2022年高考數(shù)學(xué)理科版復(fù)習(xí)講義大題小做第3單元

大題小做考點7概率與統(tǒng)計的綜合大題?題型分析在高考試卷中，有關(guān)概率與統(tǒng)計的試題通常是對課本試題進(jìn)行改編，通過對基礎(chǔ)知識的重新組合、變式和拓展,從而加工為立意高、情境新、設(shè)問巧并賦予時代氣息和貼近學(xué)生實際的問題.這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計理念，體現(xiàn)了人文教育的精神和數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識.有關(guān)概率與統(tǒng)計的試題主要考查基本概念和基本公式,如古典概型、幾何概型、互斥事件的概率、獨立事件的概率、條件概率、事件在"次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生4次的概率、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望及方差、二項分布、頻率分布、莖葉圖、抽樣方法以及正態(tài)分布等內(nèi)容.小做?柝解技巧庖丁解題高考真題過程拆解（2017年全國/卷,19）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸（單位:cm）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布吟.（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記『表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在（"3。，〃，3。）之外的零件數(shù)，求凡疹1）及才的數(shù)學(xué)期望.（2）一天內(nèi)抽檢的零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（〃3。,〃+3。）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這出的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過觸行也（/）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（〃）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95,.一 116 316 1116經(jīng)計算得又亮Zm力.97巴/2Z（乂田2二/白（右卜16又）=0.212,其中,匕l(fā)oj=i Nloi=i Nloi=l為抽取的第/個零件的尺寸,2，…,16.用樣本平均數(shù)S作為〃的估計值出用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計值;，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.剔除（；*3；）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計“和"（精確到0.01）..由二項分布可知，X'R（n,p],n=\f>,p=\-0.99744）.0026,尺念1）=1-尺14），EX=np..一旦小概率事件發(fā)生，就說明生產(chǎn)過程出現(xiàn)了異常情況.A A A A.通過求解“*3。和口-3o的值來確定需剔除的數(shù)據(jù)..靈活運用平均數(shù)與方差的計算公式來求解剩下健的平均數(shù)和方差.

附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布A( 則H-3o<Z<u*3o)R.9974,0.9974,6=?0.9592,%).008=0.09.答題模板評分細(xì)則解：(1)抽取一個零件的尺寸在("-3%"+3。)之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸在(〃-3〃+3。)之外的概率為0.0026,故才旗16,0.0026), 2分得分點。因此/(后1)=17140)=1-0.9974“4.0408. 1分得分點②了的數(shù)學(xué)期望為￡1=16X0.0026=0.0416. 1分得分點③⑵(/)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(〃-3。,〃+3。)之外的概率只有0.0026,一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(〃-3。，〃+3。)之外的零件概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程中可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的 3分得分點@A(〃)由五力.97,s4.212,得P的估計值為24.97,。的估計值A(chǔ) AA。=0.212,則口-3。=9.97-AA3X0.2123.334川+3。=9.97+3XO.212=10.606.由樣本數(shù)據(jù)可以看A AA A出有一個零件的尺寸9.22在g-3o,尸3。)之外,因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢直剔除(；J,；+3；)之外的數(shù)據(jù)9.22,.1分得分點⑤剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2X(16X9.97-9.22)=10.02,因此"的估計值為10.02 2分得分點⑥162x?-16X0.212^16X9.97?=1591.134,i=l剔除/-3；〉3；)之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的方差為-X(1591.134-9.222-15X10.02*0.008.因此。的估計值為J0.008~0.09 2分得分點⑦第⑴問踩點說明(針對得分點(2W)：2求出，丫的分布列得2分；②利用概率公式求出尺層1)的概率得1分；淵用』分布的數(shù)瓢望計算公式求解得1分.第⑵問踩點說明(針對得分點麗11用“小概率事件”理論進(jìn)行說明得3分；⑤E確找出需要剔除的數(shù)據(jù)9.22得1分；@正確計算出剔除數(shù)據(jù)后的所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)"的估計值10.02得2分；3正確計算出剔除數(shù)據(jù)后的所有數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差"的估計值0.09得2分.導(dǎo)向訓(xùn)練頻數(shù)頻數(shù).某公司計劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購買，那么每個500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)彳導(dǎo)到如圖所示的柱狀圖.用這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記/表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)〃表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù).⑴求I的分布列.⑵若要求尺才4力30.5,請確定〃的最小值.⑶以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在〃=15與片16之中選其一,應(yīng)選用哪個？過程導(dǎo)引解析由柱狀圖求出一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)及相應(yīng)的概率，再由獨立事件概率計算公式求出2臺機(jī)器在三年內(nèi)需要更換的易損零件數(shù)及相應(yīng)的概率，寫出分布列.根據(jù)⑴中的分布列對“分別取值檢驗.解:(1)由柱狀6,7,8,9的概率分另則J的取值為⑵^12)=0.2X0J尺1刁3)=2X0.2KI\X=\^ZXQ.2X欠六16)之*0.2小尺7)之X0.2小AX=18)《).2X0」所以X的分布列力圖并用頻率代替概率可得，一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件為!|為0.2,0.4,0.2,0.2,13,14,15/6,17/8,從而20.04,'0.4=0.16,U2^0.4X0.44).24,'0.2+2X0.4X0.24).24,U4XJ.2X0,24).2,‘0.24).08,2a04.勺X12131415161718分別求出“15與〃=16時易損零件所需費用的期望值，哪一種費用較少，就選哪一種.P0.040.160.240.240.20.080.04⑵由⑴知/1W14)4).44,尺啟15)巾.68,故〃的最小值為15.⑶記「表示2臺機(jī)器在購買易損零件上的所需費用(單位:元).當(dāng)73=15時，數(shù)學(xué)期望X200X0.68^15X200%00)X0.2式15X2OO+2X500)X0.08^15X200+3X500)X0.04與240(元).當(dāng)〃=16時，數(shù)學(xué)期望EY=\f>X200X0.88*(16X200出00)X0.08416X200+2X500)X0.04=3280(元).所以，尸15時所需費用的期望值小于〃=16時所需費用的期望值，故應(yīng)選77=15.

