)模擬題(一二模等)精華匯編專題10平面解析幾何(含詳解)

大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質(zhì)模擬題（北京卷）專題10平面解析幾何真題匯/電 1.【2022年北京卷03】若直線2x+y-1=°是圓（％-q）2+TOC\o"1-5"\h\z必=1的一條對稱軸，則@=（ ）1A.- B.-- C.1 D.-122.【2021年北京5】雙曲線C:《-，=1過點(diǎn)（夜,次），且離心率為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）A.%2——=1B.--y2=1C.A— =1D. —y2=13 3J 3 3J3.【2021年北京9】已知圓C:/+y2=%直線l：y=kx+m,當(dāng)k變化時(shí)，I截得圓C弦長的最小值為2,則m=（ ）A.±2 B.+V2 C.+V3 D.+V54.【2020年北京卷05】已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)（3,4）,則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）.A.4B.5C.6D.7.【2020年北京卷07】設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為。，焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為I.P是拋物線上異于。的一點(diǎn)，過P作PQ11于Q,則線段只?的垂直平分線（）.A.經(jīng)過點(diǎn)。B.經(jīng)過點(diǎn)PC.平行于直線OPD.垂直于直線OPTOC\o"1-5"\h\z%2y2 1.【2019年北京理科04】已知橢圓f+「=1（0>b>0）的離心率為一，則（ ）a2b2 2A.次=2.B.3o2=4i2C.a=2bD.3a=4b42y2.【2013年北京理科06］若雙曲線1的離心率為6，則其漸近線方程為（ ）a2b2A.y=+2xB.y=±V2xC.y=i^xD.y=±卒x.【2013年北京理科07】直線/過拋物線C：7=4），的焦點(diǎn)且與y軸垂直，則/與C所圍成的圖形的面積等于（ ）.【2022年北京卷12】已知雙曲線y2+5=1的漸近線方程為丫=士%,則巾=.【2021年北京12】已知拋物線C:y2=4x,焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M為拋物線C上的點(diǎn)，且|FM|=6,則M的橫坐標(biāo)是;作MN_Lx軸于N,則，fmn=-.[2021年北京13】若點(diǎn)P（cosasin。）與點(diǎn)（2（饃5（。+》,5皿（。+?）關(guān)于丫軸對稱，寫出一個(gè)符合題意的6%2y2 42 y2.【2018年北京理科14】已知橢圓M：—+ =1Ca>b>0）,雙曲線M—=1.若雙曲線N的a工作時(shí)間（小時(shí)）15.【2016年北京理科工作時(shí)間（小時(shí)）15.【2016年北京理科13】雙曲線=一J=1（a>0,b>0）的漸a2*4*6b2近線為正方形0A8C的邊04,OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形0A8C的邊長為2,則兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為_;雙曲線N的離心率為..【2017年北京理科09】若雙曲線f一3=1的離心率為舊，則實(shí)數(shù)朋=..【2017年北京理科14】三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中4的橫、縱坐標(biāo)分別為第，名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)氏?的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，i=l,2,3.（1）記Qi為第，?名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Qi，。2,Q3中最大的是.（2）記〃為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則pi,p2,p3中最大的是.“零件數(shù)（件）.41Bi,B3Al?BiAsE的方程；(2)過點(diǎn)P(-2,l)作斜率為4的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)8,C,直線A8,AC分別與x軸交于點(diǎn)M,N,當(dāng)|MN|=2時(shí)，求人的值..[2021年北京20】已知橢圓E：W+￥=1?>b>0)過點(diǎn)4(0,-2),以四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為4遍.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)P(0,-3)的直線/斜率為&,交橢圓E于不同的兩點(diǎn)B,C,直線AB,AC交產(chǎn)-3于點(diǎn)M、N,直線AC交y=-3于點(diǎn)N,若IPM+IPNW15,求A的取值范圍..【2020年北京卷20】已知橢圓C5+\=1過點(diǎn)4(一2,—1),且a=2b.(I)求橢圓C的方程：(II)過點(diǎn)8(-4,0)的直線/交橢圓C于點(diǎn)M,N,直線MA,NA分別交直線x=-4于點(diǎn)P,Q.求粵的值.I8QI.【2019年北京理科18】已知拋物線C：/=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2,-1).(I)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；(II)設(shè)。為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為。的直線/交拋物線C于兩點(diǎn)M,N,直線y=-l分別交直線OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)艮求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)..【2018年北京理科19】已知拋物線C：F=2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),過點(diǎn)Q(0,1)的直線/與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線方交y軸于M,直線PB交y軸于M(I)求直線/的斜率的取值范圍；—> —> —? T(II)設(shè)。為原點(diǎn)，QM=AQ。，QN=yQ。，求證：；+一為定值.A〃")(/nWO)都在橢圓C上，直線方交x軸于點(diǎn)M.(I)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m,〃表示)；(II)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，直線尸B交x軸于點(diǎn)M問：y軸上是否存在點(diǎn)Q,使得NOQM=NONQ2若存在，求點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.27.【2014年北京理科19】已知橢圓C：，+2y2=4,(1)求橢圓C的離心率(2)設(shè)。為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y=2上，且。4_LO8,求直線4B與圓/+夕=2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.x228.【2013年北京理科19】已知A,B,C是橢圓W：—+y?=i上的三個(gè)點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn).4(I)當(dāng)點(diǎn)8是卬的右頂點(diǎn)，且四邊形O48C為菱形時(shí)，求此菱形的面積；(II)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OA8C是否可能為菱形，并說明理由.裾|■光4好r .已知雙曲線C：a-y2=l(a>0)的一條漸近線方程為y=x,則C的離心率為()TOC\o"1-5"\h\zA.y[2 B.V3 C.2 D.V5.已知直線l:ax-y+l=0與圓C:(x-l)2+y2=4相交于兩點(diǎn)4B,當(dāng)a變化時(shí)，ZUBC的面積的最大值為()A.1 B.V2 C.2 D.2夜.已知直線y=k(x-V5)與圓。：/+y2=4交于a,b兩點(diǎn)，且04_L0B,則k=( )A.V2 B.±V2 C.1 D.±1.已知雙曲線-?=l(a>0)的一條漸近線與圓(x-3/+y2=8相交于M,N兩點(diǎn)，且|MN|=4,則此雙曲線的離心率為()A.5 B.延 C.V5 D.迪3 5.