七年級(jí)數(shù)學(xué)瓷磚的鋪設(shè)三角形華東師大版知識(shí)精講

七年級(jí)數(shù)學(xué)瓷磚的鋪設(shè)、三角形華東師大版【本講教育信息】一授課內(nèi)容：瓷磚的鋪設(shè)、三角形學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解正多邊形能夠鋪滿(mǎn)地面的道理。認(rèn)識(shí)三角形的內(nèi)角、外角及其中線(xiàn)、高、角均分線(xiàn)等看法和三角形的牢固性，會(huì)用刻度尺和量角器畫(huà)出任意三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)和高。認(rèn)識(shí)幾種特其他三角形與多邊形的特色，研究并掌握三角形的外角性質(zhì)與外角和，理解并掌握三角形的三邊關(guān)系。知識(shí)內(nèi)容：一瓷磚的鋪設(shè)走在大街上，進(jìn)入旅店或飯店，在好多地方，我們都能夠看到由各種形狀的地磚鋪成的漂亮的地面和墻面。在這些地面或墻面上，相鄰的地磚或瓷磚平展地貼合在一起，整個(gè)地面或墻面上沒(méi)有一點(diǎn)空隙。那么，多邊形的瓷磚需要滿(mǎn)足什么條件時(shí)才能鋪滿(mǎn)地面而不留一點(diǎn)空隙呢多邊形資料鋪地板，要求資料要全等，內(nèi)角和的整數(shù)倍是360°或每個(gè)內(nèi)角相等時(shí)內(nèi)角的整數(shù)倍是360°。因此適合的資料為三角形、四邊形和各內(nèi)角都相等的六邊形，有時(shí)為了雅觀，可以有其他形狀資料混淆其中。從牢固程度考慮各邊受力比較均勻1且受限制條件多的較穩(wěn)，如各角都相等的六邊形。二三角形三角形是由三條不在同一條直線(xiàn)上的線(xiàn)段首尾按次連接組成的平面圖形，這三條線(xiàn)段就是三角形的邊。三角形能夠按角來(lái)分類(lèi)：所有內(nèi)角都是銳角––––銳角三角形有一個(gè)內(nèi)角是直角––––直角三角形有一個(gè)內(nèi)角是鈍角––––鈍角三角形我們把兩條邊相等的三角形稱(chēng)為等腰三角形，相等的兩邊叫做等腰三角形的腰；把三邊都相等的三角形稱(chēng)為等邊三角形（或正三角形）。三角形的外角有兩條性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。（2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。三角形的外角和等于360°。三角形的三邊關(guān)系：三角形的任何兩邊的和大于第三邊。用三根木條釘一個(gè)三角形，你會(huì)發(fā)現(xiàn)再也無(wú)法改變這個(gè)三角形的形狀和大小，也就是說(shuō)，若是三角形的三邊固定，那么三角形的形狀和大小就完好確定了。三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的牢固性。2用四根木條釘一個(gè)四邊形，你會(huì)發(fā)現(xiàn)能夠任意改變這個(gè)四邊形的形狀和大小，這說(shuō)明四邊形擁有不牢固性。三角形的牢固性在生產(chǎn)實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用。比方橋梁、拉桿、電視塔架底座都是三角形構(gòu)造?！镜湫屠}】例1工人師傅利用邊角余料鋪地板時(shí)，用6個(gè)形狀相同的三角形拼在一起，能夠無(wú)空隙地覆遮住A點(diǎn)及周?chē)〉赜颍?個(gè)形狀相同的四邊形拼在一起，也能無(wú)空隙地遮住A點(diǎn)及周?chē)〉赜?，從上述的兩種覆蓋中，我們發(fā)現(xiàn)：要完好遮住A點(diǎn)及其周?chē)〉赜?，必定滿(mǎn)足的條件是什么用邊長(zhǎng)相等、各角相等的正五邊形能不能夠覆遮住A點(diǎn)及其周?chē)〉赜?，用正六邊形呢試一試看。解析：這里的問(wèn)題是幾個(gè)完好相同的，多邊形能夠鋪滿(mǎn)地面的條件是什么這個(gè)問(wèn)題可經(jīng)過(guò)著手實(shí)踐，拼一拼即可知道結(jié)果。解：必定滿(mǎn)足的條件是拼在A處，以A為極點(diǎn)的幾個(gè)角的度數(shù)之和為360°，正五邊形三個(gè)內(nèi)角和小于360°，而四個(gè)內(nèi)角和大于360°，因此幾個(gè)正五邊形不能夠鋪滿(mǎn)地面；幾個(gè)正六邊形拼在一起，恰好能夠覆遮住A點(diǎn)及周?chē)赜?，由于正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為120°，它的3倍為360°。例2家庭裝飾采用的地磚一般是正方形、矩形或菱形資料，人行道鋪的水泥磚經(jīng)常是方形、三角形或是六邊形，為什么要采用這樣的資料，采用其他多邊形資料行嗎若行，需要有什么限制3解析：鋪地板時(shí)，有以下幾點(diǎn)要求：（1）平展，即資料厚度一致；（2）無(wú)空隙，要滿(mǎn)足下面兩點(diǎn)才能保證：①相鄰兩塊磚拼接的對(duì)應(yīng)邊要完好重合，即對(duì)應(yīng)邊相等；②在每塊磚的極點(diǎn)處要能拼成周角360°。