北京市十年高考數(shù)學(xué)真題(2013-2022)與優(yōu)質(zhì)模擬題(一二模等)精華匯編專題06平面向量(含詳解)

大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質(zhì)模擬題（北京卷）專題06平面向量真題匯/電 1.【2022年北京卷10臍△ABC中，4；=3,BC=4/C=90。.P為△48C所在平面內(nèi)的動點，且PC=1,則瓦？.方的取值范圍是（）A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6]2.【2019年北京理科07】設(shè)點A,B,。不共線，則“筋與后的夾角為銳角”是“腦+/>|/T的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件-*T T-tT —I.【2018年北京理科06】設(shè)a,b均為單位向量，則“|a-3bl=|3a+川”是“a，b”的（ ）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件.[2017年北京理科06]設(shè)蔡，蔡為非零向量，則“存在負數(shù)入，使得藐=入，'是"rAG<0”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件->T一 一>T.【2016年北京理科04】設(shè)a,b是向量，則"|a|=|b|"是“|a+b|=|a—b|”的（ ）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件.【2021年北京15】&=（2,1）,5=（2,-1），c=（0,1）,則伍+勵工=:ab=..【2015年北京理科13】在△A3C中，點、M,N滿足AM=2MC,BN=NC,若MN=.MB+”1C,則x=，y=?T T TTT.【2014年北京理科10】已知向量a,b滿足|a|=l,b=（2,1）,且;la+b=0（入eR）,則閃=.TT— T TT 入.（2013年北京理科13]向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c=Aa+岫（A,|1GR）,則[=_

.【2020年北京卷15】已知正方形的邊長為2,點P滿足Q=1而+而），順而|=；PB.PD=.模擬好題 1.已知平面向量a,3滿足忻1=2,同=1,且五與石的夾角為手，則|五+同=（）A.V3 B.V5 C.V7 D.32.已知。是邊長為2的正△ABC邊BC上的動點，則而.標(biāo)的取值范圍是（）A.[V3,4] B.[V3,2]C.[0,2] D.[2,4].已知向量乙b,在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則I五-aBiQeR）的最小值是（）A.A.2 B.V5 C.延D.蔡5 3.已知看是單位向量，向量五滿足：工2京41,則同的取值范圍是（）A.（0,+oo） B.（0,1]C.曲+8） D.[1,1].已知向量2=（0,1）,b=（1,V3）,則d在石上的投影向量為（）A.V3a B.郁 C,骨 D.風(fēng).已知向量五，石,，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底｛五石｝表示號則（