已知點(diǎn)P在拋物線C:y2=4x上，若以點(diǎn)P為圓心的圓與C的準(zhǔn)線相切，且與x軸相交的弦長為6,則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為()A.4 B.4V2 C.5 D.572.已知雙曲線9一《=1(巾>0)的一條漸近線方程是5刀一2曠=0,則m=.7.已知拋物線C：x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2,-1),則拋物線的準(zhǔn)線方程是..若拋物線y2=2px上任意一點(diǎn)到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線x=-1的距離相等，則「=..已知拋物線C:y2=2px(p>0),P為C上一點(diǎn)，PQlx軸，垂足為Q,產(chǎn)為C的焦點(diǎn)，。為原點(diǎn).若乙POQ=45°,貝iJcosnPFQ=..己知雙曲線。:/一\=13>0)的離心率為遮，則雙曲線C的漸近線方程為..已知橢圓C0+，=l(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)4(-2,0),8(0,-1).(1)求橢圓C的方程及其離心率；(2)若P為橢圓C上第一象限的點(diǎn)，直線PA交y軸于點(diǎn)M,直線PB交x軸于點(diǎn)N,且有MN〃/1B,求點(diǎn)P的坐標(biāo)..已知橢圓C:5+A=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為尸1(一2,0),尸2(2,0).過點(diǎn)&的直線I與橢圓C交于AB兩點(diǎn)，過點(diǎn)Fi作AB的垂線交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，AMN4的周長為4傷.(1)求橢圓C的方程；(2)求黑的取值范圍..已知橢圓E:]+§=l(a>b>0)的離心率為四，左、右頂點(diǎn)分別是4,B,且|AB|=4.a' 2(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知M,N是橢圓￡上異于4,8的不同兩點(diǎn)，若直線AM與直線AN的斜率之積等于-1,判斷直線MN是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由..已知橢圓C：馬=l(a>b>0),點(diǎn)為，口2分別是橢圓C短軸的端點(diǎn)，橢圓C的焦點(diǎn)廠也是拋物線y2=8x的焦點(diǎn)，且尸Bi1FB2.⑴求橢圓C的方程：(2)設(shè)過點(diǎn)F且斜率不為0的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),問x軸上是否存在定點(diǎn)尸，使點(diǎn)尸到直線8P的距離與點(diǎn)尸到直線4P的距離相等？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，說明理由..已知橢圓E：捺+'=l(a>b>0)的焦距為2,一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,2).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；⑵過點(diǎn)尸(0,3)的直線/斜率為&,交橢圓E于不同的兩點(diǎn)8、C,直線AB、4c分別交直線y=3于點(diǎn)M、N.求|PM||PN|的值..已知橢圓C，+，=l(a>b>0)的離心率為爭上下頂點(diǎn)分別為4B,且|AB|=4.過點(diǎn)(0,1)的直線與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M,N(不與點(diǎn)4B重合).(1)求橢圓C的方程；(2)若直線4M與直線y=4相交于點(diǎn)P,求證：B,P,N三點(diǎn)共線..已知橢圓后$+，=1(。>6>0)的右頂點(diǎn)為4(2,0),離心率為過點(diǎn)P(6,0)與x軸不重合的直線/交橢圓E于不同的兩點(diǎn)B,C,直線4B,4c分別交直線％=6于點(diǎn)M,N.⑴求橢圓E的方程：(2)設(shè)。為原點(diǎn).求證：/.PAN+APOM=90°..已知橢圓C：]+寫=19>8>0)經(jīng)過點(diǎn)2(2,1),P到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為4vLa"(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)Q(4,0),R為P。的中點(diǎn)，作P。的平行線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,直線AQ與橢圓C交于另一點(diǎn)M,直線8。與橢圓C交于另一點(diǎn)N,求證：M,N,R三點(diǎn)共線..已知橢圓M：W+[=l(a>6>0)過點(diǎn)4(2,0),離心率為當(dāng)(1)求橢圓M的方程：(2)已知直線y=k(x+3)在x軸上方交橢圓M于B,C(異于點(diǎn)4)兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線AB,AC分別與y軸交于點(diǎn)P、Q，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求k(|OP|+|OQ|)的值..已知橢圓C：《+'=l(a>b>0)的左頂點(diǎn)為4(一2,0),圓。：/+y2=1經(jīng)過橢圓。的上、下頂點(diǎn).(I)求橢圓C的方程和焦距：(2)已知P,Q分別是橢圓C和圓。上的動點(diǎn)(P,Q不在坐標(biāo)軸上)，且直線PQ與x軸平行，線段AP的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)M,圓。在點(diǎn)Q處的切線與y軸交于點(diǎn)M求線段MN長度的最小值.大數(shù)據(jù)之十年高考真題(2013-2022)與優(yōu)質(zhì)模擬題(北京卷)專題10平面解析幾何真題匯總 L【2022年北京卷03】若直線"+y-1=0是圓(x-q)2+TOC\o"1-5"\h\z必=1的一條對稱軸，則@=( )1A.- B.-- C.1 D.-12【答案】A【解析】由題可知圓心為(a,0),因?yàn)橹本€是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，B|J2a+0-1=0,解得a=也故選：A.2.【2021年北京5】雙曲線?？傄唬?過點(diǎn)(魚,遮)，且離心率為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )A.x2-^=l B.式一f=1 C./_絲=1D.血_y2=i3 3J 3 3J【答案】A?.?e=￡=2,貝ijc=2a,b=Vc2-a2=V3a.則雙曲線的方程為馬一馬=1,a a23az將點(diǎn)(女,百)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得專一a=2=1,解得a=l,故b=A因此，雙曲線的方程為3故選:A.3.12021年北京9】已知圓C:/+y2=4,直線［：、=憶％+m，當(dāng)k變化時(shí)，1截得圓C弦長的最小值為2,則TH=( )A.±2 B.+V2 C.±V5 D.+V5【答案】C由題可得圓心為(0,0),半徑為2,則圓心到直線的距離d=篇，貝IJ弦長為2^4--則當(dāng)k=0時(shí)，弦長取得最小值為2V4-m2=2,解得m=±百.故選：C.4.［2020年北京卷05］已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為().A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】設(shè)圓心C(x,y),則—31+(y—43=1,化簡得(x—3)2+(y—4)2=1>5432所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心，5432所以|0C|+1>\0M\=V32+42=5,所以|0C|>5-1=4,當(dāng)且僅當(dāng)C在線段0M上時(shí)取得等號,故選：A.5.【2020年北京卷07】設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為0,焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為I.P是拋物線上異于。的一點(diǎn)，過P作PQJ.，于Q，則線段FQ的垂直平分線().A.經(jīng)過點(diǎn)。B.經(jīng)過點(diǎn)PC.平行于直線OPD.垂直于直線0P【答案】B如圖所示:【解析】如圖所示:因?yàn)榫€段FQ的垂直平分線上的點(diǎn)到F,Q的距離相等，乂點(diǎn)P在拋物線上，根據(jù)定義可知，\PQ\=\PF\,所以線段FQ的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.故選：B.