.全國兩會召開前夕，某網(wǎng)站推出兩會熱點大型調(diào)查專題活動，調(diào)查數(shù)據(jù)表明,民生問題是百姓最為關(guān)心的熱點,參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查者中隨機(jī)選出200人,并將這200人按年齡分組:第1組［15,25),第2組［25,35),第3組［35,45),第4組［45,55),第5組［55,65).得到的頻率分布直方圖如圖所示.⑴現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取12人,再從這12人中隨機(jī)抽取3人贈送禮品，求抽取的3人中至少有1人年齡在第2組的概率；0.150.100.050.0250.0100.0050.001An2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828,n=a+b+c+d.⑵若從所有參與調(diào)直的人(人數(shù)很多)中任意選出3人,記不關(guān)注民生問題的人數(shù)為.1；求1的分布列與期望；⑶把年齡在第1,2,3組的居民稱為青少年組年齡在第1,5組的居民稱為中老年級若選出的200人中不關(guān)注民生問題的人中老年人有10人,是否有,n=a+b+c+d.過程導(dǎo)引解析先根據(jù)頻率分布直方圖利用頻朝口為I求出*的值,再求出第1,2,3組的人數(shù)確定按分層抽樣法從每組中抽取的人數(shù)求“至少有1人年齡在第2組的概率”，可以利用它的對立事件的概率來求解.不關(guān)注民生問題的人數(shù),1刃齦二項分布，然后用公式尺木詞=€3>"(1-。廣)加，即可求出X的分布列和期望.根據(jù)頻率分布直方圖完成2X2列聯(lián)表，然后^用片的公式求出《的觀測值4再結(jié)合參考值，做出解:⑴由10X(0.01V0.015—卻.034).01)-1,^a=O.035.所以第1,2,3組的人數(shù)分別為20,30,70,從第1,2,3組中用分層抽樣法抽取12人，則第1,2,3組抽取的人數(shù)分別為2,3,7.故從12人中隨機(jī)抽取3人至少有1人的年齡在第2組的概率/。月卷=1卷噌.⑵由題意可得/的取值依次為0,1,2,3,且￥以3,§.所以尺片0)W(i9'嘿/U=l)嗎電(1學(xué)嗡，嘿，/U閭叫)'噎.所以4的分布列為X0123P數(shù)學(xué)期望阱3號!⑶設(shè)青少年中有x人不關(guān)注民生問題.因為不關(guān)注民生問題的概率片,而中老年人中有10人不關(guān)注民生問題，所以益與解得*=30.所以可得2X2列聯(lián)表如下：關(guān)注民生問題不關(guān)注民生問題總計青少年9030120n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

判斷中老年701080總計16040200”的觀測值上筆鬻需A6875<6.635,所以沒有99$的把握認(rèn)為關(guān)注民生問題與年齡有關(guān).突破?針對訓(xùn)練1.一企業(yè)從某條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取30件產(chǎn)品，測量這些產(chǎn)品的某項技術(shù)指標(biāo)值X得到如下的頻數(shù)分布表:X邑6)[6,8)[8,10)[10/2]頻數(shù)26184⑴估計該技術(shù)指標(biāo)值的平均數(shù).（以各組區(qū)間中點值為代表）⑵若或X>10,則該產(chǎn)品不合格,其余的是合格產(chǎn)品,生產(chǎn)T牛產(chǎn)品，若是合格品，則可盈利100元;若是不合格品則虧損20元，從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取出2件記才為這2件產(chǎn)品的總利潤，求隨機(jī)變量『的分布列和期望.【解析】⑴該技術(shù)指標(biāo)值的平均數(shù)為5X梟7嚙瑪?shù)?X±=8.6.⑵該條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率是等V，隨機(jī)變量1的所有可能取值為200,80,70.代是200）告哈41awo）<?WW嗡111X20080-40X20080-40P1625825125數(shù)學(xué)期望以吻。Y）X-^-153.44.2.某市場調(diào)研機(jī)構(gòu)對在，1雙十一”網(wǎng)上購物的〃名年齡（歲）在［20,70］的消費者進(jìn)行了年齡段和性別分布的調(diào)查，其結(jié)果統(tǒng)計如表：年齡（歲）[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]女7050403020男303020m10⑴若按年齡用分層抽樣法從被調(diào)查者中抽取84人,其中在［20,40）內(nèi)抽取了48人，求0的值.⑵在⑴的條件下,用分層抽樣的方法在［50,60）歲的消費者中抽取一個容量為9的樣本，將該樣本看成一個總體,從中任取3人，記I表示抽得女性消費者的人數(shù)，求隨機(jī)變量1的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】⑴由題意彳導(dǎo)抽樣比為70+3。20+3。噌，所以4所以4。+2。+3。+皿+2。+1。卞,解得"T5-X0I2X0I23P1813141528521參考公式/五扁懸兩，其中【解析】⑴補(bǔ)充完整的2X2列聯(lián)表如下:喜歡美術(shù)不喜歡美術(shù)ni+男生2080100女生7030100合計90110200⑵用分層抽樣的方法在［50,60）歲中抽取一個容量為9的樣本則抽取的女性消費者的人數(shù)為才的取值是0』,2,3,貝?。