A.c=2a-3hB.c=-2a-3bC.c=-3a+2bD.c=3a-2b.已知M為△ABC所在平面內(nèi)的一點，|麗|=|就|=1,且荏=麗+就，麗?祝=一去則方?方=()A.0 B.1 C.V3 D.3.已知向量五萬滿足同=2,G與B的夾角為60。，則當(dāng)實數(shù);I變化時，后一發(fā)|的最小值為()A.V3 B.2 C.V10 D.2V3.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù).圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形前紙窗花.圖2中正六邊形4BCCEF的邊長為4,圓。的圓心為該正六邊形的中心，圓。的半徑為2,圓。的直徑MN||CC,點P在正六邊形的邊上運動，則兩?麗的最小值為()圖2TOC\o"1-5"\h\z.在A4BC中，AC=4,8。=3,點P是AB的中點，則瓦？.而=( )7 一7A.- B.7 C.-- D.-72 2.已知向量五=(一2,3),b=(6,m).若,1B，則巾=..已知向量d=(—2,3),b=(x,-6).若五||3，貝k=..已知向量d,K，不滿足d+B+乙=6,且|磯=1,a-h=0，貝必?,=..△4BC為等邊三角形，且邊長為2,則荏與府的夾角大小為,若?而?=ltCE=前，則而?箱的最小值為..已知五、3是單位向量，1=2+2石且五則2?a,|c|=..已知平面向量五，3的夾角為120。,且㈤=2,同=4,則小石的值為,|五一同(￡€r)的最小值為..△ABC為等邊三角形，且邊長為2,則而與床的夾角大小為120。，若|而）|=1,CE=EA，則而?麗的最小值為..在矩形ABC。中，AB=2,BC=V3,點P在AB邊上，則向量而在向量而上的投影向量的長度是一一,亦?麗的最大值是..己知菱形ABCC的邊長為l,NBAC=60°,而=4荏（4>0）.當(dāng)4=泄，后.而=；當(dāng)麗?麗取得最小值時，4=..已知百，行是平面單位向量，且瓦?芍=0.若平面向量石滿足1瓦>=1,心回+可）=2,則曲= ?大數(shù)據(jù)之十年高考真題(2013-2022)與優(yōu)質(zhì)模擬題(北京卷)專題06平面向量真題匯總 1.12022年北京卷IOKaABC^.AC=3,BC=4,zC=90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC=1,則萬.方的取值范圍是()A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6]【答案】D【解析】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則C(0,0),4(3,0),8(0,4),因為PC因為PC=1,所以P在以C為圓心,1為半徑的圓上運動,所以尸4=(3—cos。,一sin。)，PB=(—cos。,4—sin0)?所以P4?PB=(—cos0)x(3—cos0)+(4—sin6)x(—sin0)=cos20—3cos0—4sin0+sin20=1—3cos0—4sin0=1—5sin(0+卬)，其中sin@=|,cos(p=%因為一1<sin(04-<p)<1,所以一4<1-5sin(0+(p)<6,即西?~PBG[-4,6];故選：D—>—> —> —> —>2.【2019年北京理科07】設(shè)點A,B,C不共線，則“40與4c的夾角為銳角”是“0B+>。>網(wǎng)?|”的( )C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】解：點A,B,C不共線，“圓與h的夾角為銳角”=U\AB+AC\>\BC\n,U\AB+AC\>\BC\n="幾與后的夾角為銳角”，設(shè)點A,B,C不共線,則“G與￡?的夾角為銳角”是U\AB+AC\>\BC\n的充分必要條件.故選：C.TOC\o"1-5"\h\z-?T tT->T ->T.【2018年北京理科06】設(shè)a,b均為單位向量，則“|a-3bl=|3a+川”是“a，b”的（ ）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件TT —T【答案】解：???“|a-3bl=|3a+b|”二平方得向2+9評-=9|a|2+|b|2+6a?6,即1+9-6a*b=9+l+6a*b,TT即12a*d=0,則=0,即￡j_b,TT t-? t-?則“|a-3川=|3a+b|”是"a_Lb”的充要條件，故選：C..［2017年北京理科06］設(shè)蔡，蔡為非零向量，則“存在負數(shù)入，使得蔡=證”是um-n<D”的（ ）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】解：m,Z為非零向量，存在負數(shù)入，使得益=證，則向量茄，［共線且方向相反，可得益G<0.反之不成立，非零向量藍，靛勺夾角為鈍角，滿足蔡4<0,而蔡=忘不成立.蔡，5為非零向量，則“存在負數(shù)入，使得藍=證”是藍?￡<0”的充分不必要條件.故選：A.->T一 一>T —T—T.【2016年北京理科04】設(shè)a,b是向量，則''|a|=|b|"是“|a+b|=|a—b|”的（ ）

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】解：若“同=網(wǎng)”，則以a,b為鄰邊的平行四邊形是菱形;若“|a+W=|a-b|",則以a,b為鄰邊的平行四邊形是矩形:T T 1 — —T故u\a\=\b\n是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要條件；故選：D..【2021年北京15】d=(2,i),b=(2,-1).c=(0,1)，則伍+母1=;ab=.【答案】0 3?.?a=(2,l),b=(2,-l),c=(0,l).???d+b=(4,0)?a(a4-6)-c=4x0+0xl=0?dh=2x2+lx(-1)=3.故答案為：0；3.TOC\o"1-5"\h\zT TT T T T T7.【2015年北京理科13】在△ABC中，點M,N滿足4M=2MC,BN=NC,若MN=MB+"lC/iJx=11-6T1-2XER),則|入|=【答案】解：由已知得到MN=MC+CN="C+*CB=掾4C+*(4B-AC)11-6T1-2XER),則|入|=1故答案為：6TT T T TTT.【2014年北京理科10】已知向量q,b滿足|a|=l,b=(2,1),PUq+b=0(【答案】解：設(shè)。=(x,y).TjT T_*T化為入2=5.二向量a,b滿足|a|=l,b=(2,D,且;la+b=0(AeR),/.Aa+b=A(x>y)+(2,1)=(化為入2=5.解得Ml=Vs.故答案為：V5., , tTt — T T T.[2013年北樂理科13]向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c=/Iq+油(入，咋R),則A_