故選【2013年北京理科06】若雙曲線和故選可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為直線/與拋物線圍成的封閉圖形面積為故選【2019年北京理科故選【2013年北京理科06】若雙曲線和故選可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為直線/與拋物線圍成的封閉圖形面積為故選【2019年北京理科04］已知橢圓二+(〃>6>0)的離心率為一,1的離心率為百，則其漸近線方程為【2013年北京理科07】直線/過拋物線C：/=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直，則/與C所圍成的圖形的面積【2022年北京卷12］已知雙曲線y2+二=1的漸近線方程為y直線/過拋物線C：f=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直【答案】解：拋物線f=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】解：由雙曲線的離心率百，可知所以雙曲線的漸近線方程為：y=±2x【答案】-3【解析】解：對于雙曲線y2+《=i,所以m<0,即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2一二=1,m -m則q=1,b=yj-m,又雙曲線y?+篙=1的漸近線方程為、=土日x，所以2=更，即曰=在，解得巾=一3；b3V-m3故答案為：一3.【2021年北京12】已知拋物線C:y2=4x,焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M為拋物線C上的點(diǎn)，且|FM|=6,則M的橫坐標(biāo)是;作MNJ.X軸于N,則Smmn=.【答案】5 4Vs因?yàn)閽佄锞€的方程為y2=4x,故p=2RF(l,0).因?yàn)?6,%m+(=6,解得X”=5,故y”=±2巡，所以Smmn=ix(5-l)x2V5=4V5,故答案為：5,45/5..[2021年北京13]若點(diǎn)P(cos8,sin0)與點(diǎn)、(85(6+3,5吊(。+》)關(guān)于〉軸對稱，寫出一個(gè)符合題意的。 .【答案】§(滿足。=工+卜兀,4ez即可)???P(cose,sinB)與Q(cos(。+Jsin(。+》)關(guān)于y軸對稱,即。,8+春關(guān)于y軸對稱，e+^+0=n+2kn,keZ,則。=kn+^,keZ,當(dāng)k=0時(shí)，可取。的一個(gè)值為工.故答案為：工(滿足0="+,,k€Z即可).雙曲線M2一雙曲線M2一a=1-若雙曲線'的12.12。18年北京理科⑷己知橢圓機(jī)我+屏=1S>。)，兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為;雙曲線N的離心率為.?y2 #2y2【答案】解：橢圓M：—+—=1(u>t>0),雙曲線M—-— 若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓q， nz

M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn),q c?3cz ] 3可得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)（c，0），正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)（；，:一），可得:二二十兀3=1，可得71+~i =1?22 4。」4b， 4 4（-^-1）可得e4-8，+4=0,cE（0,1）,解得e=V3—1.同時(shí)，雙曲線的漸近線的斜率為值畔3可得:n2菠=3,m可得:n2菠=3,m2+n2

m24,可得雙曲線的離心率為故答案為：V3—1；2.13.【2017年北京理科09】若雙曲線/一哈=1的離心率為同則實(shí)數(shù)加=【答案】解：雙曲線/一A=i（〃?>0）的離心率為6，可得：?=百，解得m=2.故答案為：2.14.【2017年北京理科14】三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中4的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)8,的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，i=l,2,3.3）記。為第/名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Qi，。2,。3中最大的是.（2〉記0為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則pi,p2,P3中最大的是.[零件數(shù)（件）AlBi?曲事?BiA3° 工作時(shí)間《小時(shí)》【答案】解：（|）若Q?為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù),Q\=A\的縱坐標(biāo)+31的縱坐標(biāo);Q1—\1的縱坐標(biāo)+B2的縱坐標(biāo)，。3=43的縱坐標(biāo)+83的縱坐標(biāo)，由已知中圖象可得：Ql,。2,0中最大的是。I,(2)若〃為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則Pi為48中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，故pi,R,P3中最大的是故答案為：Q,p215.【2016年北樂理科13】雙曲線。一匕=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形O4BC的邊。4,OC所在a2bz的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長為2,則。=.【答案】解：???雙曲線的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線，二漸近線互相垂直，則雙曲線為等軸雙曲線，即漸近線方程為y=±x,即a=b,,/正方形OABC的邊長為2,二。8=2也即c=2位，則a2+Z>2=c2=8,即2“2=8,則J=4,a=2,算4 Y【答案】解：雙曲線=一，=1的漸近線方程為丫=土一,a， a由題意可得工=V3,a解得“=坐.故答案為：—.y2TOC\o"1-5"\h\z17.【2014年北京理科11】設(shè)雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)(2,2),且與匕-』=1具有相同漸近線，則C的方程為 :4漸近線方程為.2 2【答案】解：與一—/=1具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為一—/=切，(mKO),4 4?.?雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)(2,2),/.m—z—22=1—4=-3,丫2 工2y2即雙曲線方程為彳一7=-3,即三■一金=1，對應(yīng)的漸近線方程為y=±2x,,,x2y2故答案為：———=y=±2x.3 12.【2020年北京卷14】已知雙曲線C:t=1,則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是.【答案】(3,0)V3【解析】在雙曲線C中，。=后，h=V3,則。=，。2+爐=3,則雙曲線C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),雙曲線C的漸近線方程為y=土當(dāng)x,即x±V^y=O,所以，雙曲線C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為高=V3.故答案為：(3,0)；V3..【2022年北京卷19】已知橢圓：E:《+，=l(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為4(0,1),焦距為2次.⑴求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)P(-2,l)作斜率為我的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)8,C,直線A8,AC分別與x軸交于點(diǎn)M,M當(dāng)|MN|=2時(shí)，求人的值.【答案】(l)^+y2=14(2)k=-4【解析】(1)解：依題意可得b=l,2c=2\/3?又c2=q2—所以q=2,所以橢圓方程為￥+y2=i；4J