莸┮把沙咄瑫x京，凡憶）曲1支8仁）量二中4cl2mzC32「所以隨機(jī)變量I的分布列為數(shù)學(xué)期望小0W+14+2X梟3X怖■Z.O^rIQ4oc,1.某普通中學(xué)擬開設(shè)美術(shù)課.為了了解學(xué)生喜歡美術(shù)是否與性別有關(guān)，該學(xué)校對男女生各100名進(jìn)行了問卷調(diào)查彳導(dǎo)到如下列聯(lián)表：喜歡美術(shù)不喜歡美術(shù)合計男生80100女生70合計200鄧0.150.W0.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828⑴請將上述2X2列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜歡美術(shù)與性別有關(guān)系.⑵針對問卷調(diào)查的200名學(xué)生，學(xué)校決定從喜歡美術(shù)的人中按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取9人成立美術(shù)宣傳組,并在這9人中任選2人作為宣傳組的組長，設(shè)這2人中男生人數(shù)為J；求才的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：n=a+b+c+d.計算得《的觀測值在黑黑黑’=50.51X0.828,所以能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜歡美術(shù)與性別有關(guān)系.⑵喜歡美術(shù)的共90人，按分層抽樣抽取9人，則每人被抽到的概率均為春從里面需抽取男生2人，女生7人,故X的所有可能取值為0,1,2.N檐令加)警磊/曲)日磊故.1的分布列為X012P712718136數(shù)學(xué)期望以4.某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書興趣，特舉辦讀書活動，準(zhǔn)備購買一定數(shù)量的書籍豐富小區(qū)圖書站.由于不同年齡段需看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對小區(qū)內(nèi)讀書人員(讀者)進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了一天40名讀者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段:［20,30),［30,40),［40,50),［50,60),［60,70),［70,80)后得到如圖所示的頻率分布直方圖.⑴求a的值；⑵估計在40名讀者中年齡分布在［30,60)內(nèi)的人數(shù)⑶若從年齡在［30,50)內(nèi)的讀者中任取2名，求這2名讀者年齡在［40,50)內(nèi)的人數(shù).1的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】⑴由頻率分布直方圖可得：10X(0.005+a埼.020埒.030X).025%)=1,解得a=0.010.(2)由頻率分布直方圖知年齡在［30,60)內(nèi)的頻率為(0.0104).020卅.030)X10=0.60,所以40名讀者中年齡分布在［30,60)內(nèi)的人數(shù)為40X0.60=24.(3)年齡在［30,40)內(nèi)的讀者有0.01X10X40乂人,年齡在［40,50)內(nèi)的讀者有0.02X10X40-8人.A■的所有可能取值是0,1,2,則的))警卡//y-uix_Cgc,_14W)品T?彳的分布列如下:XX012P11T16331433數(shù)學(xué)期望群ox*lX*2x^.1* 33 ?3?5?J5.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布表:質(zhì)量指標(biāo)值分組頻數(shù)頻率[165,175)100.02[175,185)450.09[185,195)1100.22[195,205)1650.33[205,215)1200.24[215,225)400.08[225,235)100.02⑴求這500件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均廊和樣本方差.、(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).⑵這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布M〃，。)其中〃近似為樣本平均數(shù)元。近似為樣本方差/.⑦利用該正態(tài)分布，求尺212.2<Z<224.4)；態(tài)某用戶從該企業(yè)購買了10。件這種產(chǎn)品，記1表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)求以附:2,若u,療)，貝(Jf\u-o<z<u+。)巾.6826,Hn-2a<Z<u+2。)丸9544.【解析】⑴抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均廊和樣本方差$分別為7=170X0.02+180X0.09+190X0.22+200X0.33+210X0.24+220X0.08+230X0.02200,sL=(-30):X0.024-20)-X0.09?-10丫X0.22mX0.33*10：X0.24+20-X0.08+30：X0.02=150.(2)。由⑴知質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布M200/50),從而H212.2<Z<224.4)書200+12.2<200+2X12.2)=1X(0.9544-0.6826)4).1359.