TT【答案】解：以向量a、b的公共點為坐標(biāo)原點，建立如圖宜角坐標(biāo)系可得q=(-I,I),b=(6,2),c=(-1,-3)=71?6",解之得入=-2且尸-(—3=4+2〃2 —2因此，一=-1=4u—2故答案為：4：:：：!： 10.【2020年北京卷15】已知正方形ABCD的邊長為2,點P滿足9=*而+而）,貝力麗|=：而?而=.【答案】遮-1【解析】以點4為坐標(biāo)原點，AB,4。所在直線分別為x、y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點4(0,0)、8(2,0)、。(2,2)、。(0,2),4P=1(AB+^C)=i(2,0)+i(2,2)=(2,1),則點P(2,l),.?.麗=(-2,1),而=(0,-1),因此，|同|=V(-2)2+I2=V5,RBPD=0X(-2)+1X(-1)=-1.故答案為：V5；—1.^以女乎為1 L已知平面向量“滿足㈤=2,同=1,且五與石的夾角為y.則|五+可=（）A.V3 B.V5 C.V7 D.3【答案】A【解析】V|a|=2,\b\=1,且五與5的夾角為拳..a-b=2x1xcos—=—1,?■|a+b\=（a+b）2=a2+2a-6+d2=2Z—2x1+I2=3>|a+h|=V3.故選：A.2.已知。是邊長為2的正△4BC邊BC上的動點，則荏.標(biāo)的取值范圍是（）A.[73,4] B.[73,2]C.[0,2] D.[2,4]【答案】D【解析】由。在邊BC上運動，且△ABC為邊長為2的正三角形，所以^\AB\cosz.DABe[1,2]-由荏-AD=\AD\\AB\cosz.DAB€[2,4].故選：D3.已知向量五，b，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則|五-4司QeR）的最小值是（）B.V5B.V5【答案】C【解析】

如圖以向量五，B的起點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)a的終點為a,B的終點為8,根據(jù)向量的幾何意義可知怔-茄1(26R)的最小值，表達是A點到向量3的距離，即圖中虛線段的長度，故可設(shè)向量B所在的直線方程為丫=一梟，即x+2y=0,點4(2,1),故&=嘿=3=￥故選：C故選：C【答案】C【解析】依題意，五?3=I五|,同?cos{a,e)=|a|?依題意，五?3=I五|,同?cos{a,e)=|a|?cos(a,e)cos(a.e)9又,.,()<cos(a,e)<1, |a|>|,故選：C..已知向量d=(0,1),石=(1,8),則d在3上的投影向量為()A.V3a B.Rb C.4d D.>/3b【答案】B【解析】設(shè)五與3的夾角為仇則d在江的投影向量為：同8S0.白=悶.贏.向=胃.向=約.故選：B..已知向量五，b，口在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底｛五3｝表示乙則()

c=2a-3bB.c=-2a-3bC.c=-3a+2bD.cc=2a-3bB.c=-2a-3bC.c=-3a+2bD.c=3d-2b【答案】D【解析】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1,則4(L0),B(2,l),C(0,4),D(7,l)所以6=(1,1)，b=(-2,3)1 =(7,-3),設(shè)向量五+n?，則己=ma+nb=(m-2n,m+3n)=(7,—3)則｛:m-2n=7m4-3n=-3=m=3

n=-2所況=31-21.已知M為△ABC所在平面內(nèi)的一點，\MB\=\MC\=1，且同=麗+就，麗?耐=()A.0 B.1 C.V3 D.3【答案】D【解析】由南=麗+祝，則而+麗=祠=就，所以4M,C共線，即M為AC中點，如下圖：