（3）考慮牢固性，切合力學(xué)要求。解：三角形資料只要全等，由內(nèi)角為180°，用六個(gè)全等三角形能在一個(gè)極點(diǎn)處拼得360°角，對(duì)應(yīng)邊相等，能保證相鄰兩個(gè)三角形拼接的邊能完好重合，故三角形資料在全等條件下能鋪滿(mǎn)地板。對(duì)于全等的特別四邊形資料，由內(nèi)角和為360°，能夠鋪滿(mǎn)地板，其實(shí)，一般的四邊形資料也能。五邊形因其內(nèi)角和為540°，不是360°的整數(shù)倍，當(dāng)這個(gè)五邊形為正五邊形時(shí)，每個(gè)內(nèi)角為108°，它的整數(shù)倍不是360°，故不能夠在極點(diǎn)處構(gòu)造360°角，因此不能夠用五邊形資料鋪地板。六邊形資料，因其內(nèi)角和高出360°，不能夠用一般六邊形拼成360°角，但正六邊形的每個(gè)內(nèi)角都為120°，它的3倍為360°。故在一個(gè)極點(diǎn)處，用三個(gè)這樣的六邊形能拼成360°，故可行。當(dāng)邊數(shù)多于6時(shí)，無(wú)論內(nèi)角可否相等，都無(wú)法拼成360°角，因此不能夠用它們來(lái)鋪地板。4例3如圖，中，，D為BC上一點(diǎn)，且，求的度數(shù)。解析：在中，已知的度數(shù)和的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和為180°，可求得的度數(shù)，是的一個(gè)外角，的度數(shù)已知，故的度數(shù)可求。解：在中說(shuō)明：在求角度的問(wèn)題中，三角形的內(nèi)角和與三角形外角的性質(zhì)①是兩個(gè)常用的知識(shí)，要注意靈便運(yùn)用。例4如圖，已知中，AD是外角的均分線(xiàn)，且交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于D，你能比較與的大小嗎說(shuō)出你的原因。解析：由于與在同一個(gè)三角形中，不能夠直接比較大小，可利用一其中間量來(lái)“過(guò)渡”，圖中即為“過(guò)渡”的角。解：AD均分，是的外角又是的外角說(shuō)明：在比較兩個(gè)角的大小時(shí)，應(yīng)注意到利用三角形外角的性質(zhì)2，本題還利用了不等式的傳達(dá)性，即甲大于乙，乙大于丙，則甲大于丙。例5以下列圖，在的CA、BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上任取D、E兩點(diǎn)，連接DE，做的均分線(xiàn)，使它們訂交于F，求證：。5解析：在兩個(gè)不相同的三角形內(nèi)，用三角形內(nèi)外角的關(guān)系把它們聯(lián)系起來(lái)以達(dá)到目的。證明：設(shè)EF交CD于G，CF交AB于H（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角的和）①②EF均分，CF均分（已知）（角均分線(xiàn)的定義）說(shuō)明：求角與角的關(guān)系時(shí)，可用三角形的內(nèi)、外角關(guān)系把它們聯(lián)系起來(lái)，再利用三角形的外角性質(zhì)定理來(lái)求它們的關(guān)系。例6如圖，D是內(nèi)任一點(diǎn)，連接BD、CD，求證：。解析：由于AB、AC在中，DB，DC在中，我們只學(xué)過(guò)三角形兩邊之和大于第三邊，因此應(yīng)想方法使其中的某些線(xiàn)段在同一個(gè)三角形中。證明：延長(zhǎng)BD交AC于E在中，①（三角形兩邊之和大于第三邊）在中，②（三角形兩邊之和大于第三邊）①＋②得：即6說(shuō)明：判斷已知的三條線(xiàn)段可否組成三角形要依照兩邊之和大于第三邊，其他也可利用三角形中兩邊之和大于第三邊來(lái)確定邊與邊的大小關(guān)系。（1）已知腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，求各邊長(zhǎng)。（2）已知其中一邊長(zhǎng)4cm，求其他兩邊長(zhǎng)。解析：（1）可直接依照定義計(jì)算；（2）由于4cm有可能作腰，也有可能作底，故要分兩種情況。解：（1）設(shè)底邊長(zhǎng)為cm，則腰長(zhǎng)為2cm三邊長(zhǎng)分別為，，（2）第一種情況：4cm的長(zhǎng)的邊為底，設(shè)腰長(zhǎng)為cm則第二種情況：4cm的長(zhǎng)為腰，設(shè)底邊長(zhǎng)為cm則，即發(fā)生兩邊的和小于第三邊的情況4cm為腰不能夠組成三角形，從而得這個(gè)三角形其他兩邊長(zhǎng)都是7cm。說(shuō)明：三角形的三邊，有的各不相等，有的兩條邊相等，有的三條邊相等，解題應(yīng)注意，求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，必然要考慮三角形三邊關(guān)系定理，不滿(mǎn)足定理的應(yīng)舍去。