②一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率/(187.8<Z<212.2)=7^200-12.2<Z<200+12.2)=0.6826.由題意知.1X100,0.6826),所以￡T=100X0.6826458.26.6.某品牌飲料公司對微商銷8~9-TOC\o"1-5"\h\z1 4 73 6 85售情況進(jìn)行中期調(diào)研，從甲地區(qū)隨機(jī)抽取8家微商一周的銷售金額(單位:百元)的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù)葉為個位數(shù).⑴若從甲地區(qū)中的8家微商中任取3家微商，求至少有1家銷售金額不超過1500元的概率.⑵已知乙地區(qū)微商中銷售額度超過2000元的約占g,若以樣本估計甲地區(qū)銷售情況,從甲、乙地區(qū)分別隨機(jī)抽取2家，求這4家微商中周銷售額度超過2000元的數(shù)量T的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】⑴由題意知,8家微商中，有5家周銷售額超過1500元，有3家沒有超過1500元.設(shè)事件,4為“3家微商中至少有1家銷售金額不超過1500元”，則入為“3家銷售額都超過1500元”，其概率尺八)等磊，所以玉)=1磊嗡(2)由樣本可知,甲地區(qū)銷售金額超過2000元的頻率為34,所以抽取的2家微商中銷售額超過2000元的數(shù)量X有1■識2,今；乙地區(qū)抽取的2家微商中銷售額超過2000元的數(shù)量M有y次制).所以六戶匕可取0,1,2,3,4.寸x(i3)Wl\X=\)=P(x=Q,y^)^f\x=\,y4))(-j)2xclx洛?xlx|x(i字與尺,*'=2)=A*=0,y2)*Ax=y=l)+Hx=2,y=0)=u.崎6xix(i4)xax|x(i§啜中全嗡尺才3)=f\x=\,y^+f\x=2,y=\)g耳X。9X。啰X.甘X(194—)=尺產(chǎn)收)啕2雞)號.所以1的分布列為X01234P19131336136＜暴?恩維點模解決此類考題，要注意認(rèn)真審題，從數(shù)學(xué)與實際生活兩個角度來理解問題的實質(zhì)，將問題成功轉(zhuǎn)化為概率模型求解，因此對概率型應(yīng)用性問題，理解是基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.大題小做

考點8隨機(jī)變量的期望與方差丈題?題型分析命題方向:離散型隨機(jī)變量的分布列問題是高考的熱點，常以實際生活為背景，涉及事件的相互獨立性、互斥事件的概率等，綜合性強(qiáng)，難度中等.方法總結(jié):求解隨機(jī)變量的期望與方差的步驟.第一步:定元，根據(jù)已知條件確定離散型隨機(jī)變量的取值.第二步:定性，明確每個隨機(jī)變量取值所對應(yīng)的事件.第三步:定型，確定事件的概率模型和計算公式.第四步:計算，計算隨機(jī)變量取每一個值的概率.第五步:列表，列出分布列.第六步:求解，根據(jù)公式求均值.小做?柝解技巧■庖丁解題高考真題過程拆解(2017年山東卷,18)在心理學(xué)研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者兒4,4,4,4,4和4名女志愿者8,色區(qū)，風(fēng)從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含4但不包含用的麻⑵用V表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求1的分布列與數(shù)學(xué)期望EX..根據(jù)古典概型的概率求解公式求解..先確定1的取值情況，然后根據(jù)超幾何分布概率計算公式求出每種情況所對應(yīng)的概率，從而求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望.評分細(xì)則第⑴問踩點說明(針對得分點◎:評分細(xì)則第⑴問踩點說明(針對得分點◎:。結(jié)合古典概型概率公式求解得2分.第⑵問踩點說明(針對得分點細(xì)姻：②IE確求出才可取的值得1分；③根據(jù)超幾何分布概率計算公式求出每種情況的概率得5分；(Z正確寫出分布列得2分；⑤正確求出數(shù)學(xué)期望得2分.解：(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含4但不包含8的事件為M則/(助4* 2分得分點①Go⑵由題意知I的可能取值為0/23,4，一..1分得分點②則用￥4))-魯警,凡閆)號，4cio Ho41A1=2)f追上° 二M'cf021,n'cf021)HE)岑J, 5分得分點③cio才的分布列為X0J 34P 2分得分點,

」的數(shù)學(xué)期望是￡V4)X—X2也記+3X—MX-^2.42 21 21 21 42,?,, 2分點⑤導(dǎo)向訓(xùn)練1.從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為;⑴設(shè)1表示I輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機(jī)變量I的分布列和數(shù)學(xué)期望;⑵若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到2個紅燈的概率.過程導(dǎo)引從甲地到乙地共有3個紅燈,所以隨機(jī)變量I的所有可能取值為0,1,2,3,先根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式凡力囪二尺用久而,計算每一種情況的概率，寫出分布列,再根據(jù)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望計算公式求成解析解：（1）隨機(jī)變量）的所有可能取值為0,1,2,3.fl（i=o）=（4）x（4）x（ii）i網(wǎng)網(wǎng)月《1T）x（i 9對X。