⑵解:依題意過點(diǎn)P(-2,1)的直線為y-l=k(x+2),設(shè)B(xi，%)、C(x2(y2),不妨令一2M藥＜〃42,y-1=k(x+2)

Y+y2=1消去y整理得(1+4/)/+(16y-1=k(x+2)

Y+y2=1所以％+x2=-16k2+8k

l+4k216k2+16k所以A=(16k2+8k/-4(1+4k所以％+x2=-16k2+8k

l+4k216k2+16k直線4B的方程為y-1=令y=o,解得直線4C的方程為y-1=令y=0,解得%N=W7,所以|MN|=\xN-xM\=|高^一言必1一伙(％2+2)+1]必|_IX2_X1_|_產(chǎn)2+2)必—-2(-1+2)必1一伙(％2+2)+1]1一伙(％i+2)+l]l I—仁(工2+2) (XI+2)1I幺(42+2)(工1+2)I|比|(工2+2)(工1+2)所以%-x2\=|fc|(x2+2)(X[+2),即J(X1+必)2—4x/2=\k\[x2Xi+2(x2+Xi)+4]即J(一嗡詈1_4x*薩=陽[爺夢+2J\ l+4/c2) \即一42k2+k)2一(I+4k2)(H+k)= [16/+16k-2(161+8k)+4(1+4k2)]1+4/c 1+4M整理得8>/—k=4|k|，解得k——420.(2021年北京20】已知橢圓E:，+，=l(a>b>0)過點(diǎn)4(0,-2),以四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為4瓶.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)尸(0,-3)的直線/斜率為&,交橢圓E于不同的兩點(diǎn)B,C,直線A8,4c交y=-3于點(diǎn)M、N,直線AC交y=-3于點(diǎn)N,若IPM+IPMS5,求k的取值范圍.【答案】(1)9+?=1;(2)[-3,-l)U(l,3].(1)因?yàn)闄E圓過4(0,—2),故b=2,因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為4遍，故3x2ax2b=4芯，即a=V5,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：-+^=1.5 4(2)

故直線A&y=午^%—2,令y=-3,則%“=一；^，同理工可=一言^*1 十/ 尸2十/v-—kx3直線BC:y=kx—3,由U；5y2=2?？傻?4+5匹2-3弧+25=。,故4=900k2-100(4+5k2)>o,解得k<直線BC:y=kx—3,又*i+*2=親方，*62=磊7，故》62>0,所以XmX/v>0又—Ml+|PM=lx”+xn|=|52+焉|50k 30—」島+虐=?最黃含黑？l=?琴攝?=5因故5陽<15即因<3,4+5fc24+5k2綜上，—3<k<-1或1VkW3.21.【2020年北京卷20】已知橢圓C:5+，=1過點(diǎn)4(—2,-1),且a=2b.(I)求橢圓C的方程：(II)過點(diǎn)8(-4,0)的直線/交橢圓C于點(diǎn)M,N,直線M4M4分別交直線x=-4于點(diǎn)P,Q.求震的值.|8Q|【答案】(1)^+^=1;(II)1.【解析】⑴設(shè)橢圓方程為：g+g=l(a>b>0),由題意可得：=8=2'故橢圓方程為：+y=1.(2)設(shè)MCq,%),/V(x2,y2)?直線MN的方程為：y=k(x+4)?與橢圓方程土+—=1聯(lián)立可得：x2+4k2(x+4)2=8,8 2即：(4k2+l)x2+32k2x+(64/c2-8)=0,ni.. -32k2 64k2-8則：必+物=赤7"62=赤『直線MA的方程為：y+l="（x+2）,令x=—4可得：yp=—2x=一1=一2x 一2=二0k+】笈廣父,#1+2 Xj+2X]+2 Xj+2同理可得：%=々A：警+4）很明顯%＞為V0,fl：=此卜注意到："+'Q=-⑦+1）（黑+黑卜-儂+l）x⑺+矮翳卷:產(chǎn)計(jì)工而：（%i+4）（必+2）+（x2+4）Gq+2）=2[xxx2+3（xt+x2）+8]n[64k2-8.Qvf-32k2\.o]~（64/c2-8）+3x（-32k2）+8（4/c2+l）n=2—: F3XI——）+8=2X - =0,L4fc2+l \4k2+l/J 4k2+l故yp+y＜?=o，yp=-y（?-從而需調(diào)=L22.【2019年北京理科18】已知拋物線C：/=-2py經(jīng)過點(diǎn)（2,-1）.（I）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（II）設(shè)。為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線/交拋物線C于兩點(diǎn)M,N,直線y=-l分別交直線OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).【答案】解：（I）拋物線C：/=-2/?經(jīng)過點(diǎn)（2,-1）.可得4=2"，即"=2,可得拋物線C的方程為/=-4y,準(zhǔn)線方程為y=l；（11）證明：拋物線/=-4y的焦點(diǎn)為尸（0,-1）,設(shè)直線方程為y=fcr-l,聯(lián)立拋物線方程，可得/+4丘-4=0,設(shè)M（制，yi）,N（xz,y2）＞可得Xl+X2=-42,x\xi=-4,直線OM的方程為y=ar,即y=一?也直線ON的方程為產(chǎn)條，即尸-/TOC\o"1-5"\h\z4 4可得A（一，-1）,B（一,-1）,Xi x21 1 -4k可得A8的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2（一+—）=2* =2k,%!X2-4即有A3為直徑的圓心為（2h-1）,半徑\AB\14 4-|———2xtx2V16k2+16=2V14-fc2,可得圓的方程為(x?2^) (y+1)2=4(1+F),化為/-4fcv+(y+1)2=4,由x=0,可得y=l或-3.則以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)(0,1),(0,-3).23.【2018年北京理科19】已知拋物線C：聲=2外經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),過點(diǎn)Q(0,1)的直線/與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線以交y軸于M,直線PB交y軸于N.(I)求直線/的斜率的取值范圍；—> —0 —? —> 11(II)設(shè)。為原點(diǎn)，QM=XQO,QN『QO,求證：二+一為定值.【答案】解：(I):?拋物線C：y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),：.4=2p,解得夕=2,設(shè)過點(diǎn)(0,1)的直線方程為y=H+l,設(shè)A(xi,yi)>B(x2,y2)聯(lián)立方程組可得片=產(chǎn)上1,ly=kx+1消y可得F/+(2&-4)x+l=0,(2?-4)2-4/>0,且k#0解得上<1,口I/ 2k—4 1且上KO,Xl+X2= L，X\X2=F，kLd又???以、尸8要與y軸相交，，直線/不能經(jīng)過點(diǎn)(1,-2),即2K-3,故直線/的斜率的取值范圍(-8,-3)U(-3,0)U(0,1)；(II)證明：設(shè)點(diǎn)M(0,w),N(0,〉w),則誦=(0,ja/-1),QO=(0,-1)因?yàn)镼M="Q。，所以yM-1=?yw-1,故人同理口=1?川，直線PA的方程為y-2=3(x-1)=24(x-1)=9(x-1),1-xi ]_孥 /十令x=0,得)'"=1令，同理可得丫歸日會，1 1 1 1 2+月 2+y2 8-2力以 8-2(kx1+l)(/cx2+l)因?yàn)橐?-= + = + = = 入 〃 l-'M 1-Yn 2— 2-y2 (2-yi)(2-y2) l-k(x1+x2)+k2x1x2

