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文檔簡介
交通大學(xué)2014-2015學(xué)年第一學(xué)期《幾何與代數(shù)B》期末考試卷(A卷)一.(本題滿分30分,每題3分)請把答案填在空格或括號中.1.若向量滿足,則的夾角為.2.點到直線的距離是.3.若向量組線性相關(guān),則的值為1.4.設(shè)為常數(shù),則向量組的一個最大線性無關(guān)組是.5.設(shè)均為維列向量,矩陣。若,則-3.6.設(shè)。若與線性相關(guān),則-1.7.設(shè)。若正定,則實數(shù)的取值范圍是.8.設(shè)是階正交矩陣,是階單位矩陣。若,則0.9.設(shè)向量組滿足。則平面上直線交于一點的充分必要條件是(D).(A)線性相關(guān)(B)線性無關(guān)(C)(D)線性無關(guān),線性相關(guān)10.方程在中表示的圖形是(C).(A)雙曲面(B)球面(C)圓柱面(D)橢球面二.(8分)計算階行列式。解按第一行展開……8分三.(8分)求過點且與直線都垂直的直線方程。解直線的方程可化為所求直線的方向向量滿足,………6分所求直線的方程為?!?分四.(10分))已知兩直線,相交,求的值,及所在的平面方程。解將兩直線方程化為點向式:,得兩直線的方向向量分別為,?!?分由相交,得解得?!?分所在的平面方程為即?!?0分五.(14分)已知線性方程組有三個線性無關(guān)的解。證明方程組系數(shù)矩陣的秩為;求的值及方程組的所有解(用導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系表示)。解(1)設(shè)方程組有三個線性無關(guān)的解,則是其導(dǎo)出組的線性無關(guān)的解,從而方程組系數(shù)矩陣的秩。又系數(shù)矩陣有一個二級子式,所以方程組系數(shù)矩陣的秩恰為……4分(2)將原方程組增廣矩陣化為階梯形因為系數(shù)矩陣的秩為2,且原方程組有解,所以。………9分方程組(I)有一個特解,導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為所求方程組的通解是任取?!?4分六.(12分)設(shè)。若矩陣滿足,求矩陣的伴隨矩陣。解由,得,?!?分又,………8分故?!?2分七.(12分)設(shè)。求正交矩陣使為對角矩陣。解得A的特征值1(二重)和4?!?分對特征值1,解方程組,得基礎(chǔ)解系將正交化:再將單位化:。………9分對特征值4,解方程組,得基礎(chǔ)解系。將單位化:?!?1分令,則為所求。………12分八.(6分)設(shè)是正交的三維單位列向量,證明矩陣相似于。證明由得有特征值1和2。
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