4）巾吟）中目耳舒皿）由4）甘桑*§*抬甘*鉗；尺網(wǎng)片用耳號.所以隨機(jī)變量1的分布列為X0123P2輛車共遇到2個紅燈有3種情況，分別是第1輛車沒有遇到紅燈，第2輛車遇到2個紅燈;2輛車各遇到1個紅燈；第I輛車遇到2個紅燈，第2輛車沒有遇到紅燈.隨機(jī)變量1的數(shù)學(xué)期望EX=^岸+1xii+2Z+3X工史.4 24 4 2412⑵設(shè)）表示第1輛車遇到紅燈的個數(shù)，，表示第2輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為/<y+Z=2）=8}'=o,z=2）+H1'=l,z=l）田F=2,ZK）2x141x114x1^,44242444576'所以這2輛車共遇到2個紅燈的概率為蜷.2.現(xiàn)在人們都注重鍛煉身體，騎車或步行上下班的人越來越多.某學(xué)校甲、乙兩名教師每天可采用步行、騎車、開車三種方式上下班步行到學(xué)校所用的時間為1小時，騎車到學(xué)校所用的時間為0.5小時，開車到學(xué)校所用的時間為0.1小時，甲、乙兩人上下班方式互不影響.設(shè)甲、乙步行的概率分別為右騎車的概率分別為永⑴甲、乙兩人同時從家里出發(fā),求甲到學(xué)校比乙晚的概率；⑵設(shè)甲、乙兩人到學(xué)校所用時間差的絕對值為隨機(jī)變量1求I的分布列及數(shù)學(xué)期望. 過程導(dǎo)引解析根據(jù)甲、乙嗝軍和步行到校的概率，求出甲、乙開車到學(xué)校的概率，甲到學(xué)校比乙晚的情況為甲步行乙不步行，甲騎車乙開車兩種.解:（1）由題意彳導(dǎo)甲、乙兩人開車的概率分別為";，記甲到學(xué)校比乙晚為事件4則“鈣所以甲到學(xué)校比乙晚的概率為;.

（2）4的可能取值為0,0.4,0.5,0.9,根據(jù)甲、乙兩名教師開車、騎車、步行到校的時間可得才可能取的值為0,0.4,0.5,0.9.如.K0.4時表示甲開車乙騎車或甲騎車乙開車的情況，再求出相應(yīng)的概率，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.' 7根據(jù)甲、乙兩名教師開車、騎車、步行到校的時間可得才可能取的值為0,0.4,0.5,0.9.如.K0.4時表示甲開車乙騎車或甲騎車乙開車的情況，再求出相應(yīng)的概率，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.1 11 1 2尺收）,4片乂狀與噴尺目.5）^X超甘磊尺收＞.9）號、居《磊所以X00.4所以X00.40.50.9P5 3 5 3EX=Q乂2網(wǎng).4 5乂當(dāng)旬.9X2R.4.突,破?針對■訓(xùn)練.甲、乙兩人參加某種選拔測試.在備選的6道題中，甲答對其中每道題的概率都熹，乙只能答對其中的3道題,規(guī)定每次考試都從備選的6道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試，答對1題加10分，答錯1題（不答視為答錯）減5分彳導(dǎo)分低于0分時記為0分（即最低為0分）,至少得15分才能入選.（兩人答題之間互不影響）⑴求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望.⑵求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率.【解析】⑴設(shè)乙的得分為X則￥的所有可能取值為0,15,30.的））等塔叱5）晉噌皿0）田福才的分布列為X01530P12920120EX=O/15唱*30X/岑.⑵設(shè)“甲入選”為事件4“乙入選”為事件4則一百飄1-喝圖瑞麗=1$分1卷嘿由⑴知/科=/（仁15）”。頡））磊臉當(dāng)麗）二144所以所求概率為戶=1-a涵）［-前）響，~對卷..為備戰(zhàn)2018年世界乒乓球錦標(biāo)賽，乒乓球隊舉行公開選拔賽，甲、乙、丙三名選手入圍最終單打比賽名單.現(xiàn)甲、乙、丙三人進(jìn)行隊內(nèi)單打?qū)贡荣?，每兩人比賽一場，共賽三場，每場比賽勝者?分,負(fù)者得。分，在每一場比賽中，甲勝乙的概率為|,丙勝甲的概率為*丙勝乙的概率為A且各場比賽結(jié)果互不影響.甲獲第一名且乙獲第三名的概率為*⑴求〃的值；⑵設(shè)在該次對抗比賽中，乙得分為X求才的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】⑴甲獲第一名且乙獲第三名的概率為七即甲勝乙、甲勝丙且丙勝乙概率為七?:%吸冷磊，?:片⑵依題意可知乙得分才可以為0,3,6,乙勝甲的概率為孑乙勝丙的概率為今一心0）巾3）x（i省w，/六3）=0.若彳*（13）系網(wǎng)/飛片W9的分布列為X036P25715215.：￡4旬x1+3X高依曲音.3.張先生家住〃小區(qū)，他工作在?？萍紙@區(qū)，從家到公司上班的路上有4/.兩條路線（如圖所示），/.路線上有4,4,4三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為".路線上有風(fēng)〃兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為L %3⑴若走心路線，求最多遇SJ2次紅燈的概率；⑵若走心路線，求遇到紅燈的次數(shù)才的數(shù)學(xué)期望；⑶按照“遇到紅燈的平均次數(shù)最少”的要求，請你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由.【解析】⑴設(shè)“走，，路線最多遇至I」2次紅燈”為事件兒則W)=C“)yxlx(l)gX(l)X/所以走A路線，最多遇到2次紅燈的概率為1O⑵依題意,1的可能取值為0,1,2.