4-2/Cl-fc(x1+x2)+/c2x1x2過點(diǎn)作直線/與拋物線c交于4-2/Cl-fc(x1+x2)+/c2x1x2過點(diǎn)作直線/與拋物線c交于焦點(diǎn)坐標(biāo)為準(zhǔn)線為的直線方程為由題意知A可得F/+(k求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程[2017年北京理科18]已知拋物線C：求證：A為線段的中點(diǎn)證明：設(shè)過點(diǎn)不同的兩點(diǎn)M，N,過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線。尸、ON交于點(diǎn)A,B,其中。為原點(diǎn)4—2kx1x2+/c(x1+x2)+l]8-2(1+——."+m號,xm=+迫―鼻

k24kz， 2巧g+；)X21-k=2fcxi+X)+x?=2kxi-i J—=2kxi+(I-k)*2xi2x2 2x-L-4k%為線段8M的中點(diǎn).25.[為線段8M的中點(diǎn).25.[2016年北京理科19]已知橢圓C：產(chǎn)y2 -^3—4--=1(a>b>0)的離心率為一,a2 2A(a,0),B(0,6),O(0,0),△048的面積為1.(I)求橢圓C的方程；(II)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線以與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：為定值.【答案】解：(I)由題意可得e=?=*1又△043的面積為1,可得,力=1,且a2-b2=czf解得q=2,b=1,c=V3>工2可得橢圓。的方程為一+v2=l;4(II)證法一：設(shè)橢圓上點(diǎn)P(X0,")，可得刈2+4和2=4,若尸(0,-1),可得附與y軸交于點(diǎn)M(0,-1),直線PB與工軸交于點(diǎn)N(0,0),可得|AN|?|8M=4;直線力：v=^5(x-2)?令x=0,可得y=—空。7%一2 )xq-2則|BM=|1+第I；直線PB：y=%1X+1,令y=0,可得x=--xo 7o-1則依川=|2+含小可得14Vl?|BM|=|2+#T|?|1+當(dāng)IJo-1 y()—ixo-z=(%o+2yo2)2=Jo2+4y02+4+4xoyo4x08yo(x0-2)(y0-l) 2+xoyo-XQ-2yo

8^x0y0-4x0-8y0i= 1=4,2+%0丫0_/_2y0即有|AN|?|BM為定值4.證法二：設(shè)8^x0y0-4x0-8y0i= 1=4,2+%0丫0_/_2y0即有|AN|?|BM為定值4.證法二：設(shè)P(2cos0,sin0),(O^0<2n),直線以尸式%（廠2）,令x=0,可得尸一1,sin0+cos6-l則阿日-J1直線明）'=舞會x+l令產(chǎn)°,可得、=一豁,2sin6+2cos6—2則吁ih即有|AN|,|8M=F2sinO-^2cosO-2sin0+cos6-l1-sind1-cosO=2fsin2O^cos2O+l^-2sin0cos0-2sinO-2cos01+sinGcosO-sinG-cosO2-\-2sin0cos0-2sin0-2cos0=21 -： 1=4.1-^sindcosO-sinO-cosd則囚V|?|8M為定值4.26.（2015年北京理科19］已知橢圓C：y2 ^2—+—=1Ca>b>0)的離心率為—，點(diǎn)P(0,1)和點(diǎn)A(/n,a2b2 2〃）（機(jī)W0）都在橢圓C上，直線雨交x軸于點(diǎn)M.（I）求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用m,n表示）;（II）設(shè)。為原點(diǎn)，點(diǎn)5與點(diǎn)4關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點(diǎn)M問：y軸上是否存在點(diǎn)。使得NOQM=/ONQ?若存在，求點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【答案】解：（I）由題意得出《力=1C_y/2a~^2la2=b2+c2解得：a=V2,b=l,c=1x2?:P(0,1)和點(diǎn)A(m,〃),-l<n<l：.PA的方程為：y-1=喘/mM(——，0)

1-n（//）???點(diǎn)3與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)A（m,〃）（mHO）???點(diǎn)B(m,-〃)(mWO)???直線P8交x軸于點(diǎn)Mm:?N( ，0)?1+n

AtanZOQM=tanZONQ,???存在AtanZOQM=tanZONQ,???存在點(diǎn)。，使得NOQM=NON。，Q(0,現(xiàn)),2yQ=yQ廿