7例8草原上有4口油井，位于四邊形ABCD的4個(gè)極點(diǎn)，現(xiàn)在要修建一個(gè)維修站H，試問(wèn)H建在哪處，才能使它到4口油井的距離為最小，說(shuō)明原因。解：維修站應(yīng)建在兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)H處，取異于H的點(diǎn)H’，依照三角形的兩邊之和大于第三邊，有：為最小例9已知，中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，求證：解析：由于AD是BC邊上的中線(xiàn)，因此BD＝DC因此，要證明，只要證明即證明這就需要在和中，利用三角形三邊關(guān)系來(lái)解決。證明：AD是BC邊上的中線(xiàn)，在中，在中，（三角形的兩邊之和大于第三邊）【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘）經(jīng)過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，你感覺(jué)幾個(gè)完好相同的多邊形瓷磚能夠鋪成一片的要點(diǎn)是什么8以下列圖，有長(zhǎng)方形和正方形兩種瓷磚。若單用長(zhǎng)方形瓷磚鋪地面，你能設(shè)計(jì)出幾種鋪法若單用正方形瓷磚鋪地面，你能設(shè)計(jì)出幾種鋪法若采用這兩種瓷磚鋪地面，你有幾種鋪法試畫(huà)出圖形。3用大小為1×1，2×2，3×3的瓷磚鋪一個(gè)23×23的正方形地面。（1）請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方案，只用1塊1×1的正方形及若干2×2，3×3的瓷磚鋪滿(mǎn)地面。（2）證明要鋪滿(mǎn)地面，沒(méi)有1×1的正方形不能夠。設(shè)計(jì)并繪制兩種不相同的瓷磚鋪設(shè)方案，注意講究雅觀。工人師傅常把一批形狀、大小完好相同，但不規(guī)則的四邊形邊角余料用來(lái)鋪地板，按如圖那樣拼接四邊形木塊，即可不留空隙，拼成一片，你能說(shuō)出其中的原因嗎？6如圖，，，，則_______。7如圖，__________度。，另一邊長(zhǎng)是8cm，則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是______cm。9在中，BC＝10，那么AB＋AC的取值范圍是_____________。10現(xiàn)有8根木棍，它們的長(zhǎng)分別是1，2，3，4，5，6，7，8，若從8根木棍中抽取3根拼三角形，要求三角形的最長(zhǎng)邊為8，其他兩邊之差大于2（以上單位為cm），那么能夠拼成的不相同的三角形的種數(shù)為_(kāi)______________。9以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是（）A斜三角形是銳角三角形B鈍角三角形是斜三角形C任意三角形是斜三角形D等腰三角形是斜三角形以下判斷正確的選項(xiàng)是（）①均分三角形內(nèi)角的射線(xiàn)叫三角形的角均分線(xiàn)②三角形的中線(xiàn)，角均分線(xiàn)都是線(xiàn)段③一個(gè)三角形有三條角均分線(xiàn)和三條中線(xiàn)④三角形的中線(xiàn)是經(jīng)過(guò)極點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的直線(xiàn)A①②③④B②③④C①④D②③三角形的三條高中，在三角形的外面最多有（）條條條條三角形的三個(gè)外角中，鈍角的個(gè)數(shù)最少有（）個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)中，，則是（）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰直角三角形，則等于（）AB10CD已知三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角，那么這個(gè)三角形（）A是銳角三角形B是直角三角形C是鈍角三角形D以上三種情況都有可能以以下長(zhǎng)度為邊的三條線(xiàn)段不能夠組成三角形的組數(shù)是（）①1，2，3②2，3，4③4，5，5④5，6，10A①B②C③D④19已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，則第三邊a的取值范圍是（）ABCD20一個(gè)三角形的兩邊分別是5和11，第三邊長(zhǎng)是一個(gè)偶數(shù)，則第三邊長(zhǎng)是（）以上都不對(duì)21如圖，中，已知AD是高，AE是角均分線(xiàn)，，求和的大小。22如圖，在中，的均分線(xiàn)與的外角均分線(xiàn)訂交于點(diǎn)D，求證：23如圖，已知CD＝AB，求證：11【試題答案】當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角時(shí)，就拼成一個(gè)平面圖形。23（1）在23×23的正方形中央鋪設(shè)1×1的瓷磚，再把剩下的部分劃分為4個(gè)11×12的矩形，其中每一個(gè)矩形可分成2