尺>=0）=0-）x（1。磊，/。=1）4'（1令彳1令石磊，也引嗡故隨機(jī)變量1的分布列為I*IoI1I2I1 9_ 9而I而I而研」乂00刈0、2衛(wèi).10 20 20 20⑶設(shè)選擇/.路線遇到紅燈的次數(shù)為Y.隨機(jī)變量廠服從』分布，即1'次3》所以小3X譯因為加倒所以選擇/.路線上班最好.4.46是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進(jìn)行對比試驗.每個試驗組由1只小白鼠組成，其中2只服用4另外2只服用4然后觀察療效，若在一個試驗組中，服用8有效的小白鼠的只數(shù)比服用4有效的多，就稱該試驗組為甲類組.設(shè)每只小白鼠服用」有效的概率為芻服用8有效的概率為*⑴求一個試驗組為甲類組的概率.⑵觀察3個試驗組用f表示這3個試驗組中甲類組的個數(shù)求6的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】⑴設(shè)4表示事件“T試驗組中，服用/有效的小白鼠有/只”，口12；8表示事件“T試驗組中，服用2有效的小白鼠有了只”.依題意有/超）［后噌，4*fo 4 41O尺對V*找人4）2甘*號所求的概率/,=H84）省區(qū)4）儀84）⑵f的可能取值為0,1,2,3,且f為儲）,所以f的分布列為0123P1272949827數(shù)學(xué)期望/Tf=3X：=2..某險種的基本保費為“（單位:元）繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出蹌次數(shù)01234H5保費阮）0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下:

一年內(nèi)出瞼斕0 1 2 3 4 >5概率0.300.150.200.200.100.05⑴求一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%的概率；⑵若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；⑶求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.【解析】⑴設(shè)d表示事件“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件.4發(fā)生即為當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3,故尺/f）R.1X）.054）.15.⑵設(shè)8表示事件“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，則事件/，發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1,故氏9=0.2心29.18.05=0.55.又H幽土今故中煙播盟髓《⑶記續(xù)保人本年度的保費為（則才的分布列為X⑶記續(xù)保人本年度的保費為（則才的分布列為X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX=O.85ax0.30+aX0.15+1.25aX0.20+1.5aX0.20+1.75aX0.10v2aX0.05=1.23a.因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23..某商場計劃銷售某種產(chǎn)品，現(xiàn)邀請生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲、乙兩個廠家進(jìn)場試銷15天.兩個廠家提供的返利方案如下:甲廠家每天固定返利70元，且每賣出一件產(chǎn)品廠家再返利2元;乙廠家無固定返利，賣出40件以內(nèi)（含40件）的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品廠家返利4元，超出40件的部分每件返利6元.分別記錄其15天內(nèi)的銷售件數(shù)得到如下頻數(shù)表：甲廠家銷售件數(shù)頻數(shù)表銷售件數(shù)3839404142天數(shù)34122乙廠家造售件數(shù)頻數(shù)表銷售件數(shù)3839404142天數(shù)23352⑴現(xiàn)從甲廠家試銷的15天中抽取兩天，求一天銷售量大于40件而另一天銷售量小于40件的概率.⑵若將頻率視作概率，回答以下問題：2記乙廠家的日返利額為M單位:元），求『的分布列和數(shù)學(xué)期望；②商場擬在甲、乙兩個廠家中選擇一家長期銷售，如果僅從日返利額的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為商場做出選擇,并說明理由.【解析】（1）記.'抽取的兩天中一天銷售量大于40件而另一天銷售量小于40件”為事件.1,貝！I卅力碧（2）⑦設(shè)乙產(chǎn)品的日銷售量為a件，則當(dāng)3=388^,^=38X4=152；當(dāng)@=39時,￥=39、4=156；當(dāng)aXO時,XW0X4=160；當(dāng)a=il時,￥=40X4+1X6H66；當(dāng)a=42時，才NOX4+2X6-172..：，,的所有可能取值為152,156,160,166,172.工才的分布列為X152 156 X152 156 160 166T15 5 5 3 15?:b二152就打56乂%60乂%66乂9172/=161.7（元）.15 5 5 3 15②依題意，甲廠家的日平均銷售量為38W+39 4"X卷網(wǎng)2X為39.7（件），?:甲廠家的日平均返利額為70+39.7X24149.4阮），由Q猾乙廠家的日平均返利額大于甲廠家的日平均返利額，?：推薦該商場選擇乙廠家長期銷售.米養(yǎng)?