1—n2.即yo1=xM,xN,m2）—+〃=]2=2>?"-yQ=+V2,故y軸I：存在點(diǎn)。，使得NOQM=NONQ,Q(0,V2)或。(0,一/)27.【2014年北京理科19】已知橢圓C：/+2y2=4,(1)求橢圓C的離心率(2)設(shè)。為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y=2上，且。4LOB,求直線AB與圓/+聲=2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.y2v2【答案】解：(1)由7+2/=4,得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為t+ 1.，"2=4,從=2,從而。2=°2-/=2.因此a=2,c=V2.故橢圓C的離心率e=?=￥；(2)直線AB與圓/+f=2相切.證明如下:設(shè)點(diǎn)4,8的坐標(biāo)分別為(w,yo),(b2),其中m)W0.'：OAYOB,**?0A,OB=0,即f￥（）+2yo=0,解得t———xo當(dāng)刈=，時(shí)，yo=-f代入橢圓C的方程，得t=±&.故直線AB的方程為x=±V2,圓心O到直線AB的距離d=V2.此時(shí)直線AB與圓,+?=2相切.

當(dāng)加時(shí)，直線A8的方程為y-2x0匚即（jo-2）x-（xo-t）y+2xo-（yo=O.圓心O到直線AB的距離d=|I2x（）[tyolJ（y0-2）+（^o-t）又城+2y02=4,t=x0“ M+第I故d=? 0jV+y02+^-+4此時(shí)直線AB與圓/+丁=2相切.為228.【2013年北京理科19】已知4,B,C是橢圓W：二■+y?=1上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).（I）當(dāng)點(diǎn)8是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積；（II）當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由.【答案】解：（/）,??四邊形OABC為菱形，8是橢圓的右頂點(diǎn)（2,0）二直線AC是80的垂直平分線，可得4c方程為x=l設(shè)A（1,t）,得=+t?=1,解之得仁堂（舍負(fù)）二A的坐標(biāo)為（1,鳥，同理可得C的坐標(biāo)為（1,一歲因此，|AC1=百，可得菱形0A8C的面積為S=3AC]?|BO|=百；（//）?.?四邊形OABC為菱形，：.\OA\=\OC\,設(shè)|OA|=|OCl=r（r>l）,得A、C兩點(diǎn)是圓/+y2=J2 3%2與橢圓工+丫2=1的公共點(diǎn)，解之得 =/-1勺 4設(shè)4、C兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為xi、X2,可得4、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足?=皿=竽?"=I,或工尸竽?^^^匚！且X2=—^^?Vr2—1,①當(dāng)用=皿=竽?"二I時(shí)，可得若四邊形。48c為菱形，則8點(diǎn)必定是右頂點(diǎn)（2,0）：②若x\=^^7產(chǎn)-1且x2=—^^*Vr2—1,則xi+x2=0,可得AC的中點(diǎn)必定是原點(diǎn)O,因此A、0、C共線，可得不存在滿足條件的菱形048c綜上所述，可得當(dāng)點(diǎn)8不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形O48C不可能為菱形.

\2模擬好題 1?已知雙曲線c：a—y2=i(a>0)的一條漸近線方程為y=x，則C的離心率為()A.V2 B.V3 C.2 D.V5【答案】A【解析】由題設(shè)雙曲線漸近線為丫=土;x,而其中??條為丫=，所以a=1>則c=Va2+b2=近，故C的禺心率為位.故選：A.已知直線/:ax-y+1=0與圓C:(x—1產(chǎn)+y2=4相交于兩點(diǎn)4,B,當(dāng)a變化時(shí)，△ABC的面積的最大值為()A.1 B.V2 C.2 D.2V2【答案】C【解析】因?yàn)橹本€直線I：ax—y+l=0恒過點(diǎn)(0,1)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，圓C:(x- +y2=4的圓心C(l,0),r=2,所以aABC的面積的最大值為:S=i|C4||CB|sinz^CF=1r2sinz/lCB<ir2=1x4=2.故選：c..已知直線y=k（x-乃）與圓。：x2+y2=4交于4,8兩點(diǎn)，且。4_LOB,則k=（ ）A.y[2 B.+V2 C.1 D.±1【答案】B【解析】解：因?yàn)橹本€y= —V5），所以，直線y=k（x-百）過定點(diǎn)（百,0）,且在圓。:/+y2=4內(nèi)，因?yàn)橹本€y=k（x-6）與圓O:%2+y2=4交于4,8兩點(diǎn)，且。41OB,所以，圓心。（0,0）到直線y=fc（x-百）的距離為d=V2.所以，d=V2= 即必=2,即k=+Vl故選：B.已知雙曲線，-?=l（a>0）的一條漸近線與圓0—3）2+、2=8相交于“，N兩點(diǎn)，且|MN|=4,則此雙曲線的離心率為（）A.5 B.也 C.V5 D.這3 5【答案】D【解析】解：由題意可知雙曲線的一漸近線方程為2x-ay=0,：|MN|=4,圓的半徑為2混，二圓心到漸近線的距離為2,即^^=2,a=V5,ac=Va2+b2=3二雙曲線的離心率為e=-=—.a5故選：D.已知點(diǎn)P在拋物線C:y2=4x上，若以點(diǎn)P為圓心的圓與C的準(zhǔn)線相切，且與x軸相交的弦長為6,則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為( )A.4 B.45/2 C.5 D.5夜【答案】A【解析】設(shè)P(m,n),設(shè)圓的半徑為r,因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線C:y2=4x上，所以n2=4m,以點(diǎn)P為圓心的圓與C的準(zhǔn)線相切，所以rn+l=r,圓P與X軸相交的弦長為6,所以32+/=「2,所以tn2-2m-8=0,又m20,所以？n=4,故0=±4,r=5,所以點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4,故選：A..已知雙曲線=-a=l(m>0)的一條漸近線方程是5x-2y=0,則巾=.【答案】5【解析】雙曲線9一3=l(m>0)的漸近線方程為y=±7%,宜線5x—2y=0的方程可化為y=|x,所以，m=5.故答案為：5..已知拋物線C：/=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2,-1),則拋物線的準(zhǔn)線方程是.【答案】y=1【解析】解：由題意得：?拋物線C：x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2,-1).1-4=-2px(-1)=2p,解得p=2準(zhǔn)線方程為y=￡=1故答案為：y=1.若拋物線y2=2Px上任意一點(diǎn)到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線x=-1的距離相等，則p=.【答案】2【解析】由拋物線的定義可得：=1,解得p=2.故答案為：2..已知拋物線C:y2=2px(p>0),P為C上一點(diǎn)，PQlx軸，垂足為Q,尸為C的焦點(diǎn)，。為原點(diǎn).若乙POQ=45°,則coszcPfQ=.【答案】I【解析】不妨設(shè)P在x軸上方，由4POQ=45。，可設(shè)直線0P:y=x,,fy—x,叫y2=2p/可得x=y=2P，...P(2p,2p),Q(2p,0),又尸&0)，故答案為：.己知雙曲線C:%2一'=i(b>0)的離心率為混，則雙曲線C的漸近線方程為.【答案】y=±X【解析】解：己知雙曲線C:/一，=l(b>0)的離心率為聲,