又=|MC|=1且MB,MC=-1,HPcosZ-BMC=而乙BMCG(0,n),所以4BMC=芋，故"=三則BC=8，AC=2,3 o所以石＜"CB=|M||CB|cosC=3.故選：D.已知向量五］滿足同=2,五與3的夾角為60。，則當(dāng)實數(shù)%變化時，區(qū)—4句的最小值為（）A.V3 B.2 C.V10 D.273【答案】A【解析】當(dāng)?shù)滓欢?五時,歷一4五|取得最小值，過8作BE10A,即區(qū)一4五|取得最小值為|BE|,因為2與B的夾角為60°,所以48。4=60°,Z.BE0=90°,\0B\=2,所以|BE|=V3.故選：A..窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù).圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形前紙窗花.圖2中正六邊形4BCCEF的邊長為4,圓。的圓心為該正六邊形的中心，圓。的半徑為2,圓。的直徑MN||CD,點P在正六邊形的邊上運動，則麗?麗的最小值為（）

p.圖1圖2A.5B.6Cp.圖1圖2A.5B.6C.7D.8△OCD,A△OCD,AODE.AOEF,△。兄4均為邊長為當(dāng)點P位于正六邊形4BCDEF的頂點時，|麗|取最大值4,當(dāng)點P為正六邊形各邊的中點時，|麗|取最小值,即同lmm=4s嗚=2/PO2-4e[8,12].（PO+OM）（PO+O/V）=（即同lmm=4s嗚=2/PO2-4e[8,12].麗?麗的最小值為8.故選：D..在A4BC中，AC=4,BC=3,點P是AB的中點，則瓦？.郎=(D.B.7D.【答案】A【解析】在AABC中，點P是AB的中點，所以而=((不+而)，而=不一瓦,所以而?CP=（C4-CB）1（C4+CB）=1（G42-CS2）=1（42-32）故選：A.已知向量d=(一2,3),b=(6,m).若&13,則巾=?【答案】4【解析】解：因為五=(—2,3),b=(6,771) 1b>所以五i=-2x6+3xm=0，解得m=4；故答案為：4.己知向量d=(—2,3),b=(x,-6).若G||石，則％=.【答案】4【解析】向量d=(-2,3),b=(x,-6)1G||b，2)x(―6)-3x=0,解得*=4.故答案為：4..已知向量苴，b<1滿足五+3 =6，且I五I=1，a-b=0-貝皈.【答案】-1【解析】因為1+6+^=6,所以/=—(,+3).所以d-c=d-[—(a+b)]=—a2—ab=-1.故答案為：-1..△ABC為等邊三角形，且邊長為2,則而與前的夾角大小為，若?而?=l,CE=EA，則而■箱的最小值為.【答案】120°#吟-3-V3【解析】由題意知，如圖，由△ABC為等比三角形，得B=60%所以<荏,而>=120°:因為而=瓦5，所以點E為AC的中點，則而=[而+：說，又而=而+前，所以而?而=(而+而)?仁前+(前)=--|4F|2 -BC+ -BA+；BDBC=--x4+-x2x2cosl20°+-~BD-(BA+BC)=-3+2 2 2 2 2 2 2BDBE=-3+畫畫cos<BD.JE>>=3+V3cos<BD,BE>>又(而，詬>e[0,180°].所以cos<'BD,'BE>mm=-3所以(而?函min=-3-V3.故答案為故答案為：120°；-3-V3..已知五、3是單位向量，e=d+2B且?姆貝皈1=>|c|=.【答案】 —^##—0.5V3【解析】因為1=五+且五1c,Wja-c=a1(a+2b)=a2+2a-b=1+2d-h=0.可得4?3=一3\c\2=(a+2b)=a2+4a-b+4b2=1+4x(—J+4=3,故隨|=y/3-故答案為：一：：V3..已知平面向量五，3的夾角為120。，且位|=2,同=4,則五7的值為 ，怔一團(CWr)的最小值為.【答案】-4 y/3【解析】因為平面向量五，3的夾角為120。，且為=2,同=4,所以2?B=|a||h|cosl20°=2x4x(—J=-4.|a—tb\=J(a—tb)2=y/a2—2td-b+t2b2=V16t2+8t+4= + +3>V3,所以當(dāng)t=，時，|五一國QCr)的最小值為代，故答案為：—4,V3

.△4BC為等邊三角形，且邊長為2,則而與刀的夾角大小為120。，若|而)|=1,CE=EA，則而?布的最小值為_ .【答案】一3-百【解析】因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，且及:=方，則E為4c的中點，故BE1AC,以點B為坐標(biāo)原點，BE.而分別為x、y軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,FE=(V3,0).AD=(cos6-V3,sin0-1).所以，AD-J