恩維災(zāi)鎮(zhèn)⑴求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應(yīng)用各類求概率的公式，求出概率.（2）求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的分布列,若隨機(jī)變量服從二項分布或兩點分布，則可直接利用公式求解.大題小做考點9線性回歸與獨立性檢驗大題?題型分析線性回歸:高考命題常以實際生活為背景，重在考查回歸分析中散點圖的作用、回歸方程的求法和應(yīng)用，難度中等.■獨立性檢驗極易與分層抽樣、概率統(tǒng)計等知識交:匚是潛在的命題點之一,須引起足夠的重視.小做?拆解技巧庖丁解題高考真題過程拆解（2015年全國/卷,19）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費N單位:千元）對年銷售量M單位:t）和年利潤4單位:千元）的影響.對近8年的年宣傳費'和年銷售量必（/=1,2,…,8）數(shù)據(jù)做了初步處理彳導(dǎo)到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.1.由散點圖,再結(jié)合y=x和廣巾的圖象，可選尸c+M作為擬合的函數(shù).2.由散點圖可知J與x之間是非線性回歸的,由題意知可以令則可以求出y關(guān)于"的線性回歸方程，

即可求出y關(guān)于x的回歸方程.先利用y關(guān)于x的回歸方程求出年銷售量『的預(yù)報值再根據(jù)年利潤Z與x,y的關(guān)系zR.2y-x求出年利潤”的預(yù)報值..根據(jù)z與*的函數(shù)關(guān)系結(jié)合二次函數(shù)求最值的方法即可求出年^潤取最大值時的年宣傳費用.I 1 , 1 °表中H/=>/x[,W=-Z?...oi=i⑴根據(jù)散點圖，尸aMx與尸c+M哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費'的回歸方程類型?（給出判斷即可，不必說明理由）⑵根據(jù)⑴的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立「關(guān)于x的回歸方程.⑶已知這種產(chǎn)品的年利潤/與匕尸的關(guān)系為/巾.2y-x根據(jù)⑵的結(jié)果回答下列問題：謂年宣傳費時，年銷售量及年^潤的預(yù)報值是多少？娉年宣傳費，為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附:對于一組數(shù)據(jù)（s,M）,（6。其回歸直線v=a+Bu的斜驕口截距的最小二乘估計分別為An AAW（u「n）（vrD“, —,a-v-pu.答題模板評分細(xì)則解：（1）由散點圖可以判斷,y=c+d4適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費、的回歸方程類型 2分得分點①⑵令甘玉,先建立y關(guān)于“的線性回歸方程 1分得分點②A8由于d仝p""喈48 1分得分點③2.,—.2 1.0r（wj-w）A 人c3-dW巧63f8X6.8=100.6, 1分得分點?A則y關(guān)于"的線性回歸方程為y=ioo.6加8K....1分得分點⑤A所以y關(guān)于*的回歸方程為y=ioo.6份84 1分得分點⑥⑶Ott⑵知，當(dāng),r=49時，年銷售量j的預(yù)報值A(chǔ)y=100.6^68749=576.6, 1分得分點②A年^潤Z的預(yù)報值z石76.6X0.2-4946.32……1分得分點⑧領(lǐng)據(jù)⑵的結(jié)果知,年利潤z的預(yù)報值A(chǔ)z4）.2X（100.648?）-x=r+13.67x^20.12,....1分得分點⑨第⑴問踩點說明（針對得分點④：i/在確做出判斷得2分.第⑵問踩點說明（針對得分點膂^得1分；A③E確用公式求出d得1分；A1正確用公式求出c得1分；⑤正確求出F關(guān)于"的線性回歸方程得1分.血確求出J關(guān)于X的回歸方程得1分.第⑶問踩點說明（針對得分點（W豳：A（證確求出y的值得1分；A⑧正確求出z的值得1分；A⑨正確寫Z與X的關(guān)系得1分；

所以當(dāng)4.8,即x=46.24時,z取得最大值.故當(dāng)年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大.2分得分點也正確求出z取得最大值時的也正確求出z取得最大值時的.v的值得2分1.2017年合肥三對三籃球聯(lián)賽圓滿結(jié)束，組織方統(tǒng)計了來自44G〃月球隊的男子的平均身高與本次比賽的平均得分,如下表所示：球隊ABCDE平均身高M(jìn)單位:cm）170174176181179平均得分M單位:分）6264667068⑴根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于▲的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；⑵若V隊平均身高為178c叫根據(jù)⑴中所求得的回歸方程預(yù)測I隊的平均得分（精確到個位）.AAA注:回歸方程y=b"a中斜翱］截距最小二乘估計公式分別為A1 .A戶,（xr50（y「jD __b -1a可-bx?過程導(dǎo)引解析根據(jù)回歸方程y=bx+a,“ A先求出b和a的值.解：(1)由已知得7應(yīng)吐等空3=176,—62+64+66+70+6830y 5 與6,A._(170T76)x(62-66)+(174T76)x(64?66)+(181J76)x(70?66)+(179176)x(68?66)(170-176)2+074-176)2+(181-176)2+(179-176)2告。?73,A 人于是a守bx=66-0.73X176--62.48,AA A所以y =0.73x~62.48,A⑵把v=l78代入回歸方程得y4.73XI78芍2.48^67,即可預(yù)測必隊的平均得分為67分.把'的值代入回歸方程即可求出預(yù)測值.2.為考察某種疫苗預(yù)防疾病的效果,現(xiàn)對動物進(jìn)行實驗彳導(dǎo)到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:未發(fā)病發(fā)病總計未注射疫苗X40A注射疫苗y10B總計5050100現(xiàn)從所有試驗動物中任取一只，耳倒“未注射疫苗”動物的概率為，⑴求2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)的值.⑵能夠有多大把握認(rèn)為該疫苗有效？