所以￡=AT廬=/,解得b=i,所以雙曲線C的漸近線方程為y=±x,故答案為：y=+x11.已知橢圓C:5+，=l(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),B(0,-l).(1)求橢圓C的方程及其離心率；(2)若P為橢圓C上第一象限的點(diǎn)，直線P4交y軸于點(diǎn)M,直線。8交工軸于點(diǎn)N,且有MN〃/1B,求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(l)^+y2=1,離心率為立；⑵(記號)【解析】(1)依題知：a=2,b=l,所以c=，a2-/)2=瓜所以橢圓方程為:+y?=1，離心率e=(=9.由MN//AB得：需=需,(2)由MN//AB得：需=需,設(shè)P(m,n),第一象限有＞0,巴＞+n2=l①;4也=國=%竺1=3=2=n,人|MA|1x^1 2'|NB| |yB|1 '因此f=n②,聯(lián)立①②解得小二/，故P(V^￥).12.已知橢圓C5+'=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為尸式一2聯(lián)立①②解得-2,0),F2(2,0).過點(diǎn)0的直線I與橢圓C交于4,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)Fi作4B的垂線交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，△”可產(chǎn)?的周長為4vs.(1)求橢圓C的方程⑵求措的取值范圍.【答案】(1嚀+?=1⑵歲3)【解析】(1)由題，c=2由橢圓定義，△”/7尸2的周長為4。=4>后=>￡1=遍，所以b=Va2-c2=>^所以橢圓C的方程為《+廿=1.6 2(2)當(dāng)，_Lx軸時(shí)，MN與x軸重合，不符合題意，當(dāng)直線，與x軸重合時(shí)，|MN|= |4B|=2a=2\/6?所以瑞洋=：；當(dāng)直線，斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)I:x=ty-2,4(xi，yjB(x2,y2),MN:x=-jy-2,jt；6=(t2+3亞2-4ty-2=0,A=(4t)2+8(t2+3)>0由韋達(dá)定理y/2=一島，yi+丫2所以|4B|=71+121yl-y2\=V1+t2VCyi+y2)2-^^2=2傷捺同理|MN|=2在粉所喘=急=總+舟嗚3)綜上所述，黑的取值范圍是6,3).13.已知橢圓E《+\=l(a>b>0)的離心率為耳，左、右頂點(diǎn)分別是4,B,且|4B|=4.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知M,N是橢圓E上異于A,B的不同兩點(diǎn)，若直線4M與直線AN的斜率之積等于-1,判斷直線MN是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.【答案】(i)y+y2=1(2)過定點(diǎn)(一，,0)；【解析】(1)解：由離心率6=￡=3=G二叵可得42=4爐，a2ya2又由左、右頂點(diǎn)|A8|=4可得2a=4,所以a=2,b=1,所以橢圓的方程為：9+y2=i：(2)解：由(I)可得4(一2,0),當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為丫=k刀+3設(shè)/V(x2,y2),聯(lián)立整理可得：(1+4/)%2+8/￡5+4t2-4=0,(xz+4y，=4A>0,即641/一4x(1+41)(4/_4)>o,可得產(chǎn)v1+41,TOC\o"1-5"\h\z口, —8kt 4t2—4且無1+工2=…,2,%1%2———x/l+4k2 1/l+4fc2k.k二當(dāng)力一力力 —(hi+t)(kM+±)=k2MQ+t儀X]+X2)+d=*2 二AMAN-丁+2.x2+2―(x1+2)(x2+2)—("2)(m+2)-r1x2+2(x1+X2)+4-44 -8町 -l+4k2 l+4k2t2—4k2 t =—1?4t2-16kt+16k2整理可得5t2-i6kt+l6k2=0,可得t=2k或t=2匕符合A>0,所以直線MN的方程為：y=k(x+3或丫=k(x+2),所以直線恒過(一:0)或(一2,0)(舍去)，所以直線MN的方程為：y=kx+，=k(x+)可得直線MN恒過(-20)點(diǎn)；當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)宜線MN的方程為x=3代入橢圓的方程，可得y=±Ji_f,設(shè)M(t, 'N(t,_J1 ，則々4M.kAN= -二=-1,解得"-冢t=一2(舍)，所以直線恒過定點(diǎn)(-3,0),綜上所述：直線MN恒過定點(diǎn)(一，0).14.已知橢圓C：捻+，=l(a>b>0),點(diǎn)Bi，B2分別是橢圓C短軸的端點(diǎn)，橢圓C的焦點(diǎn)F也是拋物線y2=8%的焦點(diǎn)，且F/1FB2.(1)求橢圓C的方程：(2)設(shè)過點(diǎn)F且斜率不為0的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),問x軸上是否存在定點(diǎn)尸，使點(diǎn)F到直線8尸的距離與點(diǎn)尸到直線4P的距離相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1嚀+9=1(2)存在，P(4,0)【解析】(1)、?橢圓C的焦點(diǎn)廠也是拋物線y2=8x的焦點(diǎn)???c=2又FBi1FB2,???△FBi82是等腰直角三角形