尺《2人）0.050.010.0050.001Ao3.8416.6357.87910.828過程導(dǎo)引解析先根據(jù)概念求解公式結(jié)n合題意可以求4由“=萬抬0,求出a.由/超=100,求出B.由外外40,求出y.由《公式可以求出《的觀測值A(chǔ),再結(jié)合參照值就可以做出判斷解：（1）設(shè)“從所有試驗動物中任取一只，取到‘未注射疫苗’動物”為事件，由已知得H0喻胃，解得力制,所以x=20,y=3G,B=4G.（2）片的觀測值妾展黑岑=16.667>10,828.所以至少有99.佻的把握認(rèn)為該疫苗有效.附.a附.a_n(ad-bc)2HIJ，(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)產(chǎn)a+b+c+d.吳破?針時訓(xùn)族.下表是高三某位文科生連續(xù)5次月考的歷史，政治成績，結(jié)果統(tǒng)計如下:月份91011121歷史a分）7981838587政治6分）7779798283⑴求相關(guān)系數(shù)八，并判斷該學(xué)生的歷史成績與政治成績是否有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；"A⑵若有線性相關(guān)關(guān)系，請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求兩個變量V的線性回歸方程jT）x+a.工i（工i（用句例⑨n,n）.,a=y-bx.【解析】⑴：攵鼻*(79對1對3冏5田7)總3,y=AX(77+79*79+82田3)=80,.：Z(乂而(％-y)379-83)X(77-80)*81-83)X(79十0)*83-83)X(79-80)%85-83)X(82-80)*87-83)X(83-i=l80)-30.￡(x.MT=(79-83y唯i 唯3_83y唯5-B3)2崛7-83)M0,i=lX(y,50：=<77~80)飛79~80)：丸79-80)!^82-80)^83-80)!-24,

Zi(Zi(xrx)(yfy)J配㈤2副R_30

V40x24入0.97.該學(xué)生的歷史成績與政治成績有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.⑵由⑴可求得b4.75,a-y-bx^0-0.75X83=17.75,則所求的線性回歸方程為y=0.75x+17.75..某冷飲店為了解氣溫對營業(yè)額的影響，隨機(jī)記錄了該店1月份中5天的日營業(yè)額M單位:千元）與該地當(dāng)日最彳氐氣溫M單位:℃）的數(shù)據(jù)，如下表： X3332303134y1210812⑴若該冷飲店日營業(yè)額y與當(dāng)日最低氣溫x存在線性相關(guān)關(guān)系，試求y關(guān)于x的回歸方程y=bx*a；⑵判定y與x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān).若該地7月份某天的最低氣溫為36匕,用所求回歸方程預(yù)測該店當(dāng)日的營業(yè)額.附:b±4 -,a^y-bx.【解析】（1【解析】（1沅33+32+30+31+34-12+10+8+8+12y= =10,X(x,-x)(y,y)=(33-32)X(12-10)*(32-32)X(10TO)《30-32)X(8-10)>(31-32)X(8-10)*(34-32)X(12i=l10)-12,Z(x.-32)H32-32)^30-32)為31-32)^34-32)^10,i=lb 4=1.2,a=y-bx-10-l.2X32=-28.4,高(久田2 10故所求回歸方程為y=L2x-28.4.⑵由b=l.2電知y與V之間是正相關(guān).將x=36代入回歸方程可預(yù)測該店當(dāng)日的營業(yè)額y=1.2X36-28.4=14.8（千元）.

.近年來，微信越來越受歡迎，許多人通過微信表達(dá)自己、交流思想和傳遞信息.微信是現(xiàn)代生活中進(jìn)行信息交流的重要工具，而微信支付為用戶帶來了全新的支付體驗，支付環(huán)節(jié)由此變得簡便而快捷.某商場隨機(jī)對商場購物的200名顧客進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下：40歲以下40歲以上使用微信支付8020未使用微信支付4060⑴估計該地區(qū)10歲以上的人中，在商場購物時未使用微信支付的比例.⑵能否有99.9%的把握認(rèn)為“使用微信支付與年齡有關(guān)”？n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(fc+d)'參考數(shù)據(jù):而參考數(shù)據(jù):而2對0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【解析】⑴估計該地區(qū)40歲以上的人中，在商場購物時未使用微信支付的比例為舄京Zu+oU4⑵/的觀測值上聾繪鬻空#》282&所以有99.9$的把握認(rèn)為“使用微信