.."='=23=廿+°2=8所以橢圓0的方程為：?+?=1(2)如圖所示，假設(shè)點(diǎn)P存在，設(shè)FQ,FH分別為點(diǎn)尸到直線P4PB的距離:?乙FPQ=NFPH接下來只需要說明存在點(diǎn)P,使得/FPQ="尸H即可設(shè)%),8(X2,、2)，直線48的方程為X=my+2將直線4B與橢圓C方程聯(lián)立，消去x整理得到：(m2+2)y2+4my—4=0；?yi+由題意，PF平分乙4PB,則直線P4,PB的傾斜角互補(bǔ)，所以kpA+kpB=O二含+含=°將必=myi+2/2=my2+2代入上式,整理得:需設(shè)：爆黑號=0?-2myiy2+(2-t)Si+y2)=o-4m-4m2-4m-4m2+2 —m2+2代入上式整理得：47n(t—4)=0由于上式對任意實(shí)數(shù)nt都成立，所以t=4即存在點(diǎn)P(4,0)使得點(diǎn)尸到宜線8P的距離與點(diǎn)尸到宜線4P的距離相等15.已知橢圓氏2+\=l(a>b>0)的焦距為2,一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,2).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;⑵過點(diǎn)尸(0,3)的直線/斜率為4,交橢圓E于不同的兩點(diǎn)8、C,直線48、4C分別交直線y=3于點(diǎn)M、N.求|PM||PN|的值.【答案】(1審+9=1,25【解析】2c=2(1)由題設(shè)｛ b=22c=2(1)由題設(shè)｛ b=2a2-b2=c?則仿2=4，故E標(biāo)準(zhǔn)方程為土4--=1且e=-=

5 4 a5C=1

(2)由題設(shè)，AB-.y=^x+2,則"m=鼻，同理"n=/，xb vb~^ yc~z而Ly=kx+3,聯(lián)立橢圓可得(4+5k2)%2+30kx+25=0,所以△=900k2-100(4+5k2)=400(1-1)>0,可得k>1或k<-1,且4+和=一藤，孫粒=康>0，所以|PM||PN|=\XmXn\=\』事=1西瓷舐市T16.已知橢圓C』+，=l(a>b>0)的離心率為多上下頂點(diǎn)分別為4B,且|48|=4.過點(diǎn)(0,1)的直線與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M,N(不與點(diǎn)4B重合).(1)求橢圓C的方程；(2)若直線AM與直線y=4相交于點(diǎn)P,求證：B,P,N三點(diǎn)共線.【答案】(1)9+?=1(2)證明見解析【解析】(2b=4,(1)解：根據(jù)題意，］-=—, 解得q2=8/2=4.(q22b2+c2所以橢圓C的方程為：-4-^=1. ...8 4(2)(2)由⑴知,4(0,2),8(0,—2).根據(jù)題意，直線MN的斜率一定存在，設(shè)直線MN的方程為y=kx+L由「2+2y：-8=0,得-+1)/+4依—6=0.(.y=kx4-1根據(jù)題意，A>0恒成立,設(shè)M(;q,yi),N(X2，y2)?則+x2=-^k>xxx2=96.直線4M的方程為y-2=久二x,41令y=4,得》=警，所以P(巖，4).刈一2 y1一2因?yàn)橐?,-2),做孫丫2)，則直線BN,BP的斜率分別為Mn=竽,Mp=吟藝，x2 xlj.廿_%+2 3(%-2)_x1(y2+2)-3x2(yi-2)Kdm-Kon- - .

又+2)—3必(%-2)=(fcx2+3)- 1)?=-2kxtX2+3("+x2)?7—+3X苦,=0.所以/^BN=^BP9所以B,P,N三點(diǎn)共線.軸不重合的直線/交17.已知橢圓后碎+\=1(￡1>6>0)的右頂點(diǎn)為4(2,0),離心率為右過點(diǎn)P(6,0)軸不重合的直線/交橢圓E于不同的兩點(diǎn)B,C,直線4B,4c分別交直線x=6于點(diǎn)M,N.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)。為原點(diǎn).求證：/.PAN+Z.POM=90°.【答案】(1)9+?=1；(2)證明見解析.【解析】(1)解：由題得a=2,^=a=2,c=1,b=V3,所以橢圓E的方程為江+工=1.4 3(2)解：要證ZPAN+4PoM=90。，只需證4P4N=90。一NPOM,只需證明tanzJMN=——二只需證明tanz_P4N-tanzPOM=1,tanzPOM只需證明他n,k°M=L設(shè)M(6,m),N(6,n),只需證明自￡=1,只需證明nui=24.設(shè)直線/的方程為y=k(x-6),k豐0,聯(lián)立橢圓方程?+?=1得(3+4k2)/-48k2》+144k2-12=0,設(shè)所以A>0"i+x2=言*,x62=d?,又A,B,M三點(diǎn)共線，所以十=盧7，二加=鳥，同理n=托,qX-y-L X]-/ X2—/生_X3「6k2g-6)(X2-6)必-2 X2-2— (%1-2)(孫一2)16/c2|x1x2-6(xi+x2)+361所以mn=“，2r144MT所以mn=“，2r144MT2八，48k2-八 ,16”]“小2…百;淳+36| 16kzX96144k2-12 48k23；,%/-2x^q+4=64k2=24.所以4PAN+乙POM=90°..已知橢圓C：，+'=l(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)P(2,l),尸到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為4位.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)Q(4,0),R為PQ的中點(diǎn)，作PQ的平行線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,直線4Q與橢圓C交于另一點(diǎn)M,直線BQ與橢圓C交于另一點(diǎn)M求證：M,N,R三點(diǎn)共線.【答案】(1嚀+?=1(2)證明見解析【解析】(1)根據(jù)橢圓的定義可得2q=4V2，解得q=2四，又過點(diǎn)P(2,l),所以2+表=1，解得爐=2,所以橢圓C的方程為江+^=1.(2)因?yàn)镻(2,l),Q(4,0),8 2所以R(3,：)，kPQ=^=-i,設(shè)直線/的方程為y= +m,A(Xi，yJ,B(X2，y2)，M(Xm，%n),N(Xn，%)，所以心Q=含水畋=會,所以直線AQ的方程為y=含(X-4),直線8。的方程為y=券(X-4),消去X可得[(矛)2+d消去X可